2019年高考数学一轮复习 空间中的平行关系

§8.4　平行关系最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．直线与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件a∩α＝∅a ?α，b ⊈α，a ∥ba ∥αa ∥α，a ?β，α∩β＝b结论a ∥αb ∥αa ∩α＝∅a ∥b2.面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件α∩β＝∅a ?β，b ?β，a ∩b＝P ，a ∥α，b ∥αα∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b α∥β，a ?β结论α∥βα∥βa ∥ba ∥α知识拓展重要结论：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　×　)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　×　)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　√　)(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　)题组二　教材改编2．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊈α，则b∥α答案　D解析　A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．答案　平行解析　连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊈平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.题组三　易错自纠4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( ) A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案　A解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)答案　②④解析　在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．答案　平行四边形解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH 是平行四边形．题型一　直线与平面平行的判定与性质命题点1　直线与平面平行的判定典例如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AD ，E ，F ，H 分别为线段12AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面PAD .证明　(1)连接EC ，∵AD ∥BC ，BC ＝AD ，12∴BC 綊AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为AC 的中点．又F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，又FO ?平面BEF ，AP ⊈平面BEF ，∴AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴FH ∥PD ，又PD ?平面PAD ，FH ⊈平面PAD ，∴FH ∥平面PAD .又O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴OH ∥AD ，又AD ?平面PAD ，OH ⊈平面PAD ，∴OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD .又GH ?平面OHF ，∴GH ∥平面PAD .命题点2　直线与平面平行的性质典例 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面17ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．(1)证明　因为BC ∥平面GEFH ，BC ?平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解　如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD ?底面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊈平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝DB ＝OB ，即K 为OB 的中点．1412再由PO ∥GK 得GK ＝PO ，12即G 是PB 的中点，且GH ＝BC ＝4.12由已知可得OB ＝4，2PO ＝＝＝6，PB 2－OB 268－32所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝·GKGH ＋EF2＝×3＝18.4＋82思维升华判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a ⊈α，b ?α，a ∥b ⇒a ∥α)．(3)利用面面平行的性质(α∥β，a ?α⇒a ∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊈α，a ⊈β，a ∥α⇒a ∥β)．跟踪训练(2018届昆明一中摸底)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，点M ，N 分别为A 1C 1，AB 1的中点．(1)证明：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若CM ⊥MN ，求三棱锥M —NAC 的体积．(1)证明　连接A 1B ，BC 1，点M ，N 分别为A 1C 1，AB 1的中点，所以MN 为△A 1BC 1的一条中位线，MN ∥BC 1，又因为MN ⊈平面BB 1C 1C ，BC 1?平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解　设点D ，E 分别为AB ，AA 1的中点，AA 1＝a ，连接ND ，CD ，则CM 2＝a 2＋1，MN 2＝1＋＝，CN 2＝＋5＝，由CM ⊥MN ，得a 2＋44a 2＋84a 24a 2＋204CM 2＋MN 2＝CN 2，解得a ＝，又NE ⊥平面AA 1C 1C ，NE ＝1，2V 三棱锥M —NAC ＝V 三棱锥N —AMC ＝S △AMC ·NE 13＝××2××1＝.1312223所以三棱锥M —NAC 的体积为.23题型二　平面与平面平行的判定与性质典例如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面；(2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明　(1)∵G ，H 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴GH 是△A 1B 1C 1的中位线，∴GH ∥B 1C 1.又∵B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面．(2)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC .∵EF ⊈平面BCHG ，BC ?平面BCHG ，∴EF ∥平面BCHG .∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形，∴A 1E ∥GB .又∵A 1E ⊈平面BCHG ，GB ?平面BCHG ，∴A 1E ∥平面BCHG .又∵A 1E ∩EF ＝E ，A 1E ，EF ?平面EFA ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .引申探究在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明　如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM⊈平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊈平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思维升华证明面面平行的方法(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．跟踪训练(2018届南昌摸底)如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P—ABM的体积．(1)证明　∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA.又∵MN⊈平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∵∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN⊈平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又∵CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.(2)解　由(1)知，平面CMN∥平面PAB，∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB 的距离．由已知得，AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝，3∴三棱锥P—ABM的体积V＝V三棱锥M—PAB＝V三棱锥C—PAB＝V三棱锥P—ABC ＝××1××2＝. 1312333题型三　平行关系的综合应用典例如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，点C∈α，点B∈β，点D∈β，点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求证：EF∥平面β；(2)若E，F分别是AB，CD的中点，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角为60°，求EF 的长．(1)证明　①当AB，CD在同一平面内时，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC ＝BD 知，AC ∥BD .∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴EF ∥BD .又EF ⊈β，BD ?β，∴EF ∥平面β.②当AB 与CD 异面时，如图所示，设平面ACD ∩平面β＝DH ，且DH ＝AC ，∵平面α∥平面β，平面α∩平面ACDH ＝AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ，连接EG ，FG ，BH .又∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ＝AG ∶GH ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH .又EG ∩GF ＝G ，BH ∩HD ＝H ，∴平面EFG ∥平面β.又EF ?平面EFG ，∴EF ∥平面β.综合①②可知，EF ∥平面β.(2)解　如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF .∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME ＝BD ＝3，MF ＝AC ＝2.1212∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角或其补角，∴∠EMF ＝60°或120°.∴在△EFM 中，由余弦定理得EF ＝ME 2＋MF 2－2ME ·MF ·cos ∠EMF＝32＋22±2×3×2×12＝，13±6即EF ＝或EF ＝.719思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．跟踪训练如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ；(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．(1)证明　∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG .∵HG ?平面ABD ，EF ⊈平面ABD ，∴EF ∥平面ABD .又∵EF ?平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB ，又∵AB ⊈平面EFGH ，EF ?平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)解　设EF ＝x (0<x <4)，∵EF ∥AB ，FG ∥CD ，∴＝，则＝＝＝1－.CF CB x 4FG 6BF BC BC －CF BC x 4∴FG ＝6－x .32∵四边形EFGH 为平行四边形，∴四边形EFGH 的周长l ＝2＝12－x .(x ＋6－32x )又∵0<x <4，∴8<l <12，即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．1．若直线l 不平行于平面α，且l ⊈α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α与直线l至少有两个公共点D．α内的直线与l都相交答案　B解析　因为lα，直线l不平行于平面α，所以直线l只能与平面α相交，于是直线l与平面α只有一个公共点，所以平面α内不存在与l平行的直线．2．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是( )A．存在一条直线b，a∥b且b?αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a?β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β答案　C解析　在A，B，D中，均有可能a?α，错误；在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面，故C正确．3．(2018·攀枝花质检)平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面答案　D解析　充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．4．一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是( )A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l?α答案　D解析　当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l?α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上有两个点到α的距离相等；当l与α斜交时，也只能有两个点到α的距离相等．故选D.5．对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n?α，则m∥nC．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n答案　D解析　对A ，直线m ，n 可能平行、异面或相交，故A 错误；对B ，直线m 与n 可能平行，也可能异面，故B 错误；对C ，m 与n 垂直而非平行，故C 错误；对D ，垂直于同一平面的两直线平行，故D 正确．6．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别是BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形C ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形D ．EF ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形答案　C解析　如图，由条件知，EF ∥BD ，且EF ＝BD ，GH ∥BD ，且HG ＝BD ，1512∴EF ∥HG ，且EF ＝HG ，25∴四边形EFGH 为梯形，排除A ，B ；∵EF ∩平面ADC ＝F ，∴排除D.故选C.7.如图，E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是________．答案　2解析　此四面体与过E ，F ，G 的截面平行的棱为AC ，BD ，只有两条．8．设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m ，n ?γ，且________，则m ∥n ”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n ?β；②m ∥γ，n ∥β；③n ∥β，m ?γ.可以填入的条件有________．答案　①或③解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m?γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．9．(2017·承德模拟)如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件______时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)答案　点M在线段FH上(或点M与点H重合)解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.10．(2018·海口调研)将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是______．(填序号)答案　①③解析　由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．11.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明　(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，因为OG 綊B 1C 1綊BE ，所以BE 綊OG ，12所以四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥EG ，因为OB ?平面BB 1D 1D ，EG ⊈平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ，所以四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明　因为PD ⊥平面ABCD ，BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ?平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ?平面PDC ，所以PC ⊥BC .(2)解　连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则PA ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，所以EO ∥PA .因为EO ?平面MEG ，PA ⊈平面MEG ，所以PA ∥平面MEG .因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝，23所以AM 的长为.2313．(2018·南昌质检)在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°答案　C解析　因为截面PQMN 是正方形，所以MN ∥QP ，又PQ ?平面ABC ，MN ⊈平面ABC ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，又MN ?平面PQMN ，AC ⊈平面PQMN ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A ，B 正确．又因为BD ∥MQ ，所以异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，即为45°，故D 正确．14．(2018届广西桂林模拟)在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，若存在实数λ，使得CQ ＝λCC 1时，平面D 1BQ ∥平面PAO ，则λ＝________.答案　1 2解析　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：当Q为CC1的中点时，∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P，O为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.15．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图像大致是( )答案　C解析　过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MN ∥平面DCC 1D 1，MQ ∥平面DCC 1D 1，MN ∩MQ ＝M ，∴平面MNQ ∥平面DCC 1D 1.又平面ABCD 与平面MNQ 和DCC 1D 1分别交于QN 和DC ，∴NQ ∥DC ，可得QN ＝CD ＝AB ＝1，AQ ＝BN ＝x ，∵＝＝2，∴MQ ＝2x .MQ AQ DD 1AD 在Rt △MQN 中，MN 2＝MQ 2＋QN 2，即y 2＝4x 2＋1，∴y 2－4x 2＝1(x ≥0，y ≥1)，∴函数y ＝f (x )的图像为焦点在y 轴上的双曲线上支的一部分．故选C.16．(2018·哈尔滨模拟)在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．答案　452解析　如图，取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，SG ∩BG ＝G ，SG ，BG ?平面SGB ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ?平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．12又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝·＝.(12AC )(12SB )452。

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 平面的基本性质考点2 空间两条直线的位置关系1．位置关系的分类错误!错误!异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角（1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角)叫做异面直线a与b所成的角．（2)范围：错误!。

考点3 空间直线、平面的位置关系［必会结论］1．公理2的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．[考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( )(2)两个平面ABC与DBC相交于线段BC。

( )（3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线．（）(4)没有公共点的两条直线是异面直线．( )答案（1）×(2)×(3）√(4)×2．[2018·福州质检]已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的( ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件．故选A.3．［课本改编]若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是（）A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α答案D解析b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．故选D.4．[2018·衡中调研］已知直线a，b，c，有下面四个命题:①若a，b异面,b，c异面，则a，c异面；②若a，b相交，b，c相交，则a，c相交；③若a∥b，则a,b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的序号是________．答案③解析①a,c可能相交、平行或异面；②a,c可能相交、平行或异面；③正确；④a，c可能相交、平行或异面．5.[2018·大连模拟］如图，在三棱锥C－ABD中，E，F分别是AC和BD的中点,若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．答案30°解析取CB的中点G，连接EG，FG,∵EG∥AB，FG∥CD，∴EF与CD所成的角为∠EFG或其补角．又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG。

课题：空间中的平行关系考纲要求：①以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.②能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.教材复习A垂直于同一个平面的两直线；垂直于同一条直线的两平面 .基本知识方法3433441.线线平行的证法：① 常常借助中位线、比例线段、平行四边形等方法证明线线平行； ② 公理4（a ∥b ，c ∥b ⇒a ∥c ）. ③线面平行的性质定理(a αÜ,α∥β,b αβ=a ⇒∥b )；④面面平行的性质定理(α∥β,a γα=,b γβ=a ⇒∥b )；⑤线面垂直的性质定理(a α⊥,b α⊥a ⇒∥b )；⑥两直线的方向向量共线证明.2.线面平行的证法：① 线面平行的定义（无公共点）；②线面平行的判定定理（a αÚ，b αÜ，a ∥b a ⇒∥α）； ③面面平行的性质定理（α∥β，a αÜa ⇒∥β）；④面面平行的性质（α∥β，a αÚ，a βÚ，a ∥αa ⇒∥β）； ⑤证明直线的方向向量与平面的法向量垂直并且该直线不在此平面内.3.面面平行的证法：①面面平行的定义（无公共点）；②面面平行的判定定理；③垂直于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行；⑤“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.⑤证明两平面的法向量平行.典例分析：考点一 线线平行问题1．(2013山东) 如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .()1求证：AB ∥GH ；()2略.考点二 线面平行A B CDG HE FP345问题2．( 2013新课标Ⅱ) 如图，直棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB的中点，1AA AC CB AB ===．()1证明： 1//BC 平面1A CD ;()2略．问题3．(2009海南高考改编) 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．考点三 面面平行问题4．( 2013江苏) 如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证：()1平面//EFG 平面ABC ； ()2略.346课后作业：1.（2010届高三浙江温州二中期中文）如图，已知四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是直角梯形，BC AD //，BAD ∠=90︒º，AD BC 2=．()1求证：AB ⊥PD ；()2在线段PB 上是否存在一点E ，使AE //平面PCD ， 若存在，指出点E 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.2.（2010届高三福建师大附中期中文）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆ 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.（Ⅰ）若E 为AD 的中点，试在线段CD 上找一点F ，使 EF ∥平面ABC ，并加以证明；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略.ABCS GFECDCD3473.（2010ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，EC AC ⊥，EF ∥AC ，AB =，1EF EC == ()1求证：//EC 平面BFD ；()2略；()3略；()4略.4.如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，且2AB CD =，在棱AB 上是否存在一点F ，使平面1C CF ∥平面11ADD A ？若存在，求点 F 的位置；若不存在，请说明理由．C DA FEB348走向高考：1.（06北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且 PA AB =，点E 是PD 的中点. ()1略； ()2求证：PB ∥平面AEC ；()3略.2.（07山东文）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC AB DC ⊥，∥．()1求证：11DC AC ⊥；()2设E 是DC 上一点，试确定 E 的位置，使1D E ∥平面1A BD ，并说明理由．PABCDEBCD A1A 1D 1C1B3493.（2012北京文）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2.()1求证： DE ∥平面1ACB ；()2略.()3略.4.(2011安徽) 如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB △,OAC △，ODE △，ODF △都是正三角形； ()1证明直线BC ∥EF ；()2求棱锥F OBED -的体积.A BEDOCF。