高三数学专题复习-三角函数图像及其性质

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三角函数及其图像性质精讲精练〔2〕

【知识点回忆】

【考向一】三角函数的定义域

【例1】函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是_____。

【精练1】．函数y＝tanπ4－x的定义域为( )

A.x x≠kπ－π4，k∈ZB.x x≠2kπ－π4，k∈ZC.x x≠kπ＋π4，k∈Z D.x x≠2kπ＋π4，k∈Z

【解析】 ∵π4－x≠π2＋kπ，∴x≠－π4－kπ，又∵k∈Z，∴A正确．

【答案】 A

【考向二】三角函数的单调性

【思路点拨】 y＝Asin(ωx＋φ)＋B解析式确实定与性质的研究

借助图象或文字表达，先求A、ω、φ、B的值后，再依据解析式研究三角函数的单调性、值域、最值及周期性、奇偶性等性质是高考的常见题型．

【例1】〔2012湖南文18〕已知函数

20,0,sinRxxAxf的部分图像如图5所示。

〔Ⅰ〕求函数xf的解析式；

〔Ⅱ〕求函数1212xfxfxg的单调递增区间。

【精练1】3．(2013·佛山模拟)函数y＝2sinπ6－2xx∈[0，π]为增函数的区间为( )

A.0，π3 B.π12，712π C.π3，56π D.56π，π

【解析】 因为y＝－2sin2x－π6，由π2＋2kπ≤2x－π6≤32π＋2kπ，k∈Z得π3＋kπ≤x≤56π＋kπ，k∈Z，即函数在R上的增区间为π3＋kπ，56π＋kπk∈Z，当k＝0时增区间为π3，56π.故选C.

【答案】 C

【精练1】〔2012全国新课标9〕已知0，函数()sin()4fxx在(,)2上单调递减。则的取值范围是〔 〕 第2页

()A15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1(0,]2 ()D(0,2]

【精练2】〔2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学〔理〕试题〔纯WORD版〕〕

已知函数()4cossin(0)4fxxx的最小正周期为.

(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论()fx在区间0,2上的单调性.

【考向三】三角函数的值域或最值〔二次型需关注〕

【例1】函数y＝cosx－π3，在x∈0，π3上的值域为________．

【解析】 由0≤x≤π3，∴－π3≤x－π3≤0，

而函数在－π3，0上单调递增，

即cos－π3≤cosx－π3≤cos 0，

故12≤cosx－π3≤1.

【答案】 12，1

【例2】(文)已知函数f(x)＝2asin(2x－π3)＋b的定义域为0，π2，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．

【解】 ∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤23π，

∴－32≤sin(2x－π3)≤1，

假设a＞0，则 2a＋b＝1，－3a＋b＝－5，解得 a＝12－63，b＝－23＋123；

假设a＜0，则 2a＋b＝－5，－3a＋b＝1，解得 a＝－12＋63，b＝19－123.

综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123.

【试一试】(2012·湖南高考)函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为________．

【解析】 f(x)＝sinx－cosx＋π6

＝sin x－32cos x＋12sin x＝3sinx－π6，

∵sinx－π6∈[－1,1]，∴f(x)值域为[－3，3]． 第3页

【答案】 [－3，3]

【试一试】求函数y＝cos2x＋sin x|x|≤π4的最大值与最小值．

【精练1】〔文〕已知向量1(cos,),(3sin,cos2),2xxxxabR, 设函数()·fxab.

(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

(Ⅱ) 求f (x) 在0,2上的最大值和最小值.

【精练2】〔2013年普通高等学校招生统一考试天津数学试题〔含答案〕〕已知函数.

2()2sin26sincos2cos41,fxxxxxxR

(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;

(Ⅱ) 求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值.

【比较】(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin2x＋π3 ＋sin2x－π3＋2cos2x－1，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值和最小值．

【精练3】设向量3sin,sin,cos,sinx,0,.2axxbxx

(I)假设.abx求的值； (II)设函数,.fxabfx求的最大值

【精练4】〔2012山东卷〕已知向量1,sinxm，02cos2,cos3AxAxAn，函数nmxf的最大值为6.〔Ⅰ〕求A；

〔Ⅱ〕将函数xfy的图象像左平移12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数xgy的图象。求xgg〔x〕在245,0上的值域。

【精练5】已知向量)sinsin(cosxxxa，，)cos32sincos(xxxb，，设函数Rxbaxf的图像关于直线x对称，其中，为常数，且）（1,21

（1） 求函数()fx的最小正周期； 第4页

（2） 假设()fx的图像经过点）（0,4求函数()fx在区间530，上的取值范围。

【精练6】〔2013年高考湖南卷〔理〕〕已知函数2()sin()cos().()2sin632xfxxxgx.

(I)假设是第一象限角,且33()5f.求()g的值;

(II)求使()()fxgx成立的x的取值集合.

【考向四】三角函数的奇偶性和周期性〔求解析式要四看、振幅、周期描述-对称中心、高点相邻距离、初相、平衡位置〕

【例1】函数y＝2cos2x－π4－1是( )

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为π2的奇函数 D．最小正周期为π2的偶函数

【例2】设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω>0，|φ|

【归纳提升】 1.求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．

【例3】〔2013·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M2π3，－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．

【精练1】 ．〔2013年高考四川卷〔理〕〕函数()2sin(),(0,)22fxx的部分图象如下图,则,的值分别是( )

(A)2,3 (B)2,6 (C)4,6 (D)4,3 第5页

【答案】A

【精练2】〔2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷〔数学〕〔已校对纯WORD版含附加题〕〕函数)42sin(3xy的最小正周期为___________.

【答案】

【精练3】〔2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学〔理〕WORD版含答案〔已校对〕〕已知函数=cossin2fxxx,以下结论中错误的选项是

(A)yfx的图像关于,0中心对称 (B)yfx的图像关于直线2x对称

(C)fx的最大值为32 (D)fx既奇函数,又是周期函数

【答案】C

【精练4】〔2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)〕既是偶函数又在区间(0 )，上单调递减的函数是( )

(A)sin yx (B)cos yx (C)sin 2yx (D)cos 2yx

【答案】B

【精练5】〔2012四川文18〕、已知函数21()cossincos2222xxxfx。

〔Ⅰ〕求函数()fx的最小正周期和值域；

〔Ⅱ〕假设32()10f，求sin2的值。

【考向五】三角函数图像变换与应用

知识点扫描：振幅、〔初〕相位、频率、周期、五点作图法、图像伸缩、平移变换

【例1】设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

【归纳提升】 1.“五点法”作图的关键是正确确定五个点，通常令ωx＋φ分别等于0，π2，π，32π，2π，求出对应的x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标．而后列表、描点、连线即可．

2．变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位. 第6页

【精练1】12．〔2013年高考湖北卷〔理〕〕将函数3cossinyxxxR的图像向左平移0mm个长度单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是( )

A. 12 B. 6 C. 3 D. 56

【答案】B

【精练2】1〔2013年普通高等学校招生统一考试山东数学〔理〕试题〔含答案〕〕将函数sin(2)yx的图象沿x轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为

(A) 34 (B) 4 (C)0 (D) 4

【答案】B

【精练2】〔2009全国卷Ⅰ理〕如果函数cos2yx＝3＋的图像关于点43，0中心对称，那么||的最小值为〔 〕〔A〕6 〔B〕4 〔C〕3 (D) 2

【精练3】〔2012陕西理科16〕函数()sin()16fxAx〔0,0A〕的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2，

〔Ⅰ〕求函数()fx的解析式；

〔Ⅱ〕设(0,)2，则()22f，求的值。

【例2】如下图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.

(1)求h与θ间关系的函数解析式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式；

【精练】．(2013·河北衡水中等高三调考)如下图，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和