高考复习专题2 三角函数的图像和性质

专题2 三角函数的图像和性质

1.三角函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象变换，周期及单调性是高考热点．

2.备考时应掌握y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象与性质，并熟练掌握函数y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的值域、单调性、周期性等．

1．任意角和弧度制

(1)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

(2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

(3) 扇形弧长公式：l＝|α|r，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2.

2．任意角的三角函数

(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．

(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

3．诱导公式

公式一 sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，

tan(2kπ＋α)＝tanα

公式二 sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，

tan(π＋α)＝tanα

公式三 sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，

tan(－α)＝－tanα

公式四 sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，

tan(π－α)＝－tanα

公式五 sinπ2－α＝cosα，cosπ2－α＝sinα

公式六 sinπ2＋α＝cosα，cosπ2＋α＝－sinα

口诀 奇变偶不变，符号看象限

4.同角三角函数基本关系式: sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．

5．正弦、余弦、正切函数的性质

函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx

图像

定义域 R R {x|x≠π2＋kπ，k∈Z}

值域 [－1,1] [－1,1] R

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

最小正周期 2π 2π π

单调性 在－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增．

在π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减 在－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增．在2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减 在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上递增

最值 当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.

当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1 当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1.

当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1 无最值

对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)．

对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z) 对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)．

对称轴：x＝kπ(k∈Z) 对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)

6.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

(1)“五点法”作图

设z＝ωx＋φ，令z＝0、π2、π、3π2、2π，求出x的值与相应的y的值，描点连线可得．

考点一 三角函数图象及其变换

例1、 (2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )

A．y＝2sin2x－π6 B．y＝2sin2x－π3 C．y＝2sinx＋π6 D．y＝2sinx＋π3

【答案】：A

【解析】：根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．

由图象知T2＝π3－－π6＝π2，故T＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为π3，2，所以A＝2，且2×π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－π6.

【变式探究】 (1)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )

【答案】：D

A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z

C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z

(2)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )

A．向左平移π12个单位 B．向右平移π12个单位

C．向左平移π3个单位 D．向右平移π3个单位

【答案】：B

【解析】：基本法：根据三角函数图象的变换关系求解．

由y＝sin4x－π3＝sin 4x－π12得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移π12个单位即可，故选B.

考点二 三角函数性质及应用

(1)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．

【答案】：1

【解析】：基本法：利用三角恒等变换将原式化简成只含一种三角函数的形式．

∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)

＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ

＝sin(x＋φ)－φ]＝sin x，

∴f(x)的最大值为1.

(2)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )

A．f(x)在0，π2单调递减B．f(x)在π4，3π4单调递减C．f(x)在0，π2单调递增D．f(x)在π4，3π4单调递增

【答案】：A

【变式探究】(2016·高考全国甲卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cosπ2－x的最大值为( )

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】：B【解析】：f(x)＝1－2sin2x＋6sin x＝－2sin x－322＋112，因为sin x∈－1,1]，所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝5.

1函数()cos(2)6fxx的最小正周期是（ ）

.2A .B .2C .4D

2．若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为( )

A．1 B．2 C．4 D．8

3．若函数f(x)＝sin ax＋3cos ax(a>0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为( )

A．－π3 B.23 C.23，0 D．(0，0)

4．把函数y＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )

A．x＝－π2 B． x＝－π4 C．x＝π8 D．x＝π4

5.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点( )

（A）向左平行移动π3个单位长度 （B）向右平行移动π3个单位长度

（C）向左平行移动π6个单位长度 （D）向右平行移动π6个单位长度

6.【2016高考新课标2文数】若将函数2sin2yx的图像向左平移12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）

（A）()26kxkZ （B）()26kxkZ

（C）()212kxkZ （D）()212kxkZ

7.【2016年高考北京文数】将函数sin(2)3yx图象上的点(,)4Pt向左平移s（0s） 个单位长度得到点'P，若'P位于函数sin2yx的图象上，则（ ）

A.12t，s的最小值为6 B.32t ，s的最小值为6

C.12t，s的最小值为3 D.32t，s的最小值为3

8.【2016高考新课标3文数】函数sin3cosyxx的图像可由函数sin3cosyxx的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．

9.【2016高考浙江文数】设函数2()sinsinfxxbxc，则()fx的最小正周期（ ）

A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关

10.【2016高考山东文数】函数f（x）=（3sin x+cos x）（3cos x –sin x）的最小正周期是（ ）

（A）2π （B）π （C）23π （D）2π

11.【2016年高考四川文数】为了得到函数πsin(2)3yx的图象，只需把函数sin2yx的图象上所有的点( )

（A）向左平行移动π3个单位长度 （B）向右平行移动π3个单位长度

（C）向左平行移动π6个单位长度 （D）向右平行移动π6个单位长度

12若将函数sin24fxx的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称， 则的最小正值是________.

1、设2sincoscos4fxxxx.

（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc,若0,12Afa,求ABC面积的最大值.

2、已知函数22sinsin6fxxx，Rx

(I)求()fx最小正周期；(II)求()fx在区间[,]34pp-上的最大值和最小值.

3．已知函数f(x)＝2sinx2cosx2－2sin2x2.

(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π，0]上的最小值．

4、已知函数2sinsin3cos2fxxxx ，（1）求fx的最小正周期和最大值；（2）讨论fx在2,63上的单调性.