数学高考试题中不等式分析与思考

高中数学中的不等式与极限的关系解析在高中数学中，不等式和极限是两个重要的概念。

它们之间存在着紧密的联系和相互作用。

本文将对这两个概念进行解析，并探讨它们之间的关系。

一、不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种关系表达方式。

它可以描述数值之间的大小关系。

在高中数学中，我们学习了一些不等式的基本性质，如加减乘除不等式的性质、绝对值不等式的性质等等。

这些性质为我们解决不等式问题提供了基础。

二、极限的概念与性质极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了一个函数或数列在某一点或无穷远处的趋势。

在高中数学中，我们主要学习了函数的极限。

极限有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、夹逼定理等等。

这些性质为我们研究函数的极限提供了工具和方法。

三、不等式与极限的关系不等式与极限之间存在着紧密的联系。

首先，我们可以利用极限的概念来证明不等式。

例如，当我们需要证明一个不等式对于所有的正实数成立时，可以通过极限的定义和性质来进行证明。

其次，不等式也可以用来推导极限的存在性。

当我们需要证明一个函数存在极限时，可以通过构造适当的不等式来推导出极限的存在性。

这种相互作用使得不等式和极限在数学分析中有着广泛的应用。

四、不等式与极限的应用举例不等式与极限的关系在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在求函数的极限时，我们经常需要利用不等式来确定极限的上下界，从而推导出极限的存在性。

另外，在优化问题中，我们常常需要求解一个函数的最大值或最小值，这时不等式的性质和极限的概念可以帮助我们确定函数的极值点。

此外，不等式与极限的关系还在微积分、概率论等领域有着广泛的应用。

五、拓展与思考不等式与极限的关系是数学中一个深奥而有趣的问题。

除了高中数学中学习的基本知识外，我们还可以深入研究不等式和极限的性质，探索它们之间更深层次的联系。

同时，我们还可以应用不等式和极限的概念解决更复杂的数学问题，提高自己的数学思维能力和解决问题的能力。

总结：不等式与极限是高中数学中的两个重要概念，它们之间存在着紧密的联系和相互作用。

2021年第3期 福建中学数学 1追本溯源，拨云见日——一道“x 与e x ，ln x 组合函数不等式问题”自编题的思考周裕燕 福建省福建师范大学附属中学（350007）解题教学是教师日常工作之一，搞清试题的背景、揭示试题的本质是解题教学的关键．通过试题命制，可以提高教师对试题的认识，促进解题教学能力的提升，使试题的价值得到体现，使核心素养落到实处．有关x 与e x ，ln x 组合函数问题是高考的热点问题，由于学生对这类问题的认识不到位，难度较大，得分率不高．笔者所在学校近期举办了教师编、说题比赛，笔者命制了一道关于“x 与e x ，ln x 组合函数不等式问题”的试题，现把这道题的命制过程中想法和解题思路与读者分享．试题如下：已知函数1()ln a f x x a x x −=−−． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a ≤，证明：()1e e x f x a x −+−≥． 本题第（1）小题较为常规，不需赘述，以下对第（2）小题进行分析． 1 指导思想 本题的指导思想是以知识为载体，突出能力立意，落实核心素养．本题通过围绕函数的单调性和导数的关系展开，并证明含参数不等式恒成立问题，考查数学思想方法；注重知识、方法、思想、能力融于一体，突出考查逻辑推理能力、运算求解能力；有效考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养． 2 背景分析本题命制背景来自高等数学中的泰勒公式． 2.1 不等式e 1x x ≥+，e e x x ≥的背景 根据泰勒公式，()e xf x =在0x =处的展开式为2(0)(0)()(0)(0)2!!n nf f f x f f x x x n ′′′=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅，即212!!e n x x x x n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅，所以e 1xx ≥+． 同样地，()e x f x =在1x =处的展开式为()f x =2(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!!n n f f f f x x x n ′′′+⋅−+⋅−+⋅⋅⋅+⋅−+⋅⋅⋅，即2(1)(1)(1)2!e e e e !e n xx x x n −−=+−++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅，所以e e x x ≥． 2.2 不等式e 1x x ≥+，e e x x ≥的变形 当0x >时，1e e e x x x x −≥⇔≤ 1e ln ln 1x x x −⇔≤=−． 用1x 替代ln 1x x ≤−中的x ， 得11ln 1x x≤−，而111ln 1ln 1x x x x≤−⇔−≤− 1ln 1x x⇔≥−． 故得到不等式ln 1x x ≤−，1ln 1x x ≥−．2.3 命题思路由e e x x ≥得11e x x −≤①． 由1ln 1x x ≥−，得1ln +1x x ≥．取10a −≥，即1a ≤，可得1(1)(ln )1a x a x −+≥−，即1ln ln 1a x a x a x −−++≥． 因为ln 1x x ≤−，所以1ln +1ax a x a x−−+−1ln ln +1ax a x a x−≥−+≥②． 由①②得1a ≤时，11ln 1e +x ax a x a x x−−−+−≥恒成立，即1ln 1e e x a x a x a x x−−−−+−≥恒成立． 因为1()ln a f x x a x x−=−−， 所以()1e e xf x a x −+−≥恒成立． 2.4 解法分析2 福建中学数学 2021年第3期2.4.1 指对分离要证()1e e xf x a x−+−≥， 只需证11ln 1e x a xx a x a x −−−−+−≥．设1()ln 1a g x x a x a x−=−−+−， 1e ()x xh x −=．22211()1a a x ax a g x x x x −−+−′=−+=2(1)(1)x a x x −+−=．由于1a ≤，故10x a −+>， 令()0g x ′=，得1x =．当(1+)x ∈ ∞，时，()0g x ′>，()g x 单调递增； 当(01)x ∈，时，()0g x ′<，()g x 单调递减． 因此min()(1)1g x g ==． 11(e)x xh x −−′=，令()0h x ′=，得1x =．当(01)x ∈ ，时，()0h x ′>，()h x 单调递增； 当(1+)x ∈ ∞，时，()0h x ′<，()h x 单调递减． max()(1)1h x h ==． 故()()g x h x ≥，得证．评析 分离e x 和ln x ，分别构造函数()()g x h x ，，加强为证明min max [()][()]g x h x >．特别指出，min max [()][()]g x h x >实际上是()g x > ()h x 的充分不必要条件，可作为证明的一种方法． 2.4.2 放缩法（1）利用不等式e 1x x ≥+放缩11e 1e 1ex x x xx x −−≥+⇒≥⇒≤．因此只需证x −1ln 11a a x a x−−+−≥，同上已证． （2）利用不等式e e x x ≥放缩111e e e 11e e e e x x x x x xx x −≥⇒≤⇒≤⇒≤，同上已证． （3）利用利用ln 1x x ≤−，1ln 1x x≥−放缩①当0a ≤时，11ln 1ln (1)x a x a x x ≥−⇒−≥−−，故只需证111e (1)1x a xx a a x x −−−−−+−≥．只需证111e x xx x −+−≥．由于111x x +−≥，只需证11ex x−≥，已证．②当01a <≤时ln 1x x ≤− ln (1)a x a x ⇒−≥−−．只需证11e (1)1x a xx a x a x −−−−−+−≥．只需证11()21e 1x a xa x a x −−−−+−≥． 设1()(1)21a g x a x a x−=−−+−， 2221(1)(1)()(1)a a x g x a x x −−−′=−+=． 可得min()(1)1g x g ==． 只需证11ex x−≥，已证．综上所述，得证．评析 以上放缩法都基于本题命制的背景——泰勒展开式，基于命题背景的解题可以更好地揭示问题的本质，为这类问题的解决提供更好的思路．2.4.3 构造差函数要证()+1e e xf x a x−−≥．只需证11ln 1e x a xx a x a x −−−−+−≥．只需证11e ln 10x a xx a x a x −−−−+−−≥． 设11()ln 1ex a xg x x a x a x −−=−−+−−．2111()1e x a a xg x x x −−−′=−+−21(1)(1)1e x x a x xx −−+−−− 2111(1)[]ex x a x x −−+=−+．由于1a ≤，故210x a x −+>，可得21110ex x a x −−++>． 令()0g x ′=得1x =．当(01)x ∈ ，时，()0g x ′<，()g x 单调递减； 当(1+)x ∈ ∞，时，()0g x ′>，()g x 单调递增． 所以min()(1)0g x g ==，()0g x ≥，得证．2021年第3期 福建中学数学 3 评析 证明不等式问题，通过构造差函数，转化为研究函数的最值问题，这也是证明不等式的常用方法．2.4.4 变换主元要证()1e e xf x a x−+−≥． 只需证11ln 1e x a xx a x a x −−−−+−≥． 只需证111(ln 1)1e x xx a x x x −−−+++−≥．设1()ln 1g x x x=−−+，22111()x g x x x x−′=−+=． 得max()(1)0g x g ==，()0g x ∴≤． 设11()(ln 1)1h a x a x x x=−−+++−，min ()(1)ln h a h x x ==−+．只需证1ln ex xx x −−+≥．设()ln F x x x =−+，11()1x F x x x−′=−+=． 易得min ()(1)1F x F ==．只需证11e x x−≥，同上已证．评析 本题由于变量a 的范围给定，可以通过变换主元，把相应的关于x 的函数转化为关于a 的函数，实现消元，实现复杂问题简单化，有利于拓宽学生的思路，促进良好思维的形成．数学试题是数学知识、思想方法的载体，解题教学是提高学生解题能力的重要手段．站在高观点下，有助于命制出高质量的试题；挖掘试题的背景，透过现象，看清本质，有助于培养学生数学思维的灵活性、系统性和深刻性，有助于解题能力的提高和学科核心素养的落实．起于形象，止于抽象雷鸣东 福建省莆田中山中学（3511000）本文展示一道试题的命制过程．试题是笔者以2018年福建省中考数学B 卷25题、莆田市中小学教师岗位大练兵之解题析题的一道题为原始模型，基于核心素养，不断思考从数量与数量关系、图形与图形关系中，如何抽象出一般规律与结构并用数学语言进行合理有序地表达与表征，进行改编与命制，并在打磨三稿后命制完成．在改编和命制过程中，对原始模型的不断打磨，起于形象直观，止于抽象概括，抽象中有形象，形象中有抽象．命制过程中笔者深深感受到：命题好玩，需玩好命题；命题有道，而研修无界．1 试题展示已知抛物线211:4l y x c =+，当其函数值0y =时，只有一个自变量x 的值与其对应． （1）（3分）求c 的值． （2）将抛物线1l 平移得到抛物线221:()4l y x n =− 1(0)n −>．若当302x ≤≤时，对于抛物线1l 上任意点E ，抛物线2l 上总存在点F ，使得E F ，的纵坐标相等． ①（5分）求n 的取值范围． ②（6分）设抛物线2l 与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，求ABC ∆的外心的纵坐标的取值范围． 2 命题过程 2.1 命题立意 本题以函数为基本背景，既考查了函数的图象性质，也与几何相结合．在关注数感、符号意识的同时，还培养运算能力、推理能力和几何直观，更以代数运算进行推理演绎，突出函数、方程、不等式、代数变形、分式运算等数学核心知识；从思想方法层面，本题体现函数与方程、数形结合、转化与化归等数学思想；从能力素养看，本题通过参数表达、运算、代数变形和逻辑推理，旨在加强符号意识的培养及参数思想的建立，加强了函数与方程。

教学设计：以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的生成和发展，着眼于学生的学习体验，设置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供思考、创造和成功的机会。

特进行如下教学设计：（一）设问激疑，创设情景展示北京召开的第24届国际数学家大会的会标，让学生思考, 图案由哪些几何图形拼凑而成，由此你能否找到一些相等或不等关系？接着通过三个问题问题1：设CG=a,DG=b,正方形ABCD 的面积为S= ； 问题2：四个全等直角三角形的面积之和为'S = ；问题3：S 与'S 有什么样的大小关系？引导学生通过面积关系得到重要不等式222a b ab +≥，进一步启发学生什么时候这两部分面积相等。

设计意图: 充分体现学生的主体地位，给学生创造联想的空间。

三个问题的设置引导学生逐步探索，最终通过自己的发现而得到重要不等式，并且明确等号成立时的情形。

分步设问有效排除了障碍，又显得水到渠成。

接着提出问题：当,a b 为任意实数时，222a b ab +≥成立吗?若成立，请给出证明. 设计意图:让学生利用前面学过的比较法结合初中学习的完全平方公式给出代数证明。

让学生由直观感觉上升到理性证明，既体现数学的严谨性，又巩固了比较法的应用。

（二）乘胜追击，得出结论提出新的问题：若0,0a b >>用b a ,分别代替222a b ab +≥中的,a b 又能得到什么结果？设计意图:让学生亲自完成代换过程，亲身体验知识的生成过程，既在无形中渗透了代换的思想，又拓展了学生的思维。

通过代换得到2a b ab +≥后，强调常写成2a b ab +≤种形式，为后面两个概念埋下伏笔，继而引导学生挖掘该式适用的范围及等号成立的条件。

（三）多法证明，趣味无穷（1）继续让学生思考该式的证明方法，再次巩固前面学过的比较法和初中学习的完全平方公式，让学生体会证明前后两个不等式方法上的类比思想。

（2）了解分析法对基本不等式的证明（学生完成填空）要证(0,0)2a b a b +≤>> ① 即证： a b +≥ ②要证②,只要证： a b +- 0≥ ③要证③,只要证：( )2 0≥ ④显然, ④是成立的,当a b =时, ④的等号成立。

2.2.1不等式及其性质(2)教案一、教学目标：1、知识与技能：掌握不等式的基本性质。

并能用不等式的基本性质来证明一些简单的不等式。

2、过程与方法：通过对问题的探究思考、体验认识、广泛参与等培养学生严谨的思维习惯、主动积极地学习品质，提高学生的学习能力。

3、情感、态度与价值观：通过参与活动，参与学习，感受数学的应用性，体会数学推理的严谨美。

二、教学重点：不等式的性质三、教学难点：不等式性质的证明。

四：教学方法：本节通过类比、启发、探究相结合的方法组织教学，按照由易到难，通过问题引导学生明确不等式各个性质的应用范围及会用不等式的性质证明简单的不等式。

五、教学过程：首先由教师讲故事引入课题，故事内容如下：两个小男孩，一个5岁，一个7岁，在一起玩游戏，突然小弟弟对哥哥说：“哥哥，三年后我就比你大了，我就是哥哥了。

”哥哥想了想说：“不是的，我永远是你的哥哥。

”然后教师提出问题，同学们，你们知道故事中隐含着什么数学问题吗？好我们带着这个问题进入本节课的学习。

（一）温故知新：⑴⇔>b a ⇔<b a ⇔=b a ⑵比较两个实数大小的方法是什么？步骤是什么？（3）若p ⇒q ，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件 活动：学生口答，教师板书。

设计意图：复习巩固上节知识，为不等式性质的证明做好铺垫。

学生口答，师生共同完成。

以旧引新，自然过渡。

（二）、自主探究：自学课本p64页回答以下问题，总结性质1、2、3及推论：（1）a>b 与b<a 是否等价？（2）若a>b ，b>c 则a>c 是否成立？（3）若a>b ，那么a+c>b+c 是否成立？若a+c>b+c ，那么a>b 呢？（4）若a>b ，c>d ，那么a+c>b+d 一定成立吗？反之呢？若不成立，请举一反例。

（5）若a>b ，c>d ，那么a -c>b -d 成立吗？试举例说明。

《基本不等式》教学设计一、教学目标1.知识与技能：了解基本不等式的几何背景，探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。

2.过程与方法：进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。

3.情感态度与价值观：培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生形成数形结合的思想意识。

二、教学重难点1.教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程，基本不等式在实际问题中的应用。

2.教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。

三、教材分析最新版教材之所以把“基本不等式”前置是经过了学习的重要性与可能性两方面的综合考量。

相比旧教材，“基本不等式”的教材地位与教学要求都发生的变化，由于“基本不等式”本身内涵非常丰富，其学习过程不可能一蹴而就，“反复认知，螺旋上升”才是课堂教学的有效策略。

四、学情分析本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。

方法上，能够运用数形结合和化归的思想提炼基本不等式，阐述基本不等式的几何意义。

能力上，运用作差法，综合法能从数量关系上进行逻辑推理验证基本不等式。

五、教学方法1、借助“折纸游戏”，从特殊到一般的猜想，发现基本不等式（数学抽象、直观想象）。

2、探索基本不等式的证明过程，会用作差比较法、综合法，分析法，证明基本不等式（逻辑推理、数学运算、直观想象）。

3、从不同角度理解基本不等式（直观想象）。

4、感知与基本不等式相近一些不等式的证明（逻辑推理、数学运算）。

学生：消去了教师：得到定值学生：2教师：当且仅当学生：x x 1=时等号成立 教师：这时我们得到的是学生：最小值2教师：好的，我们类比这道例题完成三个变式，这里请三位同学上来板书变式1：已知0>x ，求x x 12+的最小值. 变式2：已知0<x ，求x x 1+的最大值. 变式3：已知1>x ，求11-+x x 的最小值. 教师：我们看变式3，如果4>x 时，最值还是这个答案吗 学生：不是教师：原因是什么学生：当且仅当的相等教师：所以我们运用基本不等式求最值的条件可以总结为 学生：一正、二定、三相等教师：观察我们例1和变式，我们发现在利用基本不等式后两正数之积为定值，这时我们能求出两正数之和的最小值，那么我们是否可以得到结论：能力，灵活运用已学知识，体会证明的答题过程《基本不等式》学情分析本节课针对的是高一年级学生，知识上，刚系统学完了不等式性质，一元二次不等式，在初中阶段，也了解了数学家赵爽“弦图”推出勾股定理，圆的垂径定理，算数平均数、几何平均数。

⾼中数学_基本不等式教学设计学情分析教材分析课后反思教学设计本节课⾸先运⽤2002年国际数学家⼤会会标引⼊，让学⽣动⼿拼图，能让学⽣进⼀步体会中国优秀的数学传统⽂化，感受数学与⽣活的联系，激发学⽣的学习兴趣.运⽤此图标能较容易的观察出⾯积之间的关系，引⼊基本不等式很直观.随后设置⼀系列的问题.学⽣⽴⾜问题，围绕⽬标，借助教材先独⽴思考，归纳概括，尝试知识建构.这些问题，让学⽣直接回答和⿊板板演，提⾼学⽣的数学表达和交流能⼒.通过⼏何图形中⾯积关系获得基本不等式后，让学⽣及时记录，强化记忆.基本不等式的证明过程以填空形式出现，学⽣能够独⽴完成，并能加深学⽣对基本不等式的理解；此种证明⽅法是“分析法”，在选修教材的《推理与证明》⼀章中会重点讲解，此处有必要让学⽣初步了解.由于⼏何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助⼏何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要⽅⾯.引导学⽣得出基本不等式的⼏何解释.这样就从三个不同⾓度引导学⽣归纳并认识基本不等式，加深对基本不等式的理解，渗透数形结合的数学思想.课堂练习的设置，可以巩固基本不等式，让学⽣熟悉公式，并学会应⽤.学⽣分组讨论、纠正、争辩，合作交流.引导学⽣体会基本不等式应⽤.强调基本不等式成⽴的前提条件“正”,并为下⼀步利⽤基本不等式求最值奠定基础.课本上的例1，,多数学⽣都会仿照课本上的思路加以解决,学⽣能够加深对基本不等式的理解.并强调解题步骤的完整性,使学⽣体会利⽤基本不等式求最值的条件“正”、“定”和“等”.接着利⽤练习巩固学⽣所学的新知识，将学⽣的思维向外延伸，激发学⽣的发散思维．达到熟练使⽤基本不等式的⽬的，进⼀步巩固利⽤不等式求最值的关键点：“正”“定”“等”.最后让学⽣畅所欲⾔,⾃⼰归纳总结⼀堂课的收获.通过作业,巩固本堂所学知识.总之，本节课的教学通过设问提出问题，引导学⽣发现问题，经历思考交流概括归纳概念，由问题的提出进⼀步加深理解；这⼀过程能够培养学⽣发现问题、分析问题、解决问题的能⼒.学情分析在认知上，学⽣已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进⾏数、式的⼤⼩⽐较，也具备了⼀定的平⾯⼏何的基本知识. 如何让学⽣再认识“基本”⼆字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的⼤⼩变化，这⼀本质不仅反映在其代数结构上，⽽且也有⼏何意义，由此⽽⽣发出的问题在训练学⽣的代数推理能⼒和⼏何直观能⼒上都发挥了良好的作⽤. 因此，必须从基本不等式的代数结构和⼏何意义两⽅⾯⼊⼿，才能让学⽣深刻理解它的本质.另外，在⽤基本不等式解决最值时，学⽣往往容易忽视基本不等式使⽤的前提条件和等号成⽴的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的⽅式让学⽣充分领会基本不等式成⽴的三个限制条件（⼀正⼆定三相等）在解决最值问题中的作⽤.通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，并结合学⽣的实际情况，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，所以在探究本节课的重点，即进⾏基本不等式的推导时，更加注重了培养学⽣的数学思维和探究能⼒。

习题课（二） 不等式一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B ∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B . 2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}解析：选A ∵A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A. 3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选C 因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5＝Q .当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立，故选C.4．不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <1 B ．{x |x >1}C ．{x |x <1或x >2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1 解析：选D ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x <－12或x >1，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12或x >1. 5．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤3解析： 选D 因为x >1，所以x －1>0，则x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，由x ＋1x －1≥a 恒成立得a ≤3. 6．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．[－1,0)B ．(0,1]C ．(－∞，－2)D ．[0,1]解析：选B 因为A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}＝[－1,1]，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x －2x ≤0＝{x |(x －2)x ≤0，且x ≠0}＝(0,2]．所以A ∩B ＝(0,1]．7.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 解析：选D 由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b 2.在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝a 2＋b 22.∵CF ≥OF ，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B 设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s 2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b ，∴T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b ＝s ×(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，故选B.二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b与1a 的大小关系为________． 解析：∵1a －b －1a ＝b (a －b )a ，a ＜b ＜0.∴a －b ＜0，∴1a －b －1a ＜0.∴1a －b＜1a .答案：1a －b ＜1a10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：∵x >2，m >0，∴x ＋m x －2＝x －2＋mx －2＋2≥2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 答案：411．已知关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，1)，则不等式x ＋2ax －b>0的解集为________．解析：∵关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，1)，∴a <0，且－ba ＝1.∴不等式x ＋2ax －b >0可化为x ＋2x －b a <0，即x ＋2x ＋1<0，解得－2<x <－1.答案：(－2，－1)12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意，对任意的x ≥4，有y ＝(mx ＋1)·(m 2x －1)＜0恒成立，结合图像分析可知⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－1m＜4，1m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <－12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <－12 三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．解：∵x >3，∴x －3>0.∴2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3 ＝2(x －3)＋18x －3＋12≥2 2(x －3)·18x －3＋12＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0.解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋a 7⎝⎛⎭⎫x －a8<0. ①当－a 7<a 8，即a >0时，－a 7<x <a 8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式解集为∅；③当－a 7>a 8，即a <0时，a 8<x <－a7.综上知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－a 7<x <a 8；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a 8<x <－a 7.15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．解：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a >1，且b >1，1a ＋1b ＝1变形为a ＋b ab ＝1，∴ab ＝a ＋b ，∴ab －a －b ＝0， ∴(a －1)(b －1)＝1，∴a －1＝1b －1， ∵a －1>0，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6， 当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝1±13时取“＝”，由于a >1，故取a ＝43，∴1a －1＋9b －1的最小值为6.16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉， 试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y ＝kx 2， ∵3克拉的价值是54 000美元，∴54 000＝k ·32，解得k ＝6 000，∴y ＝6 000x 2， ∴此钻石的价值与重量的关系式为y ＝6 000x 2.(2)证明：若两颗钻石的重量为m ，n 克拉，则原有价值是6 000(m ＋n )2， 现有价值是6 000m 2＋6 000n 2，价值损失的百分率：6 000(m ＋n )2－6 000m 2－6 000n 26 000(m ＋n )2×100%＝2mn(m ＋n )2×100%≤2×⎝⎛⎭⎫m ＋n 22(m ＋n )2＝12，当且仅当m ＝n 时取等号．∴当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。