苏教版高中数学选修(2-2)课件：1.1.1平均变化率

1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率1.1.2 瞬时变化率——导数知识梳理1.函数f(x)在区间［x 1,x 2］上的平均变化率为___________.2.设物体运动的路程与时间的关系是s=f(t),当Δt 趋近于0时,函数f(t)在t 0+Δt 之间的平均变化率tt f t t f ∆-∆+)()(00趋近于常数.我们把这个常数称为t 0时刻的____________. 3.函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f′(x 0)=_____________.知识导学要学好本节内容,最重要的是理解平均变化率和瞬时变化率的概念.本节的重点是导数的定义及其几何意义,难点是利用割线逼近的方法求曲线在某点处的导数,及两种变化率之间的关系.疑难突破1.正确理解平均变化率和瞬时变化率的关系.剖析:平均变化率和瞬时变化率都是反映事物变化程度的量,平均变化率表示的是曲线在某区间上的变化趋势;瞬时变化率表示的是曲线上某一点处的变化趋势.2.怎样理解导数的定义及几何意义?剖析:导数是函数在某一点处的瞬时变化率，导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.导数的概念就是变量变化速度在数学上的一种抽象,深刻理解导数的定义是本节的关键.典题精讲【例1】 已知f(x)=x 2,求曲线y=f(x)在x=3处的切线斜率.思路分析：为求得过点(3,9)处的切线斜率,我们从经过点(3,9)的任意一条直线(割线)入手.解：设P(3,9),Q(3+Δx,(3+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+9)3(2=6+Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数6,从而曲线y=f(x)在点P(3,9)处的切线斜率为6. 绿色通道：利用割线逼近切线的方法,求曲线在某一点处的切线斜率的方法是一种比较直观的解题方法.变式训练：已知f(x)=2x 2,求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率.思路分析:为求得过点(1,2)处的切线斜率,我们从经过点(1,2)的任意一条直线(割线)入手. 解:设P(1,2),Q(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线PQ 的斜率为k PQ =xx ∆-∆+2)1(22=4+2Δx. 当Δx 无限趋近于0时,k PQ 无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线斜率为4.【例2】 已知f(x)=x 2+3.(1)求f(x)在x=1处的导数;(2)求f(x)在x=a 处的导数.思路分析：函数在某一点处的导数实际上就是相应函数图象在该点切线的斜率,深刻理解概念是正确解题的关键.解:(1)因为xx x f x f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)31(3)1()1()1(22=2+Δx ， 当Δx 无限趋近于0时,2+Δx 无限趋近于2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.(2)因为xa x a x a f x a f x y ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)3(3)()()(22=2a+Δx ， 且当Δx 无限趋近于0时,2a+Δx 无限趋近于2a,所以f(x)在x=a 处的导数等于2a.绿色通道：本题主要考查对导数概念的理解程度,及应用定义解题的熟炼程度.变式训练：已知f(x)=3x+5,求当x=2时的导数.思路分析：函数在某一点处的导数的几何意义就是函数图象在该点切线的斜率.解:因为3)523(5)2(3)2()2(=∆+⨯-+∆+=∆-∆+=∆∆xx x f x f x y . 所以f(x)在x=2时的导数为3.【例3】 已知曲线y=3x 2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.思路分析：求曲线上某点的切线斜率就是求函数在那一点的导数值.解:因为x xx x x y ∆+=∆-⨯-∆+-∆+=∆∆35)113()1()1(322, 当Δx 趋近于0时,5+3Δx 就趋近于5,所以曲线y=3x 2-x 在点A(1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.绿色通道：根据导数的定义将切线的斜率求出,再根据点斜式方程求出切线方程,这是用导数求某点处切线的一般方法.变式训练：已知曲线y=331x 上一点P(2,38),求点P 的切线斜率及点P 处的切线方程. 思路分析：先求出某点处的切线斜率,即求该函数在某点处的导数，然后利用导数定义求解.解:因为xx x y ∆⨯-∆+=∆∆33231)2(31 xx x x x x x x ∆∆+∆+∆=∆∆+∆⨯+∆⨯=323223124])()(2323[31=4+2Δx+231x ∆， 当Δx 趋近于0时,4+2Δx+2 31x ∆就趋近于4， 所以曲线y=331x 上点P(2,38)处的切线斜率为4，切线方程为)2(438-=-x y ，即03164=--y x 问题探究问题：某钢管厂生产钢管的利润函数为P(n)=-n 3+600n 2+67 500n-1 200 000,其中n 为工厂每月生产该钢管的根数,利润P(n)的单位是元.(1)求边际利润函数P′(n)=0时n 的值;(2)解释(1)中n 的实际意义.导思：这是一道有关边际函数的实际应用题,由于利润函数已给出，只需先求边际利润函数P′(n),再根据P′(n)=0解出n 的值即可.探究：(1)因为nn n n n n n n y ∆-∆++∆++∆+-=∆∆1200000)(67500)(600)(23 =(-3n 2+1 200n+67 500)+Δn.当Δn 无限趋近于0时,-3n 2+1 200n+67 500+Δn 无限趋近于-3n 2+1 200n+67 500.∴P′(n)=-3n 2+1 200n+67 500.由P′(n)=0,即-3n 2+1 200n+67 500=0.解得n=450或n=-50(舍).即当边际利润函数P′(n)=0时,n 的值为450.(2)P′(n)=0时,n 的值为450表示的实际意义是当工厂生产450根钢管时,利润增加量为零.。

第1章 导数及其应用§1.1 导数的概念1.1.1 平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为__________．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用________代替x 2；类似地，Δy ＝f(x 2)－f(x 1)，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y ＝f(x)的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1的几何意义是：表示连接函数y ＝f(x)图象上两点(x 1，f(x 1))、(x 2，f(x 2))的割线的________．一、填空题1．当自变量从x 0变到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x 0，x 1]上的平均变化率；②在x 0处的变化率；③在x 1处的变化率； ④以上都不对．2．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的增量Δy ＝____________________. 3．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f(1＋Δx ))，则Δy Δx ＝________.4．某物体做运动规律是s ＝s(t)，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y ＝f(x)在A ，B 两点间的平均变化率是________．6．已知函数y ＝f(x)＝x 2＋1，在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为________．7．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M 按规律s(t)＝8＋t 2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．二、解答题9．已知函数f(x)＝x 2－2x ，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y ＝f(x)＝x 3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx ，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．能力提升11. 甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x 2＋2x 在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x －3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a 的值．1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s(t)描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s(t 0＋Δt)－s(t 0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 2．求函数f(x)的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.答 案知识梳理1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 1＋Δx Δy Δx 2．斜率作业设计1．① 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt. 5．－1解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 6．0.417．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1. 8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)0.1＝4.1. 9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为：f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6. 函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为：f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4. 10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3，∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝Δy Δx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31. ∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31. 11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2a a ＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2. ∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.。

1.1.平均变化率-苏教版选修2-2教案课型设计教学目标1.掌握平均变化率的概念和计算方法；2.知道平均变化率在实际生活中的应用；3.学会利用平均变化率解决问题。

教学重点1.平均变化率的概念和计算方法；2.平均变化率在实际生活中的应用。

教学难点1.利用平均变化率解决问题。

教学方法1.讲授法；2.举例法；3.导入法；4.案例分析法。

教学过程一、导入（5分钟）1.通过一个生活案例，让学生感受到物体的变化是随着时间而变化的。

二、讲授（20分钟）1.引入平均变化率的概念；2.讲解平均变化率的计算方法；3.通过例题演示平均变化率的计算过程；4.讲解平均变化率的三种情况：增加、减少、变化量为0。

三、举例（15分钟）1.通过一些日常生活中的例子，让学生更好地理解平均变化率的应用。

四、案例分析（20分钟）1.提供一些实际问题，让学生运用平均变化率求解答案。

五、总结（5分钟）1.对平均变化率进行总结，并强调其在实际生活中的应用。

教学评价1.学生能够正确理解平均变化率的概念和计算方法；2.学生能够灵活运用平均变化率解决实际问题；3.学生能够在日常生活中发现和分析变化率的存在。

课堂练习练习1甲、乙两人购买了同一品牌手机，甲8月20日以980元购买，9月20日以820元卖出；乙8月28日以980元购买，9月20日以880元卖出。

比较两人的获利情况。

练习2某厂家建筑面积为1200平方米，今年销售额为300万元，去年销售额为200万元，请计算该厂家今年销售额的平均增长率。

练习3某学生的成绩如下表所示，请计算他的平均分数和日常学习进步情况。

科目语文数学英语政治历史分数（分）90 80 75 85 78参考资料苏教版高中数学选修2-2《平均变化率》。

《平均变化率》课堂实录扬州市邗江区公道中学葛艳开场白：世界充满着变化，有些变化几乎让我们无法察觉，而有的变化足以让人们感叹和惊呼！下面我们一起来重温下扬州市2021年3月和4月的日最高气温。

师：以3月18日作为第一天作出日最高气温曲线，你有何感想？生：天热得太快了！师：怎么看出来天热得快的呢？是否要计算一下分别升高了多少C ？生：3月18日至4月18日升高了C ，而从4月18日至4月2021高了C六、教学过程（一）呈现背景创设情境情境1 扬州市2021年3月和4月日最高气温记载如下列图表所示：时间t d3月18日4月18日4月2021日最高气温T℃℃℃℃情境2 扬州市某区近十几年来，房价的变化如下图所示：（二）启发引导提出问题情境1 扬州市2021年3月和4月日最高气温记载如下列图表所示：时间t d3月18日4月18日4月2021日最高气温T℃℃℃℃问题1 由图表：从3月18日到4月18日和从4月18日到4月2021哪一段时间气温变化得更快？【设计意图】从学生的直观感受得知，从4月18日到4月2021温变化得更快，而通过升高温度的比较，从3月18日到4月18日升高了度，而从4月18日到4月2021只升高了度，引发学生的思考，>，学生怎么说明后一段气温变化得更快呢？追问1 “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？【设计意图】分别从数和形两个角度对气温陡增进行剖析，让学生充分感受“无形不直观，无数不入微”的数形结合思想。

追问2 如何从数学角度刻画气温“陡增”呢？【设计意图】用具有潜在意义的、饶有兴趣的实际问题，将教学内容自然呈现在学生面前，用问题（问题串）抓住学生，激发其探究欲望．这个实际问题让学生直观的感受到生活实际中的一些变化快慢的问题，从而会产生数学问题就是如何用数学模型去刻画这种变化的快慢．同时让学生体会到“数学源于生活”体现课堂教学的“生活性”．先从直观上感知曲线的“陡峭”，进而提出量化陡峭程度的问题，充分体现数形结合的思想方法，与学生共同体会“无形不直观，无数不入微”的辩证思想。