三角函数y=sinx的图象与性质
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sinx等于三角函数的图象与性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域RR值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2kπ-,2kπ+为增;2kπ+,2kπ+为减[2kπ,2kπ+π]为减;[2kπ-π,2kπ]为增kπ-,kπ+为增对称中心(kπ,0)对称轴x=kπ+x=kπ无与三角函数有关的定义域和值域问题【例1】?(1)函数y=的定义域为________.(2)函数f(x)=2cos x(sin x-cos x)+1在x∈上的最大值为________,最小值为________.解析(1)sin x-cos x=sin≥0,所以定义域为.(2)f(x)=2cos xsin x-2cos2x+1=sin 2x-cos 2x=sin,∵x∈,∴2x-∈,∴sin∈,故f(x)max=,f(x)min=-1.答案(1) (2) -1【训练1】 (1)函数y=的定义域为________;(2)当x∈时,函数y=3-sin x-2cos2x的最小值为________,最大值为________.解析(1)由题意知:tan x≠1,即,又,故函数的定义域为:.(2)y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=2sin2x-sin x+1=22+.又x∈,∴sin x∈,∴当sin x=时,ymin=;当sin x=-时,ymax=2.答案(1) (2) 2三角函数的单调性【例2】?(2012?北京)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解(1)由sin x≠0,得x≠kπ(k∈Z),故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z},因为f(x)==2cos x(sin x-cos x)=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)函数y=sin x的单调递增区间为(k∈Z).由2kπ-≤2x-≤2kπ+,x≠kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+,x≠kπ(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为和(k∈Z).【训练2】求下列函数的单调递增区间:(1)y=cos;(2)y=3sin.解(1)将2x+看做一个整体,根据y=cos x的单调递增区间列不等式求解.函数y=cos x 的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z.由2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x ≤kπ-,k∈Z.故y=cos的单调递增区间为kπ-,kπ-(k∈Z).(2)y=3sin=-3sin,∴由+2kπ≤-≤2kπ+,得4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z.故y=3sin的单调递增区间为(k∈Z).三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例3】?(1)若0<α<,g(x)=sin是偶函数,则α的值为________.(2)函数y=2sin(3x+φ)的一条对称轴为x=,则φ=________.解析(1)要使g(x)=sin为偶函数,则需+α=kπ+,α=kπ+,k∈Z,∵00)的最小正周期为π,则该函数的图象( ).A.关于直线x=对称 B.关于点对称C.关于直线x=-对称 D.关于点对称解析由题意知T==π,则ω=2,所以f(x)=sin,又f=sin=sin π=0.答案 B4.(2013?郑州模拟)已知ω是正实数,且函数f(x)=2sin ωx在上是增函数,那么( ).A.00,得ωx∈.又y=sin x是上的单调增函数,则解得0f(π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∴-sin φ>sin φ.∴sin φ0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是 ( ).。
三角函数的图像与性质(正弦、余弦、正切)【知识点1】函数y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象性质题型1:定义域例1:求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=; (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2:值域 例2:求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3:周期例3:求下列函数的周期: (1)f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) (4)y=sin x 例4: 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5:若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2,则ϖ=________.例6:使x y ωsin =(ω>0)在区间[0,1]至少出现2次最大值,则ω的最小值为【 】A .π25B .π45C .πD .π23例7:设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立,则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4:奇偶性 例8:函数y =sin (x +2π)(x ∈[-2π,2π])是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9:判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10:已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5:单调性例11:函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.(k π-4π,k π](k ∈Z ) B.(k π-8π,k π+8π](k ∈Z ) C.(k π-83π,k π+8π](k ∈ D.(k π+8π,k π+83π](k ∈Z )例12:.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13:求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ;(3))23πsin(2x y -=例14:(1)求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。
三角函数的图像与性质一、知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,-1,(2π,0).(2)余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,0,(π,-1),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2,0,(2π,1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π3.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.(3).对于y =tan x 不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π2,k π+π2(k ∈Z )内为增函数.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y =cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y =tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y =k sin x +1,x ∈R ,则y 的最大值为k +1.( ) (4)y =sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y =cos x 的对称轴有无穷多条,y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y =tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π2,k π+π2(k ∈Z )上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.(3)当k >0时,y max =k +1;当k <0时,y max =-k +1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.若函数y =2sin 2x -1的最小正周期为T ,最大值为A ,则( ) A.T =π,A =1 B.T =2π,A =1 C.T =π,A =2D.T =2π,A =2解析 最小正周期T =2π2=π,最大值A =2-1=1.故选A. 答案 A3.函数y =-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4的单调递减区间为________.解析 由-π2+k π<2x -3π4<π2+k π(k ∈Z ), 得π8+k π2<x <5π8+k π2(k ∈Z ),所以y =-tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z ). 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8+k π2,5π8+k π2(k ∈Z )4.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T =2π2=π. 答案 C5.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )=15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,则f (x )=15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,函数的最大值为65. 答案 A6.(2018·江苏卷)已知函数y =sin(2x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<π2 的图象关于直线x =π3对称,则φ的值是________.解析 由函数y =sin(2x +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<π2的图象关于直线x =π3对称,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3+φ=±1.所以2π3+φ=π2+k π(k ∈Z ),所以φ=-π6+k π(k ∈Z ),又-π2<φ<π2,所以φ=-π6. 答案 -π6考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )=-2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠-π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2+π6(k ∈Z ) (2)不等式3+2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )=64-x 2+log 2(2sin x -1)的定义域是________. 解析 (1)由2x +π6≠k π+π2(k ∈Z ),得x ≠k π2+π6(k ∈Z ).(2)由3+2cos x ≥0,得cos x ≥-32,由余弦函数的图象,得在一个周期[-π,π]上,不等式cos x ≥-32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-5π6≤x ≤56π,故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-56π+2k π≤x ≤56π+2k π,k ∈Z .(3)由题意,得⎩⎨⎧64-x 2≥0,①2sin x -1>0,②由①得-8≤x ≤8,由②得sin x >12,由正弦曲线得π6+2k π<x <56 π+2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-116π,-76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6,8. 答案 (1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-56π+2k π≤x ≤56π+2k π,k ∈Z (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-116π,-76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6,8【训练1】 (1)函数y =sin x -cos x 的定义域为________. (2)函数y =lg(sin x )+cos x -12的定义域为______.解析 (1)要使函数有意义,必须使sin x -cos x ≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y =sin x 和y =cos x 的图象,如图所示.在[0,2π]上,满足sin x =cos x 的x 为π4,5π4再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4+2k π≤x ≤54π+2k π,k ∈Z .(2)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x -12≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x ≥12,解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π+2k π,-π3+2k π≤x ≤π3+2k π(k ∈Z ),所以2k π<x ≤π3+2k π(k ∈Z ),所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z .答案(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |π4+2k π≤x ≤54π+2k π,k ∈Z (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的值域是________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2x +3cos x -34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2的最大值是________. (3)函数y =sin x -cos x +sin x cos x 的值域为________.解析 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3,即y =3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3. (2)由题意可得f (x )=-cos 2x +3cos x +14=-(cos x -32)2+1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,∴cos x ∈[0,1].∴当cos x =32,即x =π6时,f (x )max =1. (3)设t =sin x -cos x ,则t 2=sin 2x +cos 2x -2sin x cos x ,sin x cos x =1-t22,且-2≤t ≤2,所以y =-t 22+t +12=-12(t -1)2+1.当t =1时,y max =1;当t =-2时,y min =-12- 2 .所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12-2,1. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,3 (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12-2,1【训练2】 (1)函数f (x )=cos 2x +6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7(2)(2019·临沂模拟)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,a ,若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由f (x )=cos 2x +6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x =1-2sin 2x +6sin x =-2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x -322+112,又sin x ∈[-1,1],所以当sin x =1时函数的最大值为5.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,a ,知x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,a +π6.因为x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,π2时,f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,所以由函数的图象知π2≤a +π6≤7π6,所以π3≤a ≤π. 答案 (1)B(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3-1】 (1)函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12-π12,k π2+5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12-π12,k π2+5π12(k ∈Z )C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π+π6,k π+2π3(k ∈Z )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) (2)函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x +π3的单调递减区间为________. 解析 (1)由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z ),得k π2-π12<x <k π2+5π12(k ∈Z ),所以函数f (x )=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ).(2)y =-sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,它的减区间是y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的增区间.令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z . 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z角度2 利用单调性比较大小【例3-2】 已知函数f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7,b =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,c =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c解析 令2k π≤x +π6≤2k π+π,k ∈Z ,解得2k π-π6≤x ≤2k π+5π6,k ∈Z ,∴函数f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π6,5π6上是减函数,∵-π6<π7<π6<π4<5π6, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 答案 A角度3 利用单调性求参数【例3-3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )=cos x -sin x 在[-a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π解析 f (x )=cos x -sin x =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,由题意得a >0,故-a +π4<π4,因为f (x )=2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4在[-a ,a ]是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧-a +π4≥0,a +π4≤π,a >0,解得0<a ≤π4,所以a 的最大值是π4.答案 A【训练3】 (1)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π,则以下结论正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0上单调递减B.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上单调递增 C.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,5π6上单调递减 D.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π上单调递增(2)cos 23°,sin 68°,cos 97°的大小关系是________.(3)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2上单调递减,则ω=________.解析 (1)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,0,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-4π3,-π3,此时函数f (x )先减后增;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,此时函数f (x )先增后减;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,5π6,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,4π3,此时函数f (x )单调递减;由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6,π,得2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3,5π3,此时函数f (x )先减后增.(2)sin 68°=cos 22°,又y =cos x 在[0°,180°]上是减函数,∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.(3)法一 由于函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,π3为函数f (x )的14周期,故2πω=4π3,解得ω=32.法二 由题意,得f (x )max =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=sin π3ω=1.由已知并结合正弦函数图象可知,π3ω=π2+2k π(k ∈Z ),解得ω=32+6k (k ∈Z ),所以当k =0时,ω=32.答案 (1)C (2)sin 68°>cos 23°>cos 97° (3)32考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4-1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )=2cos 2x -sin 2x +2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4(2)(2019·杭州调研)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称,则θ=( ) A.-π6 B.π6 C.-π3 D.π3解析 (1)易知f (x )=2cos 2x -sin 2x +2=3cos 2x +1=3cos 2x +12+1=32cos 2x +52,则f (x )的最小正周期为π,当2x =2k π,即x =k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4.(2)f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +θ-π3, 由题意可得f (0)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=±2,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ-π3=±1,∴θ-π3=π2+k π(k ∈Z ),∴θ=5π6+k π(k ∈Z ). ∵|θ|<π2,∴k =-1时,θ=-π6. 答案 (1)B (2)A角度2 三角函数图象的对称性【例4-2】 (1)已知函数f (x )=a sin x +cos x (a 为常数,x ∈R )的图象关于直线x =π6对称,则函数g (x )=sin x +a cos x 的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3,0对称 C.关于直线x =π3对称 D.关于直线x =π6对称解析 (1)因为函数f (x )=a sin x +cos x (a 为常数,x ∈R )的图象关于直线x =π6对称,所以f (0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,所以1=32a +12,a =33,所以g (x )=sin x +33cos x =233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6,函数g (x )的对称轴方程为x +π6=k π+π2(k ∈Z ),即x =k π+π3(k ∈Z ),当k =0时,对称轴为直线x =π3,所以g (x )=sin x +a cos x 的图象关于直线x =π3对称. 规律方法 1.对于可化为f (x )=A sin(ωx +φ)形式的函数,如果求f (x )的对称轴,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x 即可;如果求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z ),求x 即可.2.对于可化为f (x )=A cos(ωx +φ)形式的函数,如果求f (x )的对称轴,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z ),求x ;如果求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x 即可.【训练4】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )=tan x1+tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C.πD.2π(2)设函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为-2πB.y =f (x )的图象关于直线x =8π3对称 C.f (x +π)的一个零点为x =π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π单调递减解析 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π+π2,k ∈Z .f (x )=sin x cos x 1+⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x 2=sin x ·cos x =12sin 2x ,∴f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为-2π,A 项正确.B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x =k π-π3(k ∈Z ),当k =3时,直线x =8π3是其对称轴,B 项正确.C 项,f (x +π)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4π3,将x =π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6=cos 3π2=0,所以x =π6是f (x+π)的一个零点,C 项正确.D 项,因为f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-π3,2k π+2π3 (k ∈Z ),递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+2π3,2k π+5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3,π是增区间,D 项错误.答案 (1)C (2)D三、课后练习1.若对于任意x ∈R 都有f (x )+2f (-x )=3cos x -sin x ,则函数f (2x )图象的对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π4,0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π-π8,0(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π4,0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π8,0(k ∈Z ) 解析 因为f (x )+2f (-x )=3cos x -sin x ,所以f (-x )+2f (x )=3cos x +sin x .解得f (x )=cos x +sin x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,所以f (2x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4. 令2x +π4=k π(k ∈Z ),得x =k π2-π8(k ∈Z ).所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2-π8,0(k ∈Z ). 答案 D2.(2017·天津卷)设函数f (x )=2sin(ωx +φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8=2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( ) A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8=2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8=0,且f (x )的最小正周期大于2π, ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8-5π8=3π, ∴ω=2π3π=23,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x +φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8+φ=2,得φ=2k π+π12(k ∈Z ), 又|φ|<π,∴取k =0,得φ=π12.答案 A3.已知x 0=π3是函数f (x )=sin(2x +φ)的一个极大值点,则f (x )的单调递减区间是________.解析 因为x 0=π3是函数f (x )=sin(2x +φ)的一个极大值点,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3+φ=1,解得φ=2k π-π6(k ∈Z ). 不妨取φ=-π6,此时f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6, 令2k π+π2≤2x -π6≤2k π+3π2(k ∈Z ),得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π3,k π+56π(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π3,k π+56π(k ∈Z )4.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-x sin x -3cos 2x +32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值;(2)若方程f (x )=23在(0,π)上的解为x 1,x 2,求cos(x 1-x 2)的值.解 (1)f (x )=cos x sin x -32(2cos 2x -1) =12sin 2x -32cos 2x =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3. 当2x -π3=π2+2k π(k ∈Z ),即x =512π+k π(k ∈Z )时,函数f (x )取最大值,且最大值为1.(2)由(1)知,函数f (x )图象的对称轴为x =512π+k π(k ∈Z ),∴当x ∈(0,π)时,对称轴为x =512π.又方程f (x )=23在(0,π)上的解为x 1,x 2.∴x 1+x 2=56π,则x 1=56π-x 2,∴cos(x 1-x 2)=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π-2x 2=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2-π3, 又f (x 2)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2-π3=23, 故cos(x 1-x 2)=23.5.已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6,若对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,都存在唯一的实数β∈[0,m ],使f (α)+f (β)=0,则实数m 的最小值是________.解析 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,所以α-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π,-2π3,则f (α)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,0,因为对任意的实数α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π6,-π2,都存在唯一的实数β∈[0,m ],使f (α)+f (β)=0,所以f (β)在[0,m ]上单调,且f (β)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32,则β-π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3,所以β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π2,即实数m 的最小值是π2. 答案 π26.(2017·山东卷)函数y =3sin 2x +cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π解析 ∵y =2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x +12cos 2x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6, ∴T =2π2=π.答案 C7.(2019·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8,0是函数f (x )=sin ωx +cos ωx 图象的一个对称中心,则ω的一个取值是( )A.2B.4C.6D.8解析 因为f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π4,由题意,知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8+π4=0,所以ωπ8+π4=k π(k ∈Z ),即ω=8k -2(k ∈Z ),当k =1时,ω=6.答案 C8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,π4上的最小值是-2,则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C.2 D.3解析 ∵ω>0,-π3≤x ≤π4,∴-ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知-ωπ3≤-π2,∴ω≥32.答案 B9.(2019·湖南十四校联考)已知函数f (x )=2sin ωx -cos ωx (ω>0),若f (x )的两个零点x 1,x 2满足|x 1-x 2|min =2,则f (1)的值为( ) A.102 B.-102 C.2 D.-2解析 依题意可得函数的最小正周期为2πω=2|x 1-x 2|min =2×2=4,即ω=π2,所以f (1)=2sin π2-cos π2=2.答案 C10.(2018·北京卷)设函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为________.解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立,故当x =π4时,函数f (x )有最大值,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=1,πω4-π6=2k π(k ∈Z ),∴ω=8k +23(k ∈Z ).又ω>0,∴ωmin =23. 答案 2311.(2019·北京通州区质检)已知函数f (x )=sin ωx -cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y =f (x )图象的对称轴方程;(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )=sin ωx -cos ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π4,且T =π, ∴ω=2,于是f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4. 令2x -π4=k π+π2(k ∈Z ),得x =k π2+3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x =k π2+3π8(k ∈Z ).(2)令2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2(k ∈Z ),得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π8,k π+3π8(k ∈Z ). 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,所以令k =0,得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,3π8; 同理,其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8,π2.。
第七讲:正弦函数y=sin x 和余弦y=cos x 的图象和性质一、要点回顾:(一) 在给定的坐标系中作出y=sin x 的图象,再根据图象写出(或说出)它的性质(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值、最小值)答:定义域 R 、值域 [ - 1, 1 ] 、奇偶性 偶函数 、最小正周期性 π 、 单调增区间()2222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,、单调减区间 ()32222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦, 、 当x= ()22k k Z ππ+∈ ,y=sin x 取最大值 1 、当x= ()22k k Z ππ-∈ ,y=sin x 取最小值 - 1 。
(二) 在给定的坐标系中作出y=cosx 的图象,再根据图象写出(或说出)它的性质(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值、最小值)答:定义域 R 、值域 [ - 1, 1 ] 、奇偶性 奇函数 、最小正周期性 π 、单调增区间[]()22k k k Z πππ-∈,、单调减区间 []()22k k k Z πππ+∈, 、 当x= ()2k k Z π∈ ,y = cos x 取最大值 1 、当x= ()2k k Z ππ+∈ ,y=cos x 取最小值 - 1二、例题分析:例1.求下列函数的定义域:(1) ()lg 2sin 1;y x =+(2) ()2lg 16;y x =-()11sin ,272266x x k x k k Z ππππ>-⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭解:,; ()()(][]2sin 0222,,1604440x k x k k Z x x πππππ≥⎧≤≤+∈⎧⎨⎨->-<<⎩⎩-- ,,。
例2.已知函数y = sin 2 x + 2 sin x cos x + 3 cos 2 x 。
(1) 把函数化为()()sin 0,0y A x B A ωϕω=++>>的形式;(2) 求这个函数的最大值和最小值及相应的x 的值;(3) 求这个函数的单调递增区间和单调减区间。
三角函数y=s i n x的图象与性质集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-三角函数的图象与性质函数y =sin x y =cos x y =tan x图象定义域 R R {x | x ∈R ,且x ≠⎭⎬⎫k π+π2,k ∈Z值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π2π π 奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性2k π-π2,2k π+π2为增;2k π+π2,2k π+3π2为减 [2k π,2k π+π]为减;[2k π-π,2k π]为增k π-π2,k π+π2为增对称中心 (k π,0)⎝⎛⎭⎫k π+π2,0⎝⎛⎭⎫k π2,0对称轴x =k π+π2x =k π无【例1】(1)函数y =sin x -cos x 的定义域为________.(2)函数f (x )=2cos x (sin x -cos x )+1在x ∈⎣⎡⎦⎤π8,3π4上的最大值为________,最小值为________.解析 (1)sin x -cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4≥0,所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z . (2)f (x )=2cos x sin x -2cos 2x +1=sin 2x -cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π8,3π4,∴2x -π4∈⎣⎡⎦⎤0,5π4,∴sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4∈⎣⎡⎦⎤-22,1,故f (x )max =2,f (x )min =-1.答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π+π4≤x ≤2k π+5π4,k ∈Z (2) 2 -1【训练1】 (1)函数y =1tan x -1的定义域为________;(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6时,函数y =3-sin x -2cos 2x 的最小值为________,最大值为________.解析 (1)由题意知:tan x ≠1,即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4+k π,k ∈Z, 又⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2+k π,k ∈Z ,故函数的定义域为:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4+k π且x ≠π2+k π,k ∈Z. (2)y =3-sin x -2cos 2x =3-sin x -2(1-sin 2x )=2sin 2x -sin x +1=2⎝⎛⎭⎫sin x -142+78.又x ∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6,∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤-12,1,∴当sin x =14时,y min =78;当sin x =-12时,y max =2.答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4+k π且x ≠π2+k π,k ∈Z(2)78 2三角函数的单调性【例2】(2012·北京)已知函数f (x )=sin x -cos x sin 2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期;(2)求f (x )的单调递增区间.解 (1)由sin x ≠0,得x ≠k π(k ∈Z ),故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π,k ∈Z },因为f (x )=sin x -cos x sin 2xsin x =2cos x (sin x -cos x )=sin 2x -cos 2x -1=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4-1,所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ).由2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2,x ≠k π(k ∈Z ),得k π-π8≤x ≤k π+3π8,x ≠k π(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π-π8,k π和⎝⎛⎦⎤k π,k π+3π8(k ∈Z ).【训练2】 求下列函数的单调递增区间:(1)y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6;(2)y =3sin ⎝⎛⎭⎫π3-x2.解 (1)将2x +π6看做一个整体,根据y =cos x 的单调递增区间列不等式求解.函数y =cos x 的单调递增区间为[2k π-π,2k π],k ∈Z .由2k π-π≤2x +π6≤2k π,k ∈Z ,得k π-7π12≤x ≤k π-π12,k ∈Z .故y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6的单调递增区间为k π-7π12,k π-π12(k ∈Z ). (2)y =3sin ⎝⎛⎭⎫π3-x 2=-3sin ⎝⎛⎭⎫x 2-π3,∴由π2+2k π≤x 2-π3≤2k π+3π2,得4k π+5π3≤x ≤4k π+11π3,k ∈Z .故y =3sin ⎝⎛⎭⎫π3-x 2的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π+5π3,4k π+11π3(k ∈Z ). 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 【例3】(1)若0<α<π2,g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+α是偶函数,则α的值为________.(2)函数y =2sin(3x +φ)⎝⎛⎭⎫||φ<π2的一条对称轴为x =π12,则φ=________.解析 (1)要使g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+α为偶函数,则需π4+α=k π+π2,α=k π+π4,k ∈Z ,∵0<α<π2,∴α=π4.(2)由y =sin x 的对称轴为x =k π+π2(k ∈Z ),即3×π12+φ=k π+π2(k ∈Z ),得φ=k π+π4(k ∈Z ),又|φ|<π2,∴k =0,故φ=π4.答案 (1)π4 (2)π4函数f (x )=A sin(ωx +φ)(ω≠0),(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ=k π(k ∈Z );为偶函数的充要条件为φ=k π+π2(k ∈Z ).(2)求f (x )=A sin(ωx +φ)(ω≠0)的对称轴,只需令ωx +φ=π2+k π(k ∈Z ),求x ;如要求f (x )的对称中心的横坐标,只需令ωx +φ=k π(k ∈Z )即可.【训练3】 (2013·银川联考)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +3π2(x ∈R ),下面结论错误的是( ).A .函数f (x )的最小正周期为πB .函数f (x )是偶函数C .函数f (x )的图象关于直线x =π4对称 D .函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上是增函数解析 f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +3π2=-cos 2x ,故其最小正周期为π,故A 正确;易知函数f (x )是偶函数,B 正确;由函数f (x )=-cos 2x 的图象可知,函数f (x )的图象不关于直线x =π4对称,C 错误;由函数f (x )的图象易知,函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上是增函数,D 正确,故选C.答案 C 【例4】(2012·湖北)已知向量a =(cos ωx -sin ωx ,sin ωx ),b =(-cos ωx -sin ωx,23cos ωx ),设函数f (x )=a ·b +λ(x ∈R )的图象关于直线x =π对称,其中ω、λ为常数,且ω∈⎝⎛⎭⎫12,1.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)若y =f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4,0,求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,3π5上的取值范围.[解答] (1)f (x )=sin 2ωx -cos 2ωx +23sin ωx ·cos ωx +λ=-cos 2ωx +3sin 2ωx +λ=2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6+λ.由直线x =π是y =f (x )图象的一条对称轴,可得sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π6=±1,所以2ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),即ω=k 2+13(k ∈Z ),又ω∈⎝⎛⎭⎫12,1,k ∈Z ,所以k =1,故ω=56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(6分)(2)由y =f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π4,0,得f ⎝⎛⎭⎫π4=0,即λ=-2sin ⎝⎛⎭⎫56×π2-π6=-2sin π4=-2故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫53x -π6- 2.(9分)由0≤x ≤3π5,有-π6≤53x -π6≤5π6,所以-12≤sin ⎝⎛⎭⎫53x -π6≤1,得-1-2≤2sin ⎝⎛⎭⎫53x -π6-2≤2-2,(11分)故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,3π5上的取值范围为[-1-2,2-2].(12分)【训练4】 (2011·北京)已知函数f (x )=4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x +π6-1.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π4上的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )=4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x +π6-1=4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x +12cos x -1=3sin 2x +2cos 2x -1 =3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6,所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4,所以-π6≤2x +π6≤2π3.于是,当2x +π6=π2,即x =π6时,f (x )取得最大值2;当2x +π6=-π6,即x =-π6时,f (x )取得最小值-1.选择题1.1.(2011·新课标全国)设函数f (x )=sin(ωx +φ)+cos(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,且f (-x )=f (x ),则( ).A .f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2单调递减B .f (x )在⎝⎛⎭⎫π4,3π4单调递减C .f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2单调递增D .f (x )在⎝⎛⎭⎫π4,3π4单调递增解析 先将f (x )化为单一函数形式:f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +φ+π4,∵f (x )的最小正周期为π,∴ω=2.∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +φ+π4.由f (x )=f (-x )知f (x )是偶函数,因此φ+π4=k π+π2(k ∈Z ).又|φ|<π2,∴φ=π4,∴f (x )=2cos 2x .由0<x <π2时,f (x )单调递减,故选A.答案 A2.(2012·湖南)函数f (x )=sin x -cos ⎝⎛⎭⎫x +π6的值域为( ).A .[-2,2]B .[-3,3]C .[-1,1]解析 因为f (x )=sin x -32cos x +12sin x = 3×⎝⎛⎭⎫32sin x -12cos x =3sin ⎝⎛⎭⎫x -π6,所以函数f (x )的值域为[-3,3]. 答案 B3.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象( ). A .关于直线x =π3对称 B .关于点⎝⎛⎭⎫π3,0对称C .关于直线x =-π6对称 D .关于点⎝⎛⎭⎫π6,0对称解析 由题意知T =2πω=π,则ω=2,所以f (x )= sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3,又f ⎝⎛⎭⎫π3=sin ⎝⎛⎭⎫23π+π3=sin π=0. 答案 B4.(2013·郑州模拟)已知ω是正实数,且函数f (x )=2sin ωx 在⎣⎡⎦⎤-π3,π4上是增函数,那么( ). A .0<ω≤32 B .0<ω≤2C .0<ω≤247D .ω≥2解析 由x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π4且ω>0,得ωx ∈⎣⎡⎦⎤-ωπ3,ωπ4.又y =sin x 是⎣⎡⎦⎤-π2,π2上的单调增函数,则⎩⎨⎧ωπ4≤π2,-ωπ3≥-π2,解得0<ω≤32.答案 A5.(2012·全国)当函数y =sin x -3cos x (0≤x <2π)取得最大值时,x =________.解析 y =sin x -3cos x =2⎝⎛⎭⎫12sin x -32cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π3的最大值为2,又0≤x <2π,故当x -π3=π2,即x =5π6时,y 取得最大值. 答案 5π66.(2011·山东)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增,在区间⎣⎡⎦⎤π3,π2上单调递减,则ω=( ). C .2 D .3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x =π3,和它相邻的一个对称中心为原点,则f (x )的周期T =4π3,从而ω=32.答案 B7.已知函数f (x )=sin(x +θ)+3cos(x +θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2是偶函数,则θ的值为( ).A .0解析 据已知可得f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x +θ+π3,若函数为偶函数,则必有θ+π3=k π+π2(k ∈Z ),又由于θ∈⎣⎡⎦⎤-π2,π2,故有θ+π3=π2,解得θ=π6,经代入检验符合题意.答案 B8.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为 ( ).A .2- 3B .0C .-1D .-1-3解析 ∵0≤x ≤9,∴-π3≤π6x -π3≤7π6,∴-32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3≤1,∴-3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x -π3≤2.∴函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6-π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2- 3.答案 A9.(2011·安徽)已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立,且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π),则f (x )的单调递增区间是 ( ). (k ∈Z ) (k ∈Z )(k ∈Z ) (k ∈Z )解析 由f (x )=sin(2x +φ),且f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立,∴f ⎝⎛⎭⎫π6=±1,即sin ⎝⎛⎭⎫2×π6+φ=±1.∴π3+φ=k π+π2(k ∈Z ).∴φ=k π+π6(k ∈Z ).又f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ), ∴-sin φ>sin φ.∴sin φ<0.∴对于φ=k π+π6(k ∈Z ),k 为奇数.∴f (x )=sin(2x +φ)=sin ⎝⎛⎭⎫2x +k π+π6=-sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.∴由2m π+π2≤2x +π6≤2m π+3π2(m ∈Z ),得m π+π6≤x ≤m π+2π3(m ∈Z ),∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤m π+π6,m π+2π3(m ∈Z ).答案 C10.(2012·新课标全国)已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π2,π单调递减,则ω的取值范围是 ( ).D .(0,2]解析 取ω=54,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫54x +π4,其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,显然⎝⎛⎭⎫π2,π85k π+π5,85k π+π,k ∈Z ,排除B ,C.取ω=2,f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,其减区间为⎣⎡⎦⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,显然⎝⎛⎭⎫π2,π⎣⎡⎦⎤k π+π8,k π+58π,k ∈Z ,排除D.答案 A11.已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=( ).解析 由题意可知函数f (x )的周期T =2×⎝⎛⎭⎫5π4-π4=2π,故ω=1,∴f (x )=sin(x +φ),令x +φ=k π+π2(k ∈Z ),将x =π4代入可得φ=k π+π4(k ∈Z ),∵0<φ<π,∴φ=π4.答案 A 二、填空题(每小题5分,共10分)12.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数,若f (x )的最小正周期是π,且当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,f (x )=sin x ,则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为________.解析 f ⎝⎛⎭⎫5π3=f ⎝⎛⎭⎫-π3=f ⎝⎛⎭⎫π3=sin π3=32.答案3213.若f (x )=2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0,π3上的最大值是2,则ω=________.解析 由0≤x ≤π3,得0≤ωx ≤ωπ3<π3,则f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π3上单调递增,且在这个区间上的最大值是2,所以2sin ωπ3=2,且0<ωπ3<π3,所以ωπ3=π4,解得ω=34.答案 3414.(2013·徐州模拟)已知函数f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x |,则f (x )的值域是________.解析 f (x )=12(sin x +cos x )-12|sin x -cos x |=⎩⎨⎧cos x sin x ≥cos x ,sin x sin x <cos x .画出函数f (x )的图象,可得函数的最小值为-1,最大值为22,故值域为⎣⎡⎦⎤-1,22. 答案⎣⎡⎦⎤-1,2215.(2012·西安模拟)下列命题中: ①α=2k π+π3(k ∈Z )是tan α=3的充分不必要条件;②函数f (x )=|2cos x -1|的最小正周期是π;③在△ABC 中,若cos A cos B >sin A sin B ,则△ABC 为钝角三角形;④若a +b =0,则函数y =a sin x -b cos x 的图象的一条对称轴方程为x =π4. 其中是真命题的序号为________.解析 ①∵α=2k π+π3(k ∈Z )tan α=3,而tan α=3/ α=2k π+π3(k ∈Z ),∴①正确.②∵f (x +π)=|2cos(x +π)-1|=|-2cos x -1|=|2cos x +1|≠f (x ),∴②错误. ③∵cos A cos B >sin A sin B ,∴cos A cos B -sin A sin B >0,即cos(A +B )>0,∵0<A +B <π,∴0<A +B <π2,∴C 为钝角,∴③正确.④∵a +b =0,∴b =-a ,y =a sin x -b cos x =a sin x +a cos x =2a sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,∴x =π4是它的一条对称轴,∴④正确.答案 ①③④ 三、解答题16 设f (x )=1-2sin x .(1)求f (x )的定义域; (2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值.解 (1)由1-2sin x ≥0,根据正弦函数图象知:定义域为{x |2k π+56π≤x ≤2k π+13π6,k ∈Z }.(2)∵-1≤sin x ≤1,∴-1≤1-2sin x ≤3,∵1-2sin x ≥0,∴0≤1-2sin x ≤3,∴f (x )的值域为[0,3],当x =2k π+3π2,k ∈Z 时,f (x )取得最大值.17. 求下列函数的值域:(1)y =-2sin 2x +2cos x +2;(2)y =3cos x -3sin x ,x ∈[0,π2]; (3)y =sin x +cos x +sin x cos x .解 (1)y =-2sin 2x +2cos x +2=2cos 2x +2cos x=2(cos x +12)2-12,cos x ∈[-1,1].当cos x =1时,y max =4,当cos x =-12时,y min =-12,故函数值域为[-12,4].[4分](2)y =3cos x -3sin x =23cos(x +π6)∵x ∈[0,π2],∴π6≤x +π6≤2π3,∵y =cos x 在[π6,2π3]上单调递减,∴-12≤cos(x +π6)≤32(3)令t =sin x +cos x ,则sin x cos x =2,且|t |≤ 2.∴y =t +t 2-12=12(t +1)2-1,∴当t =-1时,y min =-1;当t =2时,y max =12+ 2. ∴函数值域为[-1,12+2].[12分]18.已知函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4sin ⎝⎛⎭⎫x +π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴;(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π2上的值域.解 (1)f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π3+2sin ⎝⎛⎭⎫x -π4sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=12cos 2x +32sin 2x +(sin x -cos x )(sin x +cos x )=12cos 2x +32sin 2x +sin 2x -cos 2x =12cos 2x +32sin 2x -cos 2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6.∴最小正周期T =2π2=π,由2x -π6=k π+π2(k ∈Z ),得x =k π2+π3(k ∈Z ).∴函数图象的对称轴为x =k π2+π3(k ∈Z ).(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π12,π2,∴2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π3,5π6,∴-32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6≤1.即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π2上的值域为⎣⎡⎦⎤-32,1.19.已知函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫π3+x cos ⎝⎛⎭⎫π3-x ,g (x )=12sin 2x -14.(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最大值,并求使h (x )取得最大值的x 的集合.解 (1)∵f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫π3+x cos ⎝⎛⎭⎫π3-x=⎝⎛⎭⎫12cos x -32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x +32sin x=14cos 2x -34sin 2x =1+cos 2x 8-3-3cos 2x 8=12cos 2x -14, ∴f (x )的最小正周期为2π2=π.(2)由(1)知h (x )=f (x )-g (x )=12cos 2x -12sin 2x =22cos ⎝⎛⎭⎫2x +π4,当2x +π4=2k π(k ∈Z ),即x =k π-π8(k ∈Z )时,h (x )取得最大值22.故h (x )取得最大值时对应的x 的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k π-π8,k ∈Z. 20. 已知a >0,函数f (x )=-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1. (1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间.解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1,又∵a >0,∴-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈[-2a ,a ].∴f (x )∈[b,3a +b ],又∵-5≤f (x )≤1,∴b =-5,3a +b =1,因此a =2,b =-5.(2)由(1)得a =2,b =-5,∴f (x )=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1,g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +7π6-1=4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1,又由lg g (x )>0,得g (x )>1, ∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1>1,∴sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6>12,∴2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )单调递增,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π,k π+π6,k ∈Z .又∵当2k π+π2<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )单调递减,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z .综上,g (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎤k π,k π+π6(k ∈Z );递减区间为⎝⎛⎭⎫k π+π6,k π+π3(k ∈Z ).。