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高中数学 选修2-2 北师大版 第四章 3 定积分的简单应用 课件(23张)

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高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2

高中数学 第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积课件 北师大版选修2-2

10
2.曲线y=x2-1与x轴所围成图形的面积等于 ( )
A .1B .2C .1 D .4
33
3
11
【解析】选D.函数y=x2-1与x轴的交点为(-1，0)，
(1，0)，且函数图像关于y轴对称，所以所求面积为
S=
(11-x2)dx=2 1
(1-x 210)dx=2
2× 2 4 .
33
=
(x
1 3
7
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)曲线y=sin x，x∈ [与 ，x3轴 ]围成的图形的面积
22
3
为 2
sin xdx.
(
)
2
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形的面积为
1 0
x3dx+
(22 -x)dx. 1
(
)
8
(3)曲线y=3-x2与直线y=-1围成的图形的面积为
24
【习练·破】 (2019·衡阳高二检测)如图，阴影部分的面积是( )
25
A.32
B.16
C. 3 2
D. 8
3
3
26
【解析】选C.由已知，阴影部分的面积
S=
1
3(3-x2-2x)dx=(3x13x3x2)|13332.
27
【加练·固】 若函数f(x)=Asin （ (Ax >0，） ω>0)的图像如图所示，则图
所以S=
1 0
(x2+1)dx+
3 1
(3-x)dx
( x 3 3 x ) |1 0 ( 3 x x 2 2 ) |1 3 1 3 1 ( 9 9 2 ) ( 3 1 2 ) 1 3 0 .

高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

高中数学复习课件-北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

如果 Dx 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f (x) 在区
间[a,b] 上的定积分。记为： S =
b
f (x)dx
a
定积分的定义：
即
b a
f
( x)dx
=
lim
n
n i=1
b-a n
f
(xi )
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
学习目 标：
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
f
(xi
)
b
n
a
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b a
f
(x)dx，即 b b aa
ff
n
((xx))ddxx==limlim n 0 i=1i
n
f
=1
b(x-ni)aDxfi。(xi
)
定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a,b] 上连续，用分点
(3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
= lim n i=1
f (xi )Dx
Oa
xi xi xi+1
b
x
Dx
（一）、定积分的定义

北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件

北师大版数学【选修2-2】《定积分的概念》ppt课件
������ ������
������ (������)������������,即
积分号 上限
������ ������ (������)������������ ������
= ������.其中 叫作
下限
. .
,������叫作积分的 ,������(������)叫作
,������叫作积分的 .
第四章 定积分
.. 导. 学 固思
知识点
新课程标准的要求 层次要求 领域目标要求 通过定积分概念的 形成过程,理解现实中的 抽象概况,体会数学中的
定积分的概念与 了解定积分的实际背景,基本思想 计算 微积分基本定理 及应用 定积分的实际意 及概念 了解微积分基本定理的含义
化曲为直,化复杂为简单
初步涉及定积分的应用 的处理问题的方法
5.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分.
6.了解定积分的几何意义及性质.
.. 导. 学 固思
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“ 直边图形”的面积,在物理中,我们知道了匀速直线运动的 时间、速度与路程的关系等.在数学和物理中,我们经常会 遇到计算平面曲线所围成的平面“曲边图形”的面积、
������ ������
������ (������)������������
(������为常数);
������ [ ������1 (������) ������
± ������2 (������)]������������ =
������ ������
������1 (������)������������ ±
1
把区间[1,3]等分n份,所得n个小区间的长度均为(
A.
1 ������

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(二)定积分在物理中的应用 课件

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用(二)定积分在物理中的应用 课件
s
2
)
，到达 C 点速度达 2 4 m
s
， 从 ，在
C 点到达 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车(做
s
后，速度为 ( 2 4 1 .2 t 2 ) m
s
B 点恰好停车，试求： ⑴A、C 间的距离； ⑵B、D 间的距离； ⑶电车从 A 站到 B 站所需的时间.
2013-4-2
3.A、 两站相距 7 .2 k m ， B 一辆电车从 A 站开往 B 站， 电车 开出 t 1 s 后到达途中 C 点，这一段做初速为零的匀加速直 线运动加速度为 1 .2 ( m 速直线运动)，经过 t 2
2
度表示为时间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m)

t 0
( 4 0 1 0 x )d x 4 0 t 5 t
变式题 以初速度 4 0 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度 为v
40 10t
(单位: m
s
),问多少秒后物体达到最
高?最大高度是多少?
4 秒时到达最高为 80m
2013-4-2
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度 v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4
(t
0
2
4t 3) d t
2
4
,t=4s时刻该点距出发点4/3m 3

3 1
(2)
S

1 0
( t 4 t 3) d t |
(2)240 (m)
(3)20+20+280=320(s)
2013-4-2 (3)电车从A站到B站所需的时间.

高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2

高中数学第四章定积分4.3定积分的简单应用课件北师大版选修2_2
2.函数f(x),x∈[a,b]的图像围绕x轴旋转一周,所得到的几何体的体 积V= ������ π[f(x)]2dx .
������
名师点拨
Hale Waihona Puke ������ ������
f(x)dx,
������ ������
|f(x)|dx 与
������ ������
������ ������
������(������) d������ 的异同.
B.V=π D.V=π
1 0 1 0
[12-(x2)2]dx (12-x2)dx
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在题后的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)任何曲线 y=f(x)及 x=a,x=b 与 x 轴围成的平面图形的面积都 可 ������ 以表示为 ������ f(x)dx. ( × )
直线y=x-4与x轴的交点为(4,0), 因此,所求图形的面积为S=S1+S2
8 4 8 = 0 √2������ dx+ 4 √2������d������- (������-4) d������ 4 2√2 3 4 2√2 3 8 1 40 = ������ 2 |0 + ������ 2 |4 − (x-4)2|8 = . 4 3 3 2 3
§4.3 定积分的简单应用
学 习 目 标 思 维 1.能用求定积分的方法 求 由已知曲线所围成的 平面图形的面积. 2.能用 求定积分的方法 求简单的几何体的体积. 3.注意 平面图形的面积 及几何体的体积与定积 分的内在联系与区别. 4.要学会 使用数形结合 和转化思想解决问题.
脉
络
1.一般地,设由曲线 y=f(x),y=g(x)以及直线 x=a,x=b 所围成的平面 ������ ������ 图形(如图)的面积为 S,则 S= ������ f(x)dx- ������ g(x)dx.

优课系列高中数学北师大版选修22 41定积分的概念 课件(17张)[可修改版ppt]

优课系列高中数学北师大版选修22 41定积分的概念 课件(17张)[可修改版ppt]

记作
b a
f
(x)dx
c
a即
f
(xa)bdfx(xcb)dfx(x=)dA xac。f
(
积分号
x 积分变量 a 积分下限
f (x) 被积函数
b
积分上限
二、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
优课系列高中数学北师大 版选修22 41定积分的概念
课件（17张）
复习巩固
曲边 梯形面积 变速 物体走过的路程 变力 做功
思路：
先求近似值
再提高精确度
步骤：
分割---近似代替----求和
----取极限
一.定积分的定义
y
yf (x)
一般地，给定在区间[a, b]的函数y = f (x)，将区
间[a, b]分成 n 份，分点为：
y yf (x)
Oa
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
bx
5
例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其 意义求出定积分的值：
(1)
1
2dx ;
(2)
2
xdx ;
(3)
1
1 x2 dx
0
1
1
例1 说明下列定积分所表示的意义，并根据其 意义求出定积分的值：
(1)
-1
o
1x
1 1 x2 dx
-1
2
练习
用图形表示下列定积分：
(1) 1 x2dx 0

北师大版高中数学选修2-2：第四章 定积分 复习课件


则称������(������), ������(������)为区间[−1,1]上的一组正交函数. 给出三组函数:
①f(x)=sin
1 2
������,
������(������)
=
cosBiblioteka 1 2������;②������(������)
=
������
+
1, ������(������)
=
������
第四章 定积分 复习课件
定积分的背景——面积和路程问题 定积分的概念
定积分 微积分基本定理 定积分的简单应用 平面图形的面积
简单几何体的体积
专题一 专题二 专题三
专题一：定积分的概念。 用分割、近似代替、求和、取极限来求曲边梯形的面积
和变速运动物体在某段时间内的路程体现了无限细分和无穷累 积的思维方法。
4(2015·湖南高考)
2 0
(������ − 1)d������ = ______.
解析：
2 0
(������ − 1)d������ =
1 2
������
2-������
2
= 0.
0
答案：0
1 2 3 4 567 8
5(2015·天津高考)曲线 y=x2 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积
������=1
2(������-1) ������
3
·���2���
=
������
∑
������=1
���2���44·(i-1)3=
16 ������4
×
[03
+
13
+
⋯+(n-1)3]=

高中数学北师大版选修2-2第4章《定积分的简单应用》(第3课时)ppt参考课件

定积分的简单应用 （三）
利用定积分求简单几何体的体积
一、教学目标 1、理解定积分概念形成过程的思想； 2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。
二、 学法指导 本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，
关键是对定积分思想的理解及灵活运用， 建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。 三、教学重难点：
x

6
∴所求“冰激凌”的体积为：


4 0
(2
x )2 dx
12
(
4
1 2
x

6) 2 dx

224
3
(cm)3
变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一
部分绕其中轴(双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中
A,A’是双曲线的顶点，C,C’是冷却塔上口直径的两个
端点，B,B’ 是下底直径的两个端点，已知
AA’=14m,CC’=18m,BB’=22m,塔高20m.
(1)建立坐标系，并写出该曲线方程．
(2)求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，
取3.14）
(1) x2 y2 1 49 98
Ｃ’ Ａ’
Ｃ Ａ
(2)V 8 x2dy 8 ( 1 y2 49)dy
b

，f 2即 x可d求x 旋转体体积的
a
值。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。

最新北师大版数学【选修2-2】《定积分的简单应用》课件


4.由曲线 y=x2 和直线 x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成 的图形(阴影部分),求其面积的最小值.
【解析】S1=t S2=
2 3 2 ������ -������ 3 1 ������ 2
3
������ 0
������ 2 ������������ = ������ 3 - ������ 3 = ������ 3 ,
2 1 2 -1 3 1 2 ( 2 ������ -1 2 3
+ 4������ + 2)������������=( ������ 3 +
3 16 3
2
= +2+2+ -2+2= .
求不分割型图形的面积
计算由曲线 y =x,y=x 所围成平面图形的面积 S.
������ 2 = ������, 【解析】由题意画出草图,由 2 得交点的 ������ = ������ , 横坐标为 x=0 及 x=1.
3 2
3 2
+ ������)������������
1 2 1 1 2 1 2 3 2 1 1 2 3 5 + x ) +(2x- x + ������ ) = + +(2x- ������ ) = +66 2 6 3 0 1 3 6 1 6 6
1 3
×9-2+ = .
3
1 13
连接坐标原点 O 及点 P(h,r)的直线、直线 x=h 及 x 轴围成一个直角三角形,将它绕 x 轴旋转构成一个底半 径为 r、高为 h 的圆锥体,计算这个圆锥体的体积.(用 定积分求解)
【解析】这个旋转体可看作是由上半个椭圆 y= 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转所生成的几何体. 因此 V=

【高中课件】高二数学北师大版选修224.3 定积分的简单应用课件ppt.pptx

【做一做 1】 用 S 表示如图所示的阴影部分的面积,则 S 的值是( )
A.
������ ������
f(x)dx
| | B.
������ ������
f(x)dx
C.
������ ������
f(x)dx+
������ ������
f(x)dx
D.
������ ������
f(x)dx-
������ ������
中小学精编教育课件
§3 定积分的简单应用
1.通过实例,进一步理解定积分的思想. 2.了解定积分在求平面图形的面积、旋转体的体积等方面的简单应用.
1234
(1)由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成平面图形的面
积 S.
如图①所示,f(x)>0,
������ ������
在时间区间[a,b]上的定积分,即
s=
������ ������
v(t)dt.
说明路程是位移的绝对值之和,当 v(t)≤0 时,从时刻 t=a 到时刻 t=b 所经
过的路程是
s=-
������ ������
v(t)dt.
(2)变力做功
一个物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相
f(x)dx>0,
所以
S=
������ ������
f(x)dx.
如图②所示,f(x)<0,
������ ������
f(x)dx<0,
| | 所以 S=
������ ������
f(x)dx
=-
������ ������
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xy＝1， 求交点坐标：由 y＝3，
1 x＝ ， 1 得 3 故 A3，3； y ＝ 3 ，
xy＝1， 由 y＝x， x＝1， 得 y＝1， x＝－1， 或 y＝－1，
(舍去)，故 B(1,1)；
y＝x， 由 y＝3，
形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解 方程组求出曲线的交点坐标后，可以将积分区间进行细化分 段，然后根据图形对各个区间分别求面积进而求和，在每个区 间上被积函数均是由图像在上面的函数减去下面的函数．
π 4．由曲线 y＝sin x，y＝cos x 与直线 x＝0，x＝ 所围成的平面 2 图形(如下图中的阴影部分)的面积是 ( )
解：作出曲线 y2＝x，y＝x3 的草图，所求面 积为如图中的阴影部分的面积．
2 y ＝x， 解方程组 3 y＝x
得交点的横坐标 x＝0， x
＝1，因此所求图形面积为 S＝
1 0
2 1 1 4 1 2 1 5 xdx－ x dx＝ x |0－ x |0＝ － ＝ . 3 4 3 4 12
答案：D
5．求由曲线 y＝x2 和直线 y＝x 及 y＝2x 所围成的平面图形的面积．
2 y＝x ， 解：由 y＝x， 2 y ＝ x ， 由 y＝2x，
1 0
得 A(1,1)，
得 B(2,4)，如图所示所求面积为
1 0 2 1 2 1
b a b a
平面图形的面积 一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及 直线 x＝a，x＝b 所围成的平面图形的面积 为 S，则 S＝ f(x)dx－ g(x)dx，f(x)≥g(x)．
a a
b b
定积分在几何中的简单应用主要是求平面图形的面积和旋转体 的体积，解题关键是根据图形确定被积函数以及积分上、下限．
§ 3 定 积 分 的 简 单 应 用
理解教材 新知 考点一 考点二 考点三 应用创新 演练
第 四 章把握热点 考向Fra bibliotek§ 3
定积分的简单应用
如图．问题 1：图中阴影部分是由哪些曲线 围成？
提示：由直线 x＝a，x＝b 和曲线 y＝f(x)和 y＝g(x)围成．
问题 2：你能求得其面积吗？如何求？
提示：能，先求由 x＝a，x＝b 和 y＝f(x)围成的曲边梯形 面积 S1＝ f(x)dx，再求由 x＝a，x＝b 和 y＝g(x)围成的曲边 梯形面积 S2＝ g(x)dx，则所求阴影部分面积为 S1－S2.
A． 1 3 2 C. 2
π B. 4 D.2 2－2
π 解析：S＝ 4 0
π 2 (cos x－sin x)dx＋π (sin x－cos x)dx＝(sin x 4
π π 2 4 ＋cos x) －(cos x＋sin x) π 0 4 ＝( 2－1)－(1－ 2)＝2 2－2.
x＝3， 得 y＝3，
故 C(3,3)， (3－x)dx＝(3x－
故所求面积 ln x)
|1 1 3
3 1 1 S＝S1＋S2＝ 1 3－x dx＋ 1
3
1 2 3 ＋3x－2x |1＝4－ln
3.
[一点通]
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图
所以直线 y＝－x＋2 与抛物线 y＝x2－4 的交点为(－3，5)和(2,0)， 设所求图形面积为 S，根据图形可得 S＝
2 -3
(－x＋2)dx－
2 -3
(x2－4)dx
2 1 2 2 1 3 ＝2x－2x |－3－3x －4x |－3
解析：结合函数图像可得所求的面积是定积分
3 - cos
3
3 3 xdx＝sin x | ＝ －－ ＝ 3. 2 2 3
3
答案：D
2．(山东高考)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围成的封闭 图形的面积为 A．2 2 C．2 B． 4 2 D.4 ( )
S＝ 2xdx－ xdx＋ 2xdx－ x2dx ＝ (2x－x)dx＋ (2x－x2)dx
不分割型图形面积的求解
[例 1] 面积． [思路点拨] 画出草图，求出直线与抛物线的交点，转化为定 积分的计算问题． 求由抛物线 y＝x2－4 与直线 y＝－x＋2 所围成图形的
[精解详析]
x＝－3， 得 y＝5，
2 y＝x －4， 由 y＝－x＋2，
x＝2， 或 y＝0，
3
1 0
3 2
分割型图形面积的求解
[例 2] 面积． [思路点拨] 作出直线和曲线的草图， 可将所求图形的面积转 求由曲线 xy＝1 及直线 x＝y， y＝3 所围成平面图形的
化为两个曲边梯形面积的和，通过计算定积分来求解，注意确定 积分的上、下限．
[精解详析] 作出曲线 xy＝1，直线 x＝y，y＝3 的草图，所求面积为图中 阴影部分的面积．
解析：由 4x＝x3，解得 x＝0 或 x＝2 或 x＝－2(舍去)，根据定 积分的几何意义可知，直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内 围成的封闭图形的面积为 4 x - x 3 dx ＝ 2 x 2 - x 4 |2 0＝4. 0 4
2

1

答案：D
3．计算由曲线 y2＝x，y＝x3 所围成的图形的面积 S.
25 25 125 ＝ －－ 3 ＝ . 2 6
[一点通] 求由曲线围成图形面积的一般步骤： ①根据题意画出图形； ②求交点，确定积分上、下限； ③确定被积函数； ④将面积用定积分表示； ⑤用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
π π 1．由直线 x＝－ ，x＝ ，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭图 3 3 形的面积为 1 A. 2 3 C. 2 B． 1 D. 3 ( )