河南省洛阳市2015届高考数学二模试卷(理科)(Word版含解析)

洛阳市2015——2016学年高三年级第二次统一考试数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足（z －1）（1＋i ）＝2（i 为虚数单位），则｜z ｜＝A ．1B ．5CD 2．若命题p ：x ∀∈（0，＋∞），21log ()x x＋≥1，命题q ：0x ∃∈R ，20x －0x ＋1≤0，则下列命题为真命题的是A ．p ∨qB ．p ∧qC ．（p ⌝）∨qD ．（p ⌝）∧（q ⌝） 3．若f （x ）＝xae－－xe 为奇函数，则f （x －1）＜e －1e的解集为 A ．（－∞，0） B ．（－∞，2）C ．（2，＋∞）D ．（0，＋∞）4．执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．555．已知f （x ）sin （ωx ＋ϕ）（ω＞0，｜ϕ｜＜2π） 满足f （x ）＝－f （x ＋2π），f （0）＝12，则g （x ）＝2cos （ωx ＋ϕ）在区间[0，2π]上的最大值为A ．2BC ．1D ．－26．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BCBE ＝2EC ，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝3，则AE uu u r ·BF uu u r的值为A ．4 BC ．0D ．－4 7．设D 为不等式组0,0,230,x x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥－≤＋－≤表示的平面区域，圆C ：22(5)x y －＋＝1上的点与区域D 上的点之间的距离的取值范围是 A ．11） B ．－11] C ．D ．－11] 8．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．57＋24πB ．57＋15πC ．48＋15πD ．48＋24π9．已知双曲线C ：2218y x －＝的左右焦点分别为 F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左右两支分别交于 A ，B 两点，且｜AF 1｜＝｜BF 1｜，则｜AB ｜＝A ．B ．3C ．4D ．110．设等比数列{n a }的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：a 1＞1，a 2015a 2016＞1，2015201611a a --＜0．给出下列结论：（1）0＜q ＜1；（2）a 20l5a 2017－1＞0；（3）T 2016的值是n T 中最大的；（4）使n T ＞1成立的最大自然数n 等于4030．其中正确的结论为 A ．（1），（3） B ．（2），（3） C ．（1），（4） D ．（2），（4）11．已知正四面体S －ABC 的外接球O 过AB 中点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为A ．4πB ．6πC ．163π D ．43π12．若函数f （x ）＝xe ·（2x ＋ax ＋b ）有极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且f （x 1）＝x 1，则关于x 的方程2()f x ＋（2＋a ）f （x ）＋a ＋b ＝0的不同实根个数为 A ．0 B ．3 C ．4 D ．5第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作洛阳市2015——2016学年高三年级第二次统一考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－2i ，则z 1·z 2的虚部为A ．iB ．－iC ．1D ．－12．已知集合A ＝{x ｜x ＜－2}，B ＝{x ｜2x ＞4}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{n a }满足1n a ＋＝2n a ，n ∈N ﹡，a 3＝4，则数列{n a }的前5项和为A ．32B ．31C ．64D ．634．设P （x ，y ）满足约束条件4,3.x y x ⎧⎨⎩＋2≤＋y ≤则点P 对应的区域与坐标轴围成的封闭图形面积为A ．32B ．52C ．72D ．1125．已知离心率为2的双曲线22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的 实轴长为8，则该双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33xD ．y ＝±22x 6．将函数y ＝cos （2x ＋3π）的图象向左平移6π个单位，得到函数y ＝f （x ）的图象，则下列 说法正确的是 A ．f （x ）是偶函数 B ．f （x ）周期为2π C ．f （x ）图象关于x ＝6π对称 D ．f （x ）图象关于（－6π，0）对称 7．如图所示的程序框图所表示的算法功能是A ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最小整数nB ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最大整数nC ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最大整数n ＋2D ．输出使1×2×4×…×n ≥2015成立的最小整数n ＋28．函数f （x ）＝ln 2x x的图象大致为9．已知定义在R 上的奇函数f （x ）都有f （x ＋52）＋f （x ）＝0，当－54≤x ≤0时，f （x ） ＝2x ＋a ，则f （16）的值为A ．12B ．－12C ．32D ．－3210．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ⊥AC ，AC ＝12，BC ＝5，若一个球和它的各个面都相切，则该三棱柱的表面积为A ．60B ．180C ．240D ．36011．已知P （a ，b ）为圆22x y ＋＝4上任意一点，则2214a b ＋最小时，2a 的值为 A ．45 B ．2 C ．43D ．3 12．设f （x ）＝324(0),2(0).ax x x x e x ⎧⎪⎨⎪⎩＋6＋2≤＞在区间[－2，2]上最大值为4，则实数a 的取值范围为 A ．[12ln2，＋∞）B ．[0，12ln2] C ．（－∞，0] D ．（－∞，12ln2] 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题。

河南省六市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于( )A．1 B．2 C．3 D．1或22．若复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，则z的虚部为( )A．﹣B．C．D．﹣3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是( ) A．f（x）=x2B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x|D．f（x）=sinx4．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．若“p∧（￢q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题D．存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上是递增的5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为( )A．﹣1050 B．5050 C．﹣5050 D．﹣49506．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A．3+3B．8+3C．6+6D．8+67．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( )A．3 B．4 C．5 D．68．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=09．定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )A．B．C．D．10．已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是( )A．B．C．D．11．已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF （O为坐标原点），则|AB|=( )A．B．C．D．412．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=( )A．0 B．2014 C．4028 D．4031二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=__________．14．设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=__________．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为__________．16．对正整数n，设曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=cosxcosx（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC 的面积为2，求边长c的值．18．某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：2010年2011年2012年2013年2014年降雨量x（毫米）1500 1400 1900 16002100发电量y（亿千瓦时）7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 （Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B 上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且k OA•k OB=﹣，求y1，y2的取值范围．21．已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．河南省六市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于( ) A．1 B．2 C．3 D．1或2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．解答：解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．若复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，则z的虚部为( )A．﹣B．C．D．﹣考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设复数z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，可得2a+b+（2b﹣a）i=，利用复数相等即可得出．解答：解：设复数z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，∴（2﹣i）（a+bi）=，∴2a+b+（2b﹣a）i=，∴，解得．故选：B．点评：本题考查了复数的运算和相等，属于基础题．3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是( ) A．f（x）=x2B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x| D．f（x）=sinx考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．解答：解：A．f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．B．f（x）=﹣log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．C．f（x）=3|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．4．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．若“p∧（￢q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题D．存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上是递增的考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；利用命题的真假判断C 的正误；幂函数的定义判断D的正误；解答：解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足特称命题与全称命题的否定关系，所以A不正确；对于B，“x=3”可以推出“2x2﹣7x+3=0”成立，但是2x2﹣7x+3=0，不一定有x=3，所以“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件，所以B正确．对于C，若“p∧（￢q）”为真命题，说明P，￢q是真命题，则“p∧q”也为假命题，所以C不正确；对于D，存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，可得m=2，函数化为：f（x）=x0=1，所函数在（0，+∞）上是递增的是错误的，所以D不正确；故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定、充要条件、复合命题的真假以及幂函数的性质的应用，基本知识的考查．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为( )A．﹣1050 B．5050 C．﹣5050 D．﹣4950考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002的值，∵S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）=﹣（1+2+3+4+…+99+100）=﹣=﹣5050，故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A．3+3B．8+3C．6+6D．8+6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积解答：解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( ) A．3 B．4 C．5 D．6考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．解答：解：在等比数列中，∵S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，∴a m=S m﹣S m﹣1=﹣11﹣5=﹣16，a m+1=S m+1﹣S m=21﹣（﹣11）=32，则公比q=，∵S m=﹣11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=﹣1，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=﹣1，则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9．定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( ) A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶矩阵．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．解答：解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ∴n=﹣+kπn大于0的最小值等于故选C．点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．10．已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．解答：解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=﹣1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．点评：本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．11．已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF （O为坐标原点），则|AB|=( )A．B．C．D．4考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得y A=﹣3y B，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y A+y B和y A y B，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．解答：解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴y A=﹣3y B，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2﹣4my﹣4=0，∴y A+y B=4m，y A y B=﹣4．∴+==﹣2==﹣3﹣，∴m2=，∴|AB|=•=．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=( )A．0 B．2014 C．4028 D．4031考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．解答：解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．14．设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答：解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为．考点：球内接多面体．专题：立体几何．分析：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．解答：解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：点评：本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．16．对正整数n，设曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是2n+1﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：欲求数列的前n项和，必须求出在点（1，1）处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与y轴交点的纵坐标．最后利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．解答：解：y′=nx n﹣1﹣（n+1）x n，曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣1﹣（n+1）2n切点为（2，﹣2n），所以切线方程为y+2n=k（x﹣2），令x=0得a n=（n+1）2n，令b n=．数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．点评：本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=cosxcosx（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC 的面积为2，求边长c的值．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．解答：解：（1）化简可得f（x）=cosxcosx（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=cos（2x+）+，∴f（x）的最小正周期T==π；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=﹣，∴cos（2C+）=﹣1，∴C=，又∵△ABC的面积S=absinC=ab=2，∴ab=8，∴b===4，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=12，∴c=2点评：本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题．18．某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：2010年2011年2012年2013年2014年降雨量x（毫米）1500 1400 1900 16002100发电量y（亿千瓦时）7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 （Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．解答：解：（ I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9. 2），（7.0，7.9），（7.0，10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．其中2年发电量都低于8. 0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．（ II）∵，．又直线过点，∴，解得，∴．当x=1800时，，所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）．点评：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B 上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A 1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．解答：解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB 1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB 1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且k OA•k OB=﹣，求y1，y2的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；（II）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，化简整理，即可得到y1y2的范围．解答：解：（I）由已知可得e==，•2a•2b=8，又a2=b2+c2，解得c=2，b=2，a2=8．∴椭圆的方程为+=1．（II）直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＞0，化为8k2+4＞m2，①∴x1+x2=，x1x2=．∵满足k OA•k OB=﹣，∴=﹣．∴y1y2=﹣x1x2=﹣•=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km•+m2=．∴﹣=．∴4k2+2=m2，即有y1y2=﹣=﹣=﹣2，则y1y2∈（﹣2，2]．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对∀n∈N*，不等式恒成立．点评：此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；证明题．分析：对于（1）求证：AB2=D E•BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．解答：解：（1）∵AD∥BC∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，∴△CDE∽△BCD，∴，∴CD2=DE•BC，即AB2=DE•BC．（2）由（1）知，，∵△PDE∽△PBC，∴．又∵PB﹣PD=9，∴．∴．∴．点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．考点：绝对值三角不等式；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．解答：解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。

2015年河南省洛阳市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知i是虚数单位，若复数z满足zi=1+i，则复数z的实部与虚部之和为（）A.0B.1C.2D.4【答案】A【解析】解：由zi=1+i，得，∴复数z的实部与虚部分别为1和-1，和为0．故选：A．把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知集合A={1，m2+1}，B={2，4}，则“m=”是“A∩B={4}”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若A∩B={4}，则m2+1=4，即m2=3，解得m=或m=-，故“m=”是“A∩B={4}”的充分不必要条件，故选：A根据充分条件和必要条件的定义结合集合关系进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合的基本关系是解决本题的关键．3.若a∈[0，2π），则满足=sina+cosa的a的取值范围是（）A.[0，]B.[0，π]C.[0，]D.[0，]∪[，2π）【答案】D【解析】解：∵==|sina+cosa|=|sin（）|=sina+cosa=sin （），即有：|sin（）|=sin（），∴可解得：2kπ≤≤2kπ+π，k∈Z，即有：2kπ≤α≤2kπ+，k∈Z，∵a∈[0，2π），∴可解得a的取值范围是[0，]∪[，2π）．故选：D．由三角函数中的恒等变换应用化简等式等价于：|sin（）|=sin（），由正弦函数的图象和性质即可解得a的取值范围．本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．4.曲线f（x）=在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，则实数a=（）A.1B.-1C.7D.-7【答案】C【解析】解：f（x）=的导数为f′（x）=，则f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为k=，切线的倾斜角为，即有k=-1，由=-1，解得a=7．故选：C．求出函数的导数，求得f（x）在点（1，f（1））处切线斜率，由斜率公式可得k=-1，解方程可得a=7．本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若|AF|=5，则|BF|=（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，设A（x，y），则|AF|=x+1=5，故x=4，此时y=4，即A（4，4），则直线AF的方程为，即y=（x-1），代入y2=4x得4x2-17x+4=0，解得x=4（舍）或x=，则|BF|=+1=，故选：C根据抛物线的定义，结合|AF|=5，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B点的横坐标即可得到结论．本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键．6.已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0，y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A.相离B.相切C.相交D.不能确定【答案】C【解析】解：由点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=4外，可得x02+y02＞4，求得圆心C（0，0）到直线l：x0x+y0y=4的距离d=＜=2，故直线和圆C相交，故选：C．由条件可得得x02+y02＞4，再利用点到直线的距离公式求得圆心C（0，0）到直线l的距离d小于半径，可得结论．本题主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．7.执行如图的程序，若输入的x=2，则输出的所有x的值的和为（）A.6B.21C.101D.126【答案】D【解析】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是输出[2，100]区间上，所有函数值为整数的x．因为可求满足条件的x分别是：2，4，8，16，32，64故输出的所有x的值的和为：2+4+8+16+32+64=126．故选：D．模拟执行程序，可得程序框图的功能是输出[2，100]区间上，所有函数值为整数的x，分别求出满足条件的x，相加求和即可得解．本题主要考查了程序框图和算法，模拟执行程序正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．8.已知不等式表示的平面区域的面积为2，则的最小值为（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，其中A（0，2），B（2，0），则△OAB的面积S=，即m=0又z==1+，设k=，其中的几何意义是可行域内的点与点D（-1，-1）构成的直线的斜率问题．由图象可知DB的斜率最小，此时k==，则的最小值1+=．故选：B．先根据面积为2求出m值，又z==1+，设k=，利用k的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．利用数形结合是解决本题的关键．9.若函数y=f（2x+1）是偶函数，则函数y=f（2x）的图象的对称轴方程是（）A.x=-1B.x=-C.x=D.x=1【答案】C【解析】解：∵函数y=f（2x+1）是偶函数，∴f（-2x+1）=f（2x+1），∴函数y=f（2x）的图象的对称轴方程是2x=1，解得x=．故选：C．利用偶函数的定义、函数的对称性即可得出．本题考查了偶函数的定义、函数的对称性，属于基础题．10.已知P是△ABC所在平面内一点，若=-，则△PBC与△ABC的面积的比为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：在线段AB上取D使AD=AB，则=，过A作直线l使l∥BC，在l上取点E使=，过D作l的平行线，过E作AB的平行线，设交点为P，则由平行四边形法则可得=-，设△PBC的高线为h，△ABC的高线k，由三角形相似可得h：k=1：3，∵△PBC与△ABC有公共的底边BC，∴△PBC与△ABC的面积的比为1：3，故选：A由题意作出图形，由三角形的相似和面积公式可得．本题考查平面向量基本定理，涉及三角形的面积和相似，属基础题．11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】解：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，面积为=2，所以该几何体的各个面中最大面的面积为2，故选：D．由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，求出面积，即可得出结论．本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．12.已知函数f（x）=，，＞若方程f（x）-kx=1有两个不同实根，则实数k的取值范围为（）A.（，e）B.（，1）∪（1，e-1]C.（，1）∪（1，e）D.（，e-1]【答案】B【解析】解：方程f（x）-kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当x＞1时，f（x）=f（x-1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e-1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e-1]；故选B．方程f（x）-kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．本题考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．二、填空题(本大题共3小题，共15.0分)13.双曲线-=1（b＞0）的离心率为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为______ ．【答案】2【解析】解：双曲线-=1（b＞0）的离心率为，即有e==，解得b=2，即双曲线的方程为y2-x2=4，即焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点到渐近线的距离为d==2．故答案为：2．运用离心率公式，计算可得b=2，即有双曲线的方程和焦点坐标及渐近线方程，再由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率公式和渐近线方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，属于基础题．14.等比数列{a n}中，a1=1，a10=2，则log2a1+log2a2+…+log2a10= ______ ．【答案】5【解析】解：由题意得，等比数列{a n}各项均为正数，且a1a10=2，根据对数的运算性质和等比数列的性质得，log2a1+log2a2+…+log2a10=log2（a1a2a3…a9a10）=log2（a1a10）5=log2（2）5=5，故答案为：5．由题意可得a1a10=2，根据对数的运算性质、等比数列的性质，把要求的式子化为log2（a1a2…a10）=log2（a1a10）5，代入即可求出结果．本题主要考查等比数列的性质，以及对数的运算性质的应用，属于中档题．15.已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=2，若三棱锥D-ABC体积的最大值为3，则球O的表面积为______ ．【答案】16π【解析】解：∵AB=BC=，AC=2，∴AB⊥BC，S△ABC=3，∵三棱锥D-ABC的体积的最大值为3，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则2=3×（2R-3），∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．确定AB⊥AC，S△ABC=3，利用三棱锥D-ABC的体积的最大值为3，可得D到平面ABC 的最大距离为3，再利用射影定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．本题考查球的半径，考查体积的计算，确定D到平面ABC的最大距离为3是关键．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)16.在△ABC中，已知sin（A+B）=sin B+sin（A-B）．（1）求∠A；（2）若•=20，求||的最小值．【答案】解：（1）原式可化为：sin B=sin（A+B）-sin（A-B）=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B，∵B∈（0，π），∴sin B＞0，∴cos A=，∴∠A=60°．（2）∵•=20，∴AB•AC•cos∠A=20，AB•AC=40．则||=BC=°≥==2，当且仅当AB=AC时，取等号，即△ABC为等边三角形时，||取得最小值为2．【解析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B不为0，得出cos A的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．（2）由条件利用两个向量数量积的定义求得AB•AC=40，再利用余弦定理、基本不等式，求得||的最小值．此题考查了两角和与差的正弦函数公式、平面向量的数量积运算法则，以及余弦定理、基本不等式的应用，熟练掌握公式及法则是解本题的关键，属于中档题．17.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=2AB=4，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．（1）若BE=1，是否在折叠后的线段AL上存在一点P，且=λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（2）求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求此时点F到平面ACD的距离．【答案】解：（1）存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=．证明：当λ=，此时=，过P作MP∥FD，与AF交M，则=，又FD=5，故MP=3，∵EC=3，MP∥FD∥EC，∴MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，∴PC∥ME，∵CP⊄平面ABEF，ME⊂平面ABEF，∴CP∥平面ABEF成立．（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，∴AF⊥平面EFDC，∵BE=x，∴AF=x，（0＜x＜4），FD=6-x，故三棱锥A-CDF的体积V=x×==3，∴x=3时，三棱锥A-CDF的体积V有最大值，最大值为3．建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，0，0），A（0，0，3），C（2，1，0），D （0，3，0）．=（0，3，-3），=（-2，2，0），=（0，0，3）．设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，∴，取y=1，则x=1，z=1，∴=（1，1，1）．∴点F到平面ACD的距离d===．【解析】（1）存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=．当λ=，此时=，过P作MP∥FD，与AF交M，则=，可证：四边形MPCE为平行四边形，得到PC∥ME，因此CP∥平面ABEF成立．（Ⅱ）利用面面垂直的性质定理可得：AF⊥EF，因此AF⊥平面EFDC，设BE=x，则AF=x，（0＜x＜4），FD=6-x，故三棱锥A-CDF的体积V=x×，利于基本不等式的性质即可得出．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，点F到平面ACD的距离d=．本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、平行四边形的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、基本不等式的性质、点到平面的距离的向量表示，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.设M是焦距为2的椭圆E：+=1（a＞b＞0）上一点，A、B是椭圆E的左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=-．（1）求椭圆E的方程；（2）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上点N（x0，y0）处切线方程为+=1，若P是直线x=2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C、D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）解：设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），则+=1，即n2=b2•，由k1k2=-，即•=-，即有=-，即为a2=2b2，又c2=a2-b2=1，解得a2=2，b2=1．即有椭圆E的方程为+y2=1；（2）证明：设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），则两切线方程PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1，由于P点在切线PC，PD上，故P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1，得：x1+y1t=1，x2+y2t=1，故C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程x+ty=1，即x+ty=1为CD的直线方程．令y=0，则x=1，故CD过定点（1，0）．【解析】（1）设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体代入，解方程即可求得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），运用椭圆上一点的切线方程，再代入P点，可得直线CD的方程，再令y=0，即可得到定点．本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．19.已知f（x）=xe x-ax2-x．（1）若f（x）在（-∞，-1]上递增，[-1，0]上递减，求f（x）的极小值；（2）若x≥0时，恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）∵f（x）=xe x-ax2-x，∴f′（x）=e x+xe x-2ax-1，又∵f（x）在（-∞，-1]上递增，[-1，0]上递减，∴f′（-1）=e-1-e-1+2a-1=0，故2a=1，故f′（x）=e x+xe x-x-1=（x+1）（e x-1），故f（x）在（-∞，-1]，[0，+∞）上递增，[-1，0]上递减；故f（x）在x=0处取得极小值f（0）=0；（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，故x≥0时，恒有f（x）≥0可化为x＞0时，恒有f（x）≥0；即x＞0时，xe x-ax2-x≥0恒成立，即a≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=xe x-e x+1，则h′（x）=xe x＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函数，故h（x）＞h（0）=0，故g′（x）=＞0，故g（x）在（0，+∞）上是增函数，而g（x）==e x=1；故a≤1．【解析】（1）先求导f′（x）=e x+xe x-2ax-1，再由题意可得f′（-1）=e-1-e-1+2a-1=0，从而求得2a=1，从而化简f′（x）=e x+xe x-x-1=（x+1）（e x-1），从而确定极小值点及极小值．（2）当x=0时，f（0）=0恒成立，从而化恒成立问题为x＞0时，恒有f（x）≥0；即a≤在x＞0时恒成立，从而令g（x）=，求导确定函数的单调性，再由洛比塔法则求出g（x）==e x=1；从而求实数a的取值范围．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了构造函数的思想应用及洛比塔法则的应用，属于难题．20.如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，点P在线段BA延长线上，T是⊙O1上一点，PT⊥O2T，过P的直线交⊙O1于C，D两点（1）求证：=（2）若⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2=5，PT=，求PA的长．【答案】（1）证明：∵PT⊥O2T，∴PT是⊙O2的切线，∴PT2=PA•PB，∵过P的直线交⊙O1于C，D两点∴PC•PD=PA•PB，∴PT2=PC•PD，∴=；（2）解：连接O1A，O2A，∵⊙O1与⊙O2的半径分别为4，3，其圆心距O1O2=5，∴O1O22=O1A2+O2A2，∴∠O1AO2=90°，设R t△O1AO2斜边长为h，则h==，AB=2h=，∵PT2=PA•PB，PT=，∴PA（PA+）=（）2，∴PA=．【解析】（1）利用切割线定理，即可证明；（2）证明∠O1AO2=90°，再利用切割线定理，即可求解．本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，正确运用切割线定理是关键．21.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ．（1）求曲线C2的直角坐标方程；（2）已知点M是曲线C1上任意一点，点N是曲线C2上任意一点，求|MN|的取值范围．【答案】解：（1）由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，∴（x-1）2+y2=1，（2）设点M（4cosφ，3sinφ），则|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1，|MC2|2=（4cosφ-1）2+9sin2φ=7cos2φ-8cosφ+10，当cosφ=-1时，得|MC2|2max=25，|MC2|max=5，当cosφ=时，得|MC2|2min=，|MC2|min=，∴|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1≤5+1，∴|MN|的取值范围[，6]．【解析】（1）直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可；（2）利用已知，得到|MC2|-1≤|MN|≤|MC2|+1，然后，得到|MC2|2=（4cosφ-1）2+9sin2φ=7cos2φ-8cosφ+10，借助于三角函数的取值情况进行求解即可．本题重点考查极坐标和直角坐标的互化公式、距离问题处理思路和方法等知识，属于中档题．22.已知a，b∈R，a+b=1，x1•x2∈R．（1）求++的最小值；（2）求证：（ax1+bx2）（ax2+bx1）＞x1x2．【答案】（1）解：∵a，b∈R，a+b=1，x1，x2∈R，∴++≥3=3≥3=6，当且仅当a=b=0.5，x1=x2=1时，++的最小值为6；（2）证明：（ax1+bx2）（ax2+bx1）=（a2+b2）x1x2+ab（x12+x22）≥（a2+b2）x1x2+2abx1x2=（a+b）2x1x2≥x1x2．【解析】（1）利用基本不等式，即可求出++的最小值；（2）展开，利用基本不等式可得结论．本题考查基本不等式的运用，考查最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

2014—2015学年高中三年级第二次统一考试 数学试卷（文） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回． 一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． 1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为 A．0 B．1 C．2 D．4 2．已知集合A＝{1，＋1}，B＝{2，4}，则“m＝”是“A∩B＝{4}”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若α∈[0，2π），则满足＝sinα＋cosα的α的取值范围是 A．[0，] B．[0，π] C．[0，] D．[0，]∪[，2π） 4．曲线f（x）＝在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，则实数a＝ A．1 B．－1 C．7 D．－7 5．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若｜AF｜＝5，则｜BF｜＝ A． B．1 C． D．2 6．已知圆C：，若点P（，）在圆C外，则直线l: 与圆C的位置关系为 A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 7．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值的和为 A．6 B．21 C．101 D．126 8．已知不等式表示的平面区域的面积为2，则的最小值为 A． B． C．2 D．4 9．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（2x）的图象的对称轴方程是 A．x＝－1 B．x＝－ C．x＝ D．x＝1 10．已知P是△ABC所在平面内一点，若＝－，则△PBC与△ABC的面积的比为 A． B． C． D． 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体 的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为 A．1 B． C． D．2 12．已知函数f（x）＝若方程f（x）－kx＝1有两个不同实根，则实数k的取值范围为 A．（，e） B．（，1）∪（1，e－1] C．（，1）∪（1，e） D．（，e－1] 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．双曲线（b＞0）的离心率为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为__________。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A考点：集合的运算．2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．考点：正、负相关．2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年19002000 2100 2200 2300 2400 2500 260027004．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质． 5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61D ．51【答案】D 【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B DV a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 17．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±-，所以46MN =，故选C ． 考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A ．0B ．2C ．4D ．14 【答案】B 【解析】 试题分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点：程序框图． 9．已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，a > ba = a -b b = b - a输出a 结 束开 始 输入a ，b a ≠ b 是是否否则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【答案】B 【解析】DPCBOA x考点：函数的图象和性质．11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合 A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( ) A．3 B．11 C．8 D．12 2．已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( ) A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞} 3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于( ) A．B．C．D．﹣ 4．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( ) A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π 6．已知 f（x）是定义域在R上的偶函数，且 f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，设a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则a，b，c的大小关系是，( ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 7．执行如图的程序，则输出的结果等于( ) A．B．C．D． 8．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=，则实数λ的值为( ) A．B．C．D． 9．设 F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为( ) A．B．2 C．D． 10．曲线 y=（x＞0）在点 P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的 周长的最小值为( ) A．4+2 B．2 C．2 D．5+2 11．若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）B．，（﹣，1）∪（9，+∞）C．（1，9）D．（﹣∞，﹣） 12．在平面直角坐标系中，点P是直线 l：x=﹣上一动点，点 F（，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( ) A．B．C．D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=__________． 14．若正四梭锥P﹣ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为__________． 15．将函数 y=sin（x）sin（X+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数ω的最小值为__________． 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知{an}，{bn} 均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn． （1）若平面内三个不共线向量，，满足=a3+a15，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使Sn为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由； （2）若对 n∈N+，有=，求使为整数的正整数n的集合． 18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上． （l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积； （2）若 AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值． 19．已知圆S经过点A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2x﹣y﹣4=0上． （1）求圆S的方程 （2）若直线x+y﹣m=0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围． 20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2． （1）若CC1=2，E为CD1的中点，在侧面ABB1A1内是否存在点F，使EF⊥平面ACD1，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （2）令点K为BB1的中点，平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求DD1的长． 21．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且?=﹣3，其中O为坐标原点． （1）求p的值； （2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程． 22．已知函数f（x）=ln（1+x）m﹣x （1）若函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，求实数m的取值范围； （2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2． 河南省洛阳市2015届高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合 A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( ) A．3 B．11 C．8 D．12 考点：集合的表示法． 专题：集合． 分析：根据题意和z=xy，x∈A且y∈B，利用列举法求出集合C，再求出集合C中的元素个数． 解答：解：由题意得，A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，C={z|z=xy，x∈A且y∈B}， 当x=1时，z=1或2或3；当x=2时，z=2或4或6；当x=3时，z=3或6或9； 当x=4时，z=4或8或12；当x=5时，z=5或10或15； 所以C={1，2，3，4，6，8，9，12，5，10，15}中的元素个数为11， 故选：B． 点评：本题考查集合元素的三要素中的互异性，注意集合中元素的性质，属于基础题． 2．已知i为虚数单位，复数z1=3﹣ai，z2=1+2i，若复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为( ) A．{a|a＜﹣6} B．{a|﹣6＜a＜} C．{a|a＜} D．{a|a＜﹣6或a＞} 考点：复数的代数表示法及其几何意义． 专题：数系的扩充和复数． 分析：求出复数的表达式，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围． 解答：解：∵复数z1=3﹣ai，z2=1+2i， ∴===﹣i； ∴， 解得﹣6＜a＜， ∴实数a的取值范围{a|﹣6＜a＜}． 故选：B． 点评：本题考查了复数的代数运算问题，解题时应注意虚数单位i2=﹣1，是基础题． 3．已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根，则sinθ﹣cosθ的等于( ) A．B．C．D．﹣ 考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：利用根与系数的关系表示出sinθ+cosθ=，sinθcosθ=，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m的值，再利用完全平方公式求出sinθ﹣cosθ的值即可． 解答：解：∵sinθ，cosθ是关于x的方程2x2+（x+m=0（m∈R）的两根， ∴sinθ+cosθ=，sinθcosθ=， 可得（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，即=1+m，即m=﹣， ∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ﹣cosθ＞0， ∵（sinθ﹣cosθ）2=（sinθ+cosθ）2﹣4sinθcosθ=﹣2m=1﹣+=， ∴sinθ﹣cosθ==． 故选：A． 点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 4．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( ) A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数 B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数 C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数 D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数 考点：演绎推理的意义． 专题：推理和证明． 分析：根据三段论推理的标准形式，逐一分析四个答案中的推导过程，可得出结论． 解答：解：对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式； 对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确； 对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式； 对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式； 故选：B 点评：本题主要考查推理和证明，三段论推理的标准形式，属于基础题． 5．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( ) A．B．8﹣2πC．πD．8﹣π 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：根据三视图可判断正方体的内部挖空了一个圆锥，该几何体的体积为23﹣×π×12×2运用体积计算即可． 解答：解：∵几何体的三视图可得出：三个正方形的边长均为2， ∴正方体的内部挖空了一个圆锥， ∴该几何体的体积为23﹣×π×12×2=8， 故选：D 点评：本题考查了空间几何体的三视图，运用求解几何体的体积问题，关键是求解几何体的有关的线段长度． 6．已知 f（x）是定义域在R上的偶函数，且 f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，设a=f（sinπ），b=f（cosπ），c=f（tanπ），则a，b，c的大小关系是，( ) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b 考点：奇偶性与单调性的综合． 专题：函数的性质及应用． 分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论． 解答：解：∵f（x）是定义域在R上的偶函数，且 f（x）在（﹣∞，0]上单调递增， ∴f（x）在[0，+∞）上单调递减， 则tanπ＜﹣1，＜sinπ，＜cosπ＜0， 则tanπ＜﹣sinπ＜cosπ， 则f（tanπ）＜f（﹣sinπ）＜f（cosπ）， 即f（tanπ）＜f（sinπ）＜f（cosπ）， 故c＜a＜b， 故选：C 点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 7．执行如图的程序，则输出的结果等于( ) A．B．C．D． 考点：程序框图． 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法；算法和程序框图． 分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T 的值． 解答：解：执行程序框图，有 i=1，s=0，t=0 第1次执行循环，有s=1，T=1 第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+ 第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++ 第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++ … 第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+ 此时有i=100，退出循环，输出T的值． ∵T=1+++…+，则通项an===， ∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=． ∴输出的结果等于． 故选：A． 点评：本题主要考察了程序框图和算法，考察了数列的求和，属于基本知识的考查． 8．在△ABC中，D为AC的中点，=3，BD与AE交于点F，若=，则实数λ的值为( ) A．B．C．D． 考点：平面向量的基本定理及其意义． 专题：平面向量及应用． 分析：根据已知条件，，能够分别用表示为：，k∈R，，所以带入便可得到，=，所以根据平面向量基本定理即可得到，解不等式组即得λ的值． 解答：解：如图，B，F，D三点共线，∴存在实数k使，； ∴==；=； ∵； ∴； ∴，解得． 故选C． 点评：考查向量加法运算及向量加法的平行四边形法则，共面向量基本定理，以及平面向量基本定理． 9．设 F1F2分别为双曲线x2﹣y2=1的左，右焦点，P是双曲线上在x轴上方的点，∠F1PF2为直角，则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为( ) A．B．2 C．D． 考点：双曲线的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|，a=b=1，c=；|F1P|﹣|F2P|=2，|F1P|2+|F2P|2=8；从而求出|F1P|=+1，|F2P|=﹣1；再出和即可． 解答：解：由题意，不妨设|F1P|＞|F2P|， a=b=1，c=； |F1P|﹣|F2P|=2， |F1P|2+|F2P|2=8； 故（|F1P|+|F2P|）2=2（|F1P|2+|F2P|2）﹣（|F1P|﹣|F2P|）2=2×8﹣4=12； 故|F1P|+|F2P|=2； 则|F1P|=+1，|F2P|=﹣1； 故则sin∠PF1F2的所有可能取值之和为 +==； 故选D． 点评：本题考查了圆锥曲线的应用，考查了圆锥曲线的定义，属于基础题． 10．曲线 y=（x＞0）在点 P（x0，y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的 周长的最小值为( ) A．4+2 B．2 C．2 D．5+2 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：利用导数求出函数y=（x＞0）在点 P（x0，y0）处的切线方程，得到直线在两坐标轴上的截距，由勾股定理求得第三边，作和后利用基本不等式求最值． 解答：解：由y=，得， 则， ∴曲线 y=（x＞0）在点 P（x0，y0）处的切线方程为：y﹣=﹣（x﹣x0）． 整理得：． 取y=0，得：x=2x0，取x=0，得． ∴|AB|==2． ∴△OAB的周长为=（x0＞0） ． 当且仅当x0=1时上式等号成立． 故选：A． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了利用基本不等式求最值，是中档题． 11．若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是( ) A．（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）B．，（﹣，1）∪（9，+∞）C．（1，9）D．（﹣∞，﹣） 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论． 解答：解：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0等价为λ（3x﹣y﹣6）+（x+y+6）=0， 则，解得，即直线过定点D（0，﹣6） 作出不等式组对应的平面区域如图：其中A（2，1），B（5，2）， 此时AD的斜率k==，BD的斜率k==， 当直线过A时，λ=9， 当直线过B时，λ=﹣， 则若直线（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0与不等式组表示的平面区域有公共点， 则满足直线的斜率≤≤， 解得λ∈（﹣∞，﹣）∪（9，+∞）， 故选：A 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大． 12．在平面直角坐标系中，点P是直线 l：x=﹣上一动点，点 F（，0），点Q为PF的中点，点M满足MQ⊥PF，且=λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则|ST|的最小值为( ) A．B．C．D． 考点：圆的切线方程． 专题：直线与圆． 分析：由题意首先求出M的轨迹方程，然后在M满足的曲线上设点，只要求曲线上到圆心的距离的最小值，即可得到|ST|的最小值． 解答：解：设M坐标为M（x，y），由MP⊥l知P（﹣，y）；由“点Q为PF的中点”知Q（0，）； 又因为QM⊥PF，QM、PF斜率乘积为﹣1，即， 解得：y2=2x， 所以M的轨迹是抛物线， 设M（y2，y），到圆心（3，0）的距离为d，d2=（y2﹣3）2+2y2=y4﹣4y2+9=（y2﹣2）2+5， ∴y2=2时，dmln=，此时的切线长为，所以切点距离为2=； ∴|ST|的最小值为； 故选A． 点评：本题考查了抛物线轨迹方程的求法以及与圆相关的距离的最小值求法，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设随机变量ξ～N（μ，σ2），且 P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），P（ξ＞2）=0.3，则P（﹣2＜ξ＜0）=0.2． 考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 专题：计算题；概率与统计． 分析：根据正态分布的性质求解． 解答：解：因为P（ξ＜﹣1）=P（ξ＞1），所以正态分布曲线关于y轴对称， 又因为P（ξ＞2）=0.3，所以P（﹣2＜ξ＜0）=故答案为：0.2． 点评：一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位． 14．若正四梭锥P﹣ABCD的底面边长及高均为2，刚此四棱锥内切球的表面积为（6﹣2）π． 考点：球内接多面体． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：运用分割思想，连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥，由大的四棱锥的体积等于四个三棱锥的体积和一个小的四棱锥的体积之和，根据正四棱锥的性质，求出斜高，即可求出球的半径r，从而得到球的表面积． 解答：解：设球的半径为r，连接OP，OA，OB，OC，OD，得到四个三棱锥和一个四棱锥 它们的高均为r， 则VP﹣ABCD=VO﹣PAB+VO﹣PAD+VO﹣PBC+VO﹣PCD+VO﹣ABCD 即×2×22=r（4×S△PBC+4）， 由四棱锥的高和斜高，及斜高在底面的射影构成的直角三角形得到， 斜高为， ∴S△PBC=×2×=， ∴r=， 则球的表面积为4π×（）2=（6﹣2）π． 故答案为：（6﹣2）π． 点评：本题主要考查球与正四棱锥的关系，通过分割，运用体积转换的思想，是解决本题的关键． 15．将函数 y=sin（x）sin（X+）的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则正数ω的最小值为2． 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：化简可得y=sin（ωx﹣）+将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin（ωx﹣ω﹣）+，所得图象关于y轴对称，可得﹣ω﹣=k，k∈Z，从而可解得正数ω的最小值． 解答：解：∵y=sin（x）sin（X+）=sin2+sinωx==sin（ωx﹣）+， ∴将函数的图象向右平移个单位，所得解析式为：y=sin[ω（x﹣）﹣]+=sin（ωx﹣ω﹣）+， ∵所得图象关于y轴对称， ∴﹣ω﹣=k，k∈Z， ∴可解得：ω=﹣6k﹣4，k∈Z， ∴k=﹣1时，正数ω的最小值为2， 故答案为：2． 点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查． 16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=1，a=2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为． 考点：余弦定理；正弦定理． 专题：计算题；解三角形；不等式的解法及应用． 分析：运用余弦定理和基本不等式，求出最小值，注意等号成立的条件，再由面积公式，即可得到． 解答：解：由于b=1，a=2c， 由余弦定理，可得， cosC====（3c+）≥=， 当且仅当c=，cosC取得最小值， 即有C取最大值，此时a=， 则面积为absinC==． 故答案为：． 点评：本题考查余弦定理和三角形面积公式的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知{an}，{bn} 均为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn． （1）若平面内三个不共线向量，，满足=a3+a15，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使Sn为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由； （2）若对 n∈N+，有=，求使为整数的正整数n的集合． 考点：数列与向量的综合；数列的求和． 专题：等差数列与等比数列；平面向量及应用． 分析：（1）根据平面向量的基本定理和A，B，C三点共线，以及等差数列的性质和求和公式，即可求出定值； （2）根据等差数列的求和公式得到====31+，继而求出正整数n的集合． 解答：解：（1）∵A，B，C三点共线． ∴?λ∈R，使=λ，=λ（）， 即=（1﹣λ）+λ， 又平面向量的基本定理得，，消去λ得到a3+a15=1， ∵a3+a15=a1+a17=1， ∴S17=×17×（a1+a17）=即存在n=17时，S17为定值． （2）由于====31+ 根据题意n+1的可能取值为2，4， 所以n的取值为1或3， 即使为整数的正整数n的集合为{1，3} 点评：本题主要考查了向量以及等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生创造性解决问题的能力，属于中档题 18．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点D在BC边上，点E在AD上． （l）若点D是CB的中点，∠CED=30°，DE=1，CE=求△ACE的面积； （2）若 AE=2CD，∠CAE=15°，∠CED=45°，求∠DAB的余弦值． 考点：三角形中的几何计算． 专题：计算题；解三角形． 分析：（1）运用余弦定理，解出CD=1，再解直角三角形ADB，得到AE=1，再由面积公式，即可得到△ACE的面积； （2）在△ACE和△CDE中，分别运用正弦定理，求出CE，及sin∠CDE，再由诱导公式，即可得到∠DAB的余弦值． 解答：解：（1）在△CDE中，CD==， 解得CD=1， 在直角三角形ABD中，∠ADB=60°，AD=2，AE=1， S△ACE===； （2）设CD=a，在△ACE中，=， CE==（）a， 在△CED中，=，sin∠CDE===﹣1， 则cos∠DAB=cos（∠CDE﹣90°）=sin∠CDE=﹣1． 点评：本题考查解三角形的运用，考查正弦定理和余弦定理，及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 19．已知圆S经过点A（7，8）和点B（8，7），圆心S在直线2x﹣y﹣4=0上． （1）求圆S的方程 （2）若直线x+y﹣m=0与圆S相交于C，D两点，若∠COD为钝角（O为坐标原点），求实数m的取值范围． 考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程． 专题：直线与圆． 分析：（1）线段AB的中垂线方程：y=x，联立，得S（4，4），由此能求出圆S的半径|SA|． （2）由x+y﹣m=0，变形得y=﹣x+m，代入圆S的方程，得2x2﹣2mx+m2﹣8m+7=0，由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围． 解答：解：（1）线段AB的中垂线方程：y=x， 联立，得S（4，4）， ∵A（7，8）， ∴圆S的半径|SA|==5． ∴圆S的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=25． （2）由x+y﹣m=0，变形得y=﹣x+m， 代入圆S的方程，得2x2﹣2mx+m2﹣8m+7=0， 令△=（2m）2﹣8（m2﹣8m+7）＞0， 得， 设点C，D上的横坐标分别为x1，x2， 则x1+x2=m，， 依题意，得＜0， ∴x1x2+（﹣x1+m）（﹣x2+m）＜0， m2﹣8m+7＜0， 解得1＜m＜7． ∴实数m的取值范围是（1，7）． 点评：本题考查圆的半径的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意根的判别式和韦达定理的合理运用． 20．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD为梯形AB∥CD，ABC=90°，BC=CD=2AB=2． （1）若CC1=2，E为CD1的中点，在侧面ABB1A1内是否存在点F，使EF⊥平面ACD1，若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由； （2）令点K为BB1的中点，平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求DD1的长． 考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立坐标系，若存在这样的点F，则可设F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，利用EF⊥平面ACD1，求出y=﹣3，z=5，与0≤y≤1，0≤z≤2矛盾，即可得出结论； （2）设|DD1|=2k（k＞0），求出平面ACK的法向量、平面ACD1的法向量，利用向量的夹角公式，结合平面D1AC与平面ACK所成锐二面角为60°，求出k，即可求DD1的长． 解答：解：（1）以B为原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴，建立坐标系， 则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D1（2，2，2）， 若存在这样的点F，则可设F（0，y，z），其中0≤y≤1，0≤z≤2，=（﹣2，y﹣1，z﹣1），=（2，﹣1，0），=（0，2，2）， ∵EF⊥平面ACD1， ∴，∴y=﹣3，z=5， 与0≤y≤1，0≤z≤2矛盾， ∴不存在满足条件的点F； （2）设|DD1|=2k（k＞0），则K（0，0，k），D1（2，2，2k），=（0，﹣1，k），=（2，1，2k）， 设平面ACK的法向量为=（x，y，z），则， 取=（k，2k，2）， 同理平面ACD1的法向量为=（﹣k，﹣2k，2）， 则=∴k=±或（负值舍去）， ∴DD1的长为或． 点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键． 21．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，且?=﹣3，其中O为坐标原点． （1）求p的值； （2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程． 考点：直线与圆锥曲线的关系． 专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+，代入抛物线方程，运用韦达定理，及平面向量的数量积的坐标表示，即可得到p=2； （2）运用抛物线的定义，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等号成立的条件，求得B的坐标，代入直线方程，求得m，即可得到直线l的方程． 解答：解：（1）设A（x1，y1），Bx2，y2），直线l：x=my+， 代入抛物线方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0， y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2， 由于?=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3， x1x2==， 即有﹣p2=﹣3，解得，p=2； （2）由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1， 则|AM|+4|BM|=x1+4x2+5+5=9， 当且仅当x1=4x2时取得最小值9． 由于x1x2=1，则解得，x2=（负的舍去）， 代入抛物线方程y2=4x，解得，y2=，即有B（）， 将B的坐标代入直线x=my+1，得m=． 则直线l：x=y+1，即有4x+y﹣4=0或4x﹣y﹣4=0． 点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题． 22．已知函数f（x）=ln（1+x）m﹣x （1）若函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数，求实数m的取值范围； （2）求证：（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2． 考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）先求出函数的导数，通过f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立，得到m的范围； （2）由题意得：ln（x+1）＜x，令g（x）=sinx﹣x，通过函数的单调性得sin1＜1，sin＜，…，sin＜，从而ln[（1+sin1）（1+sin）…（1+sin）]＜2，进而证出结论． 解答：解：（1）∵f（x）=mln（1+x）﹣x，∴f′（x）=﹣1， ∵函数f（x）为（0，+∞）上的单调函数， ∴f′（x）≥0恒成立，或f′（x）≤0恒成立， ∵x∈（0，+∞），∴m≥1+x不能恒成立， 而1+x＞1，∴m≤1时，f（x）为单调递减函数， 综上：m≤1； （2）由（1）得m=1时，f（x）在（0，+∞）上是减函数， ∴f（x）＜f（0），即ln（x+1）＜x，x∈（0，+∞）， ∵sin1?sin…sin＞0， ∴ln（1+sin1）＜sin1，…，ln（1+sin）＜sin， 令g（x）=sinx﹣x，x∈（0，），则g′（x）=cosx﹣1＜0， ∴g（x）在（0，）上是减函数， ∴g（x）＜g（0），即sinx＜x，x∈（0，）， ∴sin1＜1，sin＜，…，sin＜， ∴ln（1+sin1）+ln（1+sin）+…+ln（1+sin） ＜sin1+sin+…+sin ＜1++…+ ＜1+++…+=1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=2﹣＜2， 即ln[（1+sin1）（1+sin）…（1+sin）]＜2， ∴（1+sin1）（1+sin）（1+sin）…（1+sin）＜e2． 点评：本题考查了函数的单调性问题，导数的应用，考查了不等式的证明问题，考查转化思想，有一定的难度．。

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 设i 是虚数单位，复数z =2i 1+i，则|z|=( )A 1B √2C √3D 2 2.集合U ={0, 1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}，B ={x ∈Z|x 2−5x +4<0}，则∁U (A ∪B)=( ) A {0, 1, 3, 4} B {1, 2, 3} C {0, 4} D {0}3. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值mn =( )A 1B 13C 29D 384. 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ） A 3种 B 6种 C 9种 D 18种5. 如图，y ＝f(x)是可导函数，直线L:y ＝kx +2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝（ ）A −1B 0C 2D 4 6. 有四个关于三角函数的命题： p 1:sinx ＝siny ⇒x +y ＝π或x ＝y ； p 2:∀x ∈R ，sin 2x2+cos 2x2=1； p 3:x ，y ∈R ，cos(x −y)＝cosx −cosy ； p 4:∀x ∈[0, π2]，√1+cos2x2=cosx ．其中真命题是（ ）A p 1，p 2B p 2，p 3C p 1，p 4D p 2，p 47. 若实数x ，y 满足{2x −y ≥0，y ≥x ，y ≥−x +b ，且z =2x +y 的最小值为4，则实数b 的值为（ ）A 1B 2C 52 D 38. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A 8πB 16πC 32πD 64π9. 已知函数f(x)={x +3,x >ax 2+6x +3,x ≤a 函数g(x)＝f(x)−2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A [−1, 3)B [−3, −1]C [−3, 3)D [−1, 1)10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B +A)+sin(B −A)＝2sin2A ，且c =√7，C =π3，则△ABC 的面积是（ ）A3√34 B 7√36 C √213 D 3√34或7√36 11. 如图，矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A |BM|是定值B 点M 在某个球面上运动C 存在某个位置，使DE ⊥A 1CD 存在某个位置，使MB // 平面A 1DE12. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线的右支于P ，Q 两点，若|PF 1|＝|F 1F 2|，且3|PF 2|＝2|QF 2|，则该双曲线的离心率为（ ）A 75B 43C 2D 103二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知点A(−1, 1)、B(0, 3)、C(3, 4)，则向量AB →在AC →方向上的投影为________． 14. 已知实数m 是2和8的等比中项，则抛物线y =mx 2的焦点坐标为________． 15. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________．16. 已知偶函数y＝f(x)对于任意的x∈[0, π2)满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）．（1）√2f(−π3)<f(π4)（2）√2f(−π3)>f(−π4)（3）f(0)<√2f(−π4)（4）f(π6)<√3f(π3)三、解答题（共8小题，满分70分）17. 已知等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝1，且a3，a4+52，a11成等比数列．(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60∘，∠BCA＝90∘．(Ⅰ)求证：A1B⊥AC1；(Ⅱ)已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．19. 某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A 商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A 商品）．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）．（其中x +y ＝70）购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？(Ⅱ)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围． 20. 设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 左右焦点，B 为短轴端点，且S △BF 1F 2=4，离心率为√22，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ，且满足|OM →+ON →|＝|OM →−ON →|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由 21. 已知函数f(x)＝ax +ln(x −1)，其中a 为常数． (Ⅰ)试讨论f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a =11−e 时，存在x 使得不等式|f(x)|−ee−1≤21nx+bx2x成立，求b 的取值范围．22. 如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． (Ⅰ)求证：AC ⋅BC ＝AD ⋅AE ； (Ⅱ)若AF ＝2，CF ＝2√2，求AE 的长．23. 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =√3cosα+sinαy =2√3sinαcosα−2sin 2α+2（α为参数），若以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22t （t 为参数）． (Ⅰ)求曲线M 和N 的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围． 24. 已知函数f(x)＝|3x +2|． (Ⅰ)解不等式f(x)<4−|x −1|；(Ⅱ)已知m >0，n >0，m +n ＝1，若对任意的x ∈R ，m >0，n >0不等式|x −a|−f(x)≤1m +1n (a >0)恒成立，求正数a 的取值范围．2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. C3. D4. C5. B6. D7. D8.9. A10. B11. C12. A13. 214. (0, ±116)15. 1016. 化简得出√2f(−π3)=√2f(π3)>f(π4)，所以不正确．化简√2f(−π3)>f(−π4)，得出√2f(π3)>f(π4)，所以正确．又根据g(x)单调性可知：g(π4)>g(0)，∴ f(π4)√22>f(0)1，∴ f(0)<√2f(π4)，∵ 偶函数y＝f(x)∴ 即f(0)<√2f(−π4)，所以（1）正确．∵ 根据g(x)单调性可知g(π3)>g(π6)，∴ f(π3)12>f(π6)√32，√3f(π3)>f(π6)．所以（2）正确．故答案为：（3）（4）（5）17. （1）设等差数列公差为d，由题意知d>0，∵ a3，a4+52，a11成等比数列，∴ (a4+52)2＝a3a11，∴ (72+3d)2=(1+2d)(1+10d)，即44d 2−36d −45＝0，解得d =32或d =−1522（舍去）， 所以a n =3n−12；（2）因为b n =1an a n+1=4(3n−1)(3n+2)=43(13n−1−13n+2)，所以数列{b n }的前n 项和T n =43(12−15+15−18+⋯+13n−1−13n+2)=2n3n+2． 18. （1）证明：取AC 的中点O ，连接A 1O ， 由于平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1O ⊥AC ， 所以：A 1O ⊥平面ABC ， 所以：A 1O ⊥BC ， 又BC ⊥AC ，所以：BC ⊥平面A 1AC ，又AC 1⊥A 1C ，A 1C 为A 1B 的射影， 所以：A 1B ⊥AC 1．（2）以O 为坐标原点建立空间直角坐标系O −xyz ， A(0, −1, 0)，B(2, 1, 0)，C(0, 1, 0)，C 1(0, 2, √3)， 则：AB →=(2,2,0)，BB 1→=CC 1→=(0,1,√3)， 设m →=(x, y, z)是平面ABB 1A 1的法向量， 所以：{m →⋅AB →=0m →⋅BB 1→=0 ，{2x +2y =0y +√3z =0求得：m →=(−√3,√3,−1)， 由E(1, 0, 0)求得：EC 1→=(−1,2,√3)，直线EC 1与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值 sinθ＝cos <EC →,m →>=|EC 1→⋅m→|EC 1→||m →||=√4214．19. （1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A ，则P(A)=C 41⋅C 21C 62=815；（2）设销售A 商品获得利润为X ，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件， 当购进A 商品4件时，EX ＝150×4＝600，当购进A 商品5件时，EX ＝(150×4−50)×0.3+150×5×0.7＝690， 当购进A 商品6件时，EX ＝(150×4−2×50)×0.3+(150×5−50)×x 100+150×6×70−x 100=780−2x ，由题意780−2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100−30＝70， 所以x 的取值范围为[45, 70]．x ∈N ∗． 20. （1）∵ 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由题意可得，S △BF 1F 2=12⋅2c ⋅b ＝4，e =ca =√22，且a 2＝b 2+c 2；联立解得，{a 2=8b 2=4； 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；（2）假设存在圆心在原点的圆x 2+y 2＝r 2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M 、N ， ∵ |OM →+ON →|＝|OM →−ON →|， ∴ OM →⋅ON →=0；设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y ＝kx +m ， 解方程组{y =kx +m x 28+y 24=1得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8＝0，则△＝(4km)2−4(1+2k 2)(2m 2−8)＝8(8k 2−m 2+4)>0； 即8k 2−m 2+4>0； ∴ x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2；y 1y 2＝(kx 1+m)(kx 2+m)＝k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2；要使OM →⋅ON →=0， 故x 1x 2+y 1y 2＝0； 即2m 2−81+2k 2+m 2−8k 21+2k 2=0；所以3m 2−8k 2−8＝0，所以3m 2−8≥0且8k 2−m 2+4>0； 解得m ≥2√63或m ≤−2√63； 因为直线y ＝kx +m 为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为r =√1+k 2，r 2=m 21+k 2=83(1+k 2)1+k 2=83；故r =2√63； 即所求圆的方程为x 2+y 2=83； 此时圆的切线y ＝kx +m 都满足m ≥2√63或m ≤−2√63； 而当切线的斜率不存在时切线为x ＝±2√63与椭圆x 28+y 24=1的两个交点为(2√63, ±2√63)，(−2√63, ±2√63)； 满足OM →⋅ON →=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x 2+y 2=83满足条件． 21. （1）由已知易得函数f(x)的定义域为：{x|x >1}， f′(x)＝a +1x−1=ax−a+1x−1，当a ≥0时，f′(x)>0在定义域内恒成立，f(x)的单调递增区间为(1, +∞)， 当a <0时，由f′(x)＝0得x ＝1−1a >1，当x ∈(1, 1−1a )时，f′(x)>0， 当x ∈(1−1a , +∞)时，f′(x)<0，f(x)的单调递增区间为(1, 1−1a )，递减区间为(1−1a , +∞)；（2）由(I)知当a=11−e 时，f(x)=11−ex+ln(x−1)，且f(x)的单调增区间为(1, e)，单调减区间为(e, +∞)，所以f(x)max＝f(e)=e1−e+ln(e−1)<0，所以|f(x)|≥−f(e)=ee−1−ln(e−1)恒成立，（当x＝e时取等号）令g(x)=21nx+bx2x ，则g′(x)=1−lnxx2，当1<x<e时，g(x)>0；当x>e时，g(x)<0，从而g(x)在区间(1, e)上单调递增，在区间(e, +∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(e)=1e +b2，所以，存在x使得不等式|f(x)|−ee−1≤21nx+bx2x成立，只需ee−1−ln(e−1)−ee−1≤1e+b2，即：b≥−2e−2ln(e−1)．22. 证明：(I)如图所示，连接BE．∵ AE是⊙O的直径，∴ ∠ABE＝90∘．又∠E与∠ACB都是AB̂所对的圆周角，∴ ∠E＝∠ACB．∵ AD⊥BC，∠ADC＝90∘．∴ △ABE∽△ADC，∴ AB:AD＝AE:AC，∴ AB⋅AC＝AD⋅AE．又AB＝BC，∴ BC⋅AC＝AD⋅AE．(II)∵ CF是⊙O的切线，∴ CF2＝AF⋅BF，∵ AF＝2，CF＝2√2，∴ (2√2)2＝2BF，解得BF＝4．∴ AB＝BF−AF＝2．∵ ∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴ △AFC∽△CFB，∴ AF:FC＝AC:BC，∴ AC=AF⋅BCCF=√2．∴ cos∠ACD=√24，∴ sin∠ACD=√144=sin∠AEB，∴ AE=ABsin∠AEB =4√14723. （1）由x =√3cosα+sinα，得x 2＝2cos 2α+2√3sinαcosα+1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2−1，x ∈[−2, 2]，由ρsin(θ+π4)=√22t ， 得√22ρsinθ+√22ρcosθ=√22t ， 所以ρsinθ+ρcosθ＝t ，所以N 可化为x +y ＝t ，（2）若曲线N 与曲线M 有公共点，则当直线N 过点(2, 3)时，满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立{x +y =t y =x 2−1 得x 2+x −1−t ＝0， △＝1+4(1+t)＝0，解得t =−54，综上可得t 的取值范围−54≤t ≤5． 24. （1）不等式f(x)<4−|x −1|，即|3x +2|+|x −1|<4，∴ {x <−23−3x −2−x +1<4 ①，或{−23≤x <13x +2+1−x <4 ②，或 {x ≥13x +2+x −1<4 ③．解①求得−54<x <−23，解②求得−23≤x <12，解③求得x ∈⌀．综上可得，不等式的解集为(−54, 12)．（2）已知m +n ＝1(m, n >0)，∴ 1m+1n=(m +n)(1m+1n)＝2+n m+m n≥2+2＝4，当且仅当m ＝n =12时，取等号． 再根据|x −a|−f(x)≤1m+1n(a >0)恒成立，可得|x −a|−f(x)≤4，即|x −a|−|3x +2|≤4．设g(x)＝|x −a|−|3x +2|={2x +2+a,x <−23−4x −2+a,−23≤x ≤a −2x −2−a,x >a，故函数g(x)的最大值为g(−23)=23+a ，再由23+a ≤4，求得 0<a ≤103．。

洛阳市2015——2016学年高三年级第二次统一考试理科综合试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

其中第Ⅱ卷33～40题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共126分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷上无效。

3．非选择题用0．5毫米黑色墨水签字笔直接写在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4．考试结束后，请将答题卡上交。

可能用到的相对原子质量：H：1 C：12 N：14 O：16 Na：23 Mg：24一、选择题（每小题给出的4个选项中只有一个选项符合题意,共13小题，每小题6分，共78分）1．下列关于细胞结构和功能的叙述，不正确的是A．大肠杆菌的DNA中没有游离的磷酸基团B．葡萄糖通过线粒体需要载体蛋白的协助C．内质网发生功能障碍会影响细胞间的相互识别D．细胞的分化、衰老等会导致细胞膜的通透性改变2．在生物体内，下列生理活动不能双向进行的是A．壁分离过程中水分子的运动B．DNA和RNA之间互为模板合成C．必需氨基酸和非必需氨基酸之间的转化D．肝细胞中糖原与葡萄糖的转化3．下列有关变异与进化的叙述中，正确的是A．有利变异个体的增多导致生物朝着特定的方向进化B．共同进化是指不同个体在相互影响中不断进化C．诱变育种目的是培育具有新性状的新物种D．种群通过个体的进化而进化4．右图表示水稻种子成熟过程中生长素、脱落酸和有机物总量的变化情况。

以下说法正确的是A．图中曲线表明生长素能抑制脱落酸的合成B．种子成熟过程中生长素的作用表现为两重性C．蜡熟期脱落酸含量的下降有利于种子中有机物的合成D．生长素和脱落酸能够对基因组的表达进行调节5．糖尿病有Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型之分，其中Ⅲ型的主要特点是脑内胰岛素受体的敏感性降低，出现胰岛素抵抗，同时伴有脑内胰岛素水平下降，对维持神经元存活起重要作用的胰岛素样生长因子－1（IGF－1）及其受体水平也降低。

二练备考一一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1. 设等差数列 的前n 项和为 ， 且 ，则 （ ）A. 11B. 10C. 9D. 82. 已知定义域为R 的函数 不是奇函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）A. B.C.D.3. 已知 ，则“”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 4. 某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰 直角三角形，左视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面 积最大的为（ ）A. B. 4 C. D.5. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C.D.6. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A. B. C. D.7. 如图，已知 ，点在线段上，且，设，则等于（ ） A. B. 3 C.D.8. 设 为三条不同的直线， 为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ） ①若 ，则 与 相交 ②若 则 ③若 || ， || ， ，则 ④若 || ， ， ，则 ||A. 1B. 2C. 3D. 49.已知曲线 ，点 及点 ，从点 观察点 ，要使视线不被曲线挡住，则实数 的取值范围是（ ）A. （4，＋∞）B. （－∞，4）C. （10，＋∞）D. （－∞，10）10. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象（ ）A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度11. 若变量满足，则点所在区域的面积为（）A. B. C. D.12. 设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数的值为．14. ABC的内角A，B，C所对的边分别为，且成等比数列，若= ，=，则的值为．15. 已知点在抛物线的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于x轴的两侧，O是坐标原点，若，则点A到动直线MN的最大距离为 .16. 在直径AB为2的圆上有长度为1的动弦CD，则的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17. 设数列的前项和为，且首项.(Ⅰ)求证：是等比数列；(Ⅱ)若为递增数列，求的取值范围.18. （本小题满分12分）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：(Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号两名同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作和，试求和的分布列和数学期望.19.如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）已知点，为线段，上的点，使得，求当最短时，平面和平面所成二面角的正弦值．20. （12分）已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为．①若直线PA平分线段MN，求的值；②对任意，求证：．21. 设，.（Ⅰ）若在上有两个不等实根，求的取值范围；（Ⅱ）若存在，使得对任意的，都有成立，求实数的取值范围.22. （本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程直线（极轴与轴的非负半轴重合，且单位长度相同）。