矩阵特征值问题的数值方法

矩阵特征值问题的数值方法矩阵特征值设A 是n 阶矩阵，x 是非零列向量. 如果有数λ 存在，满足那么，称x 是矩阵A 关于特征值λ的特征向量. 很显然一般地有主特征值的乘幂迭代法设n 阶矩阵A 的n 个特征值按模从大到小排序为：n 其对应的n 个线性无关的特征向量分别为：设是任意一个非零的n 维向量，则：假设，构造一个向量序列：则：或者：当时：如果是矩阵A 的关于特征值的一个特征向量，特征值个特征那么对于任意一个给定的，也是特征值的特征向量。

所以，是对主特征值对应的特征向量的近似。

如果则会变得很大或者如果，则会变得很大，或者如果，则会变得非常小，在实际计算中，为避免这种情况的出现需对做归一化处理况的出现，需对做归一化处理：由：左乘得：所以主特征值的近似值所以主特征值的近似值：残余误差向量定义为：当迭代次数充分大时，残余误差将充分小。

逆乘幂法：类似地，也可以求模最小特征值和对应的特征向量特征向量。

上述问题的主特征值问题就是矩阵A 的模最小特征值问题。

结果，逆乘幂法的迭代公式为：在实际应用中，无需计算逆矩阵，但需求解线性系统实对称矩阵的基本定理：对实对称矩阵A ，一定存在一个正交相似变换使得为对角矩阵且其对角矩阵P ，使得：为对角矩阵，且其对角的特征值元素为矩阵A 的特征值。

相似变换：相似变换保持矩阵特征值（但不是特征向量）不变不变。

(证明略)正交相似变换：中。

正交相似变换的例子—坐标旋转：叫旋转矩阵。

容易验证：。

适当选择旋转角，可消去xy 项—得到对角阵D 。

矩阵特征值问题的数值方法实对称矩阵的基本定理再看下面的例子：令：O 平面的坐标旋转变换适当同样地有：。

则是在x-O-z 平面的坐标旋转变换。

适当x z —D 。

选择旋转角可消去z 项得到对角阵实对称矩阵的Jacobi 方法：全部特征值和特征向量根据实对称矩阵的基本定理，求得矩阵A 的全部特征值的关键是找到正交相似变换矩阵P 使部特征值的关键，是找到正交相似变换矩阵P ，使得为对角阵。

特征值和特征向量计算的数值方法在数学和计算机科学领域中，特征值和特征向量是非常重要的概念。

特征值和特征向量的计算有许多不同的数值方法，本文将介绍其中一些常见的数值方法，并分析它们的优劣和适用范围。

一、特征值和特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v和一个标量λ，使得Av=λv，那么称v为矩阵A的特征向量，λ为矩阵A的特征值。

特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的性质以及解决一些实际问题。

二、幂法幂法是计算特征值和特征向量的常用数值方法之一。

幂法的基本思想是通过多次迭代，逐渐逼近矩阵的特征值和特征向量。

具体操作如下：1. 初始化一个非零向量b0；2. 进行迭代计算：bi+1 = A * bi / ||A * bi||；3. 取出近似特征向量的最后一列：v = bn；4. 进行迭代计算特征值：λ = (Av)T * v / (vT * v)。

幂法的主要优点是简单易懂，且只需要进行矩阵向量乘法和内积计算。

然而，幂法仅能求取具有最大特征值的特征向量，而且对于存在多个特征值相等的情况并不适用。

三、反幂法反幂法是幂法的一种改进方法，用于求取矩阵A的最小特征值和对应的特征向量。

反幂法的基本步骤如下：1. 初始化一个非零向量b0；2. 进行迭代计算：bi+1 = (A - μI)^-1 * bi / ||(A - μI)^-1 * bi||；3. 取出近似特征向量的最后一列：v = bn；4. 进行迭代计算特征值：λ = (Av)T * v / (vT * v)。

反幂法的改进之处在于引入了矩阵的逆运算，通过使用矩阵A减去一个合适的常数μ乘以单位矩阵来实现。

反幂法适用于矩阵A的特征值接近于μ的情况。

四、QR方法QR方法也是一种常用的特征值计算方法，它适用于求解所有特征值以及对应的特征向量。

QR方法的基本思想是将一个矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，然后迭代地将矩阵A转化为更接近上三角形的形式。

求矩阵特征值的方法矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在许多领域中都有着广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

求矩阵特征值的方法有多种，下面将介绍其中的三种常用方法。

一、特征多项式法特征多项式法是求矩阵特征值的一种常用方法。

它的基本思想是将矩阵A与一个未知数λ相乘，得到一个新的矩阵B=A-λI，其中I为单位矩阵。

然后求解矩阵B的行列式，得到一个关于λ的多项式，称为特征多项式。

矩阵A的特征值就是使特征多项式等于零的λ值。

具体步骤如下：1. 构造矩阵B=A-λI。

2. 求解矩阵B的行列式det(B)。

3. 解特征多项式det(B)=0，得到矩阵A的特征值λ。

二、幂法幂法是求矩阵特征值的一种迭代方法。

它的基本思想是从一个任意的非零向量开始，不断地将其乘以矩阵A，直到向量的方向趋于特征向量的方向，同时向量的模长趋于特征值的绝对值。

具体步骤如下：1. 选择一个任意的非零向量x0。

2. 迭代计算xn+1=Axn/||Axn||，其中||Axn||为Axn的模长。

3. 当xn+1与xn的差值小于某个预设的精度时，停止迭代，此时xn 的模长即为矩阵A的最大特征值，xn/||xn||即为对应的特征向量。

三、QR分解法QR分解法是求矩阵特征值的一种数值方法。

它的基本思想是将矩阵A 分解为QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

然后对R进行迭代，得到一个对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

具体步骤如下：1. 对矩阵A进行QR分解，得到A=QR。

2. 对R进行迭代，得到一个对角矩阵D，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

以上三种方法都有其优缺点，具体选择哪种方法取决于实际应用场景和计算需求。

在实际应用中，还可以结合多种方法进行求解，以提高计算精度和效率。

矩阵特征值的数值解法矩阵的特征值是在矩阵与其特征向量之间的关系中的数值解。

特征值在各个领域中都有广泛应用，包括物理、工程、金融等。

在解决实际问题时，我们经常需要计算矩阵的特征值，因此研究如何求解矩阵特征值的数值方法是非常重要的。

1. 幂迭代法（Power Iteration）幂迭代法是求解矩阵特征值的一种简单而常用的数值方法。

它的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量趋近于该矩阵的一个特征向量。

具体步骤如下：（1）初始化一个非零的初始向量x。

（2）进行迭代计算，即$x^{(k+1)}=Ax^{(k)}/，Ax^{(k)}，$。

（3）当向量x的相对误差小于一些预设的精度要求时，停止迭代，此时的x即为矩阵A的一个特征向量。

（4）将x带入特征值的定义式$\frac{Ax}{x}$，计算出特征值。

幂迭代法的优点是简单易实现，计算速度较快，缺点是只能求解特征值模最大的特征向量，而且对于存在特征值模相近的情况，容易收敛到错误的特征值上。

2. QR迭代法（QR Iteration）QR迭代法是一种较为稳定的求解矩阵特征值的数值方法。

它的基本思想是通过不断进行QR分解，使得矩阵的特征值逐渐收敛。

具体步骤如下：（1）将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，令$A_1=RQ$。

（2）将$A_1$再次进行QR分解，得到新的矩阵$A_2=R_1Q_1$。

（3）重复步骤（2），直到得到收敛的矩阵$A_k$，此时$A_k$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。

QR迭代法的优点是对于特征值模相近的情况仍然能够收敛到正确的特征值上。

缺点是每次QR分解都需要消耗大量的计算量，迭代次数较多时计算速度较慢。

3. Jacobi迭代法（Jacobi's Method）Jacobi迭代法是一种通过对称矩阵的对角线元素进行迭代操作，逐步将非对角元素变为零的求解特征值的方法。

具体步骤如下：（1）初始化一个对称矩阵A。

第八章 矩阵地特征值与特征向量地数值解法某些工程计算涉及到矩阵地特征值与特征向量地求解 .如果从原始矩阵出发，先求 出特征多项式，再求特征多项式地根，在理论上是无可非议地•但一般不用这种方 法,因为了这种算法往往不稳定•常用地方法是迭代法或变换法•本章介绍求解特 征值与特征向量地一些方法•§ 1乘幂法乘幕法是通过求矩阵地特征向量来求特征值地一种 迭代法，它适用于求矩阵 地按模最大地特征值 及对应地特征向量.b5E2RGbCAP 定理8 • 1设矩阵Ai x n 有n 个线性无关地特征向量 X<i=1,2,…,n ）,其对应地特征 值入 i （i =1,2,…,n> 满足 plEanqFDPw|入1|>|入2|三…三|入n |则对任何n 维非零初始向量 乙,构造Z k = AZ k-1（k=1,2.其中（Z k >j 表示向量Z<地第j 个分量. 证明：只就入i 是实数地情况证明如下 因为A 有n 个线性无关地特征向量X,<i = 1,2,用X<i = 1,2, …,n ）线性表示，即Z 0=a 1X 1 + 用A 构造向量序列｛Z k ｝其中由矩阵特征值定义知 AXm i X(i=1,2,…,n>,故Z k 二A k Z^ ：1A k X^ ： 2A k X 2nA kX n 「T ；X1 *〉2'；X2- :'n'n Xn同理有li m (ZQ j_______________ <22?=■ 1<8 • 1) Z 1 二 AZ 0,乙二 AZ= A^Z。

,川，Zk-AZ kj-A Zo(8・2>- k' nkTX ii zz2-nJ 2-7k -AZk」=人X ii =2<A1」<8.3)<8.4 ),设a 1工0,并且注意到…,n )所以任何非零向量Z o 都可 a 2茨 + …+a nX <a 1 工 0) DXDiTa9E3d将<8.3 ）与<8.4 ）所得乙及Z k-1地第j个分量相除| 入i|<| 入…,n> 得RTCrpUDGiT1|(i=1,2,定理8 • 1地证明过程实际上是给出了矩阵地按模最大特征值地计算方法:1） 先任取一非零向量Z 0, 一般可取Z o =（1,1,1> T； 2） 按<8.2 ）式计算 乙=AZ -i （k=1,2,…>;3）当K足够大时,即可求出詔;=6为了减少"1对于所选地第j个分量地依赖性，还可用各个分量比地平均值来代替，即关于对应于入1地特征向量地计算：由<8.1 ）知，当k 充分大时,Z k =入1Z k-1,又由迭代式 Z k = AZ k-1,可知AZ k-1 =入1Z k-1故 由特征值定义知 Z k-1即为入1对应地特征向量，或Z k =入1Z k-1为入1对应地特征向 量.5PCzVD7HxA这种求矩阵地按模最大特征值及其对应特征向量地方法称为 乘幕法. 应用乘幕法计算A 地按模最大特征值入1和对应特征向量时，由<8.3）易知Z k = *-n厲入+送码J y1X ii 2当|入1|>1或|入1|<1时,Z k 中不为零地分量将会随 K 地增大而无限增大，或随K 地 「 ------------ 增大而趋于零，用计算机计算就会出现“上溢”或“下溢” .为了克服这个缺点，一」无 穷 常将迭代向量 乙先规范化，然后再计算，具体做法是:jLBHrnAILg 一，一用max （Z>S 示向量Z k 地绝对值最大地分量，任取一初始向量Z o =a 1X 1+ a 汎+…+ a n X^V a 1工0）构造与<8.2 ）对应地向量序列.xHAQX74J0XAZ o由<8.3）可知Yk = maZk A kZ o max A kZ o max n:X 亠1 1 j ii =2X inM • r ii -2X i丿丿(k tmax X i<8.7J 二 AYA 2Z omax AZ0J 'max 乙max AZ oA 2Z 。

矩阵特征值问题的计算方法特征值问题：A V=λV¾直接计算：A的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值：det(λI-A)=0,特征向量：(λI-A)V=0¾迭代法：幂法与反幂法¾变换法：雅可比方法与QR方法内容：一、 特征值的估计及其误差问题二、 幂法与反幂法三、 雅可比方法四、 QR方法一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计结论 1.1：n 阶矩阵()ij n n A a ×=的任何一个特征值必属于复平面上的n 个圆盘：1,||||,1,2,ni ii ij j j i D z z a a i n =≠⎧⎫⎪⎪=−≤=⎨⎬⎪⎪⎩⎭∑"（10.1） 的并集。

结论1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个连通区域D，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则D中恰有A的m个特征值。

（二）特征值的误差问题结论1.3：对于n 阶矩阵()ij n n A a ×=，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得11(,,)n H AH diag λλ−=Λ="， （10.2）则11min ||||||||||||||i p p p i nH H A λλ−≤≤−≤∆ （10.3）其中λ是A A +∆的一个特征值，而(1,,)i i n λ="是A 的特征值，1,2,p =∞。

结论1.4：若n 阶矩阵A 是实对称的，则1min ||||||i p i nA λλ≤≤−≤∆。

（10.4）注：（10.4）表明，当A 是实对称时，由矩阵的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。

但是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的矩阵，情况未必如此。

二、 幂法与反幂法（一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特征向量假设n 阶实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,1,iV i n ="，则对于任意的0nX R ∈，有 01ni ii X a V ==∑，从而有01111112((/))n nk k k i i i i ii i nk k i i i i A X a A V a V a V a V λλλλ======+∑∑∑.若A 的特征值分布如下：123||||||||n λλλλ>≥≥≥"，则有01111()k kk A X a V λλ→∞⎯⎯⎯→为对应的特征向量须注意的是，若1||1λ<，则10kλ→，出现“下溢”，若1||1λ>，则1kλ→∞，出现“上溢”，为避免这些现象的发生，须对0kA X 进行规范化。

方法求矩阵全部特征值求解矩阵的全部特征值是一个重要的问题，它在线性代数和数值计算中都有广泛的应用。

在本文中，将详细介绍几种方法来求解矩阵的全部特征值，包括特征值分解方法、幂迭代方法、QR方法、Jacobi方法和带位移的QR方法。

特征值是一个矩阵的最重要的性质之一，它描述了矩阵的行为和性质。

特征值可以用于计算矩阵的条件数、正交变换、矩阵的相似性和对角化等。

求解矩阵的全部特征值可以通过特征值分解来实现。

特征值分解是将一个矩阵分解成一个对角矩阵和一个特征向量矩阵的乘积。

根据特征值分解的定义，可以得到以下公式：A=QΛQ^(-1)其中A是一个n×n的矩阵，Λ是一个对角矩阵，Q是一个n×n的正交矩阵，^(-1)表示矩阵的逆。

通过特征值分解，可以求解矩阵的全部特征值和对应的特征向量。

特征值分解的方法有很多种，比如QR方法、Jacobi方法和带位移的QR方法。

幂迭代是一种求解矩阵最大特征值和对应特征向量的迭代方法。

幂迭代的基本思想是通过不断迭代矩阵的幂次来逼近最大特征值和对应特征向量。

幂迭代的过程可以通过以下公式表示：x(k+1)=Ax(k)其中x(k)表示第k次迭代的特征向量，A表示待求解的矩阵。

幂迭代的收敛性取决于一个非零初始向量的选择和特征值的大小。

当初始向量与最大特征值对应的特征向量接近时，幂迭代可以得到最大特征值的逼近值。

通过迭代可以不断逼近最大特征值，同时得到对应特征向量。

QR方法是一种求解实对称矩阵全部特征值的方法，它通过迭代将矩阵变换为上三角矩阵。

QR方法的基本步骤包括QR分解、矩阵相似变换和迭代。

在每一次迭代中，矩阵A都被变换为一个上三角矩阵R，并且特征值逐步靠近对角线的元素。

Jacobi方法是一种通过旋转矩阵将矩阵对角化的方法。

Jacobi方法的基本思想是通过多次相似变换将矩阵的非对角元素逐步置为零，使得矩阵对角化。

Jacobi方法的关键步骤是选择旋转角度和旋转矩阵，通过旋转操作将非对角元素置为零。