第8章_矩阵特征值问题计算
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雅克比方法、QR方法 - 幂法、反幂法、雅克比方法、QR方法
河北联合大学第8章 矩阵特征值问题计算§8.1 幂法 §8.2 反幂法 §8.3 雅克比方法 §8.4 QR 方法1.格什戈林圆盘与特征值的关系。
答：设*()ij n n A a =，则A 的每一个特征值必属于下述圆盘之中1||||,1,2,...,.nii i ij j j i a r a i n l =ﾹ-ﾹ==ﾹ或者说A 的特征值都在复平面上的n 个圆盘的并集中。
如果A 的m 个圆盘组成一个连通的并集S 与余下的n m -个圆盘是分离的，则S 内恰包含A 的m 个特征值。
特别的，如果A 得一个圆盘i D 是与其他圆盘分离的，则D 中精确包含A 的一个特征值。
大致内容可由上图表示：可以在两圆相交部分有一对对称的共轭复根，也可以在实轴的有一个实根。
2.什么是求解特征值问题的条件数？它与求解线性方程组的条件数是否相同？两者间的区别是什么？实对称矩阵的特征值问题总是良态吗？答：(1)特征值条件数定义为：x y xy A k H =),(l AA k ),(l l ≤(2)与求解线性方程组的条件数不同。
线性方程组的条件数是k (A ,l )=1-AA (3)特征向量矩阵的条件数是特征值条件数的上界。
没有线性无关特征向量全集的多重特征值，对扰动是非常敏感的。
(4)实对称阵的特征值不一定总是良态的3.什么是幂法？它收敛到矩阵A 的哪个特征向量？若A 的主特征值1l 为单的，用幂法计算1l 的收敛速度由什么量决定？怎样改进幂法的收敛速度？答：（1）幂法是用来计算矩阵A 按模最大的特征值1l 与对应的特征向量的方法。
（2）(1)k x +可以看作收敛到1l 所对应的特征向量。
(1)k x +=11k l + [1a 1u +()12i ni l l =ﾹ]ﾹ11k l +1a 1u 因此(1)k x +可以近似作为与1l 相应的特征向量。
（3）若A 的主特征值1l 为单的幂法的收敛速度取决于比值12l l 。
第章矩阵特征值的计算
的特征向量的近似值。
规范化乘幂法
令max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。即如果有某i0，使
xi0
max
1 i n
xi
则
max (x) = xi
对任取初始向量x(0)，记
y(0) x(0) max( x(0) )
则
x(1) Ay(0)
一般地，若已知x(k)，称公式
y(k ) x(k ) max( x(k ) )
2
S sin sin 2
2C
（4）
aip aiq
aipC aiq S a pi aip s aiqC aqi
a pp a ppC 2 2a pqC S aqq S 2 aqq a pp S 2 2a pqC S aqqC 2 a pq (a pp aqq )C S a pq (C 2 S 2 ) aqp
它们之间有如下的关系：
ai(pk )
a(k ip
1)
cos
a(k iq
1)
sin
a(k) pi
ai(qk )
ai(pk1) sin
a(k iq
1)
cos
a(k qi
)
i p,q
aaq((pqkkp))源自a(k 1) ppa(k 1) pp
cos2 sin2
2a
(k 1) pq
sin
cos
2a
然后对j = 1, 2, …, n 解方程
x (k2) j
px j (k 1)
qx j(k )
0
求出p 、q 后，由公式
1
p 2
i
q
p
2
2
2
p 2
i
矩阵特征值与特征向量的计算_OK
n阶方阵A的特征值是特征方程 PA()=det(A-E)=0
的根.
A的特征向量是齐次线性方程组 (A-E)x=0
的非零解.
PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。设法通
过数值方法是求它的根。
通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。
若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，
“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，
可得
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11 m ax (11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
i
(
i 1
)
k
i
)
7
i2
所以
8.1.1 幂法
n
xk
Ak x0 max(Ak x0 )
11
i
(
i 1
)
k
i
i2
n
max(11
i
(
i 1
)
k
i
)
lim
k
xk
11 max (11 )
i2 1
max (1 )
y=x/max(x)为向量x例的如规,范设化向向量量x=. (2,1,-5,-1)T,则max(x)=-5,y=(-0.4,-
0.2,1,0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1.
幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算
yk
Axk1
mk max(yk ) xk yk / mk , k 1,2,3,
1 1 1 1
n
n1
n2
1
对应的特征向量为ξn, ξn-1,…, ξ1.
第8章矩阵特征值计算
(2) 如果 A∈Rn×n 有 m 个(m≤n)不同的特征值 λ1 ,λ2 ,…,λm , 则对应的特征向 量 x1 ,x2 ,…xm 线性无关.
5
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
定理 7(对称矩阵的正交约化) 设 A∈Rn×n 为对称矩阵，则 (1) A 的特征值均为实数； (2) A 有 n 个线性无关的特征向量； (3) 存在一个正交矩阵 P 使得
定理 8 (Gerschgorin 圆盘定理) (1) 设 A=(aij)n×n ,则的每一个特征值必属于下属某个圆盘之中
n
| aii | ri
| aij |
j 1, j i
或者说, A 的特征值都在复平面上 n 个圆盘的并集中. (2) 如果 A 有 m 个圆盘组成一个连通的并集 S, 且 S 与余下 n-m 个圆盘 是分
uk
vk
k
vk1 Auk
if
vk1 vk
输出vk 1和k
26
数例值分1析：利用幂法求下列矩阵A 的模 第82章 矩1阵特0征值计算
最大的特征值及相应的特征向量. A 1 3 1
(取初始向量为 v0 (1 1 1)T )
0 1 4
解：Step0
0 u0
v1
vv00
1
(1
0
Au0 (3
1
10
数值分析
D2 :
第8章 矩阵特征值计算
n
| | r2 | a2 j | 2 j 1 j2
D3 :
n
| 4 | r3 | a3 j | 2 j 1 j3
由上述定理结论可知A的三个特征值位于 三个圆盘的并集中，
11
数值分析
第8章 矩阵特征值计算
第8章 矩阵特征值计算
第八章 矩阵特征值计算1 特征值性质和估计工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。
另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1.1 特征值问题及性质设矩阵n n ⨯∈A R （或n n ⨯C ），特征值问题是：求C λ∈和非零向量n R ∈x ，使λ=Ax x (1.1)其中x 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量。
A 的全体特征值组成的集合记为sp()A 。
求A 的特征值问题(1.1)等价于求A 的特征方程()det()0p I λλ=-=A (1.2)的根。
因为一般不能通过有限次运算准确求解()0p λ=的根，所以特征值问题的数值方法只能是迭代法。
反之，有时为了求多项式111()n n n n q a a a λλλλ--=++++的零点，可以把()q λ看成矩阵123101010n a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征多项式（除(1)n -因子不计）。
这是一个Hessenberg 矩阵，可用QR 方法求特征值，从而求出代数方程()0q λ=的根。
矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵A 的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。
本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given 方法和Householder 方法；求任意矩阵全部特征值的QR 算法。
在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。
定理1 设n n R ⨯∈A ，则(1) 设λ为A 的特征值，则λμ-为μ-A I 的特征值；(2) 设12,,,n λλλ是A 的特征值，()p x 是一多项式，则矩阵()p A 的特征值是12(),(),,()n p p p λλλ。
第8章-矩阵特征值计算
min P1 P I ,
( A)
p
pp
(1.5)
其中||·||p为矩阵的p范数，p=1,2,.
证明 由于σ(A)时显然成立,故只考虑̄σ(A).这
时D-I非奇异，设x是A+I对应于的特征向量，由
(A+I-I)x=0左乘P-1可得 (D I )(P1 x) (P1IP)(P1 x), P1 x (D I )1 (P1 IP)(P1 x),
上页 下页
定理7 设A∈Rn×n有n个线性无关的特征向量，
主特征值1满足 |1|>|2||n|，
则对任何非零向量v0(a10)，(2.4)式和(2.7)式成立.
如果A的主特征值为实的重根, 即1=2==r, 且 |r|>|r+1||n|，
又设A有n个线性无关的特征向量，1对应的r个线性
无关的特征向量为x1,x2,,xr，则由(2.2)式有
3 1 5.
A的其它两个特征值2, 3包含在D2, D3的并集中.
上页 下页
现在取对角阵
1 0 0
D1 0 1 0 ,
0 0 0.9
做相似变换
4 1 0
A A1 D1 AD 1
0
10 9
.
0.9 0.9 4
矩阵A1的3个圆盘为
E1 : 4 1,
E2 :
19 , 9
矩阵，则
(1) A的特征值均为实数；
(2) A有n个线性无关的特征向量；
(3) 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且1, 2,, n为A的特征值，而P＝(u1,u2,,un)的列
向量uj为A的对应于j 的单位特征向量.
第章矩阵特征值的计算
第章矩阵特征值的计算矩阵特征值是矩阵理论中的一个重要概念，它在很多领域中都有广泛的应用，如物理、化学、工程等。
本文将从特征值的定义、计算方法和应用举例等方面进行阐述。
一、特征值的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k 是一个常数，那么k称为A的特征值，x称为A的对应于特征值k的特征向量。
从定义可以看出，矩阵A的特征值和特征向量是成对出现的，特征向量可以是一个实数或是一个向量，特征值可以是实数或是复数。
二、特征值的计算方法1.直接计算法此方法适合于较小的矩阵。
给定一个n阶矩阵A，首先构造特征方程det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，λ是未知数，然后求解特征方程得到特征值，将特征值代入(A-λI)x=0求解对应的特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代方法，适用于大型矩阵。
假设特征值的绝对值最大，那么从非零向量b开始迭代过程，令x0=b，求解x1=A*x0，然后再将x1作为初始值，求解x2=A*x1，以此类推，直到收敛为止。
最后，取最终得到的向量xn，其模即为特征值的近似值。
3.QR方法QR方法是一种迭代方法，可以用于寻找特征值和特征向量。
首先将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，然后对R进行迭代，重复进行QR分解，直到收敛。
最后，得到的上三角矩阵的对角元素即为特征值的近似值，在QR分解的过程中，特征向量也可以得到。
三、特征值的应用举例1.物理学中的量子力学量子力学中的哈密顿算符可以表示为一个矩阵，物理量的测量值就是对应的特征值。
例如，电子的自旋可以有上自旋和下自旋两种状态，上自旋对应的特征值为1，下自旋对应的特征值为-12.工程中的振动问题在工程中，矩阵特征值可以用来求解振动问题。
例如，振动系统的自由度决定了特征向量的个数，而特征值则表示了振动的频率。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以预测系统的振动频率和振型。
3.网络分析中的中心性度量在网络分析中，矩阵特征值可以用来计算节点的中心性度量。
8、矩阵特征值问题计算
对应的特征向量x1, x2 ,, xm线性无关.
定理7(对称矩阵的正交约化 ) 设A R nn为对称矩阵 , 则
(1) A的特征值均为实数； (2) A有n个线性无关的特征向量； (3) 存在正交矩阵P使得
1 2 ， P 1 AP n 且i (i 1,2,, n)为A的特征值, 而P (u1,u2 , ,un )的列 向量u j为对应于 j的特征向量.
k
k
k A v0 max(vk ) max max(Ak 1v ) 0 k k 2 n 1 maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 k 1 k 1 2 n maxa1 x1 a2 x2 an xn 1 1 1 (k )
k k 1
lim
vk
a1 x1.
即vk 是1的近似的特征向量. 而主特征值 (vk 1 ) j 1 n (vk 1 ) j 1 , 或1 . (v k ) j n j 1 (v k ) j
定理12 设A R nn有n个线性无关的特征向量, 其特征值
1 2 n ,
并设A的主特征值是实根，且满足
1 2 n ,
现在讨论求1及x1的基本方法.
(2.1)
v0 a1 x1 a2 x2 an xn , (设a1 0)
v1 Av0 a11 x1 a22 x2 ann xn ,
k k 2 n k vk Avk 1 1 a1 x1 a2 x2 an xn . 1 1 k 当k很大时，k 1 a1 x1, vk 1 1vk , Avk 1vk， v
矩阵特征值的计算
矩阵特征值的计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值，就是求特征多项式方程：
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后，再求相应的齐次线性方程组：
(13)
为了防止溢出，计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n
⎨
≈
1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ，为了节省工作量，可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此，计算矩阵 A 的按模
最小的特征值，就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想：把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ，由矩阵 A−1 构造向量序列：
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值，且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此，当给
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩 阵的特征值和特征向量问题。
� 计算方阵 A 的特征值，就是求特征多项式方程：
| A − λI |= 0 即 λn + p1λn−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + pn−1λ + pn = 0
的根。求出特征值 λ 后，再求相应的齐次线性方程组：
(13)
为了防止溢出，计算公式为
⎧ Ay k = xk −1
⎪ ⎨
m
k
=
max(
yk )
( k = 1, 2, ⋅ ⋅⋅)
⎪ ⎩
x
k
=
yk
/ mk
(14)
相应地取
⎧ ⎪
λ
n
⎨
≈
1 mk
⎪⎩ v n ≈ y k ( 或 x k )
(15)
9
(13)式中方程组有相同的系数矩阵 A ，为了节省工作量，可先对
11
11
≤ ≤ ⋅⋅⋅ ≤
<
λ1 λ2
λn −1
λn
对应的特征向量仍然为 v1, v2 ,⋅⋅⋅, vn 。因此，计算矩阵 A 的按模
最小的特征值，就是计算 A−1 的按模最大的特征值。
� 反幂法的基本思想：把幂法用到 A−1 上。
任取一个非零的初始向量 x0 ，由矩阵 A−1 构造向量序列：
xk = A−1xk−1 , k = 1, 2, ⋅⋅⋅
如果 p 是矩阵 A 的特征值 λi 的一个近似值，且
| λi − p |<| λ j − p | , i ≠ j
1 则 λ i − p 是矩阵 ( A − pI )−1 的按模最大的特征值。因此，当给
特征值问题的计算方法
Gi ( A) = { z ∈ C : z − aii ≤ ∑ aij }; i = 1,L , n
j≠i
则 λ ( A) ⊂ G1 ( A) ∪ G2 ( A) ∪ L ∪ Gn ( A)
（ 分解定理） Th8.1.4 谱分解定理）/*Spectral Decomposition*/ n× n n× n 对称矩阵 则存在正交 矩阵， 正交矩阵 设 A ∈ R 为对称矩阵，则存在正交矩阵Q ∈ R T 使得 Q AQ = Λ = diag ( λ1 ,L , λn ) 个特征值。 其中 λ1 ,L , λn 是 A 的n个特征值。 个特征值 定理） （极大极小定理 Th8.1.5 极大极小定理） 对称矩阵 矩阵， 设 A ∈ R n× n 为对称矩阵，且 A的特征值为 λ1 ≥ λ2 ≥ L ≥ λn
∀u0 , u0
∞
=1
设
yk = Auk −1 µk = yk ∞ yk uk =
For k=1,2,3,…
uk 和 µk均收敛，由算法知 收敛， 算法知 Auk −1 = µk uk
lim Auk −1 = lim µk lim uk
k →∞ k →∞ k →∞
Ax = λ1 x
uk
∞
µk → λ1
其中J (λi ) = diag( J1 (λi ), ,L , J k (λi )) ∈ C ni ×ni ;1 ≤ i ≤ r i
λi J j ( λi ) =
1
λi
且除了 J j (λi ) 的排列 O 次序外 J 唯一的 次序外， 是唯一的。 O 1 λi J 称作 A 的Jordan标准型 标准型
n× n
是可对角化的 存在如下分解： 是可对角化的，即 A 存在如下分解： 对角化
第八章矩阵特征值
第八章矩阵特征值8.1特征值的定义在线性代数中，一个n阶方阵A的特征值（Eigenvalue）是指一个标量λ，使得下面的等式成立：Ax=λx其中x是一个非零的n维向量，被称为对应于特征值λ的特征向量（Eigenvector）。
特别地，一些情况下，我们有:AX=λX。
这是一个常见的特殊情况，被称为多重特征值（Multiple Eigenvalues）。
8.2特征值与特征向量的求解我们可以通过以下方式求解矩阵的特征值与特征向量。
1.设A是一个n阶方阵，特征值为λ，特征向量为X，我们有AX=λX。
2.将等式重写为AX–λX=0，再移项得到(A–λI)x=0。
3.构造(A–λI)矩阵，其中I是单位矩阵。
4.解方程组(A–λI)X=0，求解零空间的基础解系（基础特征向量）。
5.基础特征向量的线性组合即为所有特征向量。
8.3特征值的性质矩阵的特征值具有一些性质，包括：1.特征值的个数等于矩阵的阶数。
一个n阶矩阵A最多有n个不同的特征值。
2.特征值的乘积等于矩阵的行列式。
即特征值λ1，λ2，…，λn与矩阵A的特征多项式p(λ)=，A-λI，的系数关系为λ^n+a_{n-1}λ^(n-1)+…+a_1λ+a_0。
3.特征值的和等于矩阵的迹。
即矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn 满足λ1+λ2+…+λn=Tr(A)，其中Tr(A)为矩阵A的迹（对角线上元素之和）。
4.特征值与行列式的关系。
矩阵A的特征值λ1，λ2，…，λn都满足，A-λI，=0，即他们是矩阵A的特征方程的根。
8.4矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵通过相似变换，将其转化为对角矩阵的过程。
对角化的主要目的是将矩阵的运算简化为对角矩阵的运算，从而更易于求解。
一个n阶方阵可以对角化的条件是它有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量数量等于A的阶数。
通过对角化，可以将矩阵A表示为：A=P^(-1)DP其中D是对角矩阵，P是可逆矩阵，P的列向量是A的特征向量。
8矩阵特征值与迭代法
xk k 0，计算其长度序列 || xk ||k 0，即范数 （3）对（2）中产生的向量序列
序列，看看有什么规律 ？ （4）任意选取整数 0, 若记变换矩阵A的谱半径为 ( A),则选取新的变 换矩阵为 0.7018 0.8772 0.8772 0.4386 重复（2）和（ 3）的过程，观察变换后 向量的分布规律和长度 变化规律。 ~ A 1 ( A) （5）分析上面的实验结果 ，并尝试作出解释。
基础知识
2. 向量序列的收敛性
对于非零矩阵 T , 任意选取一个非零初始 向量x0 R n , 做迭代序列 xn 1 Txk , k 0,1,2, 如果存在向量 x* , 使得 lim || xk x* || 0成立，则称该向量序列 xk 收
k
敛于x*，即lim xk x* .
k
基础知识
3.迭代法 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值 递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法 （或者称为一次解法），即一次性解决问题。 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。 它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作 的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤） 进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些 步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
基础知识
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至 少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这 个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的 前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的 建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方 法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这 是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地 重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种 是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是 所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个 固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况， 需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
矩阵的特征值与特征向量的计算与应用
矩阵的特征值与特征向量的计算与应用矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
本文将介绍特征值与特征向量的概念以及它们的计算方法，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，我们将方阵A的特征向量定义为非零向量v，满足Av=λv，其中λ为该特征向量对应的特征值。
特征值与特征向量是成对出现的，一个矩阵可以有一个或多个特征值与对应的特征向量。
特征向量表示了矩阵在某个方向上的拉伸或压缩效果，而特征值则表示了这个特征向量的比例因子。
特征值和特征向量的计算对于理解矩阵在线性变换中的行为非常重要。
二、特征值与特征向量的计算方法要计算矩阵的特征值与特征向量，可以通过求解特征方程来实现。
特征方程的形式为|A-λI|=0，其中A为待求矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
解特征方程可以得到特征值的取值。
得到特征值后，接下来需要计算对应每个特征值的特征向量。
特征向量可以通过解线性方程组(A-λI)v=0来求解，其中v为特征向量的系数。
解线性方程组可以使用高斯消元法或其他数值方法。
三、特征值与特征向量的应用1. 特征值与特征向量在矩阵对角化中的应用特征值与特征向量的计算可以将一个矩阵对角化，即将矩阵表示为对角矩阵的形式。
对角化后的矩阵具有简洁的形式，可以简化矩阵的计算和分析过程。
2. 特征值与特征向量在物理问题中的应用在物理学中，特征值与特征向量广泛应用于力学、电磁学等领域。
例如，特征向量可以表示力学系统的振动模态，特征值则表示对应振动模态的频率。
3. 特征值与特征向量在图像处理中的应用特征值与特征向量在图像处理中具有广泛应用。
例如，在人脸识别中，可以通过计算图像数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，来提取图像的主要特征，从而实现人脸的自动识别。
4. 特征值与特征向量在数据降维中的应用在机器学习中，特征值与特征向量被广泛应用于数据降维。
通过计算数据的协方差矩阵的特征值与特征向量，可以找到数据中最主要的特征，从而实现数据的降维和压缩。
矩阵特征值计算方法
）。
（1）按照行列指标的自然顺序选取旋转平面；
（2）每次迭代选取矩阵中绝对值最大的元素所在的行列作为旋转平面；
（3）每次迭代选取矩阵中非对角元素绝对值最大者所在的行列作为旋转平面；
（4）选取旋转平面的原则是使每次迭代矩阵的 F − 范数尽可能地减少。
二、填空题（每小题 3 分，共计 15 分）
⎡2 1、设 A = ⎢⎢−1
。
1
⎡6 2 1⎤
四、（14
分）已知矩阵
A
=
⎢ ⎢
2
3
1⎥⎥ ，试用带位移的反幂法计算其最接近 6 的特征值及对
⎢⎣1 1 1⎥⎦
应的特征向量，初始向量取
u0
=
(9 5
1
3 )T ，迭代两步。 2
五、（12 分）（1）设 uT u = 1, H = I − 2uuT ，且 v = Hx, x ∈ Rn , w = x + v ，证明 wT u = 0 ；
2 0
−1 1
1 3
⎟ ⎟⎟⎠
，则区间 [0,
4]
内包含矩阵
A
的
5、计算矩阵特征值的雅可比迭代过程中采用
个特征值。 变换方法产生矩阵序列。
三、（10
分）利用幂法求矩阵 A =
⎡11
⎢ ⎣
1
2⎤ 3⎥⎦
的模最大的特征值以及相应的一个特征向量，迭
[ ] 代至相邻两次特征值的误差不超过 0.5 ，取初始向量 x0 = 1 1 T 。
⎢⎣ 2
−1⎤
2
⎥ ⎥
，求一正交矩阵
P
=
2 ⎥⎦
，使得 PA 为上梯形矩阵。
2、如果 A ∈ Rm×n 的所有特征值都是半单的，则称 A 为____
数值分析——矩阵特征值问题计算
17
vk 1k a1x1
即为矩阵 A 的对应特征值 1 的近似特征向量。
且
vk 1 Avk 1k 1a1x1 1vk
用 (vk)i 表示 vk 的第 i 个分量,则当k充分大时,有
vk1 i
vk
i
1
即为主特征值的近似值。
18
定理 设 A Rnn 有 n 个线性无关的特征向量，
主特征值 1 满足
a11k x1 a2k2 x2 ankn xn
1k
a1
x1
a2
2 1
k
x2
an
n 1k Fra bibliotek xn 1k a1x1 k
16
其中
k
a2
2 1
k
x2
an
n 1
k
xn
由假设条件 从而
j 1
1 j 2, ,n, 所以
lim
k
vk
1k
a1x1
lim
k
k
0
所以当k充分大时，有
vk 1k a1x1
9
0.5, 1, 0.8611
3 5.7222, 11.4444, 8.361 4 5.4621, 10.9223, 8.2306 5 5.5075, 11.0142, 8.2576
11.4444 10.9223 11.0142
0.5, 1, 0.7360 0.5, 1, 0.7536 0.5, 1, 0.7494
n
( Ax, x) (x, x)
1
（2）
n
min x0
( Ax, x) (x, x)
（3）
1
max x0
( Ax, x) (x, x)
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第8章 矩阵特征问题的计算
• 8.1 引言 • 8.2 幂法及反幂法 • 8.3 豪斯霍尔德方法 • 8.4 QR方法
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8.1 引 言
工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分 析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特 征向量的问题.
下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.
上页 下页
定理6 ⑴ A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩
阵P使
1
P 1AP
2
,
n
的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
⑵ 如果A∈Rn×n有 m个 (m≤n) 不同的特征值 λ1,λ2, ,λm，则对应的特征向量 x1,x2, , xm 线性无 关.
A2m
,
Amm
n
其中每个对角块Aii均为方阵，则 ( A) ( Aii ) .
i 1
上页 下页
定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵 P使B=P-1AP），则
⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量. 定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A 称为亏损矩阵.
j 1
或
( akk )xk akj k xk akj x j xk akj ,
jk
jk
n
akk akj r k.
j 1
jk
上页 下页
这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘
中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k
是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).
1
1
1
x1 1, x2 0 , x3 2.
1
1
1
上页 下页
下面叙述有关特征值的一些结论： 定理1 设λ为A∈Rn×n的特征值, 且Ax=λx (x0)， 则有 ⑴ cλ为的cA特征值(c≠0为常数)； ⑵ λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x ； ⑶ λk为Ak的特征值，即Akx=λkx ； ⑷ 设A为非奇异矩阵，那么λ≠0 , 且λ-1为A-1的特 征值，即A-1x=λ-1x .
下面讨论矩阵特征值界的估计. 定义3 设n阶矩阵A=(aij)，令
n
⑴ r i aij (i 1,2, .n) ； j 1 ji
⑵ 集合Di z | z aii ri , z C (i 1,2, , n) 称
为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n 个Gerschgorin圆盘.
利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进
一步的估计，即适当选取非奇异对角阵
1 1
D1
1 2
,
1 n
并可做使相某似 些变 圆换 盘半D1径AD及连 ai通ji j性n发n.适生当变选化取. i (i 1,2, , n)
上页 下页
例2 估计矩阵A的特征值范围，其中 4 1 0
A 1 0 1. 1 1 4
解 矩阵A的3个圆盘为
D1 : 4 1, D2 : 2, D3 : 4 2.
由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并
集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一 个特征值λ1(为实特征值)，即
3 1 5.
A的其它两个特征值λ2, λ3包含在D2, D3的并集中.
上页 下页
定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij)，则
a11
( ) det(I A) det
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
n (a11 a22 ann )n1 (次数 n 2的项)
称为A的特征多项式.
A的特征方程
( ) det(I A) 0
例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1
0 1 2
上页 下页
解 矩阵A的特征方程为
2 1 0
( ) det(I A) 1 3 1
0 1 2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0.
求得矩阵A的特征值为：
1, 2, 4.
对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：
上页 下页
定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则
⑴ A的特征值均为实数；
⑵ A有n个线性无关的特征向量；
⑶ 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且λ1,λ2, ,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,
uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
,un) 列向量
上页 下页
特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
上页 下页
证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即
Ax=λx，其中x=(x1,x2, , xn)T0.
记
xk
max
1 i n
xi
x 0 ，考虑Ax=λx的第k个
方程，即
n
akj x j xk ,
(1.1)
一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的
特征值. 用λ(A)表示A的所有特征值的集合.
上页 下页
注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现.
⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.
上页 下页
定理8 (Gerschgorin圆盘定理) ⑴ 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属 于下面某个圆盘之中
n
aii r i aij (i 1,2, .n) j 1 ji
或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. ⑵ 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且
S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个
上页 下页
定理2 设λi(i=1,2, ,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，
则有
n
n
⑴ i aii tr( A) 称为A的迹；
i 1
i 1
⑵ A 12 n .
定理3 设A∈Rn×n，则有
( AT ) ( A) .
定理4 设A 为分块上三角矩阵，即
A11 A12
A
A22
A1m
• 8.1 引言 • 8.2 幂法及反幂法 • 8.3 豪斯霍尔德方法 • 8.4 QR方法
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8.1 引 言
工程技术中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的 振动，机械零件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分 析和相关分析在数学上都可转化为求矩阵特征值与特 征向量的问题.
下面先复习一些矩阵的特征值和特征向量的基础 知识.
一个亏损矩阵是一个没有足够特征向量的矩阵， 亏损矩阵在理论上和计算上都存在困难.
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定理6 ⑴ A∈Rn×n可对角化，即存在非奇异矩
阵P使
1
P 1AP
2
,
n
的充分必要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
⑵ 如果A∈Rn×n有 m个 (m≤n) 不同的特征值 λ1,λ2, ,λm，则对应的特征向量 x1,x2, , xm 线性无 关.
A2m
,
Amm
n
其中每个对角块Aii均为方阵，则 ( A) ( Aii ) .
i 1
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定理5 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵 P使B=P-1AP），则
⑴ A与B有相同的特征值； ⑵ 如果y是B的特征向量，则Py是A的特征向量. 定理5说明，一个矩阵A经过相似变换，其特征 值不变. 定义2 如果实矩阵A有一个重数为k的特征值λ, 且对应于λ的A的线性无关的特征向量个数< k，则A 称为亏损矩阵.
j 1
或
( akk )xk akj k xk akj x j xk akj ,
jk
jk
n
akk akj r k.
j 1
jk
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这说明，A的每一个特征值必位于A的一个圆盘
中，并且相应的特征值λ一定位于第k个圆盘中(其中k
是对应特征向量x绝对值最大的分量的下标).
1
1
1
x1 1, x2 0 , x3 2.
1
1
1
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下面叙述有关特征值的一些结论： 定理1 设λ为A∈Rn×n的特征值, 且Ax=λx (x0)， 则有 ⑴ cλ为的cA特征值(c≠0为常数)； ⑵ λ-p为A-pI的特征值，即(A-pI)x=(λ-p)x ； ⑶ λk为Ak的特征值，即Akx=λkx ； ⑷ 设A为非奇异矩阵，那么λ≠0 , 且λ-1为A-1的特 征值，即A-1x=λ-1x .
下面讨论矩阵特征值界的估计. 定义3 设n阶矩阵A=(aij)，令
n
⑴ r i aij (i 1,2, .n) ； j 1 ji
⑵ 集合Di z | z aii ri , z C (i 1,2, , n) 称
为复平面上以aii为圆心，以ri为半径的n阶矩阵A的n 个Gerschgorin圆盘.
利用相似矩阵性质，有时可以获得A的特征值进
一步的估计，即适当选取非奇异对角阵
1 1
D1
1 2
,
1 n
并可做使相某似 些变 圆换 盘半D1径AD及连 ai通ji j性n发n.适生当变选化取. i (i 1,2, , n)
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例2 估计矩阵A的特征值范围，其中 4 1 0
A 1 0 1. 1 1 4
解 矩阵A的3个圆盘为
D1 : 4 1, D2 : 2, D3 : 4 2.
由定理8，可知A的3个特征值位于3个圆盘的并
集中，由于D1是孤立圆盘，所以D1内恰好包含A的一 个特征值λ1(为实特征值)，即
3 1 5.
A的其它两个特征值λ2, λ3包含在D2, D3的并集中.
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定义1 ⑴ 已知n阶矩阵A=(aij)，则
a11
( ) det(I A) det
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
n (a11 a22 ann )n1 (次数 n 2的项)
称为A的特征多项式.
A的特征方程
( ) det(I A) 0
例1 求A的特征值及特征向量，其中
2 1 0 A 1 3 1
0 1 2
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解 矩阵A的特征方程为
2 1 0
( ) det(I A) 1 3 1
0 1 2
3 72 14 8 ( 1)( 2)( 4) 0.
求得矩阵A的特征值为：
1, 2, 4.
对应于各特征值矩阵A的特征向量分别为：
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定理7(对称矩阵的正交约化) 设A∈Rn×n为对称
矩阵，则
⑴ A的特征值均为实数；
⑵ A有n个线性无关的特征向量；
⑶ 存在一个正交矩阵P使的
1
PT AP
2
,
n
且λ1,λ2, ,λn为A的特征值，而P＝(u1,u2,
uj为A的对应于λj 的单位特征向量.
,un) 列向量
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特征值. 特别地，如果A的一个圆盘Di是与其它圆盘分离
(即孤立圆盘)，则Di中精确地包含A的一个特征值.
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证明 只就⑴给出证明. 设λ为A的特征值，即
Ax=λx，其中x=(x1,x2, , xn)T0.
记
xk
max
1 i n
xi
x 0 ，考虑Ax=λx的第k个
方程，即
n
akj x j xk ,
(1.1)
一般有n个根(实的或复的，复根按重数计算)称为A的
特征值. 用λ(A)表示A的所有特征值的集合.
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注：当A为实矩阵时， (λ)=0为实系数n次代数
方程，其复根是共轭成对出现.
⑵ 设λ为A的特征值，相应的齐次方程组
(I A)x 0
(1.2)
的非零解x称为矩阵A的对应于λ的特征向量.
上页 下页
定理8 (Gerschgorin圆盘定理) ⑴ 设n阶矩阵A＝(aij)，则A的每一个特征值必属 于下面某个圆盘之中
n
aii r i aij (i 1,2, .n) j 1 ji
或者说 A的特征值都在n个圆盘的并集中. ⑵ 如果A有m个圆盘组成一个连通的并集S，且
S与余下n-m个圆盘是分离的，则S内恰包含A的m个
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定理2 设λi(i=1,2, ,n)为n阶矩阵A=(aij)的特征值，
则有
n
n
⑴ i aii tr( A) 称为A的迹；
i 1
i 1
⑵ A 12 n .
定理3 设A∈Rn×n，则有
( AT ) ( A) .
定理4 设A 为分块上三角矩阵，即
A11 A12
A
A22
A1m