(完整版)2.2.3独立重复试验与二项分布

2．2．3独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++13．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立14．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 二、讲解新课： 1 独立重复试验的定义： 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项 3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈. (2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ例3．>3)．解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P (ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P (ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P (ξ>3)=P(ξ=4)+P (ξ=5)=388813 例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率；（2）5次预报中至少有4次准确的概率解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A ．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率4454455(4)0.8(10.8)0.80.41P C -=⨯⨯-=≈ 答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即4454555555555(4)(5)(4)0.8(10.8)0.8(10.8)P P P P C C --=+==⨯⨯-+⨯⨯-450.80.80.4100.328=+≈+≈答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)P P P =-+≈答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75nn P P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5． 答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率 3364455549999991111111()()()()()()()2222222P C C C C =++++ 3459990129999999911()()2()()22C C C C C C C ⎡⎤=+++=-++⎣⎦+991233(246)()2256=-= 设从低层到顶层停k 次，则其概率为k 9999111C ()()()222k k k C -=， ∴当4k =或5k =时，9k C 最大，即991()2k C 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为233256，停4次或5次概率最大． 例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，记事件C =“甲打完5局才能取胜”．①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=． (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++，又因为事件A 、B 、C 彼此互斥， 故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=． 答：按比赛规则甲获胜的概率为12． 例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg 20.3010=）解：记事件A ＝“种一粒种子，发芽”，则()0.8P A =，()10.80.2P A =-=，（1）设每穴至少种n 粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．∵每穴种n 粒相当于n 次独立重复试验，记事件B ＝“每穴至少有一粒发芽”，则00()(0)0.8(10.8)0.2n n n n P B P C ==-=． ∴()1()10.2nP B P B =-=-．由题意，令()98%P B >，所以0.20.02n <，两边取常用对数得， lg0.2lg0.02n <．即(lg 21)lg 22n -<-， ∴lg 22 1.6990 2.43lg 210.6990n ->=≈-，且n N ∈，所以取3n ≥． 答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．（2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为2230.80.20.384P C =⨯⨯==，答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384四、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数）6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．8．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率9．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率10．（1）设在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为8081，试求在一次试验中事件A 发生的概率（2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为13，求在第n 次才击中目标的概率 答案：1. C 2. D 3. A 4. A 5. 0.784 6. 0.0467. 23 8.（1）()323551240333243P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()5552211113243P B P B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 9.⑴5550.90.59049C =； ⑵5550.10.00001C =；⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=； ⑷()()55450.91854P P P =+=10.(1) 23P = (2) 112()33n P -=⋅ 五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k k n n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、课后作业：课本58页 练习1、2、3、4第60页 习题 2. 2 B 组2、3七、板书设计（略）八、课后记：教学反思：1. 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

2．2.3 独立重复试验与二项分布[对应学生用书P31]要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．试想每次试验的前提是什么？提示：条件相同．1．在相同条件下重复地做n次试验，各次实验的结果相互独立，则称它们为n次独立重复试验．2．一般地，如果在一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n).在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8.用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．问题1：试用A i表示B1.提示：B1＝(A1∩A2∩A3)∪(A1∩A2∩A3)∪(A1∩A2∩A3)．问题2：试求P(B1)．提示：因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1∩A2∩A3，A1∩A2∩A3，A1∩A2∩A3两两互斥，故P(B1)＝P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.问题3：用B k表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.问题4：由以上结果你能得出什么结论？提示：P(B k)＝C k30.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.若将事件A发生的次数记为X，事件A不发生的概率为q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C k n p k q n－k，其中k＝0,1,2，…，n.于是得到X的分布列由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q＋p)n＝C0n p0q n＋C1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n p n q0各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．1．独立重复试验满足的条件：(1)每次试验是在相同的条件下进行的；(2)各次试验的结果互不影响，即每次试验是相互独立的；(3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．2．二项分布中各个参数的意义：n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次数；p表示试验成功的概率；1－p表示试验不成功的概率．3．二项分布的特点：(1)对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；(2)重复性：试验在相同条件下独立重复地进行n次，保证每一次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变．[对应学生用书P32][例1] 2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．[思路点拨]由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确，或不准确)，符合独立重复试验模型．[精解详析](1)记“预报1次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次独立重复试验，2次准确的概率为P＝C250.82×0.23＝0.051 2≈0.05.因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C05(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99.(3)由题意知第1,2,4,5次预报中恰有1次准确．所以概率P＝C140.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.即恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.[一点通]1．运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率．2．解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．1．打靶时，甲每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为( ) A ．C 41000.84×0.296 B ．0.84 C ．0.84×0.296D ．0.24×0.296解析：设X 为中靶的次数，则X ～B (100,0.8)， ∴P (X ＝4)＝C 41000.84×0.296. 答案：A2．在4次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13B.25C.56D.34解析：由题意知，C 04p 0(1－p )4＝1－6581，p ＝13.答案：A3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38.(2)乙至少击中目标2次的概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2027. (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A ，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B 1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B 2，则A ＝B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13×C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫233×C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝118＋19＝16.[2](12分)已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X ，求X 的概率分布列； (2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．[思路点拨] (1)X 服从二项分布；(2)共7次试验，前6次试验有3次失败．[精解详析] (1)由题意，随机变量X 可能取值为0,1,2,3，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13.(2分)即P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝827，(4分)P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝49，(5分) P (X ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－131＝29，(6分)P (X ＝3)＝C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127.(7分)所以X 的概率分布列为(8分)(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133×13＝1602 187.(12分)[一点通]解决此类问题的步骤：(1)判断随机变量X 服从二项分布； (2)建立二项分布模型；(3)确定X 的取值并求出相应的概率； (4)写出分布列．4．已知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，则P (X ＝2)等于( ) A.316 B.4243 C.13243D.80243解析：P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243.答案：D5．某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击4次，求击中目标次数X 的分布列． 解：击中目标的次数X 服从二项分布X ～B (4,0.8)， ∴P (X ＝k )＝C k 4(0.8)k (0.2)4－k (k ＝0,1,2,3,4)，即X 的分布列为6.4名考生选做这两题的可能性均为12.(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为X ，求X 的分布列．解：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“(A ∩B )∪(A ∩B )”，且事件A ，B 相互独立．∴P ((A ∩B )∪(A ∩B )) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝12.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.∴P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124(k ＝0,1,2,3,4)． 所以变量X 的分布列为1．独立重复试验概率求解的关注点：(1)运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n 次独立重复试验，判断时可依据n 次独立重复试验的特征．(2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式． 2．二项式(q ＋p )n (p ＋q ＝1)的展开式中，第k ＋1项为T k ＋1＝Ckn q n －k p k ，可见P (X ＝k )就是二项式(q ＋p )n 的展开式中的第k ＋1项，故此公式称为二项分布公式．错误!1．某地人群中高血压的患病率为p ，由该地区随机抽查n 人，则( )A ．样本患病率X /n 服从B (n ，p ) B ．n 人中患高血压的人数X 服从B (n ，p )C ．患病人数与样本患病率均不服从B (n ，p )D ．患病人数与样本患病率均服从B (n ，p ) 解析：由二项分布的定义知B 正确． 答案：B2．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为35，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是( )A ．C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25B ．C 5⎝ ⎛⎭⎪⎫355C ．C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25＋C 5⎝ ⎛⎭⎪⎫355 D ．1－C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫353×⎝ ⎛⎭⎪⎫252 解析：该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形，故所求概率为P ＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫354×25＋C 5⎝ ⎛⎭⎪⎫355. 答案：C3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为( )A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫353×25B ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25C ．C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫353×25D ．C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13解析：甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352×25×35＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫353×25. 答案：A4．位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫123 B ．C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125 C ．C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫123 D ．C 25C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫125 解析：质点由原点移动到(2,3)需要移动5次，且必须有2次向右，3次向上，所以质点的移动方法有C 25种．而每一次向右移动的概率都是12，所以向右移动的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，所求的概率等于P (X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫125.答案：B5．下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)； ②某福彩的中奖概率为P ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，P )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12. 解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②6．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k (1－p )2－k ，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X ＜1)＝1－P (X ＝0) ＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2， ∴1－(1－p )2＝59.结合0≤p ≤1，解之得p ＝13.答案：137．在资料室存放着书籍和杂志，任一读者借书的概率为0.2，而借杂志的概率为0.8，设每人只借一本，现有5位读者依次借阅．(1)求5人中有两人借杂志的概率；(2)求5人中至多有2人借杂志的概率．(保留到0.000 1)解：记“一位读者借杂志”这为事件A ，则“此人借书”为事件A －，5位读者借几次可看作几次独立重复事件．(1)5人中有2人借杂志的概率为P ＝C 25(0.8)2(0.2)3＝0.051 2.(2)5人中至多有2人借杂志，包括三种情况：5人都不借杂志；5人中恰有1人借杂志；5人中恰有2人借杂志．所以求概率为P ＝C 05(0.8)0(0.2)5＋C 15(0.8)1(0.2)4＋C 25(0.8)2(0.2)3≈0.057 9.8．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大汽油灌，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23.(1)求油灌被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 不小于4的概率．解：(1)油灌被引爆的对立事件为油灌没有被引爆，没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为C 15·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝11243， 所以所求的概率为 1－11243＝232243. (2)当X ＝4表示前3次中只有一次击中，第四次击中，则 P (X ＝4)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132·23＝427.当X ＝5时，表示前4次射击只击中一次或一次也未击中，第5次可以击中，也可以不击中， 则P (X ＝5)＝C 14·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19，所以所求概率为P (X ≥4)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝427＋19＝727.。

2．2.3独立重复试验与二项分布学习目标1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．知识点一独立重复试验1．独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．2．独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.思考(1)有放回地抽样试验是独立重复试验吗？(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？答案(1)是．有放回地抽样试验是相同条件下重复做的n次试验，是独立重复试验．(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互之间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的，所以第i次试验的结果不受前i－1次结果的影响(其中i＝1,2，…，n)．知识点二二项分布一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．1．有放回地抽样试验是独立重复试验．(√)2．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(√)3．对于n次独立重复试验，各次试验中事件发生的概率可以不同．(×)4．如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(√)一、独立重复试验的判断例1判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．反思感悟独立重复试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．(2)每次试验相互独立，互不影响．(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生．跟踪训练1下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．其中是独立重复试验的是()A．①B．②C．③D．④答案 D解析①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．二、独立重复试验的概率例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果需用分数作答)(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率． 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率解 (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A 1，由题意，知射击3次，相当于3次独立重复试验，故P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－⎝⎛⎭⎫233＝1927.(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫232＝49，P (B 2)＝C 12×⎝⎛⎭⎫341×⎝⎛⎭⎫1－34＝38，由于甲、乙射击相互独立，故P (A 2B 2)＝49×38＝16.引申探究1．在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．解 记“甲击中目标1次”为事件A 3，“乙击中目标1次”为事件B 3，则P (A 3)＝C 12×23×13＝49，P (B 3)＝38， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P (A 3B 3)＝49×38＝16.2．在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率．解 记“甲未击中目标”为事件A 4，“乙击中2次”为事件B 4，则P (A 4)＝C 02⎝⎛⎭⎫1－232＝19，P (B 4)＝C 22⎝⎛⎭⎫342＝916，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P (A 4B 4)＝19×916＝116. 反思感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．(3)计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．跟踪训练2 甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为23，没有平局．(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解 (1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P ＝⎝⎛⎭⎫232＋C 12×23×13×23＝2027. (2)甲前三局胜，或甲第四局胜，而前三局仅胜两局，或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则 P ＝⎝⎛⎭⎫233＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×23＋C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132×23＝6481.三、二项分布的应用例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用 解 (1)由ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则 P (ξ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫235－k ，k ＝0,1,2,3,4,5. 即P (ξ＝0)＝C 05×⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫235＝32243； P (ξ＝1)＝C 15×13×⎝⎛⎭⎫234＝80243； P (ξ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝80243； P (ξ＝3)＝C 35×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫232＝40243； P (ξ＝4)＝C 45×⎝⎛⎭⎫134×23＝10243； P (ξ＝5)＝C 55×⎝⎛⎭⎫135＝1243. 故ξ的分布列为(2)η的分布列为P (η＝k )＝P (前k 个是绿灯，第k ＋1个是红灯)＝⎝⎛⎭⎫23k ·13，k ＝0,1,2,3,4， 即P (η＝0)＝⎝⎛⎭⎫230×13＝13； P (η＝1)＝23×13＝29；P (η＝2)＝⎝⎛⎭⎫232×13＝427； P (η＝3)＝⎝⎛⎭⎫233×13＝881； P (η＝4)＝⎝⎛⎭⎫234×13＝16243； P (η＝5)＝P (5个均为绿灯)＝⎝⎛⎭⎫235. 故η的分布列为(3)所求概率为P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0) ＝1－⎝⎛⎭⎫235＝211243.反思感悟 (1)对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A ＋B 还是AB ，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解． (2)把一个交通问题抽象为二项分布问题，体现了数学建模的核心素养．跟踪训练3 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列． 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列解 由题意可知X ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， 所以P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫34k ·⎝⎛⎭⎫143－k ，k ＝0,1,2,3， 即P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫340×⎝⎛⎭⎫143＝164； P (X ＝1)＝C 13×34×⎝⎛⎭⎫142＝964； P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫342×14＝2764； P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫343＝2764. 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P164964276427641．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． 2．如果1次试验中某事件发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k .此概率公式恰为[(1－p )＋p ]n 展开式的第k ＋1项，故称该公式为二项分布公式．1．若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，则P (X ＝2)等于( ) A.⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233B.⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133C ．C 25⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫133 D ．C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233 答案 D解析 ∵随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， ∴P (X ＝2)＝C 25⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233. 2．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )A ．C 23⎝⎛⎭⎫142×34B ．C 23⎝⎛⎭⎫342×14C.⎝⎛⎭⎫142×34D.⎝⎛⎭⎫342×14答案 C解析 P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫142×34.3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在1次试验中发生的概率p 的取值范围是( ) A ．[0.4,1] B ．(0,0.4] C ．(0,0.6] D ．[0.6,1]答案 A解析 由题意知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4，故选A.4．在4次独立重复试验中，事件出现的概率相同，若事件A 至少出现一次的概率为6581，则事件A 在一次试验中出现的概率为________． 答案 13解析 设事件A 在一次试验中出现的概率为x ，则1－C 04(1－x )4＝6581，解得x ＝13. 5．将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________． 答案1132解析 正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.一、选择题1．若X ～B (5,0.1)，则P (X ≤2)等于( ) A ．0.665 B ．0.008 56 C ．0.918 54 D ．0.991 44答案 D解析 P (X ≤2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 050.10×0.95＋C 150.1×0.94＋C 250.12×0.93＝0.991 44.2．一头猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为( ) A ．0.93B ．1－(1－0.9)3C ．C 35×0.93×0.12D ．C 35×0.13×0.92答案 C解析 5头猪中恰有3头被治愈的概率为C 35×0.93×0.12. 3．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率是( )A.13B.23C.14D.25考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 B解析 设此射手的命中概率为x ，则不能命中的概率为1－x ，由题意知4次射击全部没有命中目标的概率为1－8081＝181，有(1－x )4＝181，解得x ＝23或x ＝43(舍去)．4．甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为( )A.827B.6481C.49D.89 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 A解析 当甲以3∶1的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P ＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝3×49×13×23＝827，故选A.5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A.⎝⎛⎭⎫125B ．C 25×⎝⎛⎭⎫125C ．C 35×⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25×C 35×⎝⎛⎭⎫125 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案 B解析 如图，由题意可知，质点P 必须向右移动2次，向上移动3次才能位于点(2,3)，问题相当于5次重复试验中向右恰好发生2次的概率，所求概率为P ＝C 25×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫123＝C 25×⎝⎛⎭⎫125.故选B.6．设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (3，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥2)的值为( )A.2027B.827C.727D.127 考点 二项分布的计算及应用 题点 利用二项分布求概率 答案 C解析 易知P (ξ＝0)＝C 02(1－p )2＝1－59，∴p ＝13，则P (η≥2)＝C 33p 3＋C 23p 2(1－p )1＝127＋627＝727. 7．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A.⎝⎛⎭⎫593×49 B.C 35C 14C 45C.35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率 答案 A解析 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为⎝⎛⎭⎫593×49. 二、填空题8．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________． 考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 答案 0.048 6解析 P ＝C 24×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6.9．已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为________． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的计算 答案2027解析 实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率为 P ＝⎝⎛⎭⎫232＋23×13×23＋13×23×23＝2027.10．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用 答案625解析 由已知可求得通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，为负数的概率为12.∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫121＝625. 三、解答题11．甲队有3人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列． 考点 二项分布的计算及应用 题点 求二项分布的分布列解 由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P (ξ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫1－233＝127， P (ξ＝1)＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫1－232＝29，P (ξ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫233＝827， 所以ξ的分布列为12.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为56和45，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中， (1)至少有1棵成活的概率； (2)两种大树各成活1棵的概率． 考点 独立重复试验的计算 题点 n 次独立重复试验概率的应用解 设A k 表示第k 棵甲种大树成活，k ＝1,2，B l 表示第l 棵乙种大树成活，l ＝1,2， 则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立， 且P (A 1)＝P (A 2)＝56，P (B 1)＝P (B 2)＝45.(1)至少有1棵成活的概率为1－P (A 1·A 2·B 1·B 2) ＝1－P (A 1)·P (A 2)·P (B 1)·P (B 2) ＝1－⎝⎛⎭⎫162⎝⎛⎭⎫152＝899900.(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知， 所求概率为P ＝C 12⎝⎛⎭⎫56⎝⎛⎭⎫16·C 12⎝⎛⎭⎫45⎝⎛⎭⎫15 ＝1036×825＝80900＝445.13．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．(1)求获得参赛资格的人数；(2)根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛．已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响．已知他前两次连续答错的概率为19，求甲在初赛中答题个数X 的分布列．解 (1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为 500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125(人)． (2)设500名学生的平均成绩为x ，则x ＝(40×0.006 5＋60×0.014 0＋80×0.017 0＋100×0.005 0＋120×0.004 3＋140×0.003 2)×20＝78.48.(3)设学生甲答对每道题的概率为P (A )， 则(1－P (A ))2＝19，∴P (A )＝23.学生甲答题个数X 的可能值为3,4,5， 则P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫233＋⎝⎛⎭⎫133＝13，P (X ＝4)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫233＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫133＝1027， P (X ＝5)＝C 24×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝827. 所以X 的分布列为14.网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物． (1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X ＝ξη，求随机变量X 的分布列．考点 二项分布的计算及应用 题点 二项分布的实际应用解 依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)， 则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i(i ＝0,1,2,3,4)．(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为 P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281.(2)易知X 的所有可能取值为0,3,4.P (X ＝0)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫230 ＝1681＋181＝1781， P (X ＝3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫231 ＝3281＋881＝4081， P (X ＝4)＝P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481. 所以随机变量X 的分布列是。