n次独立重复试验与二项分布教学设计

§2．2．3独立重复实验与二项分布教学目标：知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1、相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅二、讲解新课： 1 指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验2．独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．三、讲解范例：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 ) ＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈. (2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P (X ≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，P(ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P(ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095，P(2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)． 解：依题意，随机变量ξ～B ⎪⎭⎫ ⎝⎛61,5．∴P(ξ=4)=6561445⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛C =777625，P(ξ=5)=55C 561⎪⎭⎫ ⎝⎛=77761． ∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=388813四、课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 答案：1. C 2.D 3. A五、小结 ：1．独立重复试验要从三方面考虑第一：每次试验是在同样条件下进行第二：各次试验中的事件是相互独立的第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生2．如果1次试验中某事件发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为k n k k n n P P C k P --=)1()(对于此式可以这么理解：由于1次试验中事件A 要么发生，要么不发生，所以在n 次独立重复试验中A 恰好发生k 次，则在另外的n k -次中A 没有发生，即A 发生，由()P A P =，()1P A P =-所以上面的公式恰为n P P ])1[(+-展开式中的第1k +项，可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系六、布置作业：课本58页 练习1、2、3、4第60页 习题 2. 2 B 组2、3七、板书设计（略）八、教学反思：1. 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

《独立重复试验与二项分布》教案1学习目标：1 理解n 次独立重复试验模型与二项分布，并能解决一些简单问题。

2 通过探索、研究、归纳、总结形成较为科学的知识网，并掌握知识之间的联系 教学重、难点：n 次独立重复试验模型与二项分布的简单应用教学过程:（一）知识链接（1）什么是相互独立事件？（2）相互独立事件公式是（二）问题导引1.分析下面的试验，它们有什么共同特点？⑴投掷一个骰子投掷5次;⑵某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;⑶一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球; ⑷生产一种零件，出现次品的概率是0.04,共同特点是: 多次重复地做同一个试验.（三）自主探究自主学习课本55页例1以上部分内容，并完成以下问题：思考与讨论:1.独立重复试验有哪些特点？ 知识点梳理：1、n 次独立重复试验: 一般地,在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。

在n 次独立重显然，)(...)()()...(212n n A P A P A P A A A P ⨯⨯= ∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响,∴上面等式成立.2、独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，A 事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。

3、二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生 的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为()(1),0,1,2,...,.k k n k n P X k C p p k n -==-=（4）此时称随机变量X 服从二项分布，记作X~B(n,p)。

注: ()()k k n k n n n P k c p q p q -=+是 展开式中的第 1k + 项.典例探讨例1、在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问三个投保人中：(1)全部活到65岁的概率； (2)又2个活到65岁的概率； (3)又1个活到65岁的概率； (4) 都活不到65岁的概率；解：设A=“1个投保人能活到65岁”：，则A --=“1个投保人活不到65岁”。

课题：独立重复试验与二项分布（第一课时）授课教师： 江鹏 时间：2015年4月3日 班级：高二2班教学目标1、理解n 次独立重复试验及二项分布模型，了解二项分布模型与二项式定理及两点分布的联系。

2、会判断一个具体问题是否是n 次独立重复试验，是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力。

3、在小组合作学习中，独立思考与合作交流结合，使学生在互交互学中达到知识互补与内化，增强合作意识与培养良好的人际交往能力。

教学重点理解n 次独立重复试验及二项分布模型教学难点n 次独立重复试验及二项分布模型的应用教学手段多媒体辅助教学教学基本流程：（一）创设情景 导入新课1、用三个臭皮匠顶个诸葛亮的数学分析导入课堂，激起学生兴趣。

2、尝试练习；问题1：分析下面的试验，是否为独立重复试验？它们的相同点是什么？⑴投掷一个硬币投掷5次;⑵某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;(3)一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球;(4)生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.问题2：判断下列试验是不是独立重复试验．(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上．(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中．(3)口袋中装有5个白球、3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．（二）小组合作，师生互动探究。

以此进行n 次独立重复试验的概念辨析。

教师提示学生从各次试验的条件，结果，独立性，概率等角度归纳总结。

（三）n 次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在n 次独立重复试验中，记)()()()(P P n 321n 321A P A P A P A A A A A i A i ）（次试验的结果”显然，是“第 独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，A 事件发生的条件相同，概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。

课题：独立重复试验与二项分布BGST 运用：1、课程标准：使学生正确理解独立重复试验与二项分布的意义，解决一些简单的实 际应用问题。

2、学习目标：理解n 次独立重复试验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。

3、教学重点：独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

4、教学难点：二项分布模型的构建。

5、考点解读：古典概型使用公式时，确定m 和n 是关键；几何概型要统一度量；会计算n 次独立重复试验中恰好发生k 次。

独立重复试验与二项分布一、复习引入（大约2分钟）：1. 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .2. 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P A B =3. 事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =，称A 与B4. 离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布：如果离散型随机变量X 的分布列为 则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布。

二点分布二、概念形成（大约10分钟）实例1：将一枚均匀硬币随机掷10次，求正好出现5次正面的概率。

思考1、前一次结果是否影响后一次？也就是每次的结果是否相互独立？2、每次试验的结果有几个？结论1、各次试验结果不会受其他次试验结果影响；2、本小节涉及的每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及 ，并且事件A 发生的概率相同。

在相同条件下，重复的做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验。

实例2：姚明在某场比赛中得到4次罚球机会，假设每次投篮都互不影响。

如果姚明投篮命中的概率为p,求投中X次的概率。

A表示事件“第k次投中”分析：用k一般的，事件A在n次试验中发生k次，共有种情形，由试验的独立性知道A在k 次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是（在一次试验中事件A发生的概率是p）,那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为例1、在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试问3个投保人中：（1）全部活到65岁的概率；（2）有两个活到65岁的概率；（3）有1个活到65岁的概率；（4）都活不到65岁的概率。

二项分布与超几何分布第1课时n次独立重复试验与二项分布学习目标核心素养1．理解n次独立重复试验的模型．重点2．理解二项分布．难点3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题1．通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学抽象的素养．2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为，乙班取胜的概率是，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．问题：如果你是甲班的一名同学，你认为采用哪种赛制对你班更有利？1．n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验．思考：独立重复试验必须具备哪些条件？[提示]1每次试验的条件完全相同，相同事件的概率不变；2各次试验结果互不影响；3每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的．2．二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记q＝1－，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0,1，…，，…，n}，而且PX＝＝C错误!q n－，＝0,1，…，n，因此X的分布列如下表所示．X 01……nP C错误!0q nC错误!1q n－1…C错误!q n－…C错误!n q0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式q＋n＝C错误!0q n＋C错误!1q n－1＋…＋C错误!q n－＋…＋C错误!n q0中对应项的值，因此称X服从参数为n，的二项分布，记作X～Bn，．1．思考辨析正确的打“√”，错误的打“×”1n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种．2两点分布是特殊的二项分布．3二项分布可以看作是有放回抽样．4n次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同．[答案]1×2√3√4×2．若X～B10,，则PX＝8等于A．C错误!××B．C错误!××C．×D．×A[∵X～B10,，∴PX＝8＝C错误!××，故选A]3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________．错误![抛掷一枚硬币出现正面的概率为错误!，由于每次试验的结果不受影响，故由n次独立重复试验可知，所求概率为P＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!]4．下列说法正确的是________．填序号①某同学投篮的命中率为，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B10,；②某福彩的中奖概率为，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B8，；③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B错误!①②[①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．]独立重复试验的概率错误!错误!击中目标，相互之间没有影响．1求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；2求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．[解]1记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验．故P A1＝1－P\to A1＝1－错误!错误!＝错误!2记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P A2＝C错误!×错误!错误!＝错误!，PB2＝C错误!×错误!错误!×错误!＝错误!由于甲、乙射击相互独立，故P A2B2＝错误!×错误!＝错误!1．变结论在本例2的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率．[解]记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P A3＝C错误!×错误!×错误!＝错误!，PB3＝错误!，所以甲、乙均击中目标1次的概率为P A3B3＝错误!×错误!＝错误!2．变结论在本例2的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率．[解]记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P A4＝C错误!错误!错误!＝错误!，PB4＝C错误!错误!错误!＝错误!，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P A4B4＝错误!×错误!＝错误!独立重复试验概率求法的三个步骤二项分布遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是错误!1求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；2求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列．[思路点拨]1首先判断ξ是否服从二项分布，再求分布列．2注意“首次遇到”“或到达”的含义，并明确η的取值，再求η取各值的概率．[解]1ξ～B错误!，ξ的分布列为Pξ＝＝C错误!错误!错误!错误!错误!，＝0,1,2,3,4,5故ξ的分布列为ξ01234 5P 错误!错误!错误!错误!错误!错误!2η的分布列为Pη＝＝P前个是绿灯，第＋1个是红灯＝错误!错误!·错误!，＝0,1,2,3,4；Pη＝5＝P5个均为绿灯＝错误!错误!故η的分布列为η01234 5P 错误!错误!错误!错误!错误!错误!1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～Bn，中的试验次数n与成功概率2．解决二项分布问题的两个关注点1对于公式PX＝＝C错误!1－n－＝0,1,2，…，n必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．2判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．错误!1．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做每道题的可能性均为错误!，且各人的选择相互之间没有影响．1求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；2设这4名考生中选做第15题的人数为ξ名，求ξ的分布列．[解]1设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“A∩B＋\toA∩\toB”，且事件A，B相互独立．∴P A∩B＋\toA∩\toB＝P APB＋P\toAP\toB＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!2随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～B错误!∴Pξ＝＝C错误!错误!错误!错误!错误!＝C错误!错误!错误!＝0,1,2,3,4．∴随机变量ξ的分布列为ξ0123 4P 错误!错误!错误!错误!错误!独立重复试验与二项分布的综合应用1．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？[提示]服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．2．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？[提示]不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点．判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是不是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．【例3】甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为错误!，乙队中3人答对的概率分别为错误!，错误!，错误!，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．1求随机变量ξ的分布列；2用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P AB．[思路点拨]1由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，＝错误!2AB表示事件A，B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．[解]1由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ＝0＝C错误!错误!错误!＝错误!，Pξ＝1＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!，Pξ＝2＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!，Pξ＝3＝C错误!错误!错误!＝错误!所以ξ的分布列为ξ012 3P 错误!错误!错误!错误!2用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB ＝C∪D，且C，D互斥，又PC＝C错误!错误!错误!错误!错误!错误!＝错误!，PD＝C错误!错误!错误!错误!＝错误!，由互斥事件的概率公式得P AB＝PC＋PD＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解错误!2．9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．[解]因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为错误!错误!＝错误!，所以单个坑不需要补种的概率为1－错误!＝错误!设需要补种的坑数为X，则X的可能取值为0,1,2,3，这是3次独立重复试验，PX＝0＝C错误!×错误!错误!错误!错误!＝错误!，PX＝1＝C错误!×错误!错误!×错误!错误!＝错误!，PX＝2＝C错误!×错误!错误!×错误!错误!＝错误!，PX＝3＝C错误!×错误!错误!×错误!错误!错误!，所以需要补种坑数的分布列为X 012 3P 错误!错误!错误!错误!1．独立重复试验的基本特征1每次试验都在同样条件下进行．2每次试验都只有两种结果：发生与不发生．3各次试验之间相互独立．4每次试验，某事件发生的概率都是一样的．2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义1．某学生通过英语听力测试的概率为错误!，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是A[记“恰有1次获得通过”为事件A，则P A＝C错误!错误!·错误!错误!＝错误!故选A]2．某电子管正品率为错误!，次品率为错误!，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则Pξ＝3＝A．C错误!错误!错误!×错误!B．C错误!错误!错误!×错误!\u122×错误!错误!错误!×错误!C[ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是错误!错误!×错误!] 3．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是错误!，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________．错误![所有同学都不通过的概率为错误!错误!，故至少有一位同学通过的概率为1－错误!错误!＝错误!]4．设X～B4，，且PX＝2＝错误!，那么一次试验成功的概率等于________．错误!或错误![PX＝2＝C错误!21－2＝错误!，即21－2＝错误!错误!·错误!错误!，解得＝错误!或＝错误!]5．教材P79练习BT1改编某气象站天气预报的准确率为80%，计算结果保留两位小数：1“5次预报中恰有2次准确”的概率；2“5次预报中至少有2次准确”的概率．[解]1记“预报1次准确”为事件A，则P A＝5次预报相当于5次独立重复试验．“恰有2次准确”的概率为P＝C错误!××＝2≈，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为2“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝C错误!×＋C错误!××＝72所以所求概率为1－P＝1－72≈所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为。

《第八讲n次独立重复试验与二项分布》教学设计（初稿）C ．15D ．120做题方法： 条件概率的求法(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝P (AB )P (A )．这是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A )．考点二 相互独立事件——多维探究 角度1 相互独立事件同时发生的概率例2 (1)(2022·石家庄质检)甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0．8，乙解决这个问题的概率是0．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是( )A ．0．48B ．0．52C ．0．8D ．0．92(2)(2019·全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0．6，客场取胜的概率为0．5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率是___．(3)(2019·课标Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．5，乙发球时甲得分的概率为0．4，各球的结果相互独立．在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．①求P(X＝2)；②求事件“X＝4且甲获胜”的概率．角度2与相互独立事件相关的数学期望例3(2022·内蒙古包头调研)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件甲、乙、丙需要调整的概率分别为0．1,0．3,0．4，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件甲、乙中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．做题方法：求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．(2)正面计算较繁琐(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．考点三独立重复试验的概率与二项分布——师生共研例4(1)(2022·“四省八校”联考)已知随机变量ξ服从二项分布B(n，p)，若E(ξ)＝12，D(ξ)＝3，则n＝____．(2)(2021·山东枣庄期末)2020年是不平凡的一年，世界经济都不同程度地受到疫情的影响．某公司为了促进产品销售，计划从2020年11月起到2021年2月底，利用四个月的时间，开展产品宣传促销活动，为了激励员工，拟制定如下激励措施：从2020年11月1日开始，全部销售员工的销售业绩等级定为0级，每月考核一次，若员工A ．4B ．5C ．6D ．73．(2022·甘肃嘉峪关一中模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( )A ．25B ．35C ．18125D ．541254．(2022·山东日照联考)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．165．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱子，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝⎛⎭⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×496．(2022·江苏镇江八校期中联考)甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以31的比分获胜的概率为( )A ．827B ．6481C ．49D ．897．(2022·重庆市诊断)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为( )A ．313B ．413C ．14D ．158．(2021·河南新乡市二模)某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为( )各局比赛结果相互独立，则甲队以32获胜的概率是 .三、解答题14．(2022·云南大理统测)三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是12，乙、丙两人同时投进的概率是320，甲、丙两人同时投不进的概率是15，且三人各自能否投进相互独立．(1)求乙、丙两人各自投进的概率；(2)设ξ表示三人中最终投进的人数，求ξ的分布列和数学期望．15．(2022·陕西汉中质检)清华大学自主招生考试题中要求考生从A ，B ，C 三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A ，B ，C 三题答卷如下表：题 A B C 答卷数180300120(1)负责招生的教授为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A 题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B ，C 题作答的答卷中各抽出的多少份？(2)测试后的统计数据显示，A 题的答卷得优的有60份，若以频率作为概率，在(1)问中被抽出的选择A 题作答的答卷中，记其中得优的份数为X ，求X 的分布列及其数学期望E (X )．B 组能力提升（选做题）1．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率均为23，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为 .2．(2020·天津和平区期末)某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16，现有3名同学独立地从中任取一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为( )A ．136B ．112C ．16D ．133．(2021·黑龙江哈尔滨六中考前押题)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( )。

2.2.3独立重复实验与二项分布（教案设计）教案目标知识与技能：理解n 次独立重复实验及二项分布模型，会判断一个具体问题是否服从二项分布，培养学生的自主学习能力、数学建摸能力，并能解决相应的实际问题。

过程与方法：通过主动探究、自主合作、相互交流，从具体事例中归纳出数学概念，使学生充分体会知识的发现过程，并渗透由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法。

情感态度与价值观：使学生体会数学的理性与严谨，了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想，培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。

教案重点：独立重复实验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

教案难点：二项分布模型的构建。

教案过程：一、复习回顾：1、条件概率：在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：()(|)()P AB P B A P A =2、事件的相互独立性：事件A 与事件B 相互独立，则： P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立二、创设情景，新课引入：三个臭皮匠顶个诸葛亮的故事已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.6,老二为0.6,老三为0.6,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为三、师生互动，新课讲解：1、分析下面的实验，它们有什么共同特点？ （1）投掷一个骰子投掷5次。

（2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次。

（3）实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）。

（4）抛硬币实验。

在研究随机现象时，经常需要在相同的条件下重复做大量实验来发现规律。

例如掷硬币结果的规律，需要做大量的掷硬币实验。

显然，在n 次重复掷硬币的过程中，各次实验的结果都不会受其他实验结果的影响，即P(A 1A 2...A n )=P(A 1)P(A 2)...P(A n ). （1） 其中i A =),...,2,1(n i =是第i 次实验的结果。

教学设计教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图的4个n次独立重复试验的概念：一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验。

学生填空，引导学生理性质。

特征：解n次独立重复试验新知探1、每次试验是在相同条件下的4个性质，理解“相同条件下”的意义。

究1：新知重复进行的新知重探究2、每次试验都只有两种结果：发点概念1 生或不发生。

(5 3、每次试验中事件是相互独立分）的。

4、每次试验某事件发生的概率是相同的。

1、投掷一枚质地不均的骰子5次2、某人射击1次击中目标的概牛刀率是0.8,他射击十次找学生作答，并能找出练习巩小试3、一个盒子中装有5个球，其题中红色部分的关键固所学中红色3个黄色两个，有放回的从中依次取3个字，理解“相同条件下”n次独4、一个盒子中装有5个球，其立重复中红色3个黄色两个，无放回的从中依次取3个试验5、掷一枚质地均匀的硬币10次新知探究掷一枚图钉，针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p则连续学生讨论并找同学回2 投掷3次其中1次针尖向上的概率答。

(15 为？1、上下下，下上下，分）设置问题如下：1、投掷图钉3次包括哪几种情下下上新知探究2 况？2、 AAA,AAA,AAA2、设针尖向上的事件记为A针尖向下记为A则用符号怎样表示？3、记1次针尖向上事件为A则1 次针尖向上概率如何表示？4、这几个事件之间有什么样的关系？5、1次针尖向上的概率为？提出问题：若0次2次3次针尖向3、P(A1) P(AAA)P(AAA) P(AAA)将复杂问题分4、事件之间是相互解成小独立的。

即问题，引导学P(AAA)5、生自己P(A)P(A)P(A)找到答案，符合新课最终结论：标理念2P(A) 3pq 2通过学生讨论由活跃气氛调动学生学习的积极性学生回答表格中的数1以表据观察系数的关系1、p的指数与q的指格的形数和为3。

式展示k次针2、针尖向上的次数与p的指数相同。

尖向上3、系数根据意义为的相同点与不同点2逐渐引导学生自主探索，得出投掷图钉3次k 次针尖向上的概率、— k k 3 k寻找答案。

学案5 独立重复试验与二项分布【学习目标】1、理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。

2、承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值【学习重难点】独立重复试验的概念形成及二项分布的发现与应用、概率模型的识别与应用前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，吻合模型用公式去求概率简便。

那么求概率还有什么模型呢？分析下面的试验，它们有什么共同特点？（1）投掷一个骰子投掷5次；（2）某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次；（3）实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）；（4）一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球；（5）生产一种零件，出现次品的概率是0.04，生产这种零件4件。

基本概念1、n次独立重复试验：独立重复试验的特点：1）每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生；2）任何一次试验中，A事件发生的概率相同，即相互独立，互不影响试验的结果。

探究投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？2、运用n次独立重复试验模型解题例1:某射手每次射击击中目标的概率是0.8.求这名射手在10次射击中（1）恰有8次击中目标的概率（2）至少有8次击中目标的概率.（结果保留两个有效数字）练习 已知一个射手每次击中目标的概率为53=P ，求他在三次射击中下列事件发生的概率。

（1）命中一次；（2）恰在第三次命中目标；（3）命中两次；（4）刚好在第二、第三两次击中目标。

例2 在图书室中只存放技术书和数学书，任一读者借技术书的概率为0.2，而借数学书的概率为0.8，设每人只借一本，有5名读者依次借书，求至多有2人借数学书的概率。

变式练习甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人各投篮3次，每人恰好都投中2次的概率是多少？例3 实力相等的甲乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）。

《独立重复试验及二项分布》教学设计一、教材及学情分析 本节内容是新课标教材选修2—3第二章《随机变量及其分布》的第二节《二项分布及其应用》的第三小节．通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识：古典概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及两点分布、超几何分布和分布列的有关内容。

独立重复试验是研究随机现象的重要途径之一，很多概率模型的建立都以独立重复试验为背景，二项分布就是来自于独立重复试验的一个概率模型。

二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，而超几何分布在产品数量n相当大时可以近似地看成二项分布。

在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似地服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。

可以说本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建，是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。

会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。

因此本节课宜采用以学生探究、发现为主的教学模式，让学生从具体试验得到独立重复试验，再得出二项分布，体会知识的过渡的思维，让学生有充分自由表达、质疑、探究问题的机会，在活动中学习、创新、提高。

二、三维目标1、知识与技能(1)理解n次独立重复试验的模型。

(2)掌握二项分布，并能利用它解决一些简单的实际问题。

2、过程与方法通过具体例子的学习，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神。

三、教学重点、难点重点：n次独立重复试验和二项分布的概念。

难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算四、教学过程（一）独立重复试验概念的引入教师：同学们喜欢什么奥运会项目？（各种不同的答案）教师：我最喜欢射击。

假设我击中目标的概率是0.8，那么我射击一次，用x 表示击中的次数，请写出x的分布列。

教学设计课题：独立重复试验与二项分布 教学目标： 知识目标：在了解条件概率和相互独立事件概念的前提下，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

渗透由特殊到一般，由具体到抽象,观察、分析、类比、归纳的数学思想方法。

能力目标：培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。

德育目标：培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。

让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。

情感目标：通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。

重点难点：教学重点:独立重复试验、二项分布的理解及应用二项分布模型解决一些简单的实际问题。

教学难点:二项分布模型的构建。

教 法：自主探究式教学手段：多媒体辅助教学。

学法指导:学是中心,学会是目的.本节课主要让学生体会观察、分析、归纳、抽象、应用的自主探究式学习方法.交给学生思考问题的方法,使学生真正成为教学的主体. 教学过程： (一).创设情景 激发求知典例分析（2010年全国Ⅰ卷18题）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II) 记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． 解：(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审； B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审； C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审； D 表示事件：稿件被录用.则 D=A+B·C,()0.50.50.25,()20.50.50.5,()0.3,P A P B P C =⨯==⨯⨯==()()P D P A B C =+ =()()P A P B C +=()()()P A P B P C +=0.25+0.5×0.3 =0.40. (Ⅱ)~(4,0.4)X B ，其分布列为：4(0)(10.4)0.1296,P X ==-= 134(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 2224(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 334(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==⨯⨯-= 4(4)0.40.0256.P X === 期望40.4 1.6EX =⨯=.设计意图:以一道高考题为切入点，便于调动学生思维的积极性，激发学生学习本节课的兴趣。

2．2.3 独立重复试验与二项分布学习目标：知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题.过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率计算。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值。

重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题.难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率计算。

一、复习回顾:1、互斥事件及相互独立事件的概念：互斥事件：相互独立事件：2、互斥事件的概率加法公式：P(A B)= (A与B互斥)3、独立事件的概率乘法公式：P(AB)= (A与B相互独立)4、对立事件的概率公式：P(A)=二、问题引领：引例：1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。

2、某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。

3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。

4、口袋内装有5个白球，3个黑球，有放回地抽取5个球。

问题：上面这些试验有什么共同的特点？提示：从下面几个方面探究：（1）每次试验的条件是否相同？（2）每次试验间有无影响？（3）每次试验可能的结果个数？（4）每次试验某个事件发生的概率是否相同？（5）每个试验事件发生的次数是否离散型随机变量？结论：1）每次试验是在 的条件下进行的 1独立重复试验的特点：（）在相同条件下，各次试验 之间相互独立2）每次试验只有2种结果且 某事件发生的概率相同。

2）各次试验中的事件是3）每次试验都具有 种结果： 4）每次试验某事件发生的概率是 5）每次试验某事件发生的次数是可以列举的三、问题探究：问题1：分析：A i (i=1,2,3)表示第i 次针尖向上， B i (i=0，1,2,3)表示出现i 次针尖向上，1）在3次投掷过程中“仅出现1次针尖向上”的情况有几种？ 2）每种情况的概率是多少？ 3）上述3种情况能否同时发生？ 4）“仅出现1次针尖向上“的概率是多少？问题2：问题3：问题4：（1）n 次独立重复试验: 一般地,在 条件下， 做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2)…P(A n )“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响。

2.2.3独立重复试验与二项分布教学目标：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题.德育目标：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值教学重点：独立重复试验的概念形成及二项分布公式的发现与应用教学难点：概率模型的识别与应用教学过程：一、引入课本引例：掷一枚图钉，针尖向上的概率为0.6，则针尖向下的概率为 1－0.6=0.4 问题（1）第1次、第2次、第3次…第n 次针尖向上的概率是多少?第1次、第2次、第3次…第n 次针尖向上的概率都是0.6二、新课1、形成概念“独立重复试验”的概念：在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验.特点：⑴在同样条件下重复地进行的一种试验；⑵各次试验之间相互独立，互相之间没有影响；⑶每一次试验只有两种结果，即某事要么发生，要么不发生，并且任意一次试验中发生的概率都是一样的.问题（2）：掷一枚图钉，针尖向上的概率为0.6，则针尖向下的概率为1－0.6=0.4，则连续掷3次，恰有1次针尖向上的概率是多少？分解问题（2）问题a ：3次中恰有1次针尖向上，有几种情况？共3种情况123123123,,A A A A A A A A A 即13C问题b 它们的概率分别是多少？概率都是20.6(10.6)⨯-问题c 3次中恰有1次针尖向上的概率是多少？引申推广：连续掷n 次，恰有k 次针尖向上的概率是0.6(10.6)k k n k n p C -=⨯⨯-2定义：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为P ，那么在在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是(X )(1)p k k n p k C P p ==-，K =0,1,2,3,……n此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ~B (n ,p ).并称P 为成功概率.注：（1）n ,p ,k 分别表示什么意义？（2）这个公式和前面学习的哪部分内容有类似之处？典例解析：例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中，(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)解：设X 为击中目标的次数，则X ～B (10, 0.8 ) .(1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为P (X = 8 )＝88108100.8(10.8)0.30C -⨯⨯-≈. (2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )8810899109101010101010100.8(10.8)0.8(10.8)0.8(10.8)C C C ---⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-0.68≈.例2．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）解：记事件A ＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验11230.6(10.6)P C =⨯⨯-1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率55513(0)(1)()44P =-=，1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率145511(1)(1)44P C =⨯⨯-， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为[]551(0)(1)0.37P P P =-+≈ 答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法.例3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n 次.记事件A ＝“射击一次，击中目标”，则()0.25P A =．∵射击n 次相当于n 次独立重复试验，∴事件A 至少发生1次的概率为1(0)10.75nn P P =-=-． 由题意，令10.750.75n -≥，∴31()44n ≤，∴1lg4 4.823lg 4n ≥≈， ∴n 至少取5．答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次.课堂练习：1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（）()A 33710(1)C p p -()B 33310(1)C p p -()C 37(1)p p -()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（）()A 32100.70.3C ⨯⨯()B 1230.70.3C ⨯⨯()C 310()D 21733103A A A ⋅ 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是（）()A 33351A A -()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+()C 331()5-()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（）()A 23332()55C ⋅()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 答案：1. C 2.D 3. A 4. A课堂小结:独立重复试验两个对立的结果每次事件A 发生概率相同n 次试验事件A 发生k 次板书设计：（略）教学反思：。

2.2.3 独立重复试验与二项分布三维目标1.知识与技能(1)理解n项独立重复试验的模型．(2)掌握二项分布，并能利用它解决一些简单的实际问题．2．过程与方法通过具体例子的学习，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神．重点、难点重点：n次独立重复试验和二项分布的概念．难点：二项分布的应用．教学时引导学生从n次重复掷硬币的试验中，不断观察、分析、总结出n次独立重复试验，掌握独立重复试验必须具有哪些条件，进一步以n次独立重复试验为背景引入二项分布，从而突出重点．通过例题与练习让学生理解二项分布的应用，进而化解难点．教学建议独立重复试验是研究随机现象的重要途径之一，很多概率模型的建立都以独立重复试验为背景，二项分布就是来自于独立重复试验的一个概率模型，因此本节课宜采用以学生探究、发现为主的教学模式，让学生从具体试验得到独立重复试验，再得出二项分布，体会知识的过渡的思维，让学生有充分自由表达、质疑、探究问题的机会，在活动中学习、创新、提高．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，掌握n次独立重复试验与二项分布的概念．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握独立重复试验的概率计算．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握二项分布及其应用．⇒通过例3及互动探究，使学生掌握二项分布的综合应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．课标解读1.理解n次独立重复试验的模型．2．理解二项分布．3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.知识1独立重复试验【问题导思】要研究掷硬币的规律，需做大量的试验，每次试验的前提是什么？【提示】条件相同．在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．知识2二项分布【问题导思】在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用A i(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．试用A i表示B1，试求P(B1)．用B k表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．由以上问题的结果你能得出什么结论？【提示】B1＝(A1A2A3)∪(A1A2A3)∪(A1A2A3)．因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，且A1A2A3、A1A2A3、A1A2A3两两互斥，故P(B1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22＝3×0.8×0.22.P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.结论：P(B k)＝C k30.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.探究一独立重复试验的概率解决独立重复试验的概率求解问题时，首先要判断涉及的试验是否为独立重复试验，在确定是独立重复试验后再利用公式P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(其中k＝0,1,2，…，n)来计算．【典型例题1】某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(每个员工上网与否相互独立)．求：(1)至少3个人同时上网的概率；(2)至少几个人同时上网的概率会小于0.3?思路分析：根据题目可获取以下主要信息：(1)单位上网员工的人数；(2)员工上网的概率相同且相互独立．解答本题可先确定6个员工上网开展工作是相互独立试验，再根据题目的要求用n 次独立重复试验的概率公式求解．解：该单位6个员工每个人上网的概率都为0.5，则其对立事件每个人不上网的概率也是0.5.在6个人需上网的条件下，“r 个人同时上网”这个事件(记为A r )的概率为P (A r )＝C r 6×0.5r ×(1－0.5)6－r ＝164×C r 6(r ＝0，1，…，6)．(1)(方法一)所求概率为P (A 3∪A 4∪A 5∪A 6)＝P (A 3)＋P (A 4)＋P (A 5)＋P (A 6)＝164×(C 36＋C 46＋C 56＋C 66)＝164×(20＋15＋6＋1)＝2132. (方法二)所求概率为1－P (A 0∪A 1∪A 2)＝1－164×(C 06＋C 16＋C 26)＝1－164×(1＋6＋15)＝2132. (2)设“至少r 个人同时上网”的事件为B r ， P (B 6)＝P (A 6)＝164＜0.3，P (B 5)＝P (A 5∪A 6)＝P (A 5)＋P (A 6)＝164×(C 56＋C 66)＝764＜0.3， P (B 4)＝P (A 4∪A 5∪A 6)＝164×(C 46＋C 56＋C 66)＝1132＞0.3.所以至少5个人同时上网的概率小于0.3.探究二 二项分布的分布列 二项分布的解题步骤(1)判断随机变量X 是否服从二项分布．看两点：①是否为n 次独立重复试验；②随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．(2)建立二项分布模型．(3)确定X 的取值并求出相应的概率． (4)写出分布列．【典型例题2】 为了防止受污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互之间没有影响．(1)求该产品不能销售的概率；(2)如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元(即获利－80元)．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列．思路分析：要求随机变量的分布列，首先根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后计算各取值对应的概率．解：(1)记“该产品不能销售”为事件A ，则A 表示“该产品能够销售”， 所以P (A )＝1－P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫1－16⎝⎛⎭⎫1－110＝14. (2)由题意知，X 的可能取值为－320，－200，－80,40,160，其概率分别为 P (X ＝－320)＝⎝⎛⎭⎫144＝1256，P (X ＝－200)＝C 14×⎝⎛⎭⎫143×34＝364， P (X ＝－80)＝C 24×⎝⎛⎭⎫142×⎝⎛⎭⎫342＝27128， P (X ＝40)＝C 34×14×⎝⎛⎭⎫343＝2764， P (X ＝160)＝⎝⎛⎭⎫344＝81256. 所以X 的分布列为X －320 －200 －80 40 160 P125636427128276481256探究三 综合应用二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它的应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体值的概率的过程，因此，我们应熟练掌握二项分布．利用二项分布解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型．【典型例题3】 某人抛掷一枚硬币，出现正、反面的概率都是12，构造数列{a n }，使a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，当第n 次出现正面时，－1，当第n 次出现反面时. 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N ＋)． (1)求S 8＝2时的概率；(2)求S 2≠0，且S 8＝2时的概率．思路分析：弄清“S 8＝2”及“S 2≠0，且S 8＝2”对应的事件，再根据相应公式求解．解：(1)S 8＝2，需8次中有5次正面3次反面，设其概率为P 1，则P 1＝C 58⎝⎛⎭⎫125⎝⎛⎭⎫123＝ C 38⎝⎛⎭⎫128＝8×7×63×2×⎝⎛⎭⎫128＝732. (2)S 2≠0即前两次同时出现正面或同时出现反面．①当前两次同时出现正面时，S 2＝2，要使S 8＝2，需后6次中出现3次正面3次反面． 设其概率为P 2，则P 2＝12×12×C 36×⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫123＝⎝⎛⎭⎫128×6×5×43×2＝564. ②当前两次同时出现反面时，S 2＝－2，要使S 8＝2，需后6次中出现5次正面1次反面．设其概率为P 3，则P 3＝12×12×C 56×⎝⎛⎭⎫125⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫128×6＝3128. 所以利用互斥事件的概率公式，当S 2≠0，且S 8＝2时的概率为P 2＋P 3＝564＋3128＝13128.探究四 易错辨析易错点：对独立重复试验中“随机变量X ＝k ”表示的意义理解错误【典型例题4】 一袋中装有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次取一个，取出后记下球的颜色后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数X 是一个随机变量，求X ＝12的概率．(保留五位小数)错解1：由题意知这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，由二项分布知P (X ＝12)＝C 1012×⎝⎛⎭⎫3810×⎝⎛⎭⎫582≈0.001 42. 错解2：P (X ＝12)指前11次独立重复试验恰有9次发生且第12次必须发生的概率，由二项分布知P (X ＝12)＝C 911×⎝⎛⎭⎫389×⎝⎛⎭⎫582×1≈0.003 15. 错因分析：错解1包含了第12次抽到白球的可能，这是不符合题意的；错解2中误认为第12次取到红球这一事件发生的概率为1，这也是不可能的．正解：记事件A 为“取到红球”，则A 为“取到白球”，P (A )＝38，P (A )＝58，X ＝12表示事件A 在前11次试验中恰有9次发生且在第12次试验中也发生，故P (X ＝12)＝C 911×⎝⎛⎭⎫389×⎝⎛⎭⎫582×38＝C 911×⎝⎛⎭⎫3810×⎝⎛⎭⎫582≈0.001 18.当堂检测1．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则使P (X ＝k )最大的k 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．4 【答案】 B【解析】 P (X ＝k )＝C k 6⎝⎛⎭⎫12k ·⎝⎛⎭⎫126－k ＝C k 6⎝⎛⎭⎫126，当k ＝3时，C k 6⎝⎛⎭⎫126最大． 2．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A ．⎝⎛⎭⎫593×49 B ．C 35C 14C 45C ．35×14D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49【答案】 A【解析】 由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为⎝⎛⎭⎫593×49. 3．已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为________． 【答案】2027【解析】 实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率为P ＝⎝⎛⎭⎫232＋23×13×23＋13×23×23＝2027. 4．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为________． 【答案】625【解析】 由已知可求得通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2,3，…)，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正数，a 5＝0，a 6，a 7，a 8，a 9，a 10为负数，∴从中取一个数为正数的概率为410＝25，为负数的概率为12.∴取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫121＝625. 5．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物． (1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用ξ，η分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令X ＝ξη，求随机变量X 的分布列．解 依题意，得这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为13，去京东商城购物的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去淘宝网购物”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝⎛⎭⎫13i ⎝⎛⎭⎫234－i(i ＝ 0,1,2,3,4)．(1)这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率为P (A 1)＝C 14⎝⎛⎭⎫131⎝⎛⎭⎫233＝3281. (2)易知X 的所有可能取值为0,3,4. P (X ＝0)＝P (A 0)＋P (A 4)＝C 04⎝⎛⎭⎫130×⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫230 ＝1681＋181＝1781， P (X ＝3)＝P (A 1)＋P (A 3)＝C 14⎝⎛⎭⎫131×⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫231 ＝3281＋881＝4081， P (X ＝4)＝P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝2481. 所以随机变量X 的分布列是X 0 3 4 P178140812481。

§ 2.2.3独立重复实验与二项分布知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

情感、态度与价值观：感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

学习重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 学习难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。

教学过程预习案一、复习引入：1．相互独立事件： 。

若A 与B 是相互独立事件，则 。

2．相互独立事件同时发生的概率： 。

一般地，如果事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，12()n P A A A ⋅⋅⋅= .二、讲解新课：1.独立重复试验的定义：2.独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率()n P k = ．3.离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，记作 ，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．预习自测 1.1(5,),(3)3X B p X = 已知随机变量求 2.种植某种树苗，成活率为0.9，现在种植这种树苗5棵，则：全部成活的概率为 ；全部死亡的概率为 ；至少成活4棵的概率 .3.一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球数不少于9个的概率为 ．4．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有一人中奖的概率为（ ）()A 32100.70.3C ⨯⨯ ()B 1230.70.3C ⨯⨯ ()C 310 ()D 21733103A A A ⋅ 5某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．课中案例1．某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率；(2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．)例2．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．变式：某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是14，求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）例3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？（提示：1lg4 4.82 3lg4）例4．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）按比赛规则甲获胜的概率．五、小结：六、课后作业：当堂检测1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ）()A 33351A A - ()B 211232323355A A A A A A ⋅⋅+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555C C ⨯⨯+⨯⨯ 3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为 ．5．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为31，求：（1）在任一时刻车间有3台车床处于停车的概率；（2）至少有一台处于停车的概率。