数列上下极限的不同定义方式及相关性质

序列的上极限和下极限序列的上极限和下极限是数列理论中常用的概念，它们能够帮助我们更好地理解数列的性质和趋势。

下面我将详细介绍这两个概念的定义、性质和应用。

首先，让我们来了解一下序列的定义。

序列是有序数列的集合，其中每个数都有一个特定的位置。

序列中的每个数称为“项”，它们可以按照任意方式排列在一起。

序列中的项可以是整数、分数、小数等各种类型的数。

序列可以按照其项的规律分类。

如果一个序列的各项之间有明显的规律，则称此序列为等差数列、等比数列或斐波那契数列等。

接下来，我们来介绍序列的上极限和下极限。

序列{an}的上极限定义如下：（1）存在实数M，使得对于任意正整数n，都有an≤M。

（2）对于任意实数ε>0，总存在正整数N，使得当n≥N时，有an≤M+ε。

序列{an}的下极限定义如下：（1）存在实数m，使得对于任意正整数n，都有an≥m。

（2）对于任意实数ε>0，总存在正整数N，使得当n≥N时，有an≥m-ε。

序列的上极限和下极限是序列的一种性质，代表了序列中数据的界限。

对于有界序列，上极限和下极限分别是该序列中最大值和最小值，但对于无界序列，则不存在最小值和最大值。

在一般情况下，上极限和下极限都可能是无穷大或无穷小，但它们之间的差值不能为零。

除了定义，了解上极限和下极限的性质也是十分重要的。

我们来看一下下面的性质：1. 若序列{an}单调递增，则其下极限为an序列的第一个元素，上极限为正无穷大。

2. 若序列{an}单调递减，则其上极限为an序列的第一个元素，下极限为负无穷小。

3. 若序列{an}既不单调递增也不单调递减，则其上极限和下极限均存在且相等。

4. 当序列有界时，它的上极限和下极限均存在且有限。

5. 对于任意一个数列{an}，存在一个子数列{an(k)}，使得其上极限和下极限与{an}相等。

在数学的研究中，上极限和下极限经常被用来研究函数的连续性、收敛性等性质。

特别是在传统数学领域的微积分、数学分析中，它们是非常有用的工具与基础概念。

集合列上极限和下极限的定义一、引言在数学中，极限是一个重要的概念，它在分析和微积分等领域中起着关键作用。

在集合列上，我们可以定义上极限和下极限，这是一个有趣且有深度的课题。

本文将探讨集合列上极限和下极限的定义，以及相关的性质和应用。

二、上极限和下极限的定义2.1 上极限的定义设A是实数集合，有序列{x_n}，我们记M为x_n的上界，则M称为集合列{x_n}的上极限，记为limsup⁡{x_n}=M，表示对于任意的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，x_n<M+ε。

2.2 下极限的定义设A是实数集合，有序列{x_n}，我们记m为x_n的下界，则m称为集合列{x_n}的下极限，记为liminf⁡{x_n}=m，表示对于任意的ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，x_n>m−ε。

三、上极限和下极限的性质3.1 上极限和下极限的存在性上极限和下极限总是存在的。

对于任意的集合列{x_n}，它的上极限和下极限都存在。

3.2 上极限和下极限的关系对于任意的集合列{x_n}，有liminf⁡{x_n}≤limsup⁡{x_n}。

而且，如果liminf⁡{x_n}=limsup⁡{x_n}，则集合列{x_n}的极限存在，即lim⁡{x_n}=limsup⁡{x_n}。

3.3 上极限和下极限的性质•liminf⁡{(x_n+y_n)}≤liminf⁡{x_n}+limsup⁡{y_n}，其中{x_n}和{y_n}是任意两个集合列。

•limsup⁡{(x_n+y_n)}≤limsup⁡{x_n}+limsup⁡{y_n}，其中{x_n}和{y_n}是任意两个集合列。

•如果lim⁡{x_n}存在，则lim⁡{x_n}=liminf⁡{x_n}=limsup⁡{x_n}。

四、上极限和下极限的应用4.1 序列的收敛性上极限和下极限可以帮助我们判断一个序列的收敛性。

如果对于某个实数L，limsup⁡{x_n}=liminf⁡{x_n}=L，则序列{x_n}收敛于L。

数列的上极限和下极限在数学分析课程中，数列的敛散性判别非常重要，而证明数列收敛的方法也有很多方法[1]，比如ε-N定义、柯西收敛准则、两个重要准则、归结原理和子列原理等。

但是有时也可以用上极限和下极限来判断。

本文主要介绍数列上极限和下极限的定义，性质以及其应用。

数列聚点的定义[2]：如果在a∈R的任何邻域内都有数列x 的无限项，称a为数列x的一个聚点。

例1：数列{（-1）}的聚点是±1；例2：数列{sin}的聚点是±1，±和0；例3：数列有聚点0；例4：数列，，，，，，，，，，…的聚点是整个闭区间[0，1]；例5：数列1，1，2，，3，，…，n，，…的聚点是0。

注：（1）收敛数列的聚点必唯一，为数列的极限（证明见定理2），如例3。

反之不真，如例5。

一般情况下，数列的聚点是不唯一的，如例1、例2、例4。

（2）数列的聚点和数集的聚点是有区别的。

数{sin|n∈Ν}的聚点是空集；数集{（-1）|n∈Ν}的聚点为±1。

容易证明：聚点的等价定义[3]：若数列x的子列x有极限a，则称a为数列x的一个聚点。

聚点的存在性定理[2]：有界数列x至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。

下面是数列上、下极限的定义：上极限和下极限的定义[2]：有界数列x的最大聚点a与最小聚点a称为数列x的上极限和下极限，记作a=xa=x.上极限和下极限的等价定义1[2]：若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得n>N时，有xa-ε，k=1，2，3，…则称a为数列x的上极限。

若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得当n>N时，有x>a-ε；（2）存在子列x，x 上极限和下极限的等价定义2[2，4]：若x为有界数列，则x={x}，x={x}.定理1[2]：对任何有界数列x，有x≤x，x=-（-x）.注：容易证明x≤x≤x≤x，其中x为有界数列x的一个子列。

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001[2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979[3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004[10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008[11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。

数列的上下极限概念以及之间关系数列是由一系列有序的数字按照一定的规律排列而成的序列。

在数学中，数列的上下极限是对数列的一种特殊性质描述。

上下极限可以帮助我们研究数列的趋势，并且可以应用于各种数学问题中。

本文将详细介绍数列的上下极限概念及其之间的关系。

首先，我们来定义数列的上极限和下极限。

定义1：数列{an}的上极限是指当n趋向于无穷大时，数列的子数列{an_k}中的最大极限，记作lim sup n→∞ an = sup{lim n→∞ an_k}。

定义2：数列{an}的下极限是指当n趋向于无穷大时，数列的子数列{an_k}中的最小极限，记作lim inf n→∞ an = inf{lim n→∞ an_k}。

上极限和下极限的定义有些抽象，通过几个实例来解释会更容易理解。

例子1：考虑数列{an} = {(-1)^n/n}，我们可以找到它的一些子数列：子数列1：a1,a3,a5,…，对应的极限是1；子数列2：a2,a4,a6,…，对应的极限是-1；子数列3：a1,a2,a3,…，虽然这个子数列并没有收敛，但我们可以找到一个上界和下界（1和-1），所以上、下极限存在，分别是1和-1。

可以看出，这个数列的上极限是1，下极限是-1。

例子2：考虑数列{an} = {sin(n)}，我们发现这个数列并没有收敛，它在[-1,1]范围内不断波动。

虽然无穷多的子数列都没有极限，但我们可以找到一个上界和下界（1和-1），所以上、下极限存在，分别是1和-1。

可以看出，这个数列的上极限是1，下极限是-1。

现在我们来研究数列的上极限和下极限之间的关系。

定理1：对于任何数列{an}，下极限小于等于上极限，即lim inf n→∞ an ≤ lim sup n→∞ an。

证明：设l=lim inf n→∞ an，u=lim sup n→∞ an。

根据定义，对于任意的ε>0，存在子数列{a1_k}和{a2_k}，使得lim n→∞ a1_k = l-ε，lim n→∞ a2_k = u+ε。

上、下极限的等价性定义及其应用摘要数列上、下极限的概念，是数学分析中的两个重要概念．在不同版本的数学分析教材中，往往以不同形式给出其定义．关于数列上、下极限的概念，常用的表示方法有三种（文中的定义1、2、3）．除此之外，本文又给出了两种定义方式（文中的定义4、5）．接着利用实数完备性和极限理论知识，如：聚点定理，闭区间套定理，数列极限的定义以及收敛数列的性质等，严格论证了这五种定义的等价性．在此基础上又探讨了数列上、下极限的一些性质，并给出了其证明过程．其次，借助上、下极限的定义及性质，给出了有关上、下极限的若干命题．最后，举例说明了上、下极限在极限运算及数列与级数论中的应用．关键词：上极限，下极限，聚点，上确界About the Equivalence of the Definitions of Superior Limitand Inferior Limit and Its applicationsYu Li(School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000)AbstractThe concept of the superior and inferior limit on sequence is two important concepts in mathematical analysis．In different versions of textbooks of mathematical analysis，often give different forms of its definition．On the sequence of the superior and inferior limit of the concept，there are three commonly used methods (the definition of paper 1、2、3 )．In addition，this article gives two definitions (the definition of article 4、5)．By using of knowledge of completeness of real and limit theory，such as：theorem of the point of accumulation，theorem of nested interval，definitions of sequence limit and the properties of convergence sequence，this article strictly proofs the equivalence of the five definitions．On these bases，we discuss some properties of the superior and inferior limit，and give the proof．Secondly，using the definitions and properties of the superior and inferior limit，we give some propositions about the superior and inferior limit．Finally，this paper gives examples to illustrate the application of the operation of limit and the theory of series of the superior and inferior limit．Keywords: superior limit，inferior limit，accumulation，least upper bound目录引言 (1)一、上、下极限的定义 (1)（一）上、下极限的5种定义 (1)（二）上、下极限定义的等价性证明 (2)二、上、下极限的相关应用 (5)（一）上、下极限的性质 (5)（二）有关上、下极限的若干命题 (8)（三）上、下极限在极限教学中的作用 (12)1．上、下极限在极限运算中的作用 (12)2．上、下极限在数列与级数论中的作用 (13)结论 (14)参考文献 (14)致谢 (15)引言一个有界数列{}n x 不一定有极限，但它却有上极限和下极限.数列的上、下极限是极限概念的自然推广，它是本科教学和学生学习的难点问题.由于目前普遍受教学计划总时数的限制，现行一般本科教材中关于数列上、下极限部分的教学内容大多是不做具体要求，有的即使写进数分教材里也是作为选学内容，况且，大多数教材对上、下极限也讨论的不细致、不深入，这样无疑更加淡化了上、下极限的教学.事实上，上、下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用，例如：实变函数论，概率论，测度论等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念，所以对上、下极限有个清楚的认识是必要的.本文将从上、下极限的定义、性质、定理、应用四个方面作深入细致的探讨，期望对数学分析的教学有所帮助.关于上、下极限的概念，我们常常在不同的教材看到其定义各不相同，为了深刻认识其内涵，本文给出了上、下极限的五种定义方式，并证明了五种定义的等价性.一、上、下极限的定义（一）上、下极限的5种定义定义1（用“数列的聚点”来定义） 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点，则lim n n x →∞=a (lim n n x b →∞=).定义2（用“数列的收敛子列”来定义） 设{}n x 是有界数列，若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者，则lim n n x →∞=a （lim n n x →∞=b ）.定义3（用“数列的确界”来定义） lim n →∞sup k k nx ≥=a 称为数列{}n x 的上极限，lim n →∞inf k k nx ≥=b 称为数列{}n x 的下极限.定义4 1inf n ≥sup k k n x ≥称为数列{}n x 的上极限，1sup n ≥inf k k nx ≥称为数列{}n x 的下极限.定义5 （1）若对ε∀>0,有无穷多个n 使得n x >a ε-,同时至多有有限个n 使得n x >a ε+,数a 称为数列{}n x 的上极限，记作lim n n x →∞=a .（2）若对ε∀>0,有无穷多个n 使得n x b ε<+，同时至多有有限个n 使得n x b ε<-，数b 称为数列{}n x 的下极限，记作lim n n x →∞=b .（二）上、下极限定义的等价性证明为了方便起见，仅就上极限的情形予以证明，下极限的情形依此即可.证明 1⇒2 因为a 是数列{}n x 的聚点的充要条件是：存在子列{}n x 收敛于a ，由此可见{}n x 的最大聚点，便是{}n x 的收敛子列极限的最大值.2⇒3 令n h =sup k k nx ≥，由2必存在子列{}k n x 收敛于a .因为k k n n x h ≤，于是有a =lim lim kkn n k k x h →∞→∞≤，我们说后面的不等式只能取等号. 如若不然，设lim k n k h →∞=a 'a >，那么由k n h a '→，必∃1k n 使111k n a h a ''-<<+.依k n h 的定义，必∃1k n '>1k n ,使111kn a x a '''-<<+.由k n h a '→，又必∃2k n >1k n ',使21122k n a h a ''-<<+.依2k n h 的定义，必∃2k n '>2k n ,使21122k n a x a '''-<<+.如此类推，一般地由k n h a '→，必∃i k n >1i k n -',使11k in a h a i i''-<<+.依k in h 的定义，必∃i k n '>i k n ,使11k in a x a i i'''-<<+.令i →+∞可见a '也是n x 的收敛子列的极限，这就与已知a 是最大的子列极限矛盾，于是只有a =lim k n k h →∞.又因为{}n h 递减且有下界，{}n h 必收敛，从而{}n h 必与其子列{}k n h 同极限， 所以a =lim n n h →∞=lim n →∞sup k k nx ≥.3⇒4 因为{}n x 非空且有下界，从而{}n h 也非空且有下界.因而{}n h 的下确界存在，记为a '=1inf n n h ≥.于是有a 'n h ≤且ε∀>0，必N ∃使N h a ε'<+.又因为{}n h 递减，故当n N >时，必有n N h h ≤，从而n N a a h h a εε'''-<≤≤<+.可见n h a '→，但由3已知n h a →，故a a '=， 既是lim n n h →∞=1inf n ≥n h ，亦即lim n →∞sup k k nx ≥=1inf n ≥sup k k nx ≥.4⇒5 已知a =1inf n n h ≥=1inf n ≥sup k k nx ≥，由此先证ε∀>0,必有无穷多个n ,使得n x >a ε-，如若不然，则ε∀>0,必N ∃，对∀n N >有n x a ε≤-，取1ε=，则a 1-便是从第n 项起以后的项的上界，于是有n h =sup k k nx ≥≤a 1-，及1inf n n h ≥≤a 1-.再由已知得a ≤a 1-矛盾.今再证至多有有限个n ,使得n x >a ε+.因为已知a =1inf n n h ≥，由下确界定义并注意到{}n h 递减，ε∀>0,必N ∃，对∀n N >有n h a ε<+.而n h {}1sup ,,n n x x += ，于是当n N >时，对一切自然数都有n k x +≤n h a ε<+，这意味着大于a ε+的n x 就至多有有限项.5⇒1 由5可知，ε∀>0,必有无穷多个n ,使n x (,)a a εε∈-+，这意味着a 便是{}n x 的聚点.今证{}n x 再无大于a 的聚点，否则，设a '是大于a 的又一聚点.取2a aε'-<,即 a a εε'+<-， 由所设a '是聚点，必有无穷多个n ,使得n x >a a εε'->+,这与已知至多有有限个n 使得n x >a ε+矛盾.至此已证完了一个圈，因此本文所给出的数列上下极限的5种定义是等价的.既然等价，任取其一作为上极限的定义（记作lim n n x →∞=a ）也就未尝不可，而由于其优点各异（1、2容易想象，3、4便于运用，5介乎其间），不同的教材侧重于不同的优点，自然就会出现不同形式的定义了.这里只证了一个圈，我们还可证其它的圈，还可写出并证明相应的下极限的等价命题.同时我们还可以尝试用其它的方法来描述上、下极限的概念.这样做，不仅可以加深对上、下极限概念的理解，而且对训练自己的发散思维和创造思维能力等都有一定的帮助.对于一般的数列，在此约定1、如果{}n x 是无上界数列，其上极限为+∞.记为lim n n x →∞=+∞2、如果{}n x 是无下界数列，其下极限为-∞.记为lim n n x →∞=-∞于是，任一数列的上下极限都存在.今用部分极限证明如下：1）先证任一数列都有子列极限，因为若{}n x 无上界，则必有子列以+∞为极限，若{}n x 有上界但无下界，则必有子列以-∞为极限，若{}n x 上下都有界，并且有无穷多项取同一数值a ，则便是一个常数列的子列极限，若{}n x 上下有界，但至多只有有限项相同，则由致密性定理知{}n x 必有收敛的子列存在.2）再证任一数列的子列极限必有一个是最大的，一个是最小的，因为若+∞是{}n x 的子列极限，当然它就是最大的，若+∞不是子列极限，则{}n x 必有上界.这时若{}n x 无有限的子列极限，则由1），{}n x 必以-∞为唯一的子列极限，所以-∞也就是{}n x 的最大的子列极限（当然也是最小的子列极限）.若{}n x 有有限的子列极限，那么这些子列极限的集合A 必有上界，从而有上确界，记为a .今证a A ∈，若a A ∉，即a 非子列极限，则0ε∀>，在a 的领域(),a a εε-+中，必只含{}n x 的有限项.但因sup a A =，对上述0ε>，必x A ∃∈，使a x a a εε-<<<+，而x A ∈，表明x 是{}n x 的子列极限，于是必存在子列{}k n x 收敛于x ，从而必存在充分大的0k ， 使得0k k >的一切项有k n x ∈(),a a εε-+，这就产生矛盾，故只有a A ∈，这样，a 便是最大的子列极限.同理可证{}n x 有最小的子列极限.3）将2用于2），便得任一数列的上、下极限都存在.二、上、下极限的相关应用（一）上、下极限的性质性质1 lim lim n n n n x x →∞→∞≤，当且仅当lim n n x →∞存在时取等号.证明 因为 inf sup n n k nk nx x ≥≥≤,从而 liminf limsup n n k nn k nx →∞≥→∞≥≤.此即 lim lim n n n n x x →∞→∞≤.下证取等号的条件：当lim n n x →∞=lim n n x →∞时，因为inf sup n n n k nk nx x x ≥≥≤≤,由迫敛性便知lim n n x →∞存在.当lim n n x →∞存在时，设lim n n x →∞=a . 若a <+∞，则0,,N n N ε∀>∃∀>有n a x a εε-<<+,从而 inf sup k n k nk na x x a εε≥≥-≤≤≤+.可见 liminf limsup k k n k nn k nx a x →∞≥→∞≥==.此即 lim lim n n n n x x →∞→∞=.若a =+∞，则0,,M N n N ∀>∃∀>有n x M >，从而inf ,sup k k k nk nx M x M ≥≥≥>.于是 liminf limsup k k n k nn k nx x →∞≥→∞≥=+∞=.也得 lim lim n n n n x x →∞→∞=.若a =-∞，同理可证.总之，当且仅当{}n x 收敛时，lim lim n n n n x x →∞→∞=.性质2 若n n x y ≤()1,2,n = ，则lim lim n n n n x y →∞→∞≤，lim lim n n n n x y →∞→∞≤.证明 设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=.假设a b >，取02a b ε-=>，则{}n x 中大于2a ba ab εε--=-=+的项有无限多个，由于n n y x ≥()1,2,n = ，故{}n y 中大于b ε+的项有无限多个，这与lim n n y b →∞=矛盾. 同理可证lim lim n n n n x y →∞→∞≤.性质3（1）若0c <，则()lim lim n n n n cx c x →∞→∞=，()lim lim n n n n cx c x →∞→∞=.（2）若0c >，则()lim lim n n n n cx c x →∞→∞=，()lim lim n n n n cx c x →∞→∞=.证明 仅证0c <的情况.由确界的定义知()inf sup k k k nk ncx c x ≥≥=， ()sup inf k k k nk ncx c x ≥≥=令n →∞即可得证.性质4 lim lim n n n n x y →∞→∞+≤()lim n n n x y →∞+≤lim lim n n n n x y →∞→∞+≤()lim n n n x y →∞+≤lim lim n n n n x y →∞→∞+.式中只要不出现()+∞+-∞就成立，并且当{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号. 证明 仅证明 lim lim n n n n x y →∞→∞+≤()lim n n n x y →∞+.设lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，()lim n n n x y →∞+c =.用反证法，假设c a b <+，则根据下极限的定义知，对002a b cε+-=>， {}n n x y +中有无穷多项小于0c ε+2a b c++=. 另一方面，由于lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=， 故{}n x 中至多只有有限项小于02a ε-，{}n y 中至多只有有限项小于02b ε-，从而{}n n x y +中至多只有有限项小于02a b ca b ε+-+-=， 这与前面所述矛盾.所以c a b ≥+，即lim lim n n n n x y →∞→∞+≤()lim n n n x y →∞+.证毕.性质5 若0n x >()1,2,n = ，则1limn nx →∞=1lim n n x →∞.证明 设lim n n x a →∞=()0a >.则ε∀>0,至多只有有限项小于a ε-，而有无穷多项小于a ε+.因此至多只有有限项满足：1n x >111a aεε=+-， 而有无穷多项满足：1n x >211a aεε=-+， 其中10ε>，20ε>，且由于ε可以任意小，因而12,εε也可以任意小. 故有1limn nx →∞1a ==1lim n n x →∞.证毕. 性质6 若0n x ≥，0n y ≥()1,2,n = ，则lim n n x →∞lim n n y →∞≤()lim n n n x y →∞≤lim lim n n n n x y →∞→∞≤()lim n n n x y →∞≤lim lim n n n n x y →∞→∞.式中只要不出现()0⋅+∞就成立，并且当{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号. 证明 先证明 lim n n x →∞lim n n y →∞≤()lim n n n x y →∞（1） 若lim n n x →∞0=，则因lim n n y →∞存在，故0M ∃>，使得0n y M ≤≤()1,2,n = .当lim n n x →∞0=，及0n x ≥，因此ε∀0>，有无穷多个n ，使得0n x Mε≤<.从而对于这样的无穷多个n ，有0n n n x y x M ε≤≤≤，故()lim n n n x y →∞0=.（2） 若lim 0n n y →∞=，则化归为（1）.（3） 若lim n n x →∞0a =>，lim 0n n y b →∞=>，用反证法，假设c ab <.则根据下极限的定义知， 对于0ab c ε<<-，有无穷多个n ,使得22n n x y c ab εε<+<-.又因至多只有有限个n ,使得2n x a b ε<-以及2n y b aε<-，从而至多只有有限个n ,使得22n n x y a b b a εε⎛⎫⎛⎫<--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭24ab ab εε-+. （4） 取ε如此之小使它同时满足142abε<， 则至多只有有限个n ,使得2n n x y ab ε<-，由此得到矛盾，故c ab ≥，即lim n n x →∞lim n n y →∞≤()lim n n n x y →∞.性质7若{}n x 为递增数列，则lim lim n n n n x x →∞→∞=.证明 若{}n x 有界，则由单调有界定理，极限lim n n x →∞存在，从而有lim lim n n n n x x →∞→∞=.若{}n x 无界，则lim n n x →∞=+∞，从而对任给正数M ，{}n x 中大于M 的项有无限多个，设N x M >，由{}n x 的递增性，当n N >时，有n N x x M ≥>，所以lim n n x →∞=+∞.（二）有关上、下极限的若干命题定理[]21 若0n x >()1,2,n = ，则1l i m n n n x x +→∞≤l i m n nn x →∞≤l i m n n n x →∞≤1l i m n n nx x +→∞. 证明 仅证明后一部分. 假设1limn n nx x +→∞a =.只须证明0a ≤<+∞.因1limn n nx x +→∞a =，所以0ε∀>，N ∃，使当i N >有1i i xa x ε+<+.任取n N >，令,1,,2,1i N N n n =+--将所得的n N -个不等式相乘得 121121N N n n N N n n x x x x x x x x ++-+--()n Na ε-<+.此即 ()()()Nnn n N x x a a M a εεε-<++=+，其中()NN M x a ε-=+.从而 nn x <()n M a ε+.令n →∞取上极限得lim n n n x →∞≤()n M a ε+a =ε+.由ε的任意性得lim n n n x →∞≤a .定理2 若0n x >()1,2,n = ，且1lim lim1n n n nx x →∞→∞=，则{}n x 收敛. 证明 根据性质5知：1limn nx →∞=1lim n n x →∞， 又因1lim lim1n n n nx x →∞→∞=，所以lim lim n n n n x x →∞→∞=.故{}n x 收敛. 定理3 若0n x >()1,2,n = ，则11lim 11n n n x n x +→∞⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭.证明 用反证法.假设此结论不成立，则N ∃，使当n N ≥时，有1111n n x n x +⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.这个不等式等价于 1111n n x x n n n +<-++. 依次取n 为N , 1,,1N N k ++- 并把所得结果相加，得11112N N N k ++++++ N N k N x x x N N k N+<-<+. 这与调和级数11i i∞=∑的发散相矛盾.为证1不能以更大的数代替，设n x kn =()1,2,n = ，则111n n x n x +⎛⎫+- ⎪⎝⎭1kk +=， 此式对于大的k 可任意靠近1，或者若设ln n x n n =，则有lim n →∞111n n x n x +⎛⎫+- ⎪⎝⎭1=.定理[]24 若0n x >()1,2,n = ，则11lim nn n n x x e x +→∞⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 证明 不妨设11x =.用反证法.假设此结论不成立，则N ∃2≥，使当n N ≥时，有11nn n x e x +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()11n n x n x +>+.依次取n 为N , 1,,1N N k ++- 得：N x ()11N N x +>+,()()1211N N x N x ++>++,()()111N k N k x N k x +-+>+-+ . 因此有()()2111N N x N N x +>+++⎡⎤⎣⎦>()221N N x ++()()23121N N N x +>+++⎡⎤⎣⎦>()()3311k k N N k N x N x N +++>+>.注意到k 为任意正整数，N 2≥，这与N x 是有限数相矛盾.证毕.定理5 设满足条件：0n m n m x x x +≤≤+，证明lim nn x n→∞存在. 证明 因为1110n n x x x nx -≤≤+≤≤ ，可见10n x x n ≤≤，即n x n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有界，从而其上、下极限必都是有限数. 下证它们相等即可.为此固定m ，并定义00x =，当n 充分大时，由已知有()0n q m rm r x x q x x r m +=≤+≤<, 即 0n m rx x x qm n m qm r qm r≤=⋅+++. 从而 0s u p k m r k n x x x qmkm qm r qm r ≥≤≤⋅+++.令n →∞，这时q →∞，于是得0limn mn x x n m→∞≤≤. 再让m →∞并对右端取下极限得 l i m l i m l i m n m nn n n x x x n m n→∞→∞→∞≤=.所以limnn x n→∞存在. 定理[]26 若数列{}n x 有界且1lim()0n n n x x +→∞-=.则此数列的聚点之集合是区间[,]l L ，其中lim n n l x →∞=，lim n n L x →∞=.证明 因为数列{}n x 有界，故由聚点定理知，此数列至少有一个聚点.设l 为最小聚点，L 为最大聚点.若l L =，则此命题不证自明，故设l L <，(,)a l L ∀∈.由于1lim()0n n n x x +→∞-=，故0ε∀>，N ∃，使当n N >时，有1||2n n x x ε+-<，即当n 充分大时，数列{}n x 之相邻两项的距离小于2ε. 由于lim n n x l →∞=，故必存在1n N >，使1n x 落在l 的ε邻域内.又因lim n n x L →∞=，故必存在2n N >，使2n x 落在L 的ε邻域内.不妨设12n n <，且12n n x a a x εε<-<+<.所要证明的就是存在3132()n n n n <<，使3n a x a εε-<<+.今若112121,,,n n n x x x ++- 无一落在a 的ε邻域内，则因1n x a ε<-，而2n x a ε>+， 不妨设11212,,,n n n x x x ++ 中第一个大于a ε+的为1n p x +， 即 111n p n p x a a x εε+-+<-<+<. 从而 111||2n p n p x x ε++-->，由此得出矛盾.故3n x 落在a 的ε邻域内，此即a 为{}n x 的聚点.证毕.注 若数列{}n x 无下界，则lim n n x →∞=-∞；若数列{}n x 无上界，则lim n n x →∞=+∞.定理7 证明柯西收敛准则（充分性）证明 由已知，0ε∀>，N ∃，,n m N ∀>，有||n m x x ε-<.固定m 得m n m x x x εε-<<+.从而有 i n f s u p m k n km k nknx x x x x εε≥≥-≤≤≤≤+.因而 s u p i n f 2k k k nk nx x ε≥≥-≤.令n →∞得 l i m l i m 2n n n n x x ε→∞→∞≤+.为进一步理解上极限的含意，特作如下对比：lim n n x a →∞=，即是ε∀>0,N ∃，∀n N >，有n a x a εε-<<+.lim n n x a →∞=，即是ε∀>0,N ∃，∀n N >，有n x a ε<+,N '∀,n N ''∃>,使n x a ε'>-.可见后者不同之处是：n x 不必满足a 的双侧邻域(),a a εε-+，它从第1N +项起可以而且只可以溢出(),a a εε-+的左端，但又不能全部溢出左端，在(),a a εε-+中仍需含有无穷项，这样a 就必是{}n x 的最大聚点，从而必有子列收敛于a ，使a 为最大子列极限.类似地可以对比函数极限与函数的上极限，从而发现它们的不同之处.还可将函数的上极限与函数的右极限对比，从而可见所谓“右”不过是对自变量x 而言，所谓“上”不过是对因变量即函数值而言.（三）上下极限在极限教学中的作用1.上下极限在极限运算中的作用例1 已知lim n n s s →∞=，求证01lim 1nn s s s s n →∞+++=+ . 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误： 由于对任一0ε>，存在常数N ，当k N >时，有k s s s εε-<<+，所以011N s s s n +++++ ()1n N s n ε--+ 011ns s s n +++<<+ 011N s s s n +++++ ()1n Ns n ε-++ (1)令n →∞，得到()()01lim1nn s s s s s n εε→∞+++-≤≤++ . 再由ε的任意性得到01lim 1nn s s s s n →∞+++≤+ . 错误是预先认定了极限01lim 1nn s s s n →∞++++ 的存在.这里如应用上、下极限，就可绕开极限是否存在这个问题.正确的做法是：由（1），令n →∞，得到()s ε-≤01lim 1n n s s s n →∞++++ 01lim 1n n s s s n →∞+++≤+ ()s ε≤+. 再由ε的任意性得到01lim 1n n s s s n →∞++++ 01lim 1n n s s s s n →∞+++==+ .于是推得 01lim 1nn s s s s n →∞+++=+ . 类似上述过程，不少书中直接写为：“令n →∞，（1）式的左右两边分别趋于s ε-和s ε+.”由于ε的任意性可得01lim 1n n s s s s n →∞+++=+ . 学生如无上、下极限的知识，就可能误解为前面指出过的错误过程.2.上、下极限在数列与级数论中的作用一个数列收敛，说明数列中的项，当n 充分大时有大致相差不多的大小.一个发散数列是没有这个性质的.上下极限正好用来补充说明一个发散数列，当n 充分大时，数列中的项大致的变化幅度.这一点在不少问题中很有用处.例如，一般分析教科书中均提到当极限lim ||n n n a ρ→∞= （8）存在时，幂级数0n n n a z ∞=∑ （9）的收敛半径就是1ρ.这反映了幂级数的收敛半径是由其系数n a 的绝对值大小来决定的.而实际上，幂级数的收敛半径只由其绝对值最大的那一部分系数决定，即幂级数（9）式的收敛半径等于1lim ||n n n R a -→∞= (10)事实上，设（9）式收敛，则当n 充分大时可有||1n n a Z <.亦即 1||||n n z a -<. 令n →∞，就得到||z R ≤，所以收敛半径不超过R . 另一方面，由下极限的定义，对充分大的n ,可有1||n n a R ε->-.亦即 ()||nn a R ε-<-.于是当幂级数（9）式收敛时，所以（9）式的收敛半径是R .结 论目前，一些教科书和数学杂志上面对上、下极限的研究还不深入，需要探究和解决的问题还很多.为了充分的运用上、下极限的相关知识，这就需要我们多角度、全方位的对其探讨.总之，在《数学分析》课程中引入上、下极限的相关知识是非常必要的.不仅可以提高学生对极限的理解，以及相关的解题能力，而且上、下极限的概念在许多后继课程中也起着很大作用.例如：实变函数中大家所熟知的，关于Lebesgue 积分有三大收敛定理，其中Faton 引理的表述就用到了下极限的概念，如果学生没有学习过有关下极限的知识，那么，学生在理解这个定理时就会感到困难.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的，它所起的作用是不可替代的.参考文献：[1][美]G.克莱鲍尔.数学分析[M].上海：科学技术出版社,1983：50-52.[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社,2001：51-64. [3]许万银.数列上、下极限的五种定义及其等价性[J].庆阳师专学报,1990,(1)：85-87. [4]华东师范大学数学系.数学分析（上册）（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2001：172-176.[5]高等师范院校数学分析教学大纲[M].北京：人民教育出版社,1980.6. [6]陈传璋,等.数学分析[M].北京：高等教育出版社,1983.5.[7]郑维行,王声望.实变函数与泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社,1989.1. [8]叶常青.数列上、下极限的新定义及其应用[J].漳州师院学报,1996：48-52.。

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n 只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+l i m s i n 14n n π→+∞=,l i m s i n 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n →+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义 定义3 任给数列{}n x ，定义l i m l i m s u p{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim liminf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1） 分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim lim sup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim lim sup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出lim sup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim lim sup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 l i m l i m l i m n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则l i m l i m n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 l i m l i m l i m n n nn n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 l i m l i m l i m l i ml i m n nn n n n n n nnnx y x y x y++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅ 但 l i m l i m l i m n nn n n n n n nx y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因） 所以 l i m l i m l i m n n n nn n nx y xy →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， l i m ()l i m l i m ()n n n nn n nx yC x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 l i m l i m l i m l i m l i m n n nn nnn n nnnx y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅ 从而 l i m l i m l i m n n n nn n nx y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕. 性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =，这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 l i ml i m l i m ()l i ml i m n n nn nnn n nn n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立. 例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： l i m ()l i m n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 l i m ()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 l i mn n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+ 用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+不妨设 1()2a b c ε=+-，则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+-又有 l i mn n x a →∞=，lim n n y b →∞=， 依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-， 由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 l i m ()l i m n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 l i ml i m ()l i m l i m n n n n n n n n n d x y x y→+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 l i m ()l i m n n n n x x →+∞→∞-=-得 l i m l i ml i m ()l i m l i m n n n n nn n n nn nx y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 l i ml i m l i m ()l i m l i m n n nn nnn n nnn x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;l i m ()l i m n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1l i ml i m 1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7） 例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有l i m l i m n n n n n x y a y →∞→∞=;l i m l i m n n n n n x y ay →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 l i m 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;l i m l i m n n n nn n x z x y →+∞→+∞=. 由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 l i m 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 l i m n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）.定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M-=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃>000(;)(,)B x x x U εεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N>时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞；(3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x . 定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..a b s t U U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大 k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a ∀<小， 数列{}n x 中小于b 的项至多有限个;a a ∀>小， 数列{}n x 中小于a 的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x -代替{}n x .从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001 [2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979 [3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003 [5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993 [6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002 [7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997 [8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004 [10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008 [11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and theapplied mathematics professions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。