数列极限的基本性质
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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质
（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ， 证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ， 当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛 的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单 单调数列。 调减少）的数列统称为单调数列 调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理） 定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。 单调增加（减少）有上（ 界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ， 从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1
数列极限的性质
如果 lim xn = a , ∃n0 , n > n0时有xn ≥ 0, 那么a ≥ 0.
4.保不等式性 (保序性 ) 保不等式性 保序 保序性 保不等式 命题4 命题 如果 lim xn = a , lim yn = b均存在,
n →∞ n →∞
且有a > b, 那么∃N , ∀n > N ,有xn > yn . 有
仿照上面命题 的推论 可得命题 的推论2. 仿照上面命题3的推论 可得命题 的推论 命题 的推论1可得命题4的推论
5. 极限的四则运算法则 定理 1 设limxn = a,limxn = b,
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim xn ± yn ) = a ± b; ( 则 (2) lim( xn ⋅ yn ) = a⋅ b;
n→ ∞ n→ ∞
xn a (3) lim = , 其 b ≠ 0. 中 n→ y ∞ b n xn a 对 (3) lim = ( b ≠ 0) 的 明 以 于 证 予 n→ y ∞ b n
视 明 到 极 的 号 . 重 ,证 用 了 限 保 性
a0 nm + a1nm −1 + L + am 例1 求 lim n →∞ b n n + b n n −1 + L + b 0 1 n
n→∞
例3 求 lim ( n→ ∞
1 n +1
2
n +2 n +n 1 解 倘若我们由 lim = 0 ( k = 1, 2,L , n ) , n →∞ n2 + k 根据极限的四则运算法则得 1 1 1 + +L+ lim( ) n →∞ n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 = lim + lim + L + lim =0 2 2 2 n →∞ n →∞ n + 1 n→∞ n + 2 n +n 那就错了.
《数列极限》课件
性。
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
适用于任何收敛数列的证明 。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收 敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个 常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$， 则数列${a_n}$也收敛于$L$。 通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如 探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求 解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述 利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的 内容
微积分基本定理是微积分学中的 重要定理，它建立了定积分与不 定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的 推导过程
通过极限理论、实数完备性等数 学工具，可以推导出微积分基本 定理。
03
微积分基本定理的 应用
微积分基本定理是计算定积分的 基石，可以用于解决面积、体积 、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确 保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数 列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任 意正数$varepsilon$，存在正整 数$N$，使得当$n, m > N$时， 有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这 样的$N$，可以证明数列的收敛
《数列的极限》课件
单调有界定理
总结词
如果一个数列单调增加或单调减少，且存在上界或下界，则该数列存在极限。
详细描述
单调有界定理是数列极限存在性定理中的一个重要推论，它表明如果一个数列单调增加或单调减少，并且存在上 界或下界，那么这个数列存在极限。这是因为单调性保证了数列不会无限增大或减小，而有界性则保证了数列不 会趋于无穷大或无穷小。
数列的极限
目录
CONTENTS
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质 • 数列极限的存在性定理 • 数列极限的应用 • 数列极限的证明方法
01 数列极限的定义
CHAPTER
定义及性质
定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个常数$a$，则称数列${ a_{n}}$收敛 于$a$。
05 数列极限的证明方法
CHAPTER
定义法
总结词
通过直接使用数列极限的定义来证明数列的极限。
详细描述
定义法是最基本的证明数列极限的方法，它基于数列 极限的定义，通过直接计算数列的项与极限值之间的 差的绝对值，并证明这个差可以任意小，从而证明数 列的极限。
柯西收敛准则证明法
总结词
利用柯西收敛准则来证明数列的极限。
性质
极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。
收敛与发散
收敛
当数列的项逐渐接近一个常数时，该 数列称为收敛的。
发散
如果数列的项没有收敛到任何值，则 该数列称为发散的。
收敛的几何意义
几何解释
在数轴上，如果一个数列的项逐渐接 近一个点，那么这个数列就是收敛的 ，而这个点就是它的极限。
举例
考虑数列${ 1, -1, 1, -1, ldots }$，该 数列在$x=0$处收敛，因为当$n$趋 于无穷大时，该数列的项逐渐接近0 。
数列极限的基本性质
数列极限的基 本性质
三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
若极限
lim
n
xn存在，
则极限唯一.
即若
lim
n
xn
a
且
lim
n
xn
b
则必有 a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
lim
n
xn
a
及
lim
n
xn
b
且
a b.
因
lim
n
xn
a
取 ba,
2
使当 n > N1 时,
(<)
且
lim
n
xn
a,
则
a 0. ()
证 (1) 对 a > 0 , 取 a,
则 N N , 当n N 时,
xn a a
(2) 用反证法证明.
xn a a 0
注
由 xn 0 (n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim 1 n n
0.
a 0.
从而
使当 n >
N2 时, 有
xn
ab 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时,
既有xn
a
2
b，又有xn
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2. 有界性
定义 对数列xn , 若存在正数 M , 使得一切正整 数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界； 否则, 称为{ xn }无界.
三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
若极限
lim
n
xn存在，
则极限唯一.
即若
lim
n
xn
a
且
lim
n
xn
b
则必有 a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
lim
n
xn
a
及
lim
n
xn
b
且
a b.
因
lim
n
xn
a
取 ba,
2
使当 n > N1 时,
(<)
且
lim
n
xn
a,
则
a 0. ()
证 (1) 对 a > 0 , 取 a,
则 N N , 当n N 时,
xn a a
(2) 用反证法证明.
xn a a 0
注
由 xn 0 (n
N0 )，且
lim
n
xn
a
如：
xn
1 n
0,
但
lim
n
xn
lim 1 n n
0.
a 0.
从而
使当 n >
N2 时, 有
xn
ab 2
取 N max N1 , N2 , 则当 n > N 时,
既有xn
a
2
b，又有xn
ab 2
矛盾！故假设不真 !
2. 有界性
定义 对数列xn , 若存在正数 M , 使得一切正整 数n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 xn 有界； 否则, 称为{ xn }无界.
1.2.2-1.2.4 数列极限的性质和运算法则
xn
a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn
a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取
ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3
lim
n
n(n
1)(2n 6n3
1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
第一节 数列极限的定义与性质
,
xn f (n)
然而，从二维角度考察，数列{ x n}可以看作XOY面
表现为一个散点图。
二、数列极限
1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图：
n （1） { n 1}
1 （ 3） { n } 2
n (1) n } （ 5） { n
n { 2 } （ 2） n {( 1 ) } （ 4）
( 0) . (用反证法证明)
（4）. 夹逼准则
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2、收敛数列的性质
（1）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
xn f (n)
然而，从二维角度考察，数列{ x n}可以看作XOY面
表现为一个散点图。
二、数列极限
1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图：
n （1） { n 1}
1 （ 3） { n } 2
n (1) n } （ 5） { n
n { 2 } （ 2） n {( 1 ) } （ 4）
( 0) . (用反证法证明)
（4）. 夹逼准则
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2、收敛数列的性质
（1）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
高等数学 极限
有限个(至多只有 N个) 落在其外 .
( 1) n1 例1 证 明l im 0. n n
n 1 ( 1 ) 1 证明 an a 0 , n n 对 0,要使an 0 , 即 1 , n 1 , n
1 取N ,
( 1)n1 0 , 当n N时, 有 n
( 1) n1 由极限的定义知 lim 0. n n
3n 1 3 . 例2 证 明 l i m n 2n 1 2
3n 1 3 1 1 1 证明 an a , 2n 1 2 4n 2 4 n 2 4 n 3n 1 3 1 1 , 只要 , n 对 0, 要 使 , 2n 1 2 4 4n
n
证明 由条件 (2), 0 , N 1 , N 2 N , 当 当
时, 时,
令 N max N 1 , N 2 ,
则当 n N 时, 结合条件 (1)，得
a bn an cn a
从而
a an a
上的点 a1 , a2 ,, an ,.
a3
a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是
极限思想在几何上的应用.
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 正六边形的面积 A1
由单调有界准则知， an 极限存在 故数列 , 设为a.
在an1 1 an 两边取极限 , 得 a 1 a，
解得
1 5 1 5 a 或 a . 2 2
( 1) n1 例1 证 明l im 0. n n
n 1 ( 1 ) 1 证明 an a 0 , n n 对 0,要使an 0 , 即 1 , n 1 , n
1 取N ,
( 1)n1 0 , 当n N时, 有 n
( 1) n1 由极限的定义知 lim 0. n n
3n 1 3 . 例2 证 明 l i m n 2n 1 2
3n 1 3 1 1 1 证明 an a , 2n 1 2 4n 2 4 n 2 4 n 3n 1 3 1 1 , 只要 , n 对 0, 要 使 , 2n 1 2 4 4n
n
证明 由条件 (2), 0 , N 1 , N 2 N , 当 当
时, 时,
令 N max N 1 , N 2 ,
则当 n N 时, 结合条件 (1)，得
a bn an cn a
从而
a an a
上的点 a1 , a2 ,, an ,.
a3
a1
a2 a4
an
2.数列极限的定义 问题的提出——割圆术 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆 内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是
极限思想在几何上的应用.
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆合体而无所失.
用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积: 正六边形的面积 A1
由单调有界准则知， an 极限存在 故数列 , 设为a.
在an1 1 an 两边取极限 , 得 a 1 a，
解得
1 5 1 5 a 或 a . 2 2
高等数学12数列的极限
数列极限的保序性〔保号性〕
定理 设
3
〔保序性〕假
lni m xna,lni m ynb，且
a b，那 N N , nN ,有 xn yn .
么
证明：
lni m xna,lni m ynb，且 a b.
取 a b , 由极限定义知：
2
a b a b N 1 N , n N 1 ,|x n a |2 x n2
lim 1 1
y n n
b
证明略。
数列收敛的判别准那么
准那么 I. (夹逼定理/两边夹定理) 有三个数列，假
设 (1) yn xn zn ( n 1, 2, L)
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a
lim
n
xn
a
证: 由条件 (2) , 0, N1 0, N2 0,
当 n N1 时, yn a ; 当 nn NN22 时, zznnaa ; .
定理6 也称为连续性公理。
单调数列
定义 4 如果数列{ x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递增数列。 如果数列 { x n } 的项满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称这个数列为单调递减数列。 这两种数列统称单调数列。
令 N max N1 , N2, 那么当n N 时, 有
a yn a , a zn a , 由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a ,
故
lim
n
xn
a
.
例： 证明 lim ( 1 1 1 )存在，
n n2 1 n22
高等数学第二节数列的极限
分析已知条件：只有两个不等式，即数列所在的两个区间,
因此，任给的ε 要取同一个， 由极限为a,得数列所在的区间是以a为中心,ε 为半径的邻域； 由极限为b,得数列所在的区间是以b为中心,ε 为半径的邻域.
若数列所在的两个区间没有交集，则能得到矛盾.
由图知,只要半径ε
, ba 2
两邻域没有交集,即得矛盾,证明完成.
数列极限
收敛数列 性质
有界性 唯一性 保号性 任一子数列收敛于同一极限
第六节 极限存在准则
一、准则1 (夹逼准则 The Squeeze Theorem )
1、如果数列xn,yn,zn 满足
(1) 从某项起, 即 n0 N ,当 n n0时，有
yn xn zn ;
(2)
lim
n
yn
lim
n
(
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
二、准则Ⅱ(单调有界准则)
1、单调有界数列必有极限.
如果数列 xn满足
单调增加只有两种可能:无限 增大或无限接近于一个定点
x1 x2 xn xn1 M (单调增加有上界)
lim xn a ( M ) 有等号，是广义单调
n
x1 x2
xn xn1 a
问题: 无限增大,无限接近,如何用数学语言刻划？
数例分析：
当
n
无限增大时,
xn
n 1 n
无限接近于 1.
当n变得足够大时，|
xn
1
|
1 n
变得任意小.
足够大与任意小相关, 无限接近由n刻画
给定 1 0.01,
具体数
要使
1.3数列极限的性质
n
n
1.
2
例 2．求 lim [ 1 1 1 1 ] . n 12 23 34 n(n1)
解： 由于 1 1 1 ，所以 n(n1) n n1
1 1 1 1
12 23 34
n(n1)
(1 1 )(1 1 )(1 1)( 1 1 ) 1 1 ,
2 23 34
n n1
n1
lim [ 1 1 1 1 ] lim (1 1 ) 1.
2 23
n1 n n
故xn 是单调增加且有上界的数列，必收敛.
例 5．设 x1
1,
xn
1 xn1 (n 2, 3, ), 1 xn1
求 lim xn.
n
解 先证xn单调增加.
∵ x1分1析，:且由递xn推1公 1式x得nxn1数1 (列n的2前, 3,几项) ，：
∴ ∵
∴
xxx2n猜2想0xx1(11此,n.23数,11,58列2,1,单123x31,1调x,1增53)54.加1, 且1有x1上x1界 .12
由 lim xn
n
a
xn 必有界,
即M 0, n N , 有 xn M.
因为 xn yn a b (xn yn xnb) (xnb ab) xn yn xnb xnbab
xn yn b b xn a
M b ( M b ) ,
所以 lim (xn yn ) lim xn lim yn a b.
故A 0, 即 lim xn 0.
n
作业
习 题 二 （P26）
4（1）（3）（4）（6）（9）(10)； 5； 6（1）（4）； 8（1）.
则n N , 有 xn M ,即xn有界.
性质 3（保序性） 若 lim xn a ， lim yn b ，且a b ，
第二讲 极限的定义与基本性质
第二讲 极限的定义与基本性质一、数列极限及其性质1．数列极限的定义：{}n x 收敛于a⇔0ε∀>，N ∃∈N ，s.t. ,n x a n N ε-<∀>。
值得注意的是：1）N 依赖于ε，但不唯一，而ε事先给定；2）不等式n x a ε-<中的ε可以用K ε来代替，其中0K >不依赖于,N ε； 3）N 可以通过n x a ε-<得到，需要解不等式或作适当的放大。
例1 证明：0a ∀>，0!nan →。
分析：直接求解不等式0!nan ε-<是不现实的。
用放大法。
记[]m a =，则当n m >时!12(1)(1)(1)n mn m n m n m -=⋅⋅⋅+>+≥+ ，从而(1)!1nnmaa m n m ⎛⎫<⋅+ ⎪+⎝⎭， 注意到[]11a a m <+=+，因此011a m <<+，从而只要解(1)1nmam m ε⎛⎫⋅+< ⎪+⎝⎭即可。
证明：0ε∀>，不妨设1ε<。
记[]m a =，取ln(1)ln ln(1)ln m m N m a ε⎡⎤+-=⎢⎥+-⎣⎦，则当n N >时有0(1)!1nnmaa m n m ε⎛⎫-<⋅+< ⎪+⎝⎭， 因此由极限定义得0!nan →。
□2．用定义证明极限存在的方法1）放大法：如前。
2）分步法与拟合法 例2 设n x a →，证明1nx x a n++→ 。
分析：若把{}n x 中每项看成a ，则1nx x n++ 的值恰为a ，因此11111()nnnii i i x x a xa x a nnn==++-=-≤-∑∑ 。
其余要借助假设n x a →来证明。
给定0ε>，N ∃，当n N >时n x a ε-<，因此不能控制的项为12,,,N x a x a x a --- 。
但好在这种项只有N 项，从而可以调整n 来控制它们。
同济大学高等数学§1.2.3 数列极限的性质
推论 2 (xn 的极限)a b (或 a b ) xn b(或 xn b)
定理 1 数列极限的运算法则
设 lim xn a ， lim yn b ，则
n
n
（1）
nlim( xn
yn
)
limnBiblioteka xnlimn
yn
ab
；
（2）
lim (
n
xn
yn
)
lim
n
xn
lim
n
yn
ab
；
（3）
lim
n
cxn
证明：若此数列收敛，则其极限唯一， 设 lim xn a 。
n
则对于
1 2
，N
N
，
n N 时，
恒有
xn
a
1 2
，即 xn
(a
1 2
,
a
1) 2
。
因为当n 时， xn 重复 取得 1 和-1 这两个数，而
这两个数不可能同时属于长度为 1 的开区间(a 1 , a 1) 22
内，故此数列发散。
对n N ，总有 1 1 ，但 lim ( 1 ) lim 1 0 。
nn
n n n n
性质 3 及其两个推论的条件与结论可整理成下表
特点 定理
极限的特点
项 (n N)的特点
性质 3 (xn 的极限)a b ( yn 的极限) xn yn
推论 1 (xn 的极限)a b ( yn 的极限) xn yn
在{xn}中不满足 xn 1 a 的项不过是前 N 项：
x1 ，x2 ，…，xN 。
令 M max{ x1 , x2 , , xN ,1 a } ，则n N , 有 xn M 。
数列极限知识点
数列极限知识点数列极限是高等数学中的重要概念。
在微积分、数学分析等各个领域都有着广泛的应用。
本文将对数列极限的相关概念、性质及其在实际问题中的应用进行详细阐述。
一、数列极限的定义首先，了解数列极限的定义是非常关键的。
一个数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中每一项都趋于某个常数L，这个常数L就是这个数列的极限。
具体的数学表达式如下：lim an = L (n → ∞)其中，an为数列中的第n项，L为这个数列的极限。
二、数列极限的性质了解数列极限的性质，可以更好地理解它在实际问题中的应用。
下面，介绍数列极限的一些性质：1.极限的唯一性当数列极限存在时，它在数轴上的值是唯一的。
也就是说，在数列的所有子数列中，都只存在一个极限值。
2.局部有界性如果一个数列有有限的极限，那么它在数轴上一定是有界的，也就是说，存在一个范围，可以将这个范围内的所有数列项都包含在内。
3.保号性如果一个数列的极限是正数，那么数列中所有的项都是正数。
如果极限是负数，那么数列中所有的项都是负数。
4.夹逼定理对于任意一个数列，如果它的所有项都被夹在两个趋向于同一个极限值的数列之间，那么这个数列的极限也趋向于这个极限值。
5.单调有界定理如果一个数列是单调递增（或递减）且有界的，那么它的极限就存在。
三、数列极限的应用数列极限在实际问题中有着广泛的应用。
其中一些典型应用包括：1.距离、速度、加速度等模型在物理学、工程学等领域，常常需要通过数学模型来描述距离、速度、加速度等概念。
这些数学模型往往可以表示为数列的形式，以此来描述运动、变化等现象。
2.统计学中的统计量在统计学中，常常需要对一组数据进行分析，计算各种统计量（如平均数、标准差等）。
这些统计量也往往可以表示为数列的形式，以此来描述数据的分布情况。
3.经验分布函数经验分布函数是一种描述随机变量分布的函数形式，它的计算也经常涉及到数列极限的概念。
四、结语数列极限是高等数学中的重要概念，掌握了数列极限的相关概念和性质，以及应用范围，可以更好地理解和应用它。
04.数列的极限的性质汇总
.
A
.
. . . . . . . . .... .... . .... . . . . . . .. .
n
.
o
§2.1 数列的极限
xn lim zn A, 定理5（夹逼性）设 xn yn zn (n 1,2,) ，且 nlim n yn A. 则nlim
思考题：
作业 P23: 7, 8(1), 9,10,12
lim f ( x) A 0, 0, 当 x x0 0 时, 有 f ( x) A .
f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A 定理1 xlim x x
定理2
x x0
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
un A
§2.2 函数的极限
定义1 设 f ( x)在 (a,) 内有定义,若存在常数 A ,使得对于 N 任意的正数 , 存在正数 ,N 当时 x ,恒有
f ( x) A
则称 f ( x) 在过程 x 中存在极限 A ,记为
x
lim f ( x) A
定义2 设 f ( x)在 x0 的某去心邻域内有定义,若存在常数 A , 使得 0 , 0 ,当时 0 x x0 ,恒有
f ( x) A
则称 f ( x)在过程中 x x0 存在极限 A ,记为
xx0
lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 ) .
x x0 x x0
总结与练习
本讲主要内容：
子数列的概念及其收敛性 函数极限的定义（6种情形） 各种极限之间的关系
数列极限的性质
数列极限的性质
数列极限的性质如下：
1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
2、有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。
3、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有 xn≥yn。
附：极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。
16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题。
开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破’只研
究常量‘的传统范围，而寻找能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进’极限‘思维发展、建立微积分的社会背景。
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。
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a b.
证法1 ( 用反证法) 假设
n n
lim xn a 及 lim xn b 且 a b.
n
因 lim xn a 使当 n > N1 时, 即当 n > N1 时,
ba 取 , N1 N+, 2
ab xn , 2 ab 从而 使当 n > N1 时, xn , 2
a,
a
(2) 用反证法证明.
注 由 xn 0 ( n N 0 )，且 lim xn a
n
a 0.
如： x 1 0, 但 lim x lim 1 0. n n n n n n
4. 收敛数列与其子数列的关系 (1) 子数列的概念
xn , xn , ..., xn , ...
xn M ( n 1 , 2 , ) .
即收敛数列必有界.
注
有界性是数列收敛的必要条件，
但不是充分条件. 关系：
{ xn } 收敛
{ xn } 有界
例如, 数列 {( 1 )n 1 } 虽有界，但不收敛 . 推论 无界数列必发散.
3. 保号性、保序性 (1) 若
时, 有
(2) 若 N N ， 使当n > N 时，恒有
ab 从而 使当 n > N1 时, xn , 2 同理, 因 lim xn b
n
故 N2 N+, 使当 n > N2 时, 有
ab xn 2 ab 从而 使当 n > N2 时, 有 xn 2 取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, ab ab 既有xn ，又有xn 矛盾！故假设不真 ! 2 2
1 2 k
其中 1 n1 n2 ... nk ...
则 { xnk }：称为数列 { xn }的一个子数列(或子列)。
1 例如, 从数列 { } 中抽出所有的偶数项 n
1 组成的数列： 2k
是其子数列. 它的第k 项是 1 xn x2 k ( k 1, 2, 3， ) k 2k
2. 有界性
定义 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切正整 数 n , 恒有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界； 否则, 称为{ x n }无界.
n1 例如: 数列 xn （ 1 ）
有界
无界
数列 xn 2
[ M , M ] 上.
n
数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 xn 都 落 在 闭 区 间
第二章
三、 收敛数列的性质
1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、Байду номын сангаас序性 4. 收敛数列与其子列的关系
三、 收敛数列的性质.
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性) 若极限 lim xn 存在，
n
则极限唯一. 即若 lim xn a
n
且 lim xn b
n
则必有
2
当 n > N1 时,
ab xn 2
同理, 因 lim yn b , 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有 从而
取 N max N 1 , N 2 , 则当 n > N 时, 便有
ba ab yn b 2 2
ab xn yn , 2 与已知矛盾, 于是定理得证.
(2) 收敛数列与其子数列的关系 结论：（1)：
若数列 lim xn a,
n
则{xn }的任意子数列
{ xn } 也收敛，且 lim xn a .
k
k
k
（2)：
数列 lim xn a,
n
若数列{x2 k } {x2 k 1} 都收敛于a
注 1° 某{ x n }收敛 k
定理2.2 (收敛数列的有界性)
收敛的数列必定有界. 即若
n
lim xn a,
则常数 M 0,
使
xn M (n =1,2,…).
证 设 取 1 , 则
N , 当 n N 时, 有
xn a 1 ,
从而有
xn a a 1 a
取 则有
M max x1 , x2 , , x N , 1 a
x n yn
且
n
lim xn a ,
n
lim yn b，则 a b .
证（1）：a b. 取 ab , 2 因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
n
从而
ba ab xn a 2 2
当 n > N1 时, x a b n
推论： (收敛数列的保号性)
且 a 0, (<) 则 N N ， 使当n > N 时， lim xn a , (1) 若 n
恒有
x n 0.
(<)
(2) 若 xn 0 ( n N 0 ), (<)
且
n
lim xn a, 则 a 0.
( )
证 (1) 对 a > 0 , 取
但 { x n } 发散.
{ xn } 收敛
k
n1 例如， 数列 xn （ 1 ） ，虽然 lim x2 k 1
2° 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ， 则原数列一定发散 . 定理 例如，
k k
n
lim xn a
k
lim x2 k lim x2 k 1 a .
k
发散 !
lim x2 k 1 lim x2 k 1 1