泊松过程

泊松过程公式范文泊松过程（Poisson process）是概率论中的一种重要的随机过程。

它以数学家西莫恩·庞加莱（Siméon Denis Poisson）的名字命名，他在19世纪早期首次引入了这个概念。

泊松过程是一种离散时间（时间按照一定的间隔划分）连续状态（可以不断地发生事件）的随机过程。

泊松过程的定义是：在一段时间内，事件发生的次数服从泊松分布（Poisson distribution）。

这段时间可以是无穷小的时间间隔，也可以是有限的时间窗口。

泊松过程的关键特征是事件之间的时间间隔都是独立的且呈指数分布。

所谓指数分布是指事件之间的时间间隔满足指数分布的概率密度函数，即事件发生的概率与时间间隔的长度成正比。

泊松过程的数学定义可以表示为：P(N(t)=k)=(e^(-λt)*(λt)^k)/k!其中，N(t)表示在时间t内发生的事件次数，k表示事件的个数，λ表示单位时间内平均发生的事件个数。

根据泊松过程的定义，可以得到一些重要的性质和公式。

首先是事件发生的概率。

在时间t内发生k次事件的概率可以用公式P(N(t)=k)表示，其中λt表示单位时间内平均发生的事件个数。

这个公式是泊松分布的概率质量函数。

其次是事件之间的时间间隔。

由于泊松过程中时间间隔是独立的且呈指数分布，所以事件发生的时间间隔满足无记忆性（memoryless）的特性。

无记忆性意味着事件的发生与之前的事件的发生时间无关，只与发生事件的频率有关。

再次是事件的到达间隔。

事件的到达间隔是指两个连续事件之间的时间间隔。

根据泊松过程的定义，事件的到达间隔呈指数分布。

事件的到达间隔的期望值（也称为平均间隔）为1/λ，即单位事件到达的平均时间间隔。

最后是超过特定事件个数的概率。

假设我们需要计算在一定时间内超过n次事件发生的概率。

可以用公式P(N(t) > n) = 1 - P(N(t) <= n)= 1 - ∑(i=0 to n) (e^(-λt) * (λt)^i) / i!来计算。

泊松过程泊松过程是随机过程的一个经典模型，是一种累积随机事件的发生次数的独立增量过程。

也就是说，每次事件的发生是相互独立的。

那么泊松分布和泊松过程又什么关系呢？可以说泊松分布是描述稀有事件的统计规律，即可以描述一段时间内发生某个次数的概率。

而泊松过程呢，就适合刻画“稀有事件流”的概率特性。

比较：泊松分布泊松过程的主要公式：其实没多少不一样对不对？不一样的是泊松过程是一个可以查看在时间t内发生次数的概率，这个t是可变的。

泊松分布则是给定了时间。

泊松过程的关键在于，它的到达间隔序列Tn，即每两次发生的时间是服从的独立同指数分布的。

如果每次发生的间隔时间不服从指数分布，那么这个随机过程就会更一般化，我们成为是更新过程，这也是随机过程的推广。

泊松过程分为齐次泊松过程和非齐次泊松过程，齐次的意思很简单，就是说过程并不依赖于初始时刻，强度函数是一个常数，从上面的公式也看得出来。

而非齐次则是变成了,这意味着什么呢？这以为着随着与时间的改变，强度是会改变的，改变服从强度函数，说了这么久，强度究竟是个什么概念？强度的意思就是泊松过程的该事件发生的频率，或者说快慢，泊松分布中我们知道期望就是,实际含义就是，在一段时间内，发生的次数平均水平是次。

复合泊松过程：泊松过程我们已经知道，用描述一段时间累积发生的次数，但是如果每次发生带来的后果都是不一样的，我们怎么描述这个过程呢？比如，火车站到达的乘客是服从泊松过程的，但是每个乘客携带有不同重量的行李，我们如何刻画在[0,t]时间内行李总重量呢，这个过程就是复合泊松过程。

复合泊松过程的均值函数和方差函数一般可以用全期望和全方差公式进行计算，因为简单泊松过程的期望很容易求。

更新过程：上文已经说到，更新过程作为泊松过程的推广，更具有一般性，那么在讨论更新过程时，我们更多地讨来更新函数，更新函数是更新过程的均值函数m(t)=E[N(t)]，怎么理解呢，就是说需要用t时刻的累积计数的期望特性来表达更新过程。

泊松过程是概率论和统计学中重要的随机过程之一，它描述了在一定时间内某一事件发生的次数。

在实际应用中，泊松过程常常用于描述诸如通联方式呼叫、交通流量、以及粒子的撞击等随机现象。

泊松过程的到达时间间隔服从指数分布是其重要性质之一，本文将对这一性质进行证明。

证明内容如下：1. 泊松过程的定义泊松过程是一种随机过程，其具体定义为：在任意时间段[0,t]内，事件的到达次数N(t)服从泊松分布，即N(t)~P(λt)，其中λ为事件的到达速率。

泊松过程具有无记忆性和独立增量等性质。

2. 指数分布的定义指数分布是一种连续概率分布，描述了随机变量等待的时间长度。

指数分布的概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，其中λ为分布的参数，x 为随机变量的取值。

3. 证明泊松过程的到达时间间隔服从指数分布假设事件的到达时间分别为t1,t2,...,tn，其中ti表示第i个事件的到达时间。

根据泊松过程的定义，事件到达的时间间隔t2-t1,t3-t2,...,tn-tn-1分别服从指数分布，下面我们将对这一性质进行严格的证明。

考虑事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率，其中Δt为一个小的时间间隔。

根据泊松过程的定义，该时间段内到达次数N(Δt)服从泊松分布，即N(Δt)~P(λΔt)。

事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率可以表示为P(Δt) = P(N(Δt)=1)，即事件在该时间段内到达一次的概率。

当Δt趋近于0时，事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率可以近似为P(Δt) = λΔt。

而事件到达时间间隔在[t,t+Δt]之外的概率可以忽略不计，因为Δt趋近于0。

事件到达时间间隔为[t,t+Δt]的概率密度函数为f(Δt) = λe^(-λΔt)。

而指数分布的概率密度函数也为f(Δt) = λe^(-λΔt)。

事件到达时间间隔服从指数分布。

4. 结论根据上述证明，可以得出结论：泊松过程的到达时间间隔服从指数分布。

泊松过程
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。

1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。

它是一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。

例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数的过程。

一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变数是独立的。

在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变数，遵循泊松分布。

（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变数。

）泊松过程是莱维过程（Lévy pro cess）中最有名的过程之一。

时间齐次的泊松过程也是时间齐次的连续时间Markov过程的例子。

一个时间齐次、一维的泊松过程是一个纯出生过程，是一个出生——死亡过程的最简单例子。

对泊松过程，通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左（或右）连续阶梯函数。

可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。

直观上，只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的，而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累
计次数就是一个泊松过程。

泊松过程泊松过程是指一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。

例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数，就构成一个泊松过程。

泊松过程是由法国著名数学家泊松（1781—1840）证明的。

1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。

泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。

我们说一个 随机过程 N(t)是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重迭）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。

在区间[t,t + τ]内发生的事件的数目标机率分布为：其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。

所以，如果给定在时间区间[t,t + τ]之中事件发生的数目，则随机变量N(t + τ) - N(t)呈现泊松分布，其参数为λτ。

更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重迭）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。

在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。

（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。

） 考虑一个泊松过程，我们将第一个事件到达的时间记为T1。

此外，对于n>1，以Tn记在第n-1个事件与第n个事件之间用去的时间。

序列{Tn,n=1,2,...}称为到达间隔时间列。

Tn(n=1,2,...)是独立同分布的指数随机变量，具有均值1/λ。

Definition of the Poisson processWe describe the situation by the counting process N(t), t > 0, which counts the number of events that have occurred between time 0 and time t. Our model has a single parameter, λ > 0, which isthe average arrival rate per unit time. Before defining the model formally, we make some preliminary calculations based on the following three natural assumptions:• The probability of an event occurring in a short interval of time [t,t+h] is λh+o(h) as h → 0.• The probability of two or more events occurring in interval [t, t + h] is o(h) as h → 0.• The numbers of events occurring in disjoint time intervals are independent.Examples:1.Insurance claims. Insurance companies often model customers’ claims using renewalideas. In this case the interarrival distribution is a crucial element of the calculation ofwhat insurance premium to charge.2.Counter processes. Many devices can be described as counters in that they attempt torecord the occurrence of successive signal pulses impinging on some instrument. Forexample Geiger counters for recording ionization events, or scintillation counters forrecording passage of a subatomic particle.3.Traffic flow. The times at which successive cars pass a monitoring station on a longsingle- lane road can be modelled as a renewal process. Much more generally, any sort of “traffic” can fit a similar model, such as data packets arriving at a server across a network connection. Questions of congestion can be answered using renewal theory and therelated theory of queues.4.Inventory systems. A large department store needs to know how much stock of aparticular item to hold, and a schedule for replenishment. The pattern of demands canoften be modelled as a renewal process.In any of these or other similar situations in which events occur randomly in time at some uniform average rate, an assumption of ‘total randomness’ leads to the Poisson process as a model.。

泊松过程马春光machunguang@ 哈尔滨工程大学泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程Poisson 过程是一类直观意义很强,而且极为重要的过程,其应用范围很广,遍及各个领域，公用事业、生物学、物理学、电子通信工程等很多方面的问题都可用Poisson过程物理模拟.考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”, 顾客到服务点的到达过程可认为是Poisson 过程.当抽象的“服务点和“顾客流有不同的含义时，便可得到不同的””Poisson过程. 例如,某电话交换台得电话呼叫,交换台就是服务点，所有的呼叫依先后次序构成一顾客流.计数过程2.7.6 N t ), t 0}定义称实随机过程{(),≥}为计数过程，如果N (t ) 代表到时刻t 所发生的随机事件数.计数过程{N (t ), t ≥0}应该满足下列条件：(1)t ()N ()是非负整数;(2) 代表时间间隔0()()s t N t N s ∀≤<≥，；(3)t-s 内发生的随机事件数.0()()s t N t N s ∀≤<−，Poisson 过程2.7.7 N t t 0}定义称计数过程{(),≥}是参数(强度、比率)为λ(λ>0) 的Poisson 过程，如果：(1) N (0)=0;(2) {N (t ),t ≥0}是平稳的独立增量过程；(3) ，N (t ) 服从参数为λt 的Poisson 分布，即0t ∀>()(()),0,1,2,kt t P N t k e k k λλ−==="！定理2.7.6 设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，则(1)=0;)=(1) m N (t )λt ，t ≥0; D N (t )λt , t ≥0;C N (s,t )=λmin (s,t ), s,t ≥0；R N (s,t )=λ2st+λmin (s,t ), s,t ≥0.(2)服从参数为的Poisson 分布.0()()s t N t N s ∀≤<−，()t s λ−z 证明：(1) 只需证明：R N (s,t )=λ2st+λmin (s,t ), s,t ≥0.(2)()往证：()(())(()()),0,1,2,kt s t s P N t N s k e k k λλ−−−−==="！)定义2.7.8称计数过程{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，如果：(1) N(0)=0;(2) {N t), t≥0}(){(),}是平稳的独立增量过程；(3) 当充分小时，在(t, t+ )内出现事件一次的概率为tΔtΔΔ，即(4)当充分小时，在(t, t+ )内出现事件两次或是两次()t tλοΔ+ΔtΔtΔ(()()1)()P N t t N t t tλο+−==Δ+Δ以上概率为，即()tοΔ−≥=Δ(()()2)()P N t t N t tο+Δ277277278定理2.7.7定义2.7.7与定义2.7.8等价.证明：z 设定义2.7.7成立，只需证明定义2.7.8中的条件(3)、(4) 成Δ立，即(()()1)()P N t t N t t t λο+Δ−==Δ+Δ(()()2)()P N t t N t t ο+−≥=Δz 设定义2.7.8成立，只需证明0t ∀>()(()),0,1,2,kt t P N t k e k k λλ−==="！泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程Poisson Poisson过程的到达时间间隔分布设N (t )表示知道t 时刻到达的随机点数,{N (t ),t ≥0}是强度为λ的Poisson 过程，分别表示第1个，第2个12,,,,n τττ""12=",…,第n 个,…,随机点的到达时间，称为Poisson 过程的到达时间序列，它是一个随机变量序列，{,1,2,}n n τ令称{T n , n=1,2,…}为Poisson 10,1,2,,0,defn n n T n τττ−=−=="过程的到达时间间隔序列，它也是一个随机变量序列.显然12n nT T T τ=+++"定理2.7.8设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，T ,n=1,2,…T ,T ,…,T ,…,{n ,,,}是其到达时间间隔序列，则1,2,,n ,,相互独立同服从参数λ的指数分布.即⎧⎧,0()0, 0n t T e t f t t λλ−≥=⎨<⎩1,0()0, 0n tT e t F t t λλ−−≥=⎨<⎩泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程3. 泊松过程的到达时间分布定理2.7.9设{N (t ),t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程是其到达时间序列，则1,2,}n τ="1,2,n τ="服从Г分布，即的概率密度函数为{,,,n (,,)n n τ1(),0n t t e t n λλλ−−⎧≥⎪−()(1)0,0n f t t τ=⎨⎪<⎩！泊松过程1泊松过程的定义1 泊松过程的定义2泊松过程的到达时间间隔分布2 泊松过程的到达时间间隔分布3 泊松过程的到达时间分布4 泊松过程的到达时间的条件分布5 复合泊松过程4. 泊松过程的到达时间的条件分布)t [0)设{N (t ), t ≥0}是参数为λ的Poisson 过程，如果在[0,t ) 内仅有一个随机点到达，τ是其到达时间，则τ服从[0,t ) 上的均匀分布.0s <t 事实上，当0 ≤ s < t 时，|()1(|()1)(|()1)1N t F s N t P s N t ττ===≤=()(,()1)(()1,()()0) (()1)(()1)s t s P s N t P N s N t N s P N t P N t s λλτ−−−≤==−=====[0)(()1)(()()0) (()1)t P N s P N t N s se e P N t te tλλλ−=−=====从而τ服从[0,t ) 上的均匀分布.4.)t 0}泊松过程的到达时间的条件分布定理2.7.10设{N (t ), t ≥ 0}是参数为λ的Poisson 过程，如果在[0,t ) 内有n 个随机点到达，则n 个到达时间n [0)12nτττ<<<"和n 个相互独立同服从[0,t ) 上均匀分布的随机变量的顺序统计量同分布.12,,n U U U "(1)(2)()n U U U <<<"4. )t 0}泊松过程的到达时间的条件分布例2.7.2假设乘客按照参数为λ的Poisson 过程{N (t ), t ≥ 0}来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻t 启程，试求在[0,t ] 内到达火车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。