实验一随机序列的产生及数字特征估计
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实验一随机序列的产生及数字特征估计
一、实验目的
1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理
1、随机数的产生
随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。
进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布，即U(0,1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：
（1.1）
序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。
下面给出了（1.1）式的3 组常用参数：
①N = 1010，k = 7，周期≈5*10^7；
②（IBM随机数发生器）N = 2^31，k = 2^16 + 3，周期≈5*10^8；
③（ran0）N = 2^31 - 1，k = 7^5，周期≈2*10^9；
由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理1.1 若随机变量X具有连续分布函数，而R为(0,1)均匀分布随机变量，则有
（1.2）
由这一定理可知，分布函数为的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按（1.2）式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数
（1）(0,1)均匀分布的随机序列
函数：rand
用法：x = rand(m, n)
功能：产生m×n的均匀分布随机数矩阵。
（2）正态分布的随机序列
函数：randn
用法：x = randn(m, n)
功能：产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。
（3）其他分布的随机序列
MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，表1.1 列出了部分函数。
表1.1 MATLAB 中产生随机数的一些函数
3.随机序列的数字特征估计
对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。
这里我们假定随机序列X(n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n = 0, 1, 2, … N-1。
那么，X(n)的均值、方差和自相关函数的估计为:
利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。
（1）均值函数
函数：mean
用法：m = mean(x)
功能：返回按(1.3)式估计X(n)的均值，其中x为样本序列x(n)。
- 4 -
（2）方差函数
函数：var
用法：sigma2 = var(x)
功能：返回按（1.4）式估计X(n)的方差，其中x为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。
（3）互相关函数
函数：xcorr
用法： c = xcorr(x, y)
c = xcorr(x)
c = xcorr(x, y, 'opition')
c = xcorr(x, 'opition')
功能：xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X(n)的自相关。
option选项可以设定为：
'biased' 有偏估计，即
'unbiased' 无偏估计，即按（1.5）式估计。
'coeff' m = 0时的相关函数值归一化为1。
'none' 不做归一化处理。
三、实验内容及结果
1. 采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。
改变样本个数重新计算。
Script计算脚本：
num=input('num= ');
N=2^31;
k=2^16+3; %IBM random number generator
Y=zeros(1, num);
X=zeros(1, num);
Y(1)=1;
for i = 2:num
Y(i)=mod(k*Y(i-1), N);
end
X=Y/N;
a=0;
b=1;
m0=(a+b)/2;
sigma0=((b-a)^2)/12; %theoritical value
m1=mean(X);
sigma1=var(X); %actual value
delta_m=abs(m1-m0)
delta_sigma=abs(sigma1-sigma0) %error
plot(X, 'k');
xlabel('n');
ylabel('X(n)');
axis tight;
实验结果：
num = 1000
delta_m = 0.0110 delta_sigma =
0.0011
num = 5000
delta_m = 2.6620e-04 delta_sigma =
0.0020
n
X (n )
0.1
0.20.30.40.50.6
0.70.80.9n
X (n )
num = 10000
delta_m = 8.7166e-05 delta_sigma =
4.1864e-04
由结果可知， 当num=10000时的均值和方差与理论值误差最小，因此效
果比较好。
2. 参数为λ的指数分布的分布函数为
利用反函数法产生参数为0.5的指数分布随机数1000个，测试其方差和相关函数。
script 计算脚本
R = rand(1, 1000); lambda = 0.5;
X = -log(1-R)/lambda;
Dx = var(X)
[Rm, m] = xcorr(X);
0.1
0.20.30.40.50.6
0.70.80.9n
X (n )
subplot(2,1,1); plot(X, 'k'); xlabel('n'); ylabel('X(n)'); axis tight;
subplot(2,1,2); plot(m, Rm, 'k'); xlabel('m'); ylabel('R(m)'); axis tight;
运行结果：
Dx =
4.1286
结果分析：参数为λ的指数分布，其方差为。
当λ=0.5时， 应有D[X]=4，
实验的结果D[X]=4.1286，可见大致与理论相符，误差来源于样本数量过少。
100200300400
5006007008009001000
5
10
15n
X (n )
-800
-600
-400
-200
0200
400
600
800
2000
40006000
8000m
R (m )
3. 产生一组N(1,4)分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。
script计算脚本：
X = normrnd(1, 2, [1, 1000]);
mx = mean(X)
Dx = var(X)
[Rm, m] = xcorr(X);
subplot(2,1,1);
plot(X, 'k');
xlabel('n');
ylabel('X(n)');
axis tight;
subplot(2,1,2);
plot(m, Rm, 'k');
xlabel('m');
ylabel('R(m)');
axis tight;
运行结果：
Dx =
3.8872
结果分析：样本方差为3.8872， 可见与理论值4比较接近。
误差主要来源
于样本数量过少。
样本的自相关函数表明：正态分布的随机序列在任意两个不等的时刻相关性均比较弱。
四、心得体会
通过本次实验，首先了解了计算机中随机数的产生方法。
线性同余法可产生
[0, 1]上的均匀分布随机数，通过函数变换即可或得任意分布的随机数。
其次，通过计算指数分布与高斯分布序列的自相关函数，对这两种分布的相关性有了更加直观的理解。
同时，实验复习了matlab 函数调用及绘图操作。
100
200
300
400
500600
700
800
900
1000
n
X (n )
-800
-600
-400
-200
0200
400
600
800
1000
200030004000
m
R (m )。
