异面直线的定义 优质课件

理论迁移
例1 如图是一个正方体的表面展开图,
如果将它还原为正方体，那么AB，CD，
EF，GH这四条线段所在直A 线是异面直线
的有多少对?
A
D
CA
G
H
DB
G
B F
HE F
C E
知识探究： 思考1: :两条异面直线之间有一个相对 倾斜度，可以通过什么几何量来反映的？
思考2:设想用一个角反映异面直线的相 对倾斜度，但不能直接度量，你有什么 办法解决这个矛盾？
在长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两条棱所 在的直线是互相垂直的异面直线?
C'
B' C
D' A'
D
B
A
理论迁移
例1 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. （1）直线A′B和CC′的夹角是多少？ （2）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
D′ A′
思考3:两条异面直线之间有一个相对倾 斜度，若将两异面直线分别平行移动， 它们的相对倾斜度是否发生变化？
b a α
b'
a' o
对于两条异面直线a，b，经过空间 任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则 a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a与b所成的角(或夹角)
思考4:若点O的位置不同，则直线a′与
思考:如图，在空间中AB// A′B′，
AC// A′C′，你能证明∠BAC与
∠B′A′C′ 相等吗？
C´
E´
A´
B´ D´
C E
A
D
B
思考:综上分析我们可以得到什么定理?
定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行，那么这两个角相等或互补.

平行、相交、异面.
（1）从公共点的数目来看，可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两直线平行 ②没有公共点则
两直线为异面直线 （2）从是否共面来讲，可分为： 两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内则两直线为异面直线

在空间四边形ABCD中，点E、F分别为CD、
异面直线 BC的中点，则直线AB和EF是两条________

2
].
4、如果两条异面直线a、b所成角是直角，那么 我们就说两条直线互相垂直，仍记作a⊥b.
六、求解异面直线所成角的思维方法 以及步骤：
1、作（找）角：平移相交，体现了空间 到平面的化归思想. 2、求角：灵活构建角所在三角形，求 解三角形.
七、小结：
1. 异面直线的概念. 2. 空间两直线的位置关系. 3. 异面直线的判定定理. 4. 异面直线所成的角. 5. 求解异面直线所成角的思维方法以及步骤.
八、课后作业： 1、做好复习；
2、查阅书籍或上网查找关于异面直线的判 定定理的证明，参考网址：
F
B
则∠FB1C(或其补角)即为异面直线 C AE与B1C所成的角. 连接FC， 在Δ FB1C中, FB1=FC= 22 12 5, B1C= 22 22 2 2, 由余弦定理得
10 即异面直线AE与B1C所成角的余弦值为 5
FB12 +B1C2 -FC 2 10 cos FB1C= 2FB1 B1C 5

直线A1C1和BD1的位置关系是什么？
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
四、异面直线的画法
b
b

b a

a

刑或威胁等手段强迫受审人招供：严刑～。 【逼和】ī动逼平（多用于棋类比赛）。 【逼婚】ī动用暴力或威胁手段强迫对方（多为女方）跟自己或
例题
D1
例1：设图中的正方体的棱长为a，A1
①图中哪些棱所在的直线与 BA1成异面直线
②求异面直线A1B与C1C的夹 角的度数
D A
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
C1 B1
C B
一、基础知识 1、异面直线的定义：
不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
相交直线
共面直线 异面直线
空间两条直线
〈口〉动板着脸，表示不高兴：他绷着脸，半天一句话也不说。 【琫】〈书〉刀鞘上端的饰物。 【?】同“琫”。 【鞛】同“琫”。 【泵】①名吸入和排 出流体的机械，能把流体抽出或压入容器，也能把液体提送到高处。通常按用途不同分为气泵、水泵、油泵。②动用泵压入或抽出：～入｜～出｜～油。 ［英］ 【迸】①动向外溅出或喷射：打； 练字加盟 练字加盟 ；铁时火星儿乱～｜潮水冲来，礁石边上～起乳白色的浪花◇沉默了半天， 他才～出一句话来。②突然碎裂：～裂｜～碎。 【迸发】动由内而外地突然发出：一锤子打到岩石上，～了好些火星儿◇笑声从四面八方～出来。 【迸溅】 动向四外溅：火花～｜激流冲击着岩石，～起无数飞沫。 【迸裂】动破裂；裂开而往外飞溅：山石～｜脑浆～。 【蚌】蚌埠（），地名，在安徽。 【绷】 （綳、繃）①动裂开：西瓜～了一道缝儿。②〈口〉副用在“硬、直、亮”一类形容词的前面，表示程度深：～硬｜～直｜～脆｜～亮。 【绷瓷】（～儿） 名表面的釉层有不规则碎纹的瓷器。这种碎纹是由于坯和釉的膨胀系数不同而形成的。 【甏】〈方〉名瓮；坛子：酒～。 【镚】（鏰）见下。 【镚儿】 〈口〉名镚子。 【镚子】?〈口〉名原指清末不带孔的小铜币，十个当一个铜元，现在把小形的硬币叫钢镚子或钢镚儿。也叫镚儿。 【镚子儿】〈方〉名指 极少量的钱：～不值｜一个～也不给。 【蹦】动跳：欢～乱跳｜皮球一拍～得老高｜他蹲下身子，用力一～，就～了两米多远◇他嘴里不时～出一些新词儿 来。 【蹦蹦儿戏】名评剧的前身。参看页〖评剧〗。 【蹦床】名①一种体育器械，外形像床，有弹性。②体育运动项目之一。运动员在蹦床上完成跳跃、翻 腾、旋转等动作。 【蹦跶】?ɑ动蹦跳，现多比喻挣扎：秋后的蚂蚱，～不了几天了。 【蹦迪】动跳迪斯科舞。 【蹦高】（～儿）动跳跃：乐得直～儿。 【蹦极】名一种体育运动，用一端固定的有弹性的绳索绑缚在踝部从高处跳下，身体在空中上下弹动。也叫蹦极跳。［英g］ 【蹦极跳】名蹦极。 【蹦跳】 动跳跃：他高兴得～起来。 【屄】ī名阴门的俗称。 【逼】（偪）ī①动逼迫；给人以威胁：威～｜寒气～人｜形势～人｜为生活所～。③动强迫索取：～ 租｜～债。③靠近；接近：～视｜～近。④〈书〉狭窄：～仄。 【逼宫】ī动指大臣强迫帝王退位。也泛指强迫政府首脑辞职或让出权力。 【逼供】ī动用酷

4、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则BD1与所 CC1成角的正切值为_________ 2 5、M、N、P分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的三个 面ABCD 、CC1DD1、BCC1B1的中心，则A1M与NP所 0 成角是___________ 90 6、已知在空间四边形ABCD中，M、N分别为AC、 BD的中点。试找出MN与AB、CD所成的角。
D B C D1 B1 C1
“垂 直”
=
“相交垂 直”
+
“异面垂 直”
习题： 1、异面直线是（ D ） A.空间不相交的两条直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与这个平面外的一条直线 D.既不平行又不相交的两条直线 2、下列命题正确的个数是（ A ） ①没有公共点的两条直线是平行线 ②互相垂直的两条 直线是相交线 ③与两条平行线中的一条异面的直线必 与另一条也异面 ④与两条相交线中的一条异面的直线 必与另一条也异面 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3、若直线L与直线 a , b相交成等角，则a , b的位置关 系是（ D ） A. 相交 B. 平行 C.异面 D. 均有可能
异面直线定义：不同在任何一个平面 Ｄ＇ 内的两条直线叫异面直线。
Ａ＇ Ｃ＇ Ｂ＇
空间的两条直线的位置关系有：
相交、平行、异面
共 面
Ａ Ｂ
Ｄ Ｃ
不同在任何
一个平面内
异面直线所成的角的定义
直线a,b是异面直线，经过空间任意 一点o，分别作直线a1∥a, b1∥b, 我们 把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做 异面直线a和b所成的角（或夹角）。
.
M
相交直线所成角的大 小，就是异面直线所成 角的大小 b

异面直线的性质研究
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。

4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
√ A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
解析 如图所示，在长方体中没有与体对角线平行 的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的 直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与 体对角线异面， ∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1， ∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.
解析 因为A1B1∥C1D1， 所以∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角. 连接AD1(图略)， 在△AED1 中，AD1＝ 2，D1E＝12，AE＝23， ∴AD21＋D1E2＝AE2，∴△AED1 为直角三角形，
1 cos∠AED1＝DA1EE＝23＝31.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
特殊 情况
当θ＝ 90° 时，异面直线a，b互相垂直，记作_a_⊥__b__
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.( × )
2.异面直线所成的角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据
需要合理选择该点.( √ ) 3.过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线.( √ ) 4.如果三条直线两两相交，这三条直线一定共面.( × )
跟踪训练1 如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A，D 的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法： ①AB与CD互为异面直线； ②FH分别与DC，DB互为异面直线； ③EG与FH互为异面直线； ④EG与AB互为异面直线. 其中说法正确的是__①__②__③__④__.(填序号)

不在同一个平面上且互不相交的两条 直线。
异面直线不可能平行，也不可能相交 。
异面直线判定
两条直线若不相交，则可能为异面直 线。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角：两条异面直 线在某个平面上投影所形成的 夹角。
异面直线所成角的取值范围： 0°到90°。
异面直线所成角的计算方法： 通过平移将两条异面直线转化 为相交直线，再计算夹角。
PART 05
异面直线所成角的扩展知 识
异面直线的其他性质
异面直线永远不会相交
由于异面直线不在同一平面内，因此它们永远不会在某一点相交 。
异面直线与平行线的关系
平行线是共面的直线，而异面直线是不同面的直线，因此平行线与 异面直线没有交点。
异面直线的方向向量
异面直线的方向向量在不同的平面上，因此它们的方向向量是垂直 的。
平面角的取值范围
锐角（0°，90°）或直角（90°）。
异面直线所成角的求法
01
02
03
定义
异面直线所成的角是指两 条异面直线在同一平面内 的射影所形成的锐角或直 角。
计算方法
通过平移将两条异面直线 变为相交直线，再通过平 面角的定义计算出所成角 的大小。
注意事项
平移过程中不能改变直线 的方向和位置，否则所求 得的角不是异面直线所成 的角。
异面直线所成角的性质
性质一
异面直线所成角是唯一 的，与平移无关。
性质二
两条异面直线所成的角 是锐角或直角，不可能
为钝角。
性质三
两条异面直线所成的角 与两条直线的夹角相等
或互补。
性质四
两条异面直线所成的角 可以通过平移、旋转和
对称等变换得到。
PART 02

b
a2
.
o1
b1
a1
.
o
a M
(三)异面直线a与b所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b,
则直1.直线线a和ab和所b成所的成角的。锐角(或直角)叫做.异面 1 1
bbbb11b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ba1b1b1a1b1b1a1b1b1a1baa1b11b1a1ba1b011b01a1b,9a1b10aa1b101b11a1b1b1a111a1ao1a1a1 a1aa1a11
法
作业
P15 4, 7 P80 4
1.下列结论正确的是（ C ）
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平 行，它也可能和另一条平行
O是空间中的任意一点 所成的锐角是否相等？
b2
点O常取在两 条异面直线中 的一条上
M
2.范围： 00,900
３.当两直线所成角为900时，称两直线垂直
7 8
1、你喜欢哪一张椅子？为什么？
1.要考虑环境
设计的魅力
设计的魅力
设计的魅力
设计的魅力
讨论现代椅子的设计有那些特点？
分析讨论
为年轻人设计的
游戏椅子，运用聚丙 烯材料制造，体现休 闲、舒适的艺术特点
C1
与BA1成异面直线
A1
B1
②求异面直线A1B与C1C的夹 D 角的度数
A
C B
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
练习３、Ｐ14 ４
例2.

①有且只有一个公共点——两直线相交
l1
A
l2
记作：l1 l2 A
l1
两直线平行
l2
②没有公共点
记作：l1 // l2
两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲，可分为：
①在同一平面内
两直线相交 两直线平行
②不在同一平面内——两直线为异面直线
思考
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
同理，FG
2 ∥BD且FG
=
1
BD
2
∴EH ∥FG且EH =FG
H
E
D G
B
F
C
∴EFGH是一个平行四边形
变式一：
在例2中，如果再加上条件AC=BD，那
么四边形EFGH是什么图形?
A
菱形 E
分析：
在例题2的基础上 B
我们只需要证明平行四Fra bibliotekF边形的两条邻边相等。
H D
G
C
变式二：
空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中
思考：在等角定理中，你能进一步指出两个角相等 的条件吗？
角的方向相同或相反
思考：在平面内，我们是如何定义两条直线的夹角的？
若两直线平行，则其夹角为0° 若两直线相交，则可得到四个角，其中不大于 90°的角称为两直线的夹角。
a
b 思考：在空间中，平行直线与相交直线的夹角与平 面内的定义是一致的，那么，如何刻画两条异面直 线所成的角呢？
A
B
C
D
如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E、F分别是 BB1和CD的中点，求AE与D1F 所成的角

b
b1
考思
a
O a1
1、和一直线垂直的直线有几条？
2 、互相垂直的直线一定相交吗?
3、垂直于同一直线的两直线平行吗？
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1返1 回
练
已知空间四边形ABCD两对角线 互相垂直，且AC=6，BD=8，E、
习 G分别是AB、CD上的中点，求线
段EG的长度。 A 思路：两如对何角体线现互两相对垂角直线，互即相他垂们直所？
A 成的角。
∵BD=8,AC=6 ∴ EF= 4, FG=3
E
又∵AC垂直BD F ∴∠EFG=90°
∴在Rt△EFG中，
B
DG
E G E2 F F2 G 3 2 4 2 5
C
精选可编辑ppt
13
若a⊥b，b⊥c，则a，c 的位置关系是什么？这样的b 有几条？请同学们合作，用笔 比量一下。 a,c可以平行、相交或异面，满 足条件的b有无数条。
15
l是a,b的公垂线，且与a,b的交点分别是A、 B那么线段AB的长叫异面直线a,b的距离。
★公垂线夹在两异面直线间的线 段的长度，叫两异面直线的距离。
l a AE
b FB
在两异面直线上各取一 点，这两点间距离的最 小值就是两异面直线的 距离。
如图所示：EF>AB
精选可编辑ppt
16
找出每对异面直线的 D 1
2、在解决异面直线所成的角的问题 时，常经过以下步骤：
先在其中一条直线上找一点（或找图形 中与两异面直线都相关的一点），作异面 直线的平行线，将异面直线所成的角转化 为相交直线所成的直角或锐角。
然后看这个角所在的三角形是哪一个， 利用三角形性质和三精选可角编辑函ppt 数进行计算。 22

03
题目：已知直线$a，b$ 为异面直线，过直线 $a$与直线$b$平行的平 面( )
04
A.有一个 B.至多有一个 C.不存在 D.至多有一个 或不存在
提高习题
题目：在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E为棱CD的中点，有下列四个结论： ${①A}_{1}E perp BD；{②A}_{1}E perp AC；{③A}_{1}E perp BD_{1}；{④A}_{1}E perp BC_{1}$．其中正确的结论序号是____．(写出所有正确结论的编号)
题目：已知直线$a，b$为异面直线，过直线$a$与直线$b$平行的平面( )
A.至多有一个 B.不存在 C.有且只有两个 D.有且只有1个
综合习题
• 题目：已知空间中不共面的四点$O，A，B，C$，若$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OB} \cdot \overset{\longrightarrow}{OC} = \overset{\longrightarrow}{OC} \cdot \overset{\longrightarrow}{OA} = - 1$，则$\bigtriangleup ABC$的形状是( )
02
异面直线夹角的范围是$0^circ$ 到$90^circ$，且夹角的大小不依 赖于直线的选取。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角具有对 称性，即交换两条直 线的位置不会改变夹 角的大小。
异面直线夹角的大小 与两条直线的方向向 量或方向向量的模有 关。
异面直线夹角不会超 过$90^circ$，且不 会小于$0^circ$。

我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，

第2课时 异面直线
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点 要点一 异面直线的画法 异面直线的表示，一般借助辅助平面．如图，图中的两条直线a，b 均为异面直线．
要点二 异面直线的另一种判断方法 与平面 相交 的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．
要点三 异面直线所成的角
1.定义：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线平行的直线，这
两条直线所成的锐角或直角，叫作两条异面直线所成的角．
2.范围： (0°，90°]
．
3.如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互
相垂直，记作 a⊥b ．
状元随笔 （1）异面直线所成角的定义的理论依据是等角定理． （2）两异面直线所成角的大小与点O的选取无关，所以在具体计算 两条异面直线所成角的问题中，点 O经常选在一些特殊的位置或两异面直线的一条上． （3）两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是 （）
A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直
答案：D
解 析 ： 因 为 正 方 体 的 对 面 平 行 ， 且 直 线 A1C1 与 BD 不 平 行 ， 所 以 直 线 BD 与 A1C1 异 面 ， 连 接 AC ， 则 AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．
而由∠MEN＝120°直接得出BC 就是两条异面直线所成的角，
与AD所成的角为120°这一错 如果∠MEN为钝角，那么它的
解．
补角才是异面直线所成的角．
课堂十分钟
1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（ ）

②没有公共点则 两直线为异面直线
（2）从平面的性质 来讲，可分为： 两直线相交
①在同一平面内 两直线平行
②不在同一平面内则两直线为异面直线。
结论：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线
判定异面直线的方法： （1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。
（2）连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不 经过此点的直线是异面直线。
①异面直线a、b所成的角：过空间任一点O，分别引直线 a1∥a，b1∥b，则a1和b1所成的锐角（或直角）作为异 面直线a、b所成的角。（夹角）
b1
b
O
a1
a
思考（1）AA1与BC、AA1与B1C1
D1
（2）A1C1与BD、A1C1与
A1
AD1
所成的角是几度？
D
A
C1 B1
C B
②如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 相垂直
答；⑴BC、CD、B1C1 C1D1。
⑵600
D1
A1 A
D
A
作业：P15 习题 9，2 3、4、5、
C1 B1
C B
下课
• 自读课文，边读边画出作者游览的 景点，看看作者是按什么顺序游览 的，作者的游览路线是怎样的。
路上 外洞 孔隙 内洞 出洞
• 自读课文，边读边画出作者游览的 景点，看看作者是按什么顺序游览 的，作者的游览路线是怎样的。
（3）直线AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、 D1A1都与直线AA1垂直。
巩固：①画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使 它们成为：⑴平行直线； ⑵相交直线； ⑶异面直线。
β
β
b α
a