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流体仿真与应用第八讲二、对流-扩散问题的有限体积法◆中心差分格式（例子）节点增加到20个结果◆离散格式的性质在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。
在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。
通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。
然而，在实际计算中，考虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。
因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。
主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。
◆离散格式的性质——守恒性满足守恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。
◆离散格式的性质——迁移性③当Pe 为有限大小时，对流和扩散同时影响一个节点的上、下游相邻节点。
随着Pe 的增加，下游受的影响逐渐增大，而上游受的影响逐渐变小。
①，即纯扩散，无对流。
②，即纯对流，无扩散。
0=Pe ∞=Pe◆迎风格式迎风格式（Upwind Differencing Scheme ）在确定控制容积界面上的值时就考虑了流动的方向性，其思想为：在控制容积界面上对流项的取上游节点处的值，称之为第二类迎风格式。
中心差分格式的缺点是，它不能识别流动的方向，控制容积界面上的值取相邻上、下游节点的平均值。
当对流作用较强时，这样的处理就与其物理特征（某点的值受上游的影响，而不受下游的影响）不一致了。
φφφ◆迎风格式◆迎风格式在控制容积界面上对流项的取其上游节点处的值EW →φWw φφ=Pe φφ=()()W P w P E e W w P e D D F F φφφφφφ−−−=−()()[]()Ee W w w P w e e w w D F D F F D F D φφφ++=−+++WE →Pw φφ=Ee φφ=()()[]()Ee e W w Pw e e e w F D D F F F D D φφφ−+=−+−+◆迎风格式通用形式WW E E P P a a a φφφ+=()w e E W P F F a a a −++=EW →ww W F D a +=eE D a =W E →w W D a =ee E F D a −=◆迎风格式的特点迎风格式满足守恒性。
CFD理论对流项与扩散项《数值计算》导读：介绍离散方程中对流项及扩散项的物理特性，分析离散方程的迁移性。
01物理过程从物理过程的角度，对流与扩散现象在传递信息或扰动方面的特性有很大的区别。
扩散是由于分子的不规则热运动所致，分子不规则热运动对空间不同方向几率都是一样，因此扩散过程可以把发生在某一地点上的扰动的影响向各个方向传递。
对流是流体微团的定向运动，具有强烈的方向性。
在对流作用下，某一地点扰动的影响只能向其下游方向传递而不会逆向传播。
在离散过程中，对流和扩散的物理特性可以在各自的离散格式中体现出来。
02扩散项的中心差分扩散项的离散格式要求能够满足将扰动向四周均匀传递的特性。
这里，我们以一维非稳态扩散方程为例：其中心差分的显示格式：采用离散扰动分析法来确定上式传递扰动的特性。
假设开始的物理量的场已经均匀化，即处处相等，且假定其值为零；从时刻开始，在节点突然有一个扰动，而其余各点的扰动都为零，如下图所示。
将上诉的中心差分格式应用于时层的的各个节点。
对于节点：其中：，可以得到：对于节点：其中：，可以得到：对于节点：如果取，则时层的扰动到时刻变成下图所示： :显然时刻发生在节点的扰动已均匀向四周传递。
因此扩散项的中心差分格式具有使扰动均匀地向四周传递的特性，并且具有守恒性。
03对流项的差分格式首先要提到迁移性，如果某种离散格式仅能使扰动沿着流动方向传递，则说明此格式具有迁移特性。
我们以一维纯对流方程的非守恒形式为例：运用离散扰动分析法。
中心差分格式将中心差分格式运用于上式：采用第二节类似的方法，对于节点在时层：而在点处：可以看出，点的扰动可以同时向相反的两个方向传递，所以对流项的中心差分具有迁移特性。
迎风差分格式迎风差分格式的基本思想是迎着来流(即上游)去获取信息以构造的离散格式。
本文采用Taylor展开法中迎风差分的构造方法。
上式为点一阶导数的向后或向前差分，因为只有一阶截差，因而称为一阶迎风格式。
对流扩散方程clank标题：对流扩散方程的概述引言概述：对流扩散方程是数学中常见的描述物质传输过程的方程。
它在众多领域中都有广泛的应用，如流体力学、热传导、质量传输等。
本文将从五个大点出发，详细阐述对流扩散方程的相关内容。
正文内容：1. 对流扩散方程的基本概念1.1 对流扩散方程的定义1.2 对流扩散方程的一般形式1.3 对流扩散方程的物理意义2. 对流项与扩散项的影响2.1 对流项的作用2.2 扩散项的作用2.3 对流项与扩散项的相互作用3. 对流扩散方程的解析解与数值解3.1 解析解的求解方法3.2 数值解的求解方法3.3 解析解与数值解的比较4. 对流扩散方程的边界条件和初值条件4.1 边界条件的选择与影响4.2 初值条件的确定与影响4.3 边界条件和初值条件的耦合效应5. 对流扩散方程的应用领域5.1 流体力学中的应用5.2 热传导中的应用5.3 质量传输中的应用总结：对流扩散方程是描述物质传输过程的重要方程，其基本概念包括方程的定义、形式和物理意义。
对流项和扩散项是方程中的两个关键因素，它们分别对物质传输起到对流和扩散的作用，并且相互作用影响着传输过程。
对流扩散方程的求解可以采用解析解和数值解两种方法，它们各有优劣，需要根据具体情况选择。
边界条件和初值条件是方程求解中必要的条件，它们的选择与确定对结果有重要影响。
对流扩散方程在流体力学、热传导和质量传输等领域都有广泛应用，它为我们理解和解决实际问题提供了重要的数学工具。
总之，对流扩散方程是一个复杂而重要的数学方程，它在物质传输过程中起着关键作用。
深入理解和研究对流扩散方程，对于解决实际问题具有重要意义。
一维对流扩散问题例题含吸附作用一维对流扩散问题是描述物质在一维空间中传输的数学模型。
吸附作用是指物质在传输过程中与固体表面发生相互作用，被固体吸附的现象。
下面是一个关于一维对流扩散问题含吸附作用的例题：假设有一根长度为L的管道，管道内充满了某种气体。
气体沿管道的方向发生对流传输和扩散，同时在管道壁上发生吸附作用。
已知管道的吸附速率常数为k，气体的对流速度为u，扩散系数为D。
求解以下问题：1. 假设管道内初始时刻气体浓度均匀分布，求解在稳态情况下管道内吸附物质的分布。
2. 假设管道内初始时刻气体浓度为C0，求解在稳态情况下管道内气体浓度随时间和位置的变化。
解答：1. 在稳态情况下，管道内吸附物质的分布可以通过解一维扩散方程和吸附方程的组合得到。
扩散方程为：∂C/∂t = D * ∂²C/∂x²吸附方程为：∂θ/∂t = -k * θ其中，C是气体浓度，θ是吸附物质的分布，t是时间，x是空间位置。
根据稳态条件，扩散方程右侧为0，可以得到：∂²C/∂x² = 0对扩散方程积分两次得到：C(x) = Ax + B再根据吸附方程，可以得到：θ(t) = Ce^(-kt)其中A、B和C是待定系数，可以利用边界条件来确定。
边界条件可以是在管道起始端和末端的浓度值或者通量值。
求解稳态问题时，通常会假设管道起始端浓度已知，末端处的吸附物质浓度为零。
2. 在稳态情况下，气体浓度随时间和位置的变化可以通过解一维扩散方程得到。
扩散方程为：∂C/∂t = D * ∂²C/∂x²根据稳态条件，扩散方程右侧为0，可以得到：∂²C/∂x² = 0对扩散方程积分一次得到：∂C/∂x = A再次积分得到：C(x) = Ax + B其中A和B是待定系数，根据边界条件可以确定A和B的值。
边界条件可以是在管道起始端和末端的浓度值或者通量值。
通过上述方法，可以求解一维对流扩散问题含吸附作用的例题。
一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。
因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。
1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f fU D x t x x∂∂∂+=≤≤∂∂∂ (1)初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π==(2)解析解()()()224,sin 2Dk tf x t eA k x Ut ππ-=-(3)式中，1,0.05,0.5,1U D A k ====函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示t=0 t=0.5 t=1图1 函数()()()224,sin 2Dk tf x t ek x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1）2 数值解法2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解ni f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解(),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。
当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ∆=。
（a ）21,0.05N t =∆= （b ）21,0.025N t =∆=（c ）21,0.0125N t =∆= （d ）201,0.0005N t =∆=图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。
在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。
为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ∆=，分别算出11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。
