《异面直线的定义》PPT课件

D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
C ´
B ´
D
C
A
B
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
DC、D´C´。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(1)哪些棱所在直线与直线AA´垂直； (2)求直线BA´和CC´的夹角的度数；
(3)求直线BA´和AD´的夹角的度数；D
´ A ´
C ´
B ´
D A
C B
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中 E、 F分别是A´B´、BB´的中点， 1 求证BE 与C´F是异面直线
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线

在空间向量中，异面直线可以通过向量的表示和向量的运算 来研究其性质和关系。
向量方法可以用来解决与异面直线相关的向量问题，如向量 的加减、数乘以及向量的模等。
04
异面直线的画法
画法一：通过平移法
总结词
通过将一条直线平移到另一条直线的平行位置，可以直观地展示异面直线的位置 关系。
详细描述
首先确定一条直线，然后选择一个点在该直线上，接着将该点沿着与另一条直线 平行的方向平移，最后连接平移后的点和原直线上的点，得到一条新的直线，即 为异面直线。
02
在解决几何问题时，异面直线还 可以用来确定两平面的位置关系 ，如平行、相交或垂直等。
解析几何中的异面直线
在解析几何中，异面直线可以通过坐 标轴表示，并利用直线的方程来判断 两直线是否为异面直线。
解析几何中，异面直线的距离也可以 通过坐标计算得到，这是解决空间距 离问题的常用方法。
空间向量中的异面直线
详细描述
首先确定两条直线的方向向量，然后根据向量的性质和运算规则，如向量的点积、向量的模等，可以判断两条直 线的位置关系，从而确定异面直线的位置关系。
05
异面直线的解题技巧
利用定义进行判定
总结词
根据异面直线的定义，如果两条直线不在同一平面上，则它们是异面直线。
详细描述
在解题时，首先观察两条直线的特点，判断它们是否在同一平面上。如果不在同一平面，则可以判定 为异面直线。
点与两直线的关系
在异面直线上任取一点， 该点与两条异面直线分别 构成线段，线段的中点与 另一条直线的中点重合。
点与两直线的性质
在异面直线上任取一点， 该点与两条异面直线的距 离相等，且等于两异面直 线之间的距离。
03

异面直线的性质研究
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。

4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
√ A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
解析 如图所示，在长方体中没有与体对角线平行 的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的 直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与 体对角线异面， ∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1， ∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.
解析 因为A1B1∥C1D1， 所以∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角. 连接AD1(图略)， 在△AED1 中，AD1＝ 2，D1E＝12，AE＝23， ∴AD21＋D1E2＝AE2，∴△AED1 为直角三角形，
1 cos∠AED1＝DA1EE＝23＝31.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
特殊 情况
当θ＝ 90° 时，异面直线a，b互相垂直，记作_a_⊥__b__
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.( × )
2.异面直线所成的角的大小与点O的位置无关，所以求解时，可根据
需要合理选择该点.( √ ) 3.过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线.( √ ) 4.如果三条直线两两相交，这三条直线一定共面.( × )
跟踪训练1 如图所示，在三棱锥A—BCD中，E，F是棱AD上异于A，D 的两个不同点，G，H是棱BC上异于B，C的两个不同点，给出下列说法： ①AB与CD互为异面直线； ②FH分别与DC，DB互为异面直线； ③EG与FH互为异面直线； ④EG与AB互为异面直线. 其中说法正确的是__①__②__③__④__.(填序号)

性质2
异面直线在任一平面上投影都不相 交。
性质3
异面直线之间的距离是固定的，可 以通过空间几何的方法来求解。
02
异面直线的判断方法
利用定义判断
总结词
直接应用定义
详细描述
根据异面直线的定义，两条直线不在同一平面上即为异面直线。因此，判断两 条直线是否为异面直线，可以直接观察它们是否在同一平面上。
利用空间几何的性质判断
《异面直线的判断》ppt课件
目录
• 异面直线的基本概念 • 异面直线的判断方法 • 异面直线的应用 • 异面直线的综合问题
01
异面直线的基本概念
异面直线的定义
01
02
03
异面直线定义
不在同一平面内且不相交 的直线。
异面直线判定
若两条直线分别与第三条 直线平行，且这两条直线 不在同一平面内，则这两 条直线为异面直线。
03
异面直线的应用
在几何问题中的应用
异面直线与平面
异面直线可以与一个平面 形成不同的角度，如垂直 、斜交等，这为解决几何 问题提供了重要的思路。
异面直线与点
通过给定的点，可以判断 该点是否在异面直线上， 或者通过异面直线找到与 该直线相关的点。
异面直线的性质
了解异面直线的性质，如 平行、相交等，有助于解 决与几何图形相关的问题 。
异面直线的性质
异面直线既不相交，也不 平行。
异面直线与平行直线、相交直线的关系
异面直线与平行直线
异面直线与平行直线没有交点，但平 行直线可能位于与异面直线相同的平 面内。
异面直线与相交直线
异面直线与相交直线没有交点，且它 们位于不同的平面内。
异面直线的性质
性质1

•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
思考4:通过上述实验可以得到什么结论？
公理4 平行于同一直线的两条直线互 相平行.
思考5:公理4叫做三线平行公理，它说明 空间平行直线具有传递性，在逻辑推理 中公理4有何理论作用？
25.04.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
知识探究（三）：等角定理
思考1:在平面上，如果一个角的两边与 另一个角的两边分别平行，那么这两个 角的大小有什么关系？
H分别是AB，BC，CD，DA的中点. (1) 求证：四边形EFGH是平行四边形. (2) 若AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?
A
B
25.04.2019
H E
D G
F
C
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
作业: P51习题2.1A组：3，6.
25.04.2019
•
52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。
•
53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。

03
题目：已知直线$a，b$ 为异面直线，过直线 $a$与直线$b$平行的平 面( )
04
A.有一个 B.至多有一个 C.不存在 D.至多有一个 或不存在
提高习题
题目：在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E为棱CD的中点，有下列四个结论： ${①A}_{1}E perp BD；{②A}_{1}E perp AC；{③A}_{1}E perp BD_{1}；{④A}_{1}E perp BC_{1}$．其中正确的结论序号是____．(写出所有正确结论的编号)
题目：已知直线$a，b$为异面直线，过直线$a$与直线$b$平行的平面( )
A.至多有一个 B.不存在 C.有且只有两个 D.有且只有1个
综合习题
• 题目：已知空间中不共面的四点$O，A，B，C$，若$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OB} \cdot \overset{\longrightarrow}{OC} = \overset{\longrightarrow}{OC} \cdot \overset{\longrightarrow}{OA} = - 1$，则$\bigtriangleup ABC$的形状是( )
02
异面直线夹角的范围是$0^circ$ 到$90^circ$，且夹角的大小不依 赖于直线的选取。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角具有对 称性，即交换两条直 线的位置不会改变夹 角的大小。
异面直线夹角的大小 与两条直线的方向向 量或方向向量的模有 关。
异面直线夹角不会超 过$90^circ$，且不 会小于$0^circ$。

我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，

C
4、E、F分别是棱BC、DC
的中点，求异面直线AD1 与EF所成角的大小？
B
.
9
想一想:异面直线所成的角一般步骤是:
一作二证三计算
.
10
课堂小结：
1 一种思想：转化思想（空间问题平面化） 2 一个性质（异面直线判定定理） 3 一个方法：作异面直线所成的角
1
3、概念中所体现的立体几何的重要数学 思想方法是什么？
化空间问题为平面问.题的数学思想.
8
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体
D1
A1
D A
1、正方体的哪些棱所在直
C 1 线与直线BC1是异面直线？
2、求异面直线AA1与BC所 成的角？
B1
3、求异面直线BC1与AC所
成的角？
F
E
1.2.2空间两直线的位置关系
.
1
复习回顾：
空间两直线的位置关系
位置关系
共面情况
公共点个数
相交
在同一个平面内 有且只有一个
平行 异面
在同一个平面内 不在同一个平面内
没有 没有
.
2
探究：
1、在下面长方体中，直线AB与A1C具有怎样的 位置关系？
2、在下面长方体中，还有哪些棱所在直线与A1C 异面？
叫做异面直线a、b所成的角.
b
b'
b
a
a'
o
o a a'
平行移动法
.
7
思考：1、异面直线a、b所成角的范围？（0，90]
若异面直线a、b所成角是直角，则称 异面直线a、b互相垂直，记作a⊥b.
2、异面直线a、b所成的角的大小与点o的

两条互相垂直的异面直线 a，b，
记作 a b ．
例 如图所示的是正方体 ABCD－ABCD， (1) 哪些棱所在的直线与直线 BA 是异面直线？ (2) 求直线BA 与 CC 所成的角的度数； (3) 哪些棱所在的直线与直线 AA 垂直．
D 解： (3) 直线 AB，BC，CD， DA，AB，BC，CD，DA 都与直线 AA 垂直． D A B
如果没有特别说明，一般我们说两 条直线是指不重合的两条直线。
平面内两条直线的位置关系有哪几种？
平行和相交两种
观察正方体 ABCD－ABCD，
棱 AA 与 BC 所在的两条直线
D C
A
B
D
C
A
B
观察图片中两河流所在直线关系
• 图片：空中河流
图片的数学模型
一．异面直线的定义
我们把不同在任何一个平面内的两条直线
平面中角的概念
角是有公共端点的 两条射线组成的图 形
三．异面直线夹角．
我们把 a 和 b 所成的锐角(或直角)叫做直线 a，b 所成的角或夹角．
b
b' a O a'
b O a' a


为了简便，点 O 常取在两条异面直线中的一条上．
如果两条直线平行， 我们说它们所成的角或夹角为 0 ． 如果两条异面直线所成的角是直角， 我们就说两条异面直线互相垂直．
直线 AB 与 CD 所成的角＝ 2．直线 BC 与 CD 是 直线 BC 与 CD 所成的角＝
3．直线ห้องสมุดไป่ตู้AB 与 BC 是
直线 AB 与 BC 所成的角＝
直线，
．
D A
C
B
1．理解异面直线的定义，会判定两条直线的 位置关系是否是异面直线； 2．会求异面直线的夹角．

4．公理4的作用是什么？ 提示：证明空间两条直线平行．
5．平行直线具有传递性，异面直线是否也有传递性？ 提示：不具有传递性，即当直线a与b异面，b与c异面， 则a与c不一定是异面直线．
[例1] 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别 是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位 置关系：
(1)AB与CC1；(2)A1B1与DC； (3)A1C与D1B；(4)DC与BD1； (5)D1E与CF.
[自主解答] (1)∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 又C∉AB，C1∉平面ABCD，∴AB与CC1异面．
(2)∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC. (3)∵A1D1∥BC且A1D1＝BC， 则A1，B，C，D1在同一平面内， ∴A1C与D1B相交． (4)∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC， D1∉平面ABCD，∴DC与BD1异面．
(5)设CF与DA的延长线交于G，连接D1G， ∵AF∥DC，F为AB中点， ∴A为DG的中点． 又AE∥DD1， ∴GD1过AA1的中点E， ∴直线D1E与CF相交．
1．判断两直线是异面直线的方法: (1)定义法：依据定义判断两直线不可能在同一个 平面内． (2)定理法：过平面外一点与平面内一点的直线和平面 内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．
(3)反证法：即假设这两条直线不是异面直线，那 么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合 原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而断定假 设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论： 这两条直线是异面直线．
2．判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法 去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．
[答案] D

b
b1
考思
a
O a1
1、和一直线垂直的直线有几条？
2 、互相垂直的直线一定相交吗?
3、垂直于同一直线的两直线平行吗？
精选可编辑ppt
1返1 回
练
已知空间四边形ABCD两对角线 互相垂直，且AC=6，BD=8，E、
习 G分别是AB、CD上的中点，求线
段EG的长度。 A 思路：两如对何角体线现互两相对垂角直线，互即相他垂们直所？
A 成的角。
∵BD=8,AC=6 ∴ EF= 4, FG=3
E
又∵AC垂直BD F ∴∠EFG=90°
∴在Rt△EFG中，
B
DG
E G E2 F F2 G 3 2 4 2 5
C
精选可编辑ppt
13
若a⊥b，b⊥c，则a，c 的位置关系是什么？这样的b 有几条？请同学们合作，用笔 比量一下。 a,c可以平行、相交或异面，满 足条件的b有无数条。
15
l是a,b的公垂线，且与a,b的交点分别是A、 B那么线段AB的长叫异面直线a,b的距离。
★公垂线夹在两异面直线间的线 段的长度，叫两异面直线的距离。
l a AE
b FB
在两异面直线上各取一 点，这两点间距离的最 小值就是两异面直线的 距离。
如图所示：EF>AB
精选可编辑ppt
16
找出每对异面直线的 D 1
2、在解决异面直线所成的角的问题 时，常经过以下步骤：
先在其中一条直线上找一点（或找图形 中与两异面直线都相关的一点），作异面 直线的平行线，将异面直线所成的角转化 为相交直线所成的直角或锐角。
然后看这个角所在的三角形是哪一个， 利用三角形性质和三精选可角编辑函ppt 数进行计算。 22

b
a2
.
o1
b1
a1
.
o
a M
(三)异面直线a与b所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b,
则直1.直线线a和ab和所b成所的成角的。锐角(或直角)叫做.异面 1 1
bbbb11b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ba1b1b1a1b1b1a1b1b1a1baa1b11b1a1ba1b011b01a1b,9a1b10aa1b101b11a1b1b1a111a1ao1a1a1 a1aa1a11
法
作业
P15 4, 7 P80 4
1.下列结论正确的是（ C ）
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平 行，它也可能和另一条平行
O是空间中的任意一点 所成的锐角是否相等？
b2
点O常取在两 条异面直线中 的一条上
M
2.范围： 00,900
３.当两直线所成角为900时，称两直线垂直
7 8
1、你喜欢哪一张椅子？为什么？
1.要考虑环境
设计的魅力
设计的魅力
设计的魅力
设计的魅力
讨论现代椅子的设计有那些特点？
分析讨论
为年轻人设计的
游戏椅子，运用聚丙 烯材料制造，体现休 闲、舒适的艺术特点
C1
与BA1成异面直线
A1
B1
②求异面直线A1B与C1C的夹 D 角的度数
A
C B
③图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直
练习３、Ｐ14 ４
例2.