高二数学异面直线成的角PPT教学课件

2
b′
b
O
a
a′
课堂练习 判断下列命题是否正确？ 2、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（ ×） 3、分别在两个平面内的两直线一定是异面直线（× ） 4、若直线a在平面α 内，直线b不在平面α 内,则a,b是
1,过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（ √）
异面直线
（ ×） （× ）
5、若直线a与两条平行线中的一条是异面直线，则它和
G
练习1
正方体 ABCD- A1B1C1D1 中 ,AC 、 BD 交于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1
A1 D1
C1
D
O
C
A
B
练习2 在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E D C
A F B
练习2（解法二）
S
E D C
A
G F B
练习2 （解法三）
S E S
E
C
A F F
B
C
B
A
Байду номын сангаас
另一条也是异面直线
典型例题:
例 １ 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求 (1)异面直线A1C与B1B所成的角 D (2)异面直线A1C与B1D1所成的角。 A
1
1
C1
B1
D A B
C
例 ２：如图，空间四边形ABCD中,对角线 AC=10,BD=6,点M,N分别是AB,CD的中点,且 MN=7. 求:异面直线AC和BD所成角的大小.

4
4：把两条异面直线分别平移，使之在某 处相交得到两条相交直线，我们用这两 条相交直线所夹的锐角(或直角)来反映 异面直线的相对倾斜程度，并称之为异 面直线所成的角.你能给“异面直线所成 的角”下个定义吗？
b bˊ
a
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o
5
b a α
b'
a' o
对于两条异面直线a，b，经过空间
任一点O作直线a′∥a， b′∥b，则
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2.1.2 空间中直线与直线之间的 位置关系
第二课时 异面直线所成的角
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问题提出
1.什么叫异面直线？三线平行公理和 等角定理分别说明什么问题？
2.不同的异面直线有不同的相对位置 关系，用什么几何量反映异面直线之间 的相对位置关系，是我们需要探讨的问 题.
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2
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D′ A′
D
C′ B′
C
A
B
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例2 如图，在四面体ABCD中，E，F分 别是棱AD，BC上的点,且 AEBF 1
ED FC 2
已知AB=CD=3，EF 3 ,求异面直线AB和
CD所成的角.
A
E
M
B
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D F
C
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知识探究（一）：异面直线所成的角
1:两条相交直线、平行直线的相对位置 关系，分别是通过什么几何量来反映的？
2:两条异面直线之间有一个相对倾斜度， 若将两异面直线分别平行移动，它们的 相对倾斜度是否发生变化？

D. 平行或异面
2．两条直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
第6页，共14页。
二、例题讲解:
例1.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
b所成的角(或夹角).
b
a
b’ (0, ] b
2
a’
O a'
O
a
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直线 互相垂直.
第5页，共14页。
课前练习2：
1、若a、b是异面直线, b、c也是异面直线, 则a、c位置关
系是( ) A
异面直线不具有传递性.
A. 相交、平行或异面 B. 平行
C. 异面
P
（3）求线段EF的长。
E
G
A
C
F B
第13页，共14页。
四、课堂小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现 了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
求角
定角一般方法有：
（2）补形法
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ
的位置关系是（ ）
A、一定是异面直线 B、一定是相交直线
C、可能是平行直线 D、可能是异面直线，也可能是
相交直线
（3）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的 位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
第4页，共14页。
3.异面直线所成的角:
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作直线 a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、

x12 y12 z12 x22 y22 z22
地方不少。②名因疏忽而写错的字：精神不集中，写东西常有～。 【笔洗】名用陶瓷、石头、贝壳等制成的洗涮毛笔的用具。 【笔下】名①笔底下。②写文 章时作者的措辞和用意：～留情。 【笔下生花】笔底生花。 【笔心】ī同“笔芯”。 【笔芯】ī名铅笔或圆珠笔的芯子。也作笔心。 【笔形】名汉字笔画的 形状。楷书汉字最基本的笔形； 少儿模特品牌培训加盟机构 少儿模特品牌培训加盟机构 ；是横（一）、竖（丨）、撇（丿）、 点（丶）、折（乛）。 【笔削】动笔指记载，削指删改，古时在竹简、木简上写字，要删改需用刀刮去，后用作请人修改文章的敬辞。 【笔译】动用文字翻 译（区别于“口译”）。 【笔意】名书画或诗文所表现的意境：～超逸｜～清新。 【笔友】名通过书信往来、诗文赠答结交的朋友。 【笔札】名札是古字 用的小木片，后来用笔札指纸笔，又转指书信、文章等。 【笔债】名指受别人约请而未交付的字、画或文章。 【笔战】动用文章来进行争论。 【笔者】名 某一篇文章或某一本书的作者（多用于自称）。 【笔政】名报刊编辑中指撰写重要评论的工作。 【笔直】形状态词。很直：～的马路｜站得～。 【笔致】 名书画、文章等用笔的风格：～高雅。 【笔资】ī名旧时称写字、画画、做文章所得的报酬。 【笔走龙蛇】形容书法笔势雄健活泼。 【俾】〈书〉使（达到 某种效果）：～众周知｜～有所悟。 【舭】名船底和船侧间的弯曲部分。［英g］ 【鄙】①粗俗；低下：～陋｜卑～。②谦辞，用于自称：～人｜～意｜～ 见。③〈书〉轻视；看不起：～弃｜～薄。④〈书〉边远的地方：边～。 【鄙薄】①动轻视；看不起：～势利小人｜脸上露出～的神情。②〈书〉形浅陋微 薄（多用作谦辞）：～之志（微小的志向）。 【鄙称】①动鄙视地称作：不劳而食者被～为寄生虫。②名鄙视的称呼：奇生虫是对下劳而食者的～。 【鄙见】 名谦辞，称自己的见解。 【鄙俚】〈书〉形粗俗；浅陋：文辞～，不登大雅之堂。 【鄙吝】〈书〉形①鄙俗。②过分吝啬。 【鄙陋】形见识浅薄：～无 知｜学识～。 【鄙弃】动看不起；厌恶：她～那种矫揉造作的演唱作风。 【鄙人】名①〈书〉知识浅陋的人。②谦辞，对人称自己。 【鄙视】动轻视；看 不起：他向来～那些帮闲文人。 【鄙俗】形粗俗；庸俗：言辞～。 【鄙夷】〈书〉动轻视；看不起。 【鄙意】名谦辞，称自己的意见。 【币】（幣）货币： 硬～｜银～｜纸～｜人民～。 【币市】名①买卖各种用于收集、收藏的钱币的市场。②指币市的行市。 【币值】名货币的价值，即货币购买商品的能力。 【币制】名货币制度，包

A
M
B ND
C
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两个角 相等或互补
D1 A1
C1 B1
D A
C B
哪些棱所在直线与直线AA1是异面直线?
BC , DC , B1C1 , D1C1
异面直线及其夹角
异面直线所成角:
如图所示，异面直线a、b，在空间中任取一点O, 过点O分别引
a’∥a，b’∥b 则a’，b’所成的 锐角(或直角)叫做两条异面直线
所成的角(夹角) 当两异面直线所成角为直角时，两直线互相垂直
b
b
o b’
O a’
a
a
q a’
a
a
思考:1.如何求异面直线所成的角? 范围呢? 2.两垂直直线可确定一个平面吗？
例1：右图表示一个正方体
D’
(1) 求直线BA’和CC’ 的夹角的度数．
A’
解: 由CC′∥BB′
可知∠B’BA’等于异面直线BA’与CC’的夹角
§2.1.2 异面直线及其夹角
复习
1.空间两直线的位置关系：
从有无公共点可分为： ①有且只有一个公共点 —相交直线 平行直线 ②没有公共点 异面直线
从是否共面可分为： ①在同一平面内
相交直线 平行直线
②不在同一平面内 —异面直线
2.平行线的传递性（公理4 ）
a∥b , a ∥c b∥c
3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边 分别平行并且方向相同，那么这两个 角 相等
D’
C’
A’
D3
B’
1
C
A B
(2) 已知 AB 3 ，AA’=1，求异面直线BA’与CC’所成角的度数

生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
2条
作业：课本51页第6、7、8题 B组1、2、3 课外作业:名家指路相关练习
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
而她，只能无助地站在路边，对瞬间消失的车子挥手，喊道，“再见，宝贝们，妈妈永远爱你们。”而黑暗冰寒无尽。 全美国都为她哭泣祈祷，却有一个女子投书电视台了：苏珊在说谎。
女子说，她也是母亲，也曾在山崩石裂瞬间，下车问路，一转头，车被人开走，而车上，有她还是稚婴的女儿。 她说她疯了一般扑向大团尾气和泥尘，手袋脱手而飞，惨号大叫，不知道自己说了什么，旁人也听不懂——她是归华美籍，此刻却忘尽英语，只用母语声声狂呼“救命”或者“放下我的孩子”。再也不可能是别的语言了。 高跟鞋妨碍她，一把拽脱劈手扔过去，她死命追赶。忘了人的速度不可能与车抗衡，看不见脚下的石砾、玻璃屑、柏油，唯一的念头就是：女儿。她只是一个纤细的亚裔女子，那一刻却如豹如鹰，势如疯虎，连歹徒也被吓倒了，弃车而逃。而她裙摆全撕，脚踝扭伤，脚底流下殷红的血。

(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
解答：(1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所
H
求.
E
o
F
R(2t)△∵EFBGF∥中，AE求得∠EGF = 45
2 2 3D
∴∠FBG（或其补角）为所求,
பைடு நூலகம்
A
23
B
Rt△BFG中，求得∠FBG
=
o
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ppt课件
G C
10
典例展示
例2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A A1= AB
平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.
ppt课件
2
知识探究
异面直线所成的角
O
(1)旧识回顾
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们
的夹角, 如图.
(2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
B1 A1
C1 D1
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
D O
A
C B
ppt课件
14
课堂小结
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
求角
定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
D1
C1
A1
B1
E
G
A
ppt课件
D F
C
B

不在同一个平面上且互不相交的两条 直线。
异面直线不可能平行，也不可能相交 。
异面直线判定
两条直线若不相交，则可能为异面直 线。
异面直线所成角的定义
异面直线所成角：两条异面直 线在某个平面上投影所形成的 夹角。
异面直线所成角的取值范围： 0°到90°。
异面直线所成角的计算方法： 通过平移将两条异面直线转化 为相交直线，再计算夹角。
PART 05
异面直线所成角的扩展知 识
异面直线的其他性质
异面直线永远不会相交
由于异面直线不在同一平面内，因此它们永远不会在某一点相交 。
异面直线与平行线的关系
平行线是共面的直线，而异面直线是不同面的直线，因此平行线与 异面直线没有交点。
异面直线的方向向量
异面直线的方向向量在不同的平面上，因此它们的方向向量是垂直 的。
平面角的取值范围
锐角（0°，90°）或直角（90°）。
异面直线所成角的求法
01
02
03
定义
异面直线所成的角是指两 条异面直线在同一平面内 的射影所形成的锐角或直 角。
计算方法
通过平移将两条异面直线 变为相交直线，再通过平 面角的定义计算出所成角 的大小。
注意事项
平移过程中不能改变直线 的方向和位置，否则所求 得的角不是异面直线所成 的角。
异面直线所成角的性质
性质一
异面直线所成角是唯一 的，与平移无关。
性质二
两条异面直线所成的角 是锐角或直角，不可能
为钝角。
性质三
两条异面直线所成的角 与两条直线的夹角相等
或互补。
性质四
两条异面直线所成的角 可以通过平移、旋转和
对称等变换得到。
PART 02

异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ
注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π- θ
可编辑课件
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b
O
a’
a
α
借助于平面α,使两条异面直线移动到相交,
是研究异面直线所成的角时必备法宝.
可编辑课件
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思路整理：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
B
o
D
M 可编辑课件
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C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
N
B
o
D
M 可编辑课件
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C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
（3）求异面直线AM、CN所成的角。
N
B
D
E
M 可编辑课件
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C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练习1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M 、 N分别是
AB、CD的中点
（1） M N=
C1 N
A1
M
D
B1
C
B
N
C

问题：什么叫异面直线？
想一想：我们可以从哪些方面研究两条异面 直线的位置关系？
1.异面直线所成角
2.异面直线之间距离
▪ 看书第12页，思考下列问题： ▪ 1.什么叫异面直线所成角？ ▪ 2.异面直线所成角范围是什么？ ▪ 3.书中所谓“空间点O”的位置怎样？
直线a、b是异面直线，经过空间任意一点 O ,分别 引直线a′∥a , b′∥ b。我们把直线a′和b′所成的锐角 (或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
例2.在四面体S-ABC中，异面直线SA与BC所成
角为90度, E, F分别为SC、AB 的中点，SA＝2，BC ＝4，求异面直线EF 与SA 所成的角.
S
E A
D
F
C
B
S
E
AGD C NhomakorabeaF B1.求异面直线所成角的基本思想是什么？
化“异面”为“共面”，通过解三角形求 角.体现了化归的数学思想。
2.求异面直线所成角的步骤有哪些？
）
2
▪ 2. 已知两条异面直线分别平行于一个150度角的两
边，那么这两条异面直线所成角为___3_0__0 ___
练习二
正 方 体ABCD- A1B1C1D1 中 , AC、BD 交 于 O, 则 OB1与A1C1所成的角的度数为 900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
思考题： 长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2
异面直线所成角的范围是
（0，π2 ]
b′
b
O
a
a′
“空间点O”的位置 任意
例1.指出下面正方体中两条异面直线
所成角，说说理由。空间点选在哪？
（ 1） AB与 CC1 （ 2） A B与 D 1B1(3)AD1与 A1B