《异面直线所成的角》PPT教学课件

答案解析
答案一解析
首先，由于AB和CD为异面直线，且AB ⟂ CD，我们可以知道异面直线AB与CD所成的 角为∠BAC。因为∠BAC = 60°，所以异面直线AB与CD所成的角也为60°。
答案二解析
首先，找到与AB和AD₁都平行的平面或线段。在长方体中，这样的平面或线段是A₁D和 A₁B₁。然后，利用平移将异面直线AB和AD₁平移到同一个起点，例如点A。最后，利用 余弦公式计算异面直线AB与AD₁所成角的余弦值。具体计算过程涉及长方体的边长和
常见误区
列举了在求解过程中可能出现 的常见错误和误区，并给出了
正确的解释和纠正方法。
展望
01
02
03
04
进一步研究
鼓励学习者在掌握基本方法的 基础上，深入研究异面直线所 成的角的更多性质和应用。
与其他知识的结合
提倡将异面直线所成的角与其 他几何知识进行结合，形成更
完整的知识体系。
实际应用拓展
强调将所学知识应用于实际问 题解决中，培养解决实际问题
在空间向量中的应用
异面直线所成的角在空间向量中也有着重要的应用。向量 的数量积、向量的模长以及向量的夹角都可以通过异面直 线所成的角来表示。
在解决空间向量的加法、数乘以及向量的模长和夹角等问 题时，常常需要利用异面直线所成的角来建立向量关系， 从而得到向量的具体表示和运算结果。
在物理问题中的应用
成的角的余弦值等于 $frac{overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}}{|overset{lon
grightarrow}{a}| cdot
利用向量的夹角公式求异面直线所成的角
要点一

D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
C ´
B ´
D
C
A
B
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
DC、D´C´。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(1)哪些棱所在直线与直线AA´垂直； (2)求直线BA´和CC´的夹角的度数；
(3)求直线BA´和AD´的夹角的度数；D
´ A ´
C ´
B ´
D A
C B
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中 E、 F分别是A´B´、BB´的中点， 1 求证BE 与C´F是异面直线
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线

生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，因为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。
2条
作业：课本51页第6、7、8题 B组1、2、3 课外作业:名家指路相关练习
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
而她，只能无助地站在路边，对瞬间消失的车子挥手，喊道，“再见，宝贝们，妈妈永远爱你们。”而黑暗冰寒无尽。 全美国都为她哭泣祈祷，却有一个女子投书电视台了：苏珊在说谎。
女子说，她也是母亲，也曾在山崩石裂瞬间，下车问路，一转头，车被人开走，而车上，有她还是稚婴的女儿。 她说她疯了一般扑向大团尾气和泥尘，手袋脱手而飞，惨号大叫，不知道自己说了什么，旁人也听不懂——她是归华美籍，此刻却忘尽英语，只用母语声声狂呼“救命”或者“放下我的孩子”。再也不可能是别的语言了。 高跟鞋妨碍她，一把拽脱劈手扔过去，她死命追赶。忘了人的速度不可能与车抗衡，看不见脚下的石砾、玻璃屑、柏油，唯一的念头就是：女儿。她只是一个纤细的亚裔女子，那一刻却如豹如鹰，势如疯虎，连歹徒也被吓倒了，弃车而逃。而她裙摆全撕，脚踝扭伤，脚底流下殷红的血。

(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?
解答：(1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所
H
求.
E
o
F
R(2t)△∵EFBGF∥中，AE求得∠EGF = 45
2 2 3D
∴∠FBG（或其补角）为所求,
பைடு நூலகம்
A
23
B
Rt△BFG中，求得∠FBG
=
o
60
ppt课件
G C
10
典例展示
例2、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，A A1= AB
平行公理 平行同一条直线的两条直线互相平行
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补.
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2
知识探究
异面直线所成的角
O
(1)旧识回顾
在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于90度的角称为它们
的夹角, 如图.
(2)问题提出
在空间,如图所示, 正方体ABCD－EFGH中, 异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻 画呢?
B1 A1
C1 D1
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
D O
A
C B
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14
课堂小结
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角， 体现了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
求角
定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形法
2、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
D1
C1
A1
B1
E
G
A
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D F
C
B

C ´
B ´
D
C
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A
B
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异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
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4
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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DC、D´C´。
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
2020年10月2日
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如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
2020年10月2日
1
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 _直__线__B__C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
2020年10月2日

异面直线平移成相交直线（在平面上适当的平移） 由两相交直线构造一个平面图形（三角形）
求出平面图形上对应的角θ
注意θ若为钝角，则异面直线所成角为π- θ
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b
O
a’
a
α
借助于平面α,使两条异面直线移动到相交,
是研究异面直线所成的角时必备法宝.
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思路整理：
异面直线所成角的求法
例1.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方
B
o
D
M 可编辑课件
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C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
N
B
o
D
M 可编辑课件
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C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
例3.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD
=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点
（1）求异面直线AB、MN所成的角。
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
A
（3）求异面直线AM、CN所成的角。
N
B
D
E
M 可编辑课件
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C
新课讲解：
异面直线所成角的求法
练习1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M 、 N分别是
AB、CD的中点
（1） M N=
C1 N
A1
M
D
B1
C
B
N
C

拓展：其他空间几何角的求解方法
向量法
向量法是求解空间几何角的一种常用方法。通过向量的点积和叉积运算，可以求解出两个向量之间的 夹角，从而得到空间几何角的大小。
三角函数法
三角函数法也是求解空间几何角的一种常用方法。通过构造直角三角形或者利用三角函数的性质，可 以求解出空间几何角的大小。这种方法通常适用于一些比较简单的空间几何图形。
异面直线所成的角求法 课件
目录
• 引入 • 向量法求解异面直线所成角 • 几何法求解异面直线所成角 • 坐标法求解异面直线所成角 • 实际应用与拓展 • 总结与回顾
01
引入Βιβλιοθήκη 面直线的定义定义不在同一个平面上的两条直线称 为异面直线。
判定定理
平面内一点和平面外一点的连线 ，与平面内不经过该点的直线是 异面直线。
03
几何法求解异面直线所成角
平行线间距离与夹角关系
平行线间距离
两平行线间的距离是一个定值，等于其中一条直线上任取一点到另一条直线的垂 线段长度。
夹角关系
两异面直线分别与第三条直线相交，所得到的两个夹角相等或互补。因此，可以 通过求解其中一个夹角来得到异面直线所成的角。
利用平行线间距离求解异面直线所成角步骤
根据夹角判断异面直线所成的 角是锐角还是钝角。
典型例题解析
例1：已知两异面直线上的向量分别为$\vec{a}=(1,2,3)$和 $\vec{b}=(2,1,0)$，求异面直线所成的角。
解：首先计算$\vec{a}$和$\vec{b}$的点积，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times 0 = 4$；
解析

a
bαa'源自θo•b'
异面直线所成角的范围?
想一想？
异面直线所成的角的范围是：（0°＜θ≤90°）
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?
解答：
答: 这个角的大小与O点的位置无关.
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4),
4、等角定理：_空_间__中__如__果__两_个__角__的__两__边_分__别__平__行， _那__么__这_两__个__角__相__等_或__互__补__。______
试一试： 请两位同学上台分别摆出两组异面直线.
知识回顾：
平面内两条直线相交成四个角，其中不大于90°的角 称为它们的夹角
（ B ）(A)300
(B)450
(C)600
(D)900
S
E A
D
F
C
B
课堂小结：
1、异面直线所成角的定义、范围及其求解。在求解中， 一定要紧扣定义中点O的任意性，恰当选择。
2、计算角的大小，要遵循“作——证——算——答”四 步骤。
3、求解异面直线所成的角的方法是“平移法”，也即 “化异面为共面”，“化空间为平面”，它突出体现了转 化化归的数学思想与方法。在计算的过程中，若直观性不 强，则要懂得将平面图形单独分离，有利于计算的直观性。 作答时要注意异面直线所成的角的范围的约束。
这个很 重要哦
（3）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说 这两条直线互相垂直，两条互相垂直的异面直线a，b，
记作a⊥b
说明空间的垂直有相交垂直和异面垂直，区别在于一个是相交，一个是异面.

D. 平行或异面
2．两条直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？
答：三种：相交，平行，异面．
第6页，共14页。
二、例题讲解:
例1.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。
b所成的角(或夹角).
b
a
b’ (0, ] b
2
a’
O a'
O
a
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直线 互相垂直.
第5页，共14页。
课前练习2：
1、若a、b是异面直线, b、c也是异面直线, 则a、c位置关
系是( ) A
异面直线不具有传递性.
A. 相交、平行或异面 B. 平行
C. 异面
P
（3）求线段EF的长。
E
G
A
C
F B
第13页，共14页。
四、课堂小结：
1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现 了化归的数学思想。
化归的一般步骤是： 定角
求角
定角一般方法有：
（2）补形法
2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ
的位置关系是（ ）
A、一定是异面直线 B、一定是相交直线
C、可能是平行直线 D、可能是异面直线，也可能是
相交直线
（3）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的 位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
第4页，共14页。
3.异面直线所成的角:
已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点O, 分别作直线 a' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、

8
预备知识 角的知识
正弦定理a=2RsinA A
a=2RsinA
b
SABC=
1 2
bc
sinA
C
c aB
余弦定理
A
cosA= b2 c 2 a2
2bc
cb B a C9
二、数学思想、方法、步骤：
1.数学思想：
解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。
39
正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点,
如图画出下面各题中指定的异面直线
D1 A1
D A
C1
D1
C1
D1
A1 B1
B1
A1
C
B
P●
D
C
A
B
D A的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时， 表示异面直线所成的角是它的补角.
40
以第三幅图为例，设正方体的棱长为1， 求异面直线的夹角
26
• 总结评述：(1)上面四个思路的共同点是： 由两条异面直线中的一条与另一条上一个 点确定一个平面，在该平面内过该点作该 直线的平行线，从而找出两条异面直线所 成的角，这是立体几何“化异为共”“降 维”的基本思想．
27
• (2)求两条异面直线所成角的关键是作出这 两条异面直线所成的角，作两条异面直线 所成的角的方法是：将其中一条平移到某 个位置使其与另一条相交或是将两条异面 直线同时平移到某个位置使它们相交，然 后在同一平面内求相交直线所成的角．值 得注意的是：平移后相交所得的角必须容 易算出，因此平移时要求选择恰当位 置．一般提倡像思路2、思路3那样作角， 因为此角在几何体内部，易求．