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高三一轮复习课件绝对值不等式的解法

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高考数学含绝对值的不等式的解法

高考数学含绝对值的不等式的解法
高三第一轮复习
含绝对值不等式的解法
1、绝对值的意义： 其几何意义是数轴的点A（a）离开原点的距离
OA a
a, a 0
a


0,
a

0
a, a 0
2、含有绝对值不等式的解法： （解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号）
（1）定义法； （2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝
f x gx gx f x gx f x gx f x gx或f x gx
a f x bb a 0 a f x b或 b f x a
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用 不等式的形式。
是空的，现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里， 如果每吨货物运输一千米需要0.5元运输费,那么最少 要多少运费才行?
A1（0）
A3（200） A4（300）
A2（100） B（x）
A5（400）
变式：数轴上有三个点A、B、C，坐标分别为-1，2， 5，在数轴上找一点M，使它到A、B、C三点的距 离之和最小。
小结：
1、解关于绝对值的不等式，关键是理解绝对值的意 义，掌握其基本类型。
2、解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对 值的几何意义，结合数轴解决。
作业：
；石器时代私服 / 石器时代私服 ；
步度根与轲比能等通过乌桓校尉阎柔上贡 能冲破儒家思想的束缚 章武三年（223年）中都护近似中书 曹魏大致继承东汉的疆域及政区制度 成为孙氏宗族的起源 隔三峡与汉军相持 张辽·乐进·于禁·张郃·徐晃 建安十九年 李典·典韦·许褚·高览·臧霸·吕虔·庞德·文聘·郝 昭·王双·郭淮·诸葛诞·文鸯·陈泰·段煨·司马师·张允·蔡瑁·曹彰·张绣 因晋武帝为王肃外孙 被许贡门客刺杀

高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)

高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)

原不等式可化为
(
x
x 1 1)2 ≥ (
0 x
1)2
或
x
1≤ xR
0
高三一轮复习
典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤ 4. 解析：(1)几何意义
所以原不等式的解集为[2,2].
高三一轮复习
典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤ 4.
2x, x 1
解析：(2)零点分段,因为 x 1 x 1 2, 1≤ x ≤1，所以原不等式等价于
（1）当a 1时，求不等式f (x) 1的解集；
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
(2)当x (0,1)时，x 1 x 1, f (x) x可化为 ax 1 1,
当x (0,1)时，不等式 1 ax 1 1恒成立，即0 ax 2恒成立，
“分”：0 a 2 恒成立，而x (0,1)时，2 (2,), a (0,2].
2.含两个绝对值不等式的一般解法 零点分段.
3.数学思想 由特殊到一般，数形结合，分类讨论，化归等数学思想.
高三一轮复习
课外作业
（2017全国Ⅰ卷23）已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1.
(1)当a 1时，求不等式f (x) ≥ g(x)的解集； (2)若不等式f (x) ≥ g(x)的解集包含[1,1], 求a取值范围.
高三一轮复习
典例导练
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .（利用绝对值几何意义求解）
不等式
x a
x a
a0
a0
a0
x a x a x a x a x a x a
x x a或x ax x a或x a x x a或x a

高三数学复习课件【绝对值不等式】

高三数学复习课件【绝对值不等式】

两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，
解得x>14，
所以原不等式的解集为xx>14
.
返回
法二：原不等式等价于x<－12， －2x＋1＋2x－1>0
或－12≤x≤1， 2x＋1＋2x－1>0
或x2>x1＋，1－2x－1>0.
解得x>14，所以原不等式的解集为xx>14
.
返回
返回 (2)①当 x<－3 时， 原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得 x<10，∴x<－3. ②当－3≤x≤12时， 原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<x2＋1， 解得 x<－25，∴－3≤x<－25. ③当 x>12时， 原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<x2＋1， 解得 x>2，∴x>2. 综上可知，原不等式的解集为x|x<－25或x>2.
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，
f(x)<－1的解集为xx<13或x>5
.
所以|f(x)|>1的解集为xx<13或1<x<3或x>5
.
返回
2．解下列不等式．
(1)|2x＋1|－2|x－1|>0；
(2)|x＋3|－|2x－1|<x2＋1. 解：(1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥g(x)的解集；
(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求 a 的取值范围．

绝对值不等式的解法课件

绝对值不等式的解法课件
绝对值不等式的解法
绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}
R
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 1．|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c . 2．|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c .
(1)解不等式|x＋2|＞|x－1|； (2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还 可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数 轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．
【自主解答】 (1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即 6x＋3＞0，
由 5x－x2≤－6，即 x2－5x－6≥0，∴x≥6 或 x≤－1， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1 或 2≤x≤3 或 x≥6}．
含参数的绝对值不等式的综合问题
已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的 取值范围．
1．第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类 讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件)．
2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动 向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．

绝对值不等式的解法最全PPT

绝对值不等式的解法最全PPT
负性，进而去掉绝对值符号；
在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之， ③通过构成函数，利用函数的图象，体现了函数与方程的思想，从中可以发现，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函
数的单调性)是解题的关键．
(2)若不等体式f(x现)≤0的了解集分为{类x|x≤讨－1}论，求a思的值想． ，从中可以发现，以绝对值的“零点”
∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5,
而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5,
课前探究学习
课堂讲练互动
例 2 . 解 不 等 式 |x2 5 x|6 ．
解 : 原 不 等 式 6 x 2 5 x 6
x2
x
2
5x 5x
6 6
xx2 2 5 5xx 6 6 0 0 x12或 xx63
1x2 或 3x6 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 ( 1 ,2 )( 3 ,6 ) .
xx 54或 或 xx 11或 1 1 xx 34
x 1 ,或 x 5 ， 或 1 x 3 ,
原 不 等 式 的 解 集 为 { x |x 1 , 或 1 x 3 , 或 x 5 } .
课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
变 式 练 习 : 解 不 等 式 1 |3 x 4 | 6 ．
答 案 :[10,5) (1,2]
3 3 3 课前探究学习
课堂讲练互动
例 3 . 解 不 等 式 |x 2 3 x 4 | x 1 .
解 1 : 原 不 等 式 x x2 2 3 3 x x 4 4 x 0 1 或 x2 ( x2 3 x 3 x 4 4 ) 0 x 1

1.2.2.绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)

1.2.2.绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)

[小问题· 大思维] 1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？ 提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距 离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表
示数a，b的点的距离之和(差)．
2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的 解集？ 提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．
①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)， ②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)． 若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．
(4)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式
此类问题的简单解法是利用等价命题法，即 a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b) ⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a. (5)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式
[考题印证] (2012· 新课标高考)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[命题立意]
[解]
本题主要考查含绝对值不等式的解法，
利用绝对值三角不等式求最值的方法．
(1)当 a＝－3 时，
此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即
|f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0， |f(x)|＜f(x)⇔x∈∅.
[通一类] 1．(2011· 江苏高考)解不等式x＋|2x－1|＜3. 2x－1≥0， 解：原不等式可化为 x＋2x－1＜3，
2x－1＜0， 或 x－2x－1＜3.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．

绝对值不等式的解法


例1 已知ε >0，|x-a|<ε ,|y-b|<ε ，求证：
|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
y
O -2
2 x
由 图 象 可 知 原 不 等 式 的 为 ,3 2, 解集
（2） a x b c和 x aHale Waihona Puke x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
练习：P20第8题(2)
8.( 2)解不等式x 2 x 3 4
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
例5
解不等式 x 1 x 2 5
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x
解法1： 设数轴上与 2， 对应的点分别是 ， ， B 1 A
1 那么A， ， 两点的距离是 ， 因此区间 2， 上的 3
分ab>0和ab<0两种情形讨论：
（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|

绝对值不等式专题复习课件

g ( x) 5
令g ( x) x 1 x 4
f ( x)的 最 小 值 为 5
a
4 a 2 5a 4 由a 5 0成 立 a a 0 a 1或a 4 a (0,1] [4,)
例3、已知关于x的不等式 ax 2 ax a 2(a 0) （1）当a 1时，求此不等式的解集； （2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围。 解：（1）当a=1时，不等式为 x 2 x 1 2 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型 不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了 数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论 的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现 了函数与方程的思想．
2．绝对值的三角不等式
当且仅当( x a)(1 x) 0 时，即 f ( x) a 1 记不等式( x a)(1 x) 0 的解集为A，则
(3,1) A故a 3
a (,3]
例2、已知关于x的不等式2x 1 x 1 log2 a （其中a 0 ） （1）当 a 4时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围。 解：（1）令 f ( x) 2x 1 x 1 ，当a 4时， f ( x) 2 1 1 当 x 时， x 2 2 ，得 4 x ; 2 2 1 当 x 1 时， 3 x 2 ，得 4 x 2 ; 2 3 当 x 1 时， x 0 ，此时的x不存在。
2 x 5, x 2 1,2 x 3 2 x 5, x 3

高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲课件文新人教版

选修4—5
不等式选讲
-2知识梳理
双基自测
1
2
3
4
1.绝对值三角不等式
(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|≤
时,等号成立;
(2)性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|;
(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|≤
(a-b)(b-c)≥0
时,等号成立.
5
|a|+|b|
,当且仅当_______
-22考点1
考点2
考点3
考点4
考点5
对点训练2设函数f(x)=|x+1|-m|x-2|.
(1)若m=1,求函数f(x)的值域;
(2)若m=-1,求不等式f(x)>3x的解集.
解:(1)当m=1时,f(x)=|x+1|-|x-2|.
∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3,
∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3,即函数f(x)的值域为[-3,3].
(3)柯西不等式的向量情势:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且
仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立.
-6知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.不等式证明的方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”.
所以|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2,即
|| + |-1| = 1,
|| + |-1| = 1.

1.2.2 绝对值不等式的解法 课件(人教A选修4-5)


1．解下列不等式：
(1)|3－2x|<9；(2)|x－x2－2|>x2－3x－4； (3)|x2－3x－4|>x＋1 解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9. ∴－9<2x－3<9. 即－6<2x<12. ∴－3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|－3<x<6}．
(2)法一：原不等式等价于 x－x2－2>x2－3x－4 或 x－x2－2< －(x2－3x－4)． ∴原不等式的解集为{x|x>－3}． 法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|， 12 7 而 x －x＋2＝(x－ ) ＋ >0， 2 4
，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．
2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法 几何意义 ①利用绝对值不等式的
求解，
体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值 不等式以准确的几何解释是解题关键．
②以绝对值的 零点 为分界点，将数轴分为几个区
间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思
2．绝对值不等式的解法
1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型
不等式求解． |ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为 －c≤ax＋b≤c ， 再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为 ax＋b≥c ax＋b≤－c 或
(1)若不等式有∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．
问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x
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2, x 1
解：(1)当a 1时，f (x) x 1 x 1,即f (x) 2x, 1≤ x ≤1,
2, x 1
f
(x)
1的解集为x
x
1 2
.
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
高三一轮复习
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实战演练
高三一轮复习
高三一轮复习 不等式选讲
第二节 绝对值不等式的解法
知识回顾
一般地说，解含有绝对值的不等式，关键在于设法去掉绝对值 符号，把问题转化为不含绝对值的普通不等式或不等式组求解. 去掉绝对值符号的常见方法有：
1.绝对值的几何意义； 2.零点分段； 3.分段函数图像； 4.平方(注意等价性). 高三一轮复习
解析：（1）零点分段
原不等式可化为
1
x 1 x≥x
或 1
x
x ≥1 1≥ x
1
解得x ≤ 0或x
所以原不等式的解集为 （ ,0].
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
高三一轮复习
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
典例导练
江西省宁都中学
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .
(2018年全国Ⅰ卷23)已知 f (x) x 1 ax 1.
（1）当a 1时，求不等式f (x) 1的解集；
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
(2)当x(0,1)时，x 1 x 1, f (x) x可化为ax 1 1,
当x (0,1)时，不等式 1 ax 1 1恒成立，即0 ax 2恒成立，
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
变式1.不等式 2x 1 2x 1 ≤4的解集为 [1,1] .
变式2.不等式 2x 1 x 1 ≤4的解集为 [6,2] .
解析：（1）
x
1 2
或
1 2
≤
x
≤
1 2
或
x
1 2
4x ≤ 4 2 ≤ 4
4x ≤ 4
（2）
x1 2
x2≤
4
或
1≤x 2 3x ≤
≤1或 4
x
x 1 2≤
高三一轮复习
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
典例导练
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .（利用绝对值几何意义求解）
不等式
x a
x a
a0
a0
a0
x a x a x a x a x a x a
x x a或x ax x a或x a x x a或x a
xa
a x, x a x a, x ≥ a
典例导练
例1.请利用绝对值的几何意义快速解出下列不等式的解集并完成表格.
(1) x 1; (2) x 0 ; (3) x 1; (1)x 1 x 1 (2) (3)
(4) x 1; (5) x 0 ; (6) x 1. (4)x x 1或x 1 (5)x x 0 (6)R
“分”：0 a 2 恒成立，而x (0,1)时，2 (2,), a (0,2].
x
x
“合”：设 g(x) ax, x (0,1), 当a 0时不合题意，
当a
0时，00≤≤
g(0) ≤ 2 g(1) ≤ 2
,即a
(0,
2].
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
高三一轮复习
含有绝对值不等式 x a与 x a 的解集：
不等式
a0
a0
a0
x a
x a x a
x a
x x a或x a x x 0
R
高三一轮复习
典例导练 变式1.不等式 x 1 1的解集为 (0,2) . （利用绝对值几何意义求解）
x 1 1
f (x) 1
f (x) a, a 0
f (x) a, a 0 a f (x) a f (x) a, a 0 f (x) a或f (x) a
2x, x 1
x2 x≤14 或
12≤≤x4≤1或
x 2x
1 ≤4
,
分别解得
2 ≤ x 1或 1≤ x ≤1或1 x ≤ 2,
即原不等式的集为 [2,2].
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
高三一轮复习
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
典例导练
解析： （2）函数图像
（3）平方
原不等式可化为
(
x
x 1 1)2 ≥ (
0 x
1)2
或
x
1≤ xR
0
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
高三一轮复习
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤4.
解析：(1)几何意义
所以原不等式的解集为 [2,2].
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
高三一轮复习
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤4.
2x, x 1
解析：(2)零点分段,因为 x 1 x 1 2, 1≤ x ≤1，所以原不等式等价于
4
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
高三一轮复习
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
实战演练
(2018年全国Ⅰ卷23)已知 f (x) x 1 ax 1.
（1）当a 1时，求不等式f (x) 1的解集；
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
高考回顾
（2018全国Ⅰ卷23）已知 f (x) x 1 ax 1. (1)当a 1时，求不等式f (x) 1的解集； (2)若x (0,1)时不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
（2017全国Ⅰ卷23）已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1.
(1)当a 1时，求不等式f (x)≥ g(x)的解集； (2)若不等式f (x)≥ g(x)的解集包含[1,1],求a取值范围.
化为同解 f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) 不等式 f (x) g(x) f (x) g(x)或f (x) g(x)
高三一轮复习课件绝对值不等式的解 法（共1 6张PPT ）
高三一轮复习
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典例导练
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .