含绝对值不等式的解法

解题宝典含绝对值不等式问题是高考的必考内容，此类型问题常与函数、方程、数列等知识点相结合，题型多样，具有一定的难度，需要灵活运用化归、分类讨论、数形结合等数学思想进行解答.本文对三类常见的含绝对值不等式题型及其解法进行了归纳，以帮助同学们提升解答此类问题的效率.一、||f （x ）<a ，||f （x ）>a ，()a ∈R 型不等式的解法对于该类型不等式，我们需要考虑a =0,a >0，a <0这三种情形.1.当a >0时，ìíî||f (x )<a ⇔-a <f (x )<a ,||f (x )>a ⇔f (x )>a 或f (x )<-a .2.当a =0时，ìíî||f (x )<a ⇔无解,||f (x )>a ⇔f (x )≠0的解集.3.当a <0时，ìíî||f (x )<a ⇔无解,||f (x )>a ⇔使y =f (x )成立的x 解集为R.因此，在处理||f (x )<a ，||f (x )>a ，()a ∈R 型不等式时，我们首先要对参数a 进行分类讨论，以便去掉绝对值符号，将绝对值不等式问题转化为常规不等式问题进行求解.例1.若不等式||3x -b <4解集中x 的正整数解有且仅有1,2,3，求b 的取值范围.解:∵||3x -b <4解集中x 的正整数解有且仅有1,2,3，∴||3x -b <4,解得b -43<x <b +43，∴0≤b -43<1,且3<b +43≤4，解得5<b <7.由于题目中给出了||3x -b <4解集，所以我们需要根据其正整数解1，2，3，列出新的不等式0≤b -43<1,且3<b +43≤4，从而求得b 的取值范围.二、||f （x ）<||g (x )型不等式的解法在解该类型不等式时，我们首先要考虑在不等式的两边同时取平方，以便去除绝对值符号，再解不含绝对值的不等式，即：||f （x ）<||g (x )⇔||f （x ）2<||g (x )2⇔||f （x ）2-||g (x )2<0,亦或者将之转化为[]f （x ）+g （x ）[]f （x ）-g （x ）<0.这样可以避免对绝对值内部式子进行分类讨论，能有效简化解题的过程，提升解题的效率.例2.求不等式||x +1-||x -3≥0的解集.分析：首先需将不等式移项，然后在不等式两边同取平方，将其化简成二次不等式进行求解.解：将不等式平方得||x +12≥||x -32,化简得x 2+2x +1≥x 2-6x +9，解得x ≥1.除了上述思路，同学们还可以利用绝对值的几何意义解答本题，即把||x +1-||x -3看作数轴上的点x 到点-1与到点3的距离之差，利用数轴得出x 的取值范围.三、|x -a |＋|x -b |≥c ，|x -a |＋|x -b |≤c (c ＞0)型不等式的解法该类型不等式较为复杂，常规的解题方法是零点区域法.根据绝对值的定义取零点，将定义域将分为几个区间段，去掉绝对值符号，最后把所得的解集进行汇总便可得出不等式的解集.第二种方法是利用绝对值不等式的几何意义求解；第三种是构造函数，利用函数的图象求解.例3.解不等式||x +1>||2x -3-2.解：令x +1=0，则x =-1；令2x -3=0，则x =32，①当x ≤-1时,-()x +1>-（2x -3）-2,得x >2,不符合题意舍去，②当-1<x ≤32时,x +1>-(2x -3)-2,得0<x ≤32，③当x >32时,x +1>2x -3-2,得32<x <6.综合①②③得不等式的解集为{x |0<x <}6.这里采用的是零点区域法，首先取零点，并将定义域分为三段x ≤-1、-1<x ≤32、x >32，然后再分段进行求解，最后将结果进行汇总.通过上述分析，同学们可以发现，求解含绝对值不等式问题的关键在于去掉绝对值符号，将含绝对值不等式转为普通的不等式进行求解.因此同学们在解题时，要善于结合不等式的特点，采用分类讨论、取平方、利用绝对值不等式的几何意义、构造函数等方法来简化问题.（作者单位：湖北省汉川市第一高级中学）祁海成36。

绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。

本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。

一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。

例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。

2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。

Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。

Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。

例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。

1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。

通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。

下面通过一个例子来说明。

例题：求解不等式 |2x-1|<5 。

解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。

然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。

最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。

2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。

在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。

通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。

四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。

含绝对值不等式解法要点归纳解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键．一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有：1．定义法去掉绝对值符号根据实数绝对的意义，即| x | =(0)(0)x xx x≥⎧⎨-<⎩，有：| x |＜c⇔(0)(0)c x c ccφ-<<>⎧⎨≤⎩；| x |＞c⇔(0)0(0)(0)x c x c cx cx R c<->>⎧⎪≠=⎨⎪∈<⎩或；2．利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化为| x |＜c或| x |＞c (c＞0)来解．不等式|ax＋b|＞c (c ＞0)可化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由此求出原不等式的解集；不等式|ax＋b|＜c (c＞0)可化为－c＜ax＋b＜c，再由此求出原不等式的解集，对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤| x |≤b⇔a≤x≤b或－b≤x≤－a求解．这是一中典型的转化与化归的数学思想方法．3．平方法去掉绝对值符号．对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷．解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点．4．零点分段法去掉绝对值符号．所谓“零点分段法”是指：设数x1，x2，x3，…，xn是分别使含有|x－x1|，|x－x2|，|x－x3|，…，|x－xn|的代数式中相应的绝对值为零，称x1，x2，x3，…，xn 为相应绝对值的零点，零点x1，x2，x3，…，xn将数轴分为n＋1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，从而得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值的不等式组来解．即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．“零点分段法”是解含有多个绝对值符号的不等式的常用手段，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化，思路直观．5．数形结合法去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．数形结合法形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于| x－a|＋| x－b |＞m或| x－a|＋| x－b |＜m (m为正常数)类型的不等式．二、几点注意事项1．根据绝对值定义，将| x |＜c或| x |＞c (c＞0)转化为两个不等式组，这两个不等式组的关系是“或”而不是“且”，因而原不等式的解集是这两个不等式组解的并集，而不是交集．2．| x |＜c和| x |＞c (c＞0)的解集公式要牢记，以后可以直接作为公式使用．但要注意的是，这两个公式是在c＞0时导出的，当c≤0时，需要另行讨论，不能使用该公式．3．解不等式问题与集合运算有密切联系，在应用集合有关内容处理绝对值不等式的过程中，要注意在不等式组的解集中，对不等式端点值的取舍情况．再有，因为已学习了集合表示法，所以不等式的解集要用集合形式表示，不要使用不等式的形式．4．解含有绝对值的不等式的关键是把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值符号的不等式，然后再求解，但这种转化必须是等价转化，尤其是平方法去掉绝对值符号时，一定要注意两边非负这一条件，否则就会扩大或缩小解集的范围．5．要学会灵活运用分类讨论思想、数形结合思想、等价专化与化归思想方法处理绝对值不等式问题．三、典型例题思路点拨例1 关于x的不等式| kx－1|≤5的解集为{x |－3≤x≤2}，求k的值．思路点拨：按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k的取值不确定，要以k 的不同取值分类处理．解：原不等式可化为－4≤kx ≤6，当k ＞0时，－k 4≤x ≤k6，依题意，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.26,34k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==3,34k k ，此时无解． 当k = 0时，显然不满足题意．当k ＜0时， k 6≤x ≤－k 4，依题意，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-.36,24kk ⇒ k =－2． 例2 解不等式| x －1|＜| x ＋a |．思路点拨：由于两边均为非负数，因此可以两边平方去掉绝对值符号． 解：由于| x －1|≥0，| x ＋a |＞0，所以两边平方有| x －1|2＜| x ＋a |2， 即有x 2－2x ＋1＜x 2＋2ax ＋a 2，整理得：(2a ＋2)x ＞1－a 2，当2a ＋2＞0，即a ＞－1时，不等式的解为x ＞21(1－a)； 当2a ＋2 = 0，即a =－1时，不等式无解；当2a ＋2＜0，即a ＜1时，不等式的解为x ＜21(1－a)． 例3 若不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集，求a 的取值范围． 思路点拨一：此不等式左边含有两个绝对值符号，如何去掉绝对值符号呢？可考虑采用“零点分段”，即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．解一：⑴当a ≤0时，不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集． ⑵当a ＞0时，先求不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 有解时a 的取值范围． 令x －4 = 0，得x = 4，令3－x = 0，得x = 3．①当x ≥4时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：x －4＋x －3＜a ，即2x －7＜a ，解不等式组⎩⎨⎧<-≥.72,4a x x ⇒ 4≤x ＜27+a ⇒4＜27+a ， ∴a ＞1．②当3＜x ＜4时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：4－x ＋x －3＜a ，解得a ＞1．③当x ≤3时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：4－x ＋3－x ＜a ，即7－2x ＜a ，解不等式组⎩⎨⎧<-≤.27,3a x x ⇒ 27a -＜x ≤3⇒，27a -＜3， ∴a ＞1．综合①②③可知，当a ＞1时，原不等式有解，从而当0＜a ≤1时，原不等式解集为空集．由⑴、⑵两种情况可知，不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集，a 的取值范围是a ≤1．思路点拨二：解法一是按去掉绝对值符号的方法求解，这是处理此类问题的一般方法，但运算量大．若仔细观察不等式左边的结构，联想到绝对值| a ＋b|≤| a |＋| b|，便可把问题简化．解二：∵a ＞| x －4|＋| 3－x |≥| x －4＋3－x | = 1，∴当a ＞1时| x －4|＋| 3－x |＜a 有解，从而当0＜a ≤1时，原不等式解集为空集．例4 对任意实数x ，若不等式| x ＋1|－| x －2 |＞k 恒成立，求 k 的取值范围． 思路点拨一：要使| x ＋1|－| x －2 |＞k 对任意x 恒成立，只要| x ＋1|－| x －2 |的最小值大于k ．因| x ＋1|的几何意义为数轴上点x 到－1的距离，| x －2 |的几何意义为数轴上点x 到2的距离，| x ＋1|－| x －2 |的几何意义为数轴上点x 到－1与2的距离的差，其最小值可求．解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1，2在 数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，原不等式即求| PA|－| PB|＞k 成立，因为|AB| = 3，即| x ＋1|－| x －2 |≥－3，故当k ＜－3时，原不等式恒成立．思路点拨二：如果把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出其图象，从图象观察k 的取值范围． 解法二：令y = | x ＋1|－| x －2 |，则 y =⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-.2.321,121,3x x x x 要使| x ＋1|－| x －2 |＞k 恒成立，从图象可以看出，只要k ＜－3即可．故k ＜－3满足题意思．。

含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。

绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。

解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。

首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。

要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。

首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。

然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。

因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。

接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。

对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。

同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。

然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。

因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。

在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。

总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。

带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。

以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。

2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。

3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。

4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。

以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。

因此，不等式的解集为-a<x<a。

2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。

当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。

因此，不等式的解集为x<-a或x>a。

3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。

当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。

因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。

需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。

1。

含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或,不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。

解不等式22x x x x >++。

（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。

例3、解不等式123x x ->-。

二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 解不等式125x x -++<。

(“零点分段法”)三、几何法：即转化为几何知识求解。