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绝对值不等式的解法

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绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式在数学中有着广泛的应用，它们涉及到了绝对值的概念和不等式的解法。

本文将介绍几种常见的绝对值不等式的解法，并给出相应的例子进行说明。

一、绝对值不等式的基本性质在解绝对值不等式之前，我们先来了解一些绝对值的基本性质。

对于任意实数a，有以下三个性质：1. 非负性质：|a| ≥ 0绝对值表示的是一个数距离原点的距离，因此它始终是非负的。

2. 正负性质：如果a > 0，则 |a| = a；如果a < 0，则 |a| = -a这是绝对值的定义，即当a为正时，取a的值；当a为负时，取-a 的值。

3. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|这是绝对值的三角不等式，它表明两个数的绝对值之和不超过它们的绝对值的和。

有了以上基本性质的了解，我们可以利用它们来解决绝对值不等式。

二、1. 绝对值的定义法义来解决不等式。

例如，对于不等式 |2x - 3| ≤ 5，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当2x - 3 ≥ 0时，|2x - 3| = 2x - 3，此时原不等式可以转化为2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4。

（2）当2x - 3 < 0时，|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3，此时原不等式可以转化为 -2x + 3 ≤ 5，解得x ≥ -1。

综合以上两种情况的解集，最终得到该不等式的解集为 -1 ≤ x ≤ 4。

2. 绝对值的范围法当绝对值中的表达式的取值范围已知时，我们可以利用绝对值的非负性质来解决不等式。

例如，对于不等式 |x - 3| > 2，我们可以通过以下步骤来求解：（1）当 x - 3 > 0 时，|x - 3| = x - 3，此时原不等式可以转化为 x -3 > 2，解得 x > 5。

（2）当 x - 3 < 0 时，|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3，此时原不等式可以转化为 -x + 3 > 2，解得 x < 1。

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。

在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。

一、图像法图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。

例1：解不等式 |x - 2| > 3。

首先，我们可以将其转化为两个方程：x - 2 > 3 或 x - 2 < -3解得：x > 5 或 x < -1将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。

通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。

二、符号法符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。

例2：解不等式 |2x - 3| ≤ 4。

根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件：2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4解得：x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。

三、分情况讨论法分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。

例3：解不等式 |3x + 2| > 5。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5解得：x > 1 且 x < -7/3因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。

四、代数法代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。

例4：解不等式 |x - 4| ≥ 2。

根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式：x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2解得：x ≥ 6 或x ≤ 2因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。

综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。

绝对值不等式的解法课件

绝对值不等式的解法课件

绝对值不等式的解法
绝对值不等式|x|<a 与|x|>a 的解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}
R
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 1．|ax＋b|≤c⇔ －c≤ax＋b≤c . 2．|ax＋b|≥c⇔ ax＋b≥c或ax＋b≤－c .
(1)解不等式|x＋2|＞|x－1|； (2)解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还 可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数 轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．
【自主解答】 (1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即 6x＋3＞0，
由 5x－x2≤－6，即 x2－5x－6≥0，∴x≥6 或 x≤－1， 所以原不等式的解集为{x|x≤－1 或 2≤x≤3 或 x≥6}．
含参数的绝对值不等式的综合问题
已知函数 f(x)＝|x－a|. (1)若不等式 f(x)≤3 的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数 a 的值； (2)在(1)的条件下，若 f(x)＋f(x＋5)≥m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的 取值范围．
1．第(2)问求解的关键是转化为求 f(x)＋f(x＋5)的最小值，法一是运用分类 讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成 立的条件)．
2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动 向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．
绝对值不等式解法

绝对值不等式解法


典例讲解
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（2）原不等式两边平方得： (2x 1) ( x 1)
2
2
平 方 法
整理得： x 2 x 0
2
x 0或x 2
10 5 2 答案：（1） [ 3 , 3 ) (1, 3 ] 1 （2） ( , ) 2
（3） (,7] (2,)
不等式的解集为： (,0) (2,)
分段解不等式问题要点： 段内求交，段与段求并
典例讲解
| x 1 | | x 3 | 5 | 2 x 1 || x 1 | （3） （2） | 2 x 1 | 1 （1）
( x 1) ( x 3) 5 解:（3）当 x 1 ，原不等式可化为： 3 3 x x ，此时解为： 2 2 分 当 1 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5 段 4 5 ，此时解为：x无解 法 当 x 3 ，原不等式可化为： ( x 1) ( x 3) 5
典例讲解பைடு நூலகம்
例1解下列不等式
| 2 x 1 || x 1 | （3） | x 1 | | x 3 | 5 （2） （1） | 2 x 1 | 1
解:（1）原不等式可化为： 公 式 法
2 x 1 1或2 x 1 1
x 0或x 1
不等式的解集为： (,0) (1,)
7 7 x ，此时解为：x 2 2
例1解下列不等式
综上所述，不等式的解集为
3 7 ( , ) ( , ) 2 2
绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法


不等式的解集易得. 注：如果 a ≤ 0 ，不等式的解集易得.
利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式
基础练习
解下列不等式： 解下列不等式： （1）2|x|<5 ） （2）|2x|>5 ） （3）|x-1|<5 ） （4）|2x-1|<5 ）
5 5 {x | − < x < } 2 2 5 5 {x | x > 或x < − } 2 2
|ax+b|<c
-c<ax+b<c
并
探索2.不等式| -1|+|x+2|≥5 +2|≥5的解法 探索2.不等式|x-1|+| +2|≥5的解法 2.不等式
方法1：利用绝对值的几何意义， 方法 ：利用绝对值的几何意义，体现了数形结 合的思想． 合的思想．
+2|=5的解为 解:|x-1|+| +2|=5的解为 =-3或x=2 :| -1|+|x+2|=5的解为x= =2
{x | −4 < x < 6} {x | −2 < x < 3}
方法小结
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较： 和 型不等式比较： 型不等式比较
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别 {x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 对原不等式两边平方得 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 － 所以，不等式|x|<1的解集为 -1<x<1} 的解集为{x|所以，不等式 的解集为
高中数学绝对值不等式的解法

高中数学绝对值不等式的解法


x c x c c x c
x c x2 c2 x c,或x c
2
题型2: 如果 c 是正数，那么
ax +b c (ax +b) c c ax +b c
2
2
2 2 ax +b c (ax +b) c ax +b c, 或ax +b c ②
例5、解不等式|x+1|+|x-1|≥3.
方法二：将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即
3 3 作出函数的图象(如图).函数的零点是 , , 2 2
从图象可知当 x 3 或
y 2x 3， x 1, 1 x 1, 1， 2x 3， x 1.
②
-m -n 0 n
①
m
题型3: 形如n＜| ax + b | ＜m
(m＞n＞0)不等式
等价于不等式组
①
n ax b m, 或 m ax b n
| ax b | n | ax b | m
②
题型4: ① |f(x)|<g(x)型不等式
|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x), ② |f(x)|>g(x)型不等式 |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)
∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
∴ －1＜x＜0
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
探索：不等式|x|<1的解集。 方法三： 两边同时平方去掉绝对值符号 对原不等式两边平方得x2<1
绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法什么是绝对值不等式？绝对值不等式是数学中一类常见的不等式类型，它涉及到绝对值函数(|x|)。

绝对值函数定义了一个实数的非负值，即对于实数x，|x|的值总是与x的符号无关，而只与x的大小有关。

绝对值不等式的一般形式为：|f(x)| ≤ a 或|f(x)| ≥ a，其中f(x)是一个函数，a是一个正实数。

绝对值不等式的求解方法当遇到绝对值不等式时，我们需要找到使得不等式成立的x 的范围，也就是求解不等式的解集。

下面将介绍几种常见的绝对值不等式的解法。

1. 图形法图形法是解决绝对值不等式的直观方法。

我们可以通过绘制函数y = f(x)的图像来分析绝对值不等式。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以绘制函数y = f(x)的图像，并考察函数值在y轴上的绝对值是否小于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值小于等于a，则该范围内的x属于解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以绘制函数y = f(x)的图像。

但在该情况下，我们需要考察函数图像位于y轴上的绝对值是否大于等于a。

如果在x的某个范围内，函数图像位于y轴上的绝对值大于等于a，则该范围内的x属于解集。

2. 分情况讨论法绝对值不等式的另一种解法是通过分情况讨论来找到解集的范围。

对于不等式|f(x)| ≤ a，我们可以将绝对值函数分为两种情况进行讨论： - 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≤ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≤ a，进一步化简为f(x) ≥ -a。

上述两种情况分别给出了绝对值不等式的解集范围。

我们需要根据具体函数f(x)和给定的a值来确定最终的解集。

对于不等式|f(x)| ≥ a，同样可以采用类似的分情况讨论法：- 当f(x) ≥ 0 时，原不等式可以简化为f(x) ≥ a。

- 当 f(x) < 0 时，原不等式可以简化为 -f(x) ≥ a，进一步化简为f(x) ≤ -a。

含绝对值不等式的解法

含绝对值不等式的解法


4.重要绝对值不等式 ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|. 使用时(特别是求最值)要注意等号成立的条件, 即: |a+b|=|a|+|b|ab≥0; |a-b|=|a|+|b|ab≤0; |a|-|b|=|a+b|b(a+b)≤0; |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0. 注: |a|-|b|=|a+b||a|=|a+b|+|b| |(a+b)-b|=|a+b|+|b| b(a+b)≤0. 同理可得 |a|-|b|=|a-b|b(a-b)≥0.
典型例题 2 解不等式 ||x+3|-|x-3||>3.
解法一 零点分区间讨论 原不等式等价于: x<-3, -3≤x≤3, x>3, |-x-3+x-3|>3, 或 |x+3+x-3|>3, 或 |x+3-x+3|>3. 3 <x≤3 或 x>3. 即 x<-3 或 -3≤x<- 3 或 2 2 3 3 ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞). 解法二 两边平方 原不等式等价于 (|x+3|-|x-3|)2>9. 即 2x2+9>2|x2-9|( 2x2+9)2>(2|x2-9|)2. 3 3 2 即 4x -9>0. ∴x<- 2 或 x> 2 . 3 3 ∴原不等式的解集为 (-∞, - 2 )∪( 2 , +∞).
备选题 4 已知函数 f(x)=x3+ax+b 定义在区间 [-1, 1] 上, 且 f(0)=f(1), 又 P(x1, y1), Q(x2, y2) 是其图象上任意两点(x1x2). (1)设直线 PQ 的斜率为k, 求证: |k|<2; (2)若 0≤x1<x2≤1, 求证: |y1-y2|<1. 解: (1)∵f(0)=f(1), ∴b=1+a+b. ∴a=-1. ∴f(x)=x3-x+b. y 2- y 1 1 则 k= x -x = x -x [(x23-x2+b)-(x13-x1+b)] 2 1 2 1 1 = x -x [(x23-x13)-(x2-x1)] =x22+x1x2+x12-1. 2 1 ∵x1, x2[-1, 1] 且 x1x2, ∴0<x22+x1x2+x12<3. ∴-1<x22+x1x2+x12-1<2. ∴|x22+x1x2+x12-1|<2. 即 |k|<2. (2)∵0≤x1<x2≤1, ∴由(1)知 |y2-y1|<2|x2-x1|=2(x2-x1). ① 又 |y2-y1|=|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)| ≤|f(x1)-f(0)|+|f(1)-f(x2)|<2|x1-0|+2|1-x2|=2(x1-x2)+2
含绝对值不等式的解法

含绝对值不等式的解法


备选题 2 解关于 x 的不等式 |3x-2|<2m-1(m∈R). ∈ 可讨论如下: 解: ∵m∈R, ∴可讨论如下 ∈ (1)当 2m-1≤0 即 m≤ 1 时, x 不存在 当 不存在; 2 (2)当 2m-1>0 即 m> 1 时, 原不等式等价于 当 2 1-2m<3x-2<2m-1. 2m+1 解得 - 2m-3 <x< 3 . 3 综上所述, 当 m≤ 1 时, 原不等式的解集为 ∅; 当 m> 1 时, 综上所述 2 2 原不等式的解集为 (- 2m-3 , 2m+1 ). - 33
典型例题 3 3x 解不等式 | x2-4 |≤1. 3x 2 3x 解法二 | 2 |≤1⇔( 2 ) ≤1 ⇔ x -4 x -4 ⇔9x2≤(x2-4)2(x≠± ≠±2) ≠± ⇔x4-17x2+16≥0 ⇔x2≤1 或 x2≥16 ⇔x≤-4 或 -1≤x≤1 或 x≥4. ∴原不等式的解集为 (-∞, -4]∪[-1, 1]∪[4, +∞). ∪∪ ∞
学一学, 学一学 练一练 x>0, 解不等式组 3-x 2-x >| x+2 |. 3+x x-3 2-x 3-x 3-x 2-x 解法一 3+x >| x+2 |⇔ 3+x < x+2 < 3+x . ⇔ x>0, ⇔ (3-x)(x+2)>(x-2)(3+x), (3-x)(x+2)>(2-x)(3+x). x>0, x>0, 2+x+6>x2+x-6, ⇔ ⇔ -x x2<6. -x2+x+6>-x2-x+6, ∴0<x< 6 . ∴原不等式组的解集为 (0, 6 ).
绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法


画出数轴
在数轴上标出关键点，如$a$和 $a+b$，以及不等式的解集范围。
确定解集
根据数轴上的位置关系，确定不等式 的解集。例如，对于不等式$|x-a| < b$，解集为$(a-b, a+b)$。
区间表示法
开区间表示法
使用开区间表示不等式的解集，例如$(a, b)$表示$a < x < b$。
闭区间表示法
使用闭区间表示不等式的解集，例如$[a, b]$表示$a leq x leq b$。对于一元一次绝对值不等式，通常使用开区间表示 法。
03
一元二次绝对值不等式解法
转化为一元二次不等式组
去掉绝对值符号
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化为一元二次 不等式组。
解一元二次不等式
利用一元二次不等式的解法，分别求出不等式组的解 集。
其中$a, b, c, d, e$为常数，且$c neq 0, e neq 0$）的不等式。
几何意义与数轴表示
几何意义
绝对值不等式表示数轴上的点到某一点的距离与某个值的大小关系。例如，不等式$|x - a| < b$（其 中$b > 0$）表示数轴上到点$a$的距离小于$b$的点的集合。
数轴表示
通过数轴可以直观地表示绝对值不等式的解集。例如，对于不等式$|x - a| < b$（其中$b > 0$）， 解集为$(a - b, a + b)$，在数轴上表示为以点$a$为中心、长度为$2b$的开区间。
绝对值不等式的解法
汇报人：XX
• 绝对值不等式基本概念 • 一元一次绝对值不等式解法 • 一元二次绝对值不等式解法 • 高次及分式绝对值不等式解法 • 含有参数绝对值不等式解法 • 总结与拓展
绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法

绝对值不等式的解法绝对值不等式是数学中非常常见和重要的一类不等式，它的解法依赖于绝对值函数的性质以及不等式的具体形式。

本文将系统地介绍绝对值不等式的解法方法，以帮助读者更好地理解和运用。

一、绝对值不等式的定义和性质绝对值是一个数在不考虑其正负的情况下的实际值。

在数学中，绝对值函数可以表示为|a|，其中a是一个数。

绝对值函数的性质如下：1. 非负性：|a|≥0，即绝对值函数的值永远大于等于0。

2. 正数性：|a|>0当且仅当a≠0。

绝对值函数在a不等于0时取正数。

3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两个数的绝对值之和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和。

二、绝对值不等式的解法思路对于绝对值不等式，我们通常采用以下思路进行求解：1. 分析绝对值的取值范围和条件：根据不等式的形式，判断绝对值函数的取值范围和条件，将不等式分解成几个子情况。

2. 分别求解子情况：对于每个子情况，利用绝对值函数的性质和数学方法求解不等式。

3. 综合得出最终结果：将所有子情况的解合并起来，得出最终的不等式解集。

下面将结合具体的例子，来展示绝对值不等式解法的具体步骤。

例一：|x+2|<5首先，我们根据不等式的形式可知，存在两种情况：情况一：x+2>0时，即x>-2将不等式转化为：x+2<5，即x<3根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：-2<x<3例二：|2x-1|≥3同样地，我们根据不等式的形式可以得到两种情况：情况一：2x-1≥0时，即x≥1/2将不等式转化为：2x-1≥3，即2x≥4，x≥2情况二：2x-1<0时，即x<1/2将不等式转化为：-(2x-1)≥3，即-2x+1≥3，-2x≥2，x≤-1根据不等式的合并规则，结合情况一和情况二的解集，最终得到：x≤-1或x≥2综上所述，通过分析绝对值的取值范围和条件，以及分别求解子情况并综合得出最终结果的步骤，我们可以解决各种形式的绝对值不等式。

绝对值不等式的解法


|x|>a (a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a
如果
a
＞0，则
x a a x a
x a x a或x a
引伸：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就 是
| 3x-1 | >2 如何解？ 解题反思：
引伸：
型如 | f(x)|<a, |f(x)|>a的不等式中 “a”用代数式替换，如何解？
例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
练习： 1、|2x-3|<5x
2、| x-1 | > 2( x-3)
3、| 2x+1 |> | x+2 |
类型2
x a x b c和 x a x b c
| 2x-50 | ≦1
反思评价我们的解题方法：
解不等式：|x-1| > |x-3|
方法一 方法二 方法三
依据： |a|>|b|
解：因为 |x-1| > |x-3|
a2>b2
所以 两边平方可以等价转化为
（x-1)2>(x-3)2
化简整理：x>2
平方法：注意两边都为非负数
解：如图，设“1”对A，“3”对应B，
⑤ 3<| 2x+1 | <5
（-3，-2）∪（1，2）
归纳：型如| f(x)|<a, |f(x)|>a
(a>0)
不等式的解法: a f ( x ) a f ( x ) a ______________ ①

解绝对值不等式的方法总结

解绝对值不等式的方法总结绝对值不等式是数学中一类重要的问题，它涉及到不等式的解法和绝对值函数的性质。

下面是解绝对值不等式的方法总结：一、定义法绝对值的定义是：|a|=a(a>0)，|a|=-a(a<0)，|a|=0(a=0)。

利用这个定义，我们可以将绝对值不等式转化为普通不等式，然后求解。

例如，解不等式|x-3|>4，我们可以转化为解不等式x-3>4或x-3<=-4，即x>7或x<=1。

二、实数性质法利用实数的性质，我们知道对于任意实数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。

这个性质可以用来解一些含有绝对值的三角不等式。

例如，解不等式|x+y|<=|x|+|y|，我们可以令x=a, y=b，得到|a+b|<=|a|+|b|，即-|a+b|<=|a|-|b|<=|a+b|，从而得到-1<=cosθ<=1，其中θ为a和b的夹角。

三、平方法对于形如|ax+b|>c的不等式，我们可以利用平方法将其转化为普通不等式。

具体地，我们先将ax+b的绝对值平方，得到a^2x^2+2abx+b^2>c^2，然后解这个普通不等式。

例如，解不等式|x+3|>4，我们先将x+3的绝对值平方，得到x^2+6x+9>16，即x^2+6x-7>0。

然后解这个不等式得到x<1或x>7。

四、零点分段法对于形如|f(x)|>g(x)的不等式，我们可以先令f(x)=0，找到可能使不等式成立的x的取值范围，然后在这些范围内分别讨论g(x)的符号情况，从而得到不等式的解集。

例如，解不等式|x^2-3x+2|>x+1，我们先令x^2-3x+2=0，得到x=1或x=2。

在区间(-∞,1)内，f(x)=-x^2+3x-2<0，所以在这个区间内不等式不成立。

在区间[1,2)内，f(x)=-x^2+3x-2>0且g(x)=x+1<0，所以在这个区间内不等式成立。

绝对值不等式的解法 课件


归纳升华 1．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不 等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何 法．分区间讨论法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图 象法直观，但只适用于数据较简单的情况． 2．几何法的关键是理解绝对值的几何意义．
类型3 绝对值不等式的综合应用(规范解答) [典例3] (本小题满分10分)设函数f(x)＝|x＋ a |－|x － 1－a|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥12的解集； (2)若对任意a∈[0，1]，不等式f(x)≥b的解集为空 集，求实数b的取值范围．
[规范解答]
(1)当a＝1时，f(x)≥
1 2
等价于|x＋1|－|x|
≥12.(1分)
①当x≤－1时，不等式化为－x－1＋x≥12，无解；
②当－1＜x＜0时，不等式化为x＋1＋x≥12，
解得－14≤x＜0；
③当x≥0时，不等式化为x＋1－x≥12，解得x≥0. (3分) 综上所述，不等式f(x)≥1的解集为－14，＋∞. (4分) (2)因为不等式f(x)≥b的解集为空集，所以b＞ [f(x)]max.(5分) 以下给出两种方法求f(x)的最大值．
法一：因为f(x)＝|x＋ a|－|x－ 1－a|(0≤a≤1)， 当x≤－ a时，f(x)＝－x－ a＋x－ 1－a＝－ a－ 1－a＜0. 当－ a＜x＜ 1－a时，f(x)＝x＋ a＋x－ 1－a＝ 2x＋ a－ 1－a≤2 1－a＋ a－ 1－a＝ a＋ 1－a. 当x≥ 1－a 时，f(x)＝x＋ a －x＋ 1－a ＝ a ＋ 1－a. 所以[f(x)]max＝ a＋ 1－a.(7分)
[典例 2] 设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．

绝对值不等式的解法


小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成 立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。
2、绝对值不等式的解法
复习：如果a>0，则
|x|<a的解集是(-a, a)； |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
数都不是原不等式的解 将点A向左移动 个单位 。 1 到点A1， 这时有 A1 A A1 B 5； 同理， 将点B向 右移动一个单位到点 1， 这时也有 B1 A B1 B 5， B 从数轴上可以看到点 1与B1之间的任何点到点 ， A A B的距离之和都小于 ； 点A1的左边或点 1的右边 5 B 的任何点到点 ， ， 的距离之和都大于 故原不等 A 。
8.解不等式:
( 2) x 2 x 3 4 解 : 当x 3时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4, x 3 5 解 得x , 即 不 等 式 组 2 x2 x3 4 的 解 集 是 ,3]. ( 当 3 x 2时, 原 不 等 式 可 化 为 ( x 2) ( x 3) 4, 3 x 2 即5 4显 然 成 立 所 以 不 等 式 组 , x2 x3 4 的 解 集 为 3,2). ( 当x 2时, 原 不 等 式 可 化 为x 2) ( x 3) 4, ( x 2 3 即x , 不 等 式 组 的 解 集 是 2, ). [ 2 x2 x3 4 综上所述 原不等式的解集是 . , R
b
x
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小结：不等式|x|<a和|x|>a (a>0)的解集。 ① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
-a
0
a
② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
2021/4/14
-a
0
a
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基础练习： 解下列不等式： （1）|x|>5 （2）2|x|<5 （3）|2x|>5 （4）|x-1|<5 （5）|2x-1|<5
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一、知识联系
1、绝对值的定义 x ,x>0
|x|= 0 ,x=0 －x ,x<0
2、绝对值的几何意义 |x|
|x－x1|
x
0
x
x1
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3、函数y＝|x|的图象
x ,x>0
y=|x|= 0 ,x=0
y
－x ,x<0
1
－1 o 1
x
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（6）|2x2-x|<1
（7）|2x-1|<1
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{x | x 5或x 5}
{x | 5 x 5}
2
2
{x | x 5 或x 5}
2
2
{x | 4 x 6}
{x | 2 x 3}
{x | 1 x 1} 2
{x | x 1}
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（4）|x-1|<5
综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
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探索：不等式|x|<1的解集。 方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
对原不等式两边平方得x2<1 即 x2－1<0 即 (x+1)(x－1)<0 即－1<x<1 所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
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探索：不等式|x|<1的解集。
方法四：利用函数图象观察
从函数观点看，不等式|x|<1的解集表示函数
y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对
应的x的取值范围。
y
所以，不等式|x|<1的 解集为{x|-1<x<1}
1
y=1
－1 o 1
x
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方法四：利用函数图象观察
这四种思路将有助于我们有效地解决含绝
对值不等式的问题。
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(7) | 3x 2 | 1
（8） | 6 - |2x+1| | >1
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三、本节小结
本节课我们通过求不等式|x|<1的解集，得 到了解含绝对值不等式的四种常用思路。
方法一：利用绝对值的几何意义观察 方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，
需要分类讨论 方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1 的点的集合。
-1
0
1
所以，不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
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探索：不等式|x|<1的解集。
方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1 ∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1 ∴ －1＜x＜0
－4 1
6
（5）|2x-1|<5 | x 1 | 5 22
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－2
1
3
2
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巩固练习：
解下列不等式：
(1) | 1 x | 1
4
2
(3) | 5x 4 | 6
(5)1 | 3x 4 | 6
(2) | x 2 | 1 33
(4) | 3 2x | 7
(6) | x2 3 x | 4
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1
二、探索解法
2
探索：不等式|x|<1的解集。
Байду номын сангаас
3 4
方法一：利用绝对值的几何意义观察
方法二：利用绝对值的定义去掉绝对值符号， 需要分类讨论
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号
方法四：利用函数图象观察
这是解含绝对值不等式的四种常用思路
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探索：不等式|x|<1的解集。 方法一：利用绝对值的几何意义观察