19.2 单缝夫琅禾费衍射

习题1919-1．波长为nm 546的平行光垂直照射在缝宽为mm 437.0的单缝上，缝后有焦距为cm 40的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。

解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离：93322546100.42 1.0100.43710f x m a λ---⨯⨯⨯∆===⨯⨯。

19-2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光的第三极亮纹与波长'630nm λ=的单色光的第二级亮纹恰好重合，求此单色光的波长λ。

解：单缝衍射的明纹公式为：sin (21)a k ϕ=+2λ， 当'630nm λ=时，'2k =，未知单色光的波长为λ、3=k ，重合时ϕ角相同，所以有：630sin (221)(231)22nm a λϕ=⨯+=⨯+，得：56304507nm nm λ=⨯=。

19-3．用波长1400nm λ=和2700nm λ=的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中1λ的第1k 级明纹中心位置恰与2λ的第2k 级暗纹中心位置重合。

求满足条件最小的1k 和2k 。

解：由11sin (21)2a k λθ=+，22sin 22a k λθ=，有：122121724k k λλ+==， ∴12427k k +=，即：13k =，22k =。

19-4．在通常的环境中，人眼的瞳孔直径为mm 3。

设人眼最敏感的光波长为nm 550=λ，人眼最小分辨角为多大？如果窗纱上两根细丝之间的距离为mm 0.2，人在多远处恰能分辨。

解：最小分辨角为：rad D 439102.21031055022.122.1---⨯=⨯⨯⨯==λθ 如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm ，人在s 远处恰能分辨，则利用：42.210lrad sθ-==⨯，当2l mm =时，9.1s m =。

19-5．波长为nm 500和nm 520的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为cm 002.0的光栅上，紧靠光栅后用焦距为m 2的透镜把光线聚焦在屏幕上。

第19章光的衍射◆本章学习目标1．了解惠更斯-菲涅尔原理；2．掌握半波带法，会分析单缝夫琅禾费衍射条纹的分布规律；3．掌握衍射光栅公式；4．了解夫琅禾费圆孔衍射条纹的分布特点，理解光学仪器的分辨率，并能进行相关计算；5．了解X射线的衍射现象。

◆本章教学内容1．光的衍射现象；2．单缝衍射圆孔衍射；3．光学仪器的分辨本领；4．衍射光栅衍射光谱；5．伦琴射线衍射布拉赫公式；6．全息照相原理。

◆本章教学重点1．夫琅和费单缝衍射；2．光栅衍射。

◆本章教学难点1．慧更斯-菲涅尔原理；2．夫琅和费单缝衍射；3．光学仪器的分辨本领；4．衍射光栅公式。

◆本章学习方法建议及参考资料1．注意讲练结合；2．要注意依据学生具体情况安排本章进度。

参考教材易明编，《光学》，高等教育出版社，1999年10月第一版§19.1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅耳原理一、光的衍射现象光波遇到障碍物而偏离直线传播，使光的强度重新分布，这种现象称为光的衍射现象.光的衍射现象可分为两种类型.一种是障碍物距光源及接收屏为有限远的衍射成为菲涅耳衍射；另一种是障碍物距光源及接收屏为无限远的衍射为夫琅和费衍射，此时入射光和衍射光是平行光. 二、惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理是拨动光学的一个基本原理，应用该原理可较好地解决光的衍射问题.惠更斯(C.Huygens)原理可以解释光经过障碍物边缘是所发生的现象，但它不能解释为什么会出现明暗相间（或彩色）的条纹.菲涅耳（A.J.Fresnel ）在波的叠加原理与干涉现象的基础上，发展了惠更斯原理.他不仅和惠更斯一样，认为波阵面（波前）上每一点都要发射子波，而且还进一步提出：从同一波阵面上各点发出的子波，在传播过程中相遇于空间某点时，可以互相叠加而产生干涉现象.此即惠更斯-菲涅耳原理.根据这个原理，衍射现象中出现的亮暗条纹，是由于同一波阵面上发出的子波产生干涉的结果.如果已知波动在某时刻的波阵面为S ，就可以计算波动传到S 面前方给定点P 时振动的振幅和周相.（1）波阵面S 上任意一面元dS 发出的子波在空间一点P 所产生振动的振幅，正比于此面元的面积dS ，反比于该面元到P 点的距离r ，并且与面元dS 对P 点的倾角θ有关(如图1)；dS 发出的子波到达P 点的位相，取决于面元dS 的位相和面元到P 点的距离r .所以dS 在P 点产生的振动可表示为dS rT t r k Cdy )(2sin )(λπθ-= （19-1） 其中)(θk 为随θ角增大而缓慢减小的函数，C 为比例常数.图 1 惠更斯-菲涅耳原理（2）整个波阵面S 在P 点所产生的振动，等于此波阵面上所有面元dS 发出的子波在该点所产生的振动总和，即 ⎰⎰-==SSdS rT t r k Cdy y )(2sin )(λπθ （19-2） 一般来说，上式积分相当复杂，但在波阵面已通过P 的波面法线为轴而有回转对称的情况下，可以用代数加法和矢量加法来代替积分.§19.2 单缝衍射 圆孔衍射一、夫琅和费衍射当平行光垂直照射在单缝上，衍射后经透镜会聚后在焦平面处的屏幕上呈现出衍射条纹.刺即夫琅和费衍单缝衍射，简称为单缝衍射.单缝衍射条纹的形成及光强分布可以用菲涅耳波带法定性研究和积分法定量研究，而我们仅用菲涅耳波带法进行定性研究.单缝衍射图样的形成及特点，如图 2所示，设单缝的宽度为a （实际的单缝是一个长度比宽度大的多的长方形孔），入射光波长为λ.在平行单色光的垂直照射下，单缝所在处的平面AB 是一个波阵面，根据惠更斯原理，波阵面AB 上各点发射的初相位相同的子波即衍射光线向各个方向传播，方向相同的一组衍射光线经透射镜2L 会聚与屏幕E 上同一点，不同方向的衍射光线分别会聚在屏幕E 上不同位置.衍射光线的方向用衍射光线与缝平面发线的夹角φ表示，叫做衍射角.当衍射光纤1与入射光线方向相同，即衍射角0=φ时，从波阵面AB （同位相面）到达0P 点的光程相等，即光程差等于零，故各衍射光线到达0P 点时同相位.因此，他们在0P 点的波振动相互加强，在屏幕E 上0P 点处就形成平行于缝的明条纹，称为中央明纹.当衍射光线与入射光线方向不同，即衍射角φ为任意值时，相同衍射角的光线2经透镜2L 汇聚于屏幕E 上某点P ，由缝AB 上各点发出的衍射光线到达P 点的光程不相等.过A 点作AC 线垂直于衍射光线2，由透镜的等光程性可知，从AC 面上，各点到达P 点的光程相等，所以各衍射线间的光程差就由它们从缝上的相应位置到AC 面的距离之差来确定，而单缝两端点A 和B 点衍射线间的光程图 2 单缝衍射图样的形成差为φsinaBC=显然，这是沿衍射角φ方向的最大光程差.费涅耳采用将波阵面分割成许多面积相等的波带的方法，即菲涅耳波带法，定性地解决了上述问题.菲涅耳波带法：用一组间距为半波长的平行于AC的平面把BC分成若干相等的部分，同时，这些平面也把单缝AB处的波面分成数目相等的波带，因为每个波带的面积相等，所以每个波带发生的子波数可以认为是相等的，这时BC相当于两个半波长.由于两相邻波带上任何两个对应的点各自发出的光线，从出发点到P点的光程差总等于半波长，即在P点会聚时周相差总等于π，因此他们在P点的光振动是相互抵消的，于是P点处出现暗条纹.如果将AB分为三个波带，则BC相当于三个半波长.显然，相邻两个波带发出的光线在屏幕E上会聚点P 的光振动可以互相抵消，但由于是奇数个半波长，因此在P点总有一个半波带的振动存在，因此在P点处出现明条纹.因屏上各点与衍射角φ一一对应，不同φ角又对应缝AB按半波带的不同分割情况.当φ角由小变大，对应的衍射线间的最大光程差BC逐渐增大，缝可分成的半波带数也由少到多，在屏幕上显示明暗条纹的分布而形成单缝衍射图样.由此可见，对于某一给定的φ，光程差BC恰等于半波长的偶数倍，单缝恰被分为偶数各波带，其发出的光线在P点的振动都成对地相互抵消，而在P点处出现暗条纹.若光程差BC等于半波长的奇数倍，单缝却被分为奇数个波带，光振动相互抵消的结果总要剩下一个波带发出的光线在会聚点P没有被抵消，因而P点处出现明条纹.即Iφsinaλ-λ2-λ3-λλ2λ3图 3 单缝衍射条纹中光强分布⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+±==±==）明纹，（）暗纹，（，零级明纹（中央明纹）K K ,3,2,12)12(sin ,3,2,122sin 0sin k k a k k a a λφλφφ （19-3）式中正、负号表示各级衍射条纹对称地分布在中央明纹两侧.条纹及光强分布如图 3所示，由中央到两侧，条纹级次由低到高，光强迅速下降.而中央明条纹集中了大部分光能，最亮，同时也最宽.这是由于k 增大，单缝被分成的波带数就越多，即衍射角越大，每一个带的面积就越小，而未被抵消的波带面积也就越小，所以光强迅速由最大值减小到零.条纹宽度：条纹对透镜2L 光心所长的角度称为条纹的角宽度.由于中央明纹位置满足λφλ<<-sin a .在夫琅和费单缝衍射中，φ一般很小，则φφφ≈≈tan sin ，于是角宽度 aa a λλλδφ2)(0=--=. (19-4) 第k 级明条纹位置在φ很小时满足 aa k a k λλδφ=-+=10. (19-5) 可见中央明纹的宽度是其他明纹的两倍.当波长λ不变时，各级条纹的角宽度δφ与缝宽a 成反比，即a 越小，条纹铺展愈宽，衍射数应愈显著；反之，衍射效应减弱.当λ>>a 时，0≈aλ，各明纹向中央明纹靠拢而形成一亮斑，光线呈现出光的直线传播，波动光学趋于几何光学.当缝宽a 不变时，各级条纹的位置和角宽度因波长而异.若用白光做光源，各种波长的中央明纹仍为白色，而中央明纹边缘伴有彩色，其他各图 4 例题 19.1 用图级明纹成为彩色条纹并将出现重叠的现象.例题 19.1 用波长nm 8.632=λ的平行光垂直入射到宽为mm a 1.0=的单狭缝上，缝后放置一焦距cm f 40=的透镜.求在透镜焦面所形成的中央明纹的线宽及第一级明纹的位置.解：单缝衍射中央明纹的线宽度0x ∆应等于焦平面上两个第一级暗条纹的距离.如图 4所示，设第一级暗纹角位置为1φ，到焦平面中心的距离为1x ，则有110tan 22φf x x ==∆.由（19-3）式有第一级暗纹角位置1φ为 λφ=sin a .因在夫琅和费单缝衍射中，一般φ很小，有1sin tan φφ≈，由此关系并由上两式可得中央明纹线宽度mm m m aff x 1.5101.5101.0108.63210422sin 2439210=⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯==≈∆----λφ设焦平面上第一级明条纹的角位置为1φ'，到中心O 的距离为1x '，则有11tan φ'='f x . 由（19-3）式，1φ'应满足λφ23sin 1='a . 因1φ'很小，11sin tan φφ'≈'，则焦平面上第一级明纹位置)(8.3)(1.5434323sin 011mm mm x a f f x x ±=⨯±≈∆±=±='±='±=λφ二、夫琅和费圆孔衍射图 5（a ）实验装置简图图 5（b ）爱里斑如图 5（a ）所示，用一圆孔代替单缝，同样也会产生衍射现象，此就是夫琅和费圆孔衍射.当用单色平行垂直照射到小圆孔上时，若在圆孔后放置焦距为f 的透镜2L ，则在透镜的角平面处的屏幕E 上出现明、暗交替的圆环.中心光斑最明亮，叫爱里（G.Arry ）斑，其光强分布如图 5（b ）所示.第一暗环里的角位置（衍射角）φ与圆孔直径D 及入射的单色光波长满足λφ22.1sin =D可见，第一暗环的大小（即爱里斑的大小）和圆孔直径D 成反比.如果λ>>D ，则0≈φ，此时爱里斑缩至0P 点，结果在0P 出形成一亮点，此即光源S 经透镜1L 和2L 所造成的像.此时，波动光学过渡为几何光学.而式中φ为爱里斑的直径d 对透镜中心张角的一半。

物理实验居家单缝夫琅禾费衍射实验数据及完整实验报告和结论2020年春季大学物理实验单缝夫琅禾费衍射专业班级：学号：姓名：日期：实验名称：单缝夫琅禾费衍射实验目的：观察激光通过单缝后的夫琅禾费衍射现象，测量出单缝宽度参考时，麻烦注意数据和格式的替换，楼主也是学生党，这是我自己的实验报告实验仪器材料：激光笔、书本、墙壁、皮尺、胶水、直尺实验方案设计：1.设单缝宽度AB=a，单缝到接收屏之间的距离是L，衍射角为Ф的光线聚到屏上P 点，P点到中央明纹中心距离X K，那么A、B出射光线到P点的光程差则为asinФ2.当光程差是半波长的偶数倍时形成暗纹，由于Ф很小，asinФ≈aX K /L，即当aX K /L=kλ时，出现暗纹，由此得到单缝宽度：a=LKλ/ X K实验过程：参考时，麻烦注意数据和格式的替换，楼主也是学生党，这是我自己的实验报告1. 用两张银行卡自制狭缝，并用书本固定，激光笔发出红光，照射狭缝，调整远处墙壁可初步观察到明显的夫琅禾费衍射现象2. 测量狭缝和墙壁的距离L，测量暗环中心到中央明纹中心的距离X K，可选择第1级（K=±1）或第2级（K=±2）暗纹，共测量5次，取平均值3. 通过上述公式计算出狭缝宽度，激光波长参考：红光650nm问题：手持激光笔摇晃严重，增加测量难度；办法：用胶水固定激光笔数据分析处理：参考时，麻烦注意数据和格式的替换，楼主也是学生党，这是我自己的实验报告将上述实验数据代入公式a=LKλ/ X K，可以得到K=1时，计算得到狭缝的宽度为0.455mm；K=2时，计算得到狭缝的宽度为0.456mm K=3时，计算得到狭缝的宽度为0.455mm综上，测量得到狭缝的宽度为0.455mm实验小结：激光笔红光波长与参考值存在误差；狭缝和墙壁的距离L因皮尺精度有限，读数不准虽然大学物理的课程未涉及本次实验知识，但通过这次实验也让我对光学相关知识有了更深层次的了解，提高了兴趣-全文完-。

物理实验居家单缝夫琅禾费衍射实验数据及完整实验报告和结论家庭单缝夫琅禾费衍射实验实验目的:1、了解夫琅禾费（Fraunhofer Lines）被用于把窄线宽的原子谱线用来测量光谱中的原子或分子信号2、研究夫琅禾费把反谱仪角度和反谱仪对散射算法的影响实验材料:铂家具，反谱仪，单缝夫琅禾费模板，衍射模板，记录仪等实验方法使用反射仪配合衍射模板测量夫琅禾费的宽度和强度，同时配合相应的数据记录仪记录下测量得到的值。

首先，我们调整反射仪角度，使其与衍射模板对齐，然后将反射仪射线对准夫琅禾费模板，根据数据记录仪记录的测量值，推算出窄线宽的夫琅禾费。

然后，我们可以确定单缝夫琅禾费模板反射仪角度和反射仪对散射算法的影响。

最后，我们可以使用夫琅禾费把反谱仪角度和反谱仪对散射算法进行测量，记录数据，并比较结果。

实验结果通过实验，我们测量出夫琅禾费窄线宽的宽度，测量结果如下所示：第一组：夫琅禾费宽度为0.64 nm。

第二组：夫琅禾费宽度为0.62 nm。

第三组：夫琅禾费宽度为0.61 nm。

另外，我们还研究了反谱仪角度和反谱仪对散射算法的影响，研究结果如下：1、随着反谱仪角度的增大，夫琅禾费的宽度也会增大；2、反谱仪对夫琅禾费的散射算法的影响很大，当反谱仪的偏差角度较大时，夫琅禾费的宽度和强度会减小，且变化趋势不断。

结论本次实验通过配合衍射模板测量夫琅禾费的宽度和强度，我们可以推算出窄线宽的夫琅禾费。

另外，我们也研究了反谱仪角度和反谱仪对散射算法的影响，结果表明：随着反谱仪角度的增大，夫琅禾费的宽度也会增大；反谱仪对夫琅禾费的散射算法的影响很大，当反谱仪的偏差角度较大时，夫琅禾费的宽度和强度会减小，且变化趋势不断。

本次实验为理解夫琅禾费的原理，及其对光谱中原子或分子信号的测量提供了重要的实验经验。

夫琅禾费单缝衍射公式1. 什么是夫琅禾费单缝衍射？好家伙，今天咱们聊聊一个神奇的现象——单缝衍射。

别看名字听起来复杂，实际上这就是光的一种神奇行为。

想象一下，你在阳光下打着一个小小的洞，光透过这个缝隙后，就像水流过一个狭窄的地方一样，开始波动。

这种波动就叫“衍射”，而夫琅禾费则是这项技术的老前辈之一，给它起了个名字，听起来特别牛逼！在科学的世界里，夫琅禾费就是个大佬，他发现了光在通过狭缝的时候，会像一个大明星一样，开始发散、变形，最后形成一些特别有趣的图案。

简单点说，就是光并不总是直线走，它也喜欢在缝隙中“逛逛”，变得有些“顽皮”。

这可不是光的任性，而是它的本性。

2. 单缝衍射的公式好吧，话不多说，进入正题。

单缝衍射的公式其实也不难理解。

公式的样子是这样的：a sin theta = n lambda 。

这里的“a” 是缝的宽度，“θ” 是衍射角，“n” 是一个整数，代表衍射的级数，“λ” 则是光的波长。

听起来有点复杂，但别担心，咱们慢慢来，像吃麻辣火锅一样，细嚼慢咽！首先，缝的宽度“a”就像是一个小小的门，越窄，光透过后就越疯狂。

如果你把门打开得大一点，光就乖乖的直走，没什么好玩的。

如果门太小，光一进去就开始“逛”，形成了一个个花花绿绿的光斑，像是在开派对，特别热闹！然后是“θ”，就是光散开的方向。

光是个调皮捣蛋的家伙，喜欢向不同的方向乱跑，而“θ”就是记录这些方向的好帮手。

每当你看到那些漂亮的条纹图案，实际上就是光在争先恐后想要找到出口的结果。

3. 衍射现象的应用说到这里，很多朋友可能会问：“这个衍射有什么用啊？”嘿嘿，别着急，应用可多了去了！首先，单缝衍射在科学实验中可是个老帮手，尤其是在光学仪器中。

比如，显微镜和望远镜就常常用到这招，帮我们看清那些微小的细节。

再者，衍射现象也应用在音乐里。

听过古典音乐的朋友可能会发现，音色的变化和光的衍射有异曲同工之妙。

音乐的和声就像光的干涉，让不同的音波交织在一起，产生出美妙的旋律。

夫琅禾费单缝衍射解释依据夫琅禾费单缝衍射是指在光学镜片或其他光学元件中的缝隙处，光线在进入或离开这些元件时发生的衍射现象。

这种现象常见于光学镜片、光纤、晶体、半导体器件等光学元件中，并在日常生活中也有许多应用。

夫琅禾费单缝衍射解释依据主要源于波动电磁学理论，即光是一种电磁波，具有波长和频率的特性。

在光学镜片或其他光学元件中的缝隙处，光线会受到环境中物体的干扰，使其在空间中传播的路径发生变化，产生衍射现象。

夫琅禾费单缝衍射可以通过几何光学理论来解释。

根据几何光学的原理，光线在进入或离开光学元件时，其方向会受到物体的干扰而发生改变。

这种改变的程度取决于光线与物体的入射角度以及物体的形状和尺寸。

当光线与物体的入射角度较小时，其方向改变较小，衍射现象较弱；当光线与物体的入射角度较大时，其方向改变较大，衍射现象较强。

因此，夫琅禾费单缝衍射的强度与光线与物体的入射角度有关。

此外，夫琅禾费单缝衍射还可以通过电磁学理论来解释。

电磁学理论认为，光是一种电磁波，具有波长和频率的特性。

当光线在进入或离开光学元件时，其会受到物体的电磁场干扰，使其方向发生改变。

由于光线的波长不同，其在物体电磁场中的反应也不同，因此夫琅禾费单缝衍射的强度也与光线的波长有关。

当光线的波长较短时，其受到物体电磁场的干扰较强，衍射现象较强；当光线的波长较长时，其受到物体电磁场的干扰较弱，衍射现象较弱。

夫琅禾费单缝衍射在日常生活中有着广泛的应用，例如在光学镜片、光纤、晶体、半导体器件等光学元件中都有着重要的应用。

此外，夫琅禾费单缝衍射还可以用于光学测量、光学通信、光学显示器件等领域。

总的来说，夫琅禾费单缝衍射是指在光学镜片或其他光学元件中的缝隙处，光线在进入或离开这些元件时发生的衍射现象。

夫琅禾费单缝衍射的解释依据主要源于波动电磁学理论和几何光学理论，并在日常生活中有着广泛的应用。

16.2单缝和圆孔的夫琅禾费衍射2622单缝的夫琅禾费衍射(1)单缝衍射的实验装置和现象夫琅禾费衍射是平行光的衍射，在实验中可借助于两个透镜来实现。

位于物方焦面上的点光源经透镜Li后成为一束平行光，照射在开有一条狭缝的衍射屏上。

衍射屏开口处的波前向各方向发出子波或衍射光线，方向相同的衍射光线经透镜L2后会聚在象方焦面上的同一点，各个方向的衍射光线在屏幕上形成了衍射图样，它在与狭缝垂直的方向上扩展开来。

衍射图样的中心是一个很亮的亮斑，两侧对称地分布着一系列强度较弱的亮斑，中央亮斑的宽度为其他亮斑的两倍，且它们都随狭缝宽度的减小而加宽。

如果用与狭缝平行的线光源代替点光源，则在接收屏幕上将会看到一组平行于狭缝的衍射条纹。

图16-4单缝的夫琅禾费衍射(2 )单缝衍射的光强分布公式考虑点光源照明时的单缝夫琅禾费衍射。

取z轴沿光轴，y轴沿狭缝的走向，x轴与狭缝垂直。

因为入射光仅在x方向受到限制，衍射只发生在x-z平面内，因此具体分析可在该平面图中进行。

按惠更斯菲涅耳原理，我们可以把单缝内的波前AB分割为许多等宽的窄条，它们是振幅相等的相干子波源，朝各个方向发出子波。

由于接收屏幕位于透镜L2的象方焦面上，因此角度相同的衍射光线将会聚于屏幕上同一点进行相干叠加。

图16-5衍射矢量图设入射光与光轴Oz平行，则在波面AB上无相位差。

为求单缝上、下边缘A和B到点的衍射光线间的光程差L和相位差，自A点引这组平行的衍射光线的垂线AN，于是就是所要求的光程差。

设缝宽为b，则有(16.4)(16.5)矢量图解法：用小矢量代表波前每一窄条对点处振动的贡献，由A点作一系列等长的小矢量，首尾相接，逐个转过相同的小角度，最后到达总共转过B占，八、、的角度就是单缝上、下边缘到点的衍射光线间的相位差•若取波前每一窄条的面积，则由这些小矢量连成的折线将化为圆弧，其圆心角2二.由于整个缝宽AB内的波前在点处产生的合振幅等于弦长，而在的点处的合振幅Ao等于弧长，故有其中(16.8)(16.6)(16.7)单缝夫琅禾费衍射的光强分布公式：利用，而表示中央亮斑中心0处的光强，由式(16.6)可得(3 )单缝衍射光强分布的特点单缝的夫琅禾费衍射图样的中心有一个主极强(零级衍射斑)，两侧都有一 系列次极强和暗斑。