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第六章微分中值定理及其应用

§1

Lagrange 定理和函数的单调性

一、Roll 中值定理与Lagrange 中值定理

定理6.1 (Roll 定理) 若f 满足：（1）f [],C a b ∈ （2）f 在(),a b 可导（3）()()f a f b =，则()(),,.,0a b s t f ξξ'?∈=

证明：[],,f C a b ∈ 故f 必在[],a b 有最大值M 和最小值m ，若M=m ，则

f 为[],a b 上的常值函数，结论显然；若M ≠m,则M 与m 必有其一在(),a b 内部

某点ξ取得，故ξ为必极值点，由Fermat Th 知 ()0f ξ'=.

例1 f 在R 上可导，若()0f x '=无实根，则()f x =0至多只有一实根定理6.2（Lagrange Th ）若f 满足1）[],f C a b ∈，2）(),f a b 在可导，

则()()()()

,..

f a f b s t f b a

ξξ-'?∈=-a,b —— Lagrange 中值公式

证明：作辅助函数()()()()()

()f b f a F x f x f a x a b a

-=----即可。

Lagrange 中值公式的基本形式

()()()()()

()()()()()()()(),,,01,01f b f a f b a a b f b f a f a b a b a f a h f a f a h h ξξθθθθ'-=-∈'-=+--<<'+-=+<< 例2 证明对一切h>-1,h ≠0

成立不等式

()ln 11h

h h h

<+<+ 证明：考虑函数()()ln 1f x x =+,x 在0与h 之间，显然在0到h 组成的闭区间上连续，开区间上得()()ln 1ln 1ln1.011h

h h h

θθ+=+-=

<<+，当h>0时，11.h h θ+<+11h h h h h

θ∴

<<++ ①；当-11+θh>1+h>0 11h h h h h θ∴<<++ ②；由①②知，当h>-1时,且h ≠0时, ()ln 11h h h h

<+<+ 推论1 若f 在区间I 上可导，且()'0.f x ≡ 则f 为I 上的一个常量函

数.

证：1,2x x ?∈I ,设12x x <，则f 在]12,x x ??上满足Lagrange 中值定理的条件.

)(12,x x ξ∴?∈, s.t.()()()()2121'0f x f x f x x ξ-=-= ；()()12f x f x ∴= 这说明I 上任意两点处f 的值皆相等，故f 在I 上为常量函数.

例证明：在]1,1?-?上恒有 arcsin arccos 2

x x π

+= 证明：设()f x =arcsin arccos x x + ]1,1x ?∈-?,则f(x)在[-1,1]上连续,在[-1,1]可导.且(

)'0f x ??

=+≡ ?， ()f x c ∴≡ ]1,1x ?∈-? 而()02

f π

, ()arcsin arccos 2

f x π

θθ∴=+≡

推论2 若f ，g 在I 上皆可导，且()()''f x g x =，则在I 上()f x 与()g x 至多只相差一个常数，即 ()()f x g x c =+（c 为常数）

推论3 （导数极限定理）设f 在0x 的某邻域()0U x 内连续,在()00U x 内可导，且()0

lim 'x x f x →存在，则f 在0x 可导，且()()0

0'lim 'x x f x f x →=

证明：按左右导数证之.()00x x +?∈?,f 在[]0,x x 上满足Lagrange 定理条

件，)(0,x x ξ∴?∈, s.t. ()()()00

'f x f x f x x ξ--- 又0x x ξ<< ，∴当0

x x +

→时，0

x ξ+

→，对上式两边取极限. 设()()

()()()0

000lim lim 'lim ''0x x x x x f x f x f f f x x x ξξξ+

→→→-===+-，同理可设 ()()00''0f x f x -=- ，又()0

l i m 'x x f x →存在,记为K ，故 ()()00'0'0f x f x K +=-=

()()()()0

000'''lim 'x x f x f x K f x K f x +-→∴==∴==

例3 求分段函数2

sin 0()ln(1)

x x x f x x x ?+≤=?

+>?的导数.

解:略

定理区间I 上处处可导的函数f 其导函数在I 上不可能有第一类间断点.

二、单调函数

定理6.3 设f 在I 上可导，则f 在I 上递增（减）的充要条件是()()'00f x ≥≤

证明：若f 为增函数，0.x ?∈I 当0x x ≠时，

()()

0f x f x x x -≥-，由不等式性

知()()

()0

000

lim

'0x x f x f x f x x x →-=≥-，

反之，若f 在I 上恒有()'0f x ≥，则对12,,x x ?∈I 且1 2.x x <对f 在]12,x x ??上用Lagrange 中值定理，当)(12,x x ξ∈,s.t.

()()()()2121'0f x f x f x x ξ-=-≥()()21f x f x ∴≥ f ∴在I 上增。

例4 设f(x)=x 3-x, 试讨论函数f(x) 的单调区间.

定理6.4 若f 在)(,a b 内可导，则f 在)(,a b 内严格单增（单减）的充要条件是(ⅰ) )(,.x a b ?∈ ()'0f x ≥

(ⅱ) 在)(,a b 内的任何子区间上()'0f x ≠

推论若f 在区间I 上可微，若()()()'0'0f x f x ><则f 在I 上严格递增（递减）

例5 证明不等式 e x >x+1, x ≠0.

复述定理6.4及推论

例1. 设0)(..).,(.0)()(].,[2>∈?===c f t s b a c b f a f b a D f 且，

证明：(,)...

"()0a b s t f ξξ?∈< 证明：[,]f a b Lagrange 对在上用中值定理有1()()'()()f c f a f c a ξ-=-

1(,)a c ξ∈，0.()()()0c a f c f a f c ->-=> ，1'()0f ξ∴>，[,]c b 在上有：

22()()'()().(,)f b f c f b c c b ξξ-=-∈，2'()0f ξ∴<，12[,]'f ξξ在上对用 Lagnrange 中值定理，212112'()'()"()().(,)f f f ξξξξξξξξ-=-∈设"()0f ξ∴<

例2 (,)''(,)f a b f f a b 设在可导,且单调,证明在连续. 例3 3,0.0a b x ax b >++=设证明方程不存在正根.

例4tan (0,)sin 2

x x

x x x

>∈证明

证明：2tan sin x x x ?>即证，2()tan sin f x x x x =-设，

()0.(0,),(0)02

f x x f π

>∈=要证，2'()sec sin tan cos 2f x x x x x x =?+-

2sin sin 2cos sin 1sin cos 2cos cos cos 1

tan (cos )2cos x

x x x x x

x x x

+-=?+-=+-

1(0,)tan ,cos 22cos x x x x π>+≥在中又，'()0(0,)2f x x π∴>∈，又(0,)2

π中

1tan ,cos 2cos x x x x >+≥又，()0,0(0,)2

f x π

'∴>∈，0f x =又在连续，

f π??

∴????

在0,是严格单增2，()0f x >故.

§2 Cauchy 中值定理和不定式极限

一、 Cauchy Th

设f g 和满足： )i 在[],a b 上都连续；()),ii a b 在上都可导；

()())iii f x g x ''与不同时为零；()())iv f a g b ≠ ； ()()()()()

()()

,..f f a f b s t

g g b g a ξξξ'-?∈=

'-则a,b 证明：作辅助函数()()()()()

()()

()()()f b f a F x f x f a g x g a g b g a -=----，易知

[],F a b 在上满足Roll 定理的条件，故有结论。

注： 1）可否对f g 和分别用Lagnange 中值定理证之 2）几何意义

()()[]:,u g x C x a b v f x =??∈?=??

()()(),B g b f b ()),f a

()()()()f b f a g b g a --表弦AB 的弦率，()()x dv

ξξ='=

'f g ，

例1 证明：[]()()(),,0,,,,.f C a b a f a b a b s t ξ∈>?∈在可导，则.

()()()b

f b f a f In a ξξ'-= 即证 ()()()1f b f a f Inb Ina

ξξ

'-=

- 证明： ()[],,,g x Inx f g a b =设于是在上一起满足Cauchy 中值定理的条件，即证。

二、不定式极限 00∞

∞

，（L Hospital '法则）

1、 0

型不定式极限

定理6.6 若,f g 满足：()()0

)lim lim 0x x x x i f x g x →→==；

()()000),,0,ii x U x f g g x '=在点的某领域皆可导，且 ()

()

)lim

(x x f x iii A A g x →'=±∞∞'可为实数，也可为或）

()()()

()

00lim lim x x x x f x f x A g x g x →→'=='则证明：补充定义()()0000,,f x g x f g x ==则皆在连续，对()00x U x ?∈，

[][]00,(,)x x x x 在或上用 Cauchy 中值定理得：

()()()()

()()()

()

00,f x f x f x f g x g x g x g ξξ'-=='- 00x x x ξ→→故当时，也有 ()()

()()()

()0

00lim

lim lim x x x x x x f x f f x A g x g g x ξξ→→→''==='' . 注：1）定理中00,x x x x x ±→→→±∞若改为，,x →∞只要修改条件

()ii 中的领域，

结论也成立

()()

2lim

x x f x g x →''）若仍为0

0型不定式，可再次用L Hospital '法则

例2 求x

x x 2tan cos 1lim 0+→

例3 求()

()

12lim

x e x In x

→-++

解：

()()()

()0221

012022

010112.2122lim

lim

2x x x x x In x x x e x e x x x

?? ???

→→+→-+-+∴=等价与原式=

()03

012lim

x e x ??

- ???

→++==

例4 求e

x x

→

lim

2、

∞

型不定式集极限定理：若,f g 满足()i ()()00

lim lim x x x x f x g x ++→→==∞； ()ii 在0x 的某邻域()0U x +内,f g 可导，且()0g x '≠

()iii ()

()

0lim

x x f x A g x +→'=' ()A ∞∞可为定数或+，则()()()

()

0lim lim x x x x f x f x A g x g x +

+→→'==' 证明：证A 为定数的情形，由()iii ，对()100,x U x ε+?>?∈当x 满足01

x x x <<时有

()()()2

f x A

g x ε'-<*'，由()ii ，对,f g 在[]1,x x 上用Cauchy 中值定理，即

[]1,x x ξ?∈ .

st ()()()()()

()

11;

f x f x f

g x g x g ξξ'-='-

由 ()*有：()()()()112

f x f x A

g x g x ε

--<-，

由

()()()()()()()()()()()

()

1111111g x f x f x f x f x f x g x f x g x g x g x g x g x f x ---=?--- 0,.s t σσ∴?>001当x

()()()()()()()()()()()()111122

f x f x f x f x f x f x A A

g x g x g x g x g x g x εε

ε---≤-+-<+=-- ()()()()00lim lim x x x x f x f x A g x g x ++→→'==' 3、其它类型不定式极限

还有∞-∞∞∞?∞,,0,1,000等型不等式，主要通过将其转化为0,0∞

∞

型来

处理。

例7 求0

lim ln x x x x +→

例8 求()1

lim cos x x x →

解：此为1∞

型()()()1

cos lim

lim cos cos 0

lim x x x x In x In x In x x x e e e →→→==原式=

()0()0

20001

sin cos 1tan 1cos lim lim lim 222

x x x x In x

x x x x →→→-==-=-而

e -

∴=原式

例9 求x

x x ln 10

sin lim +→+

（ k 为常数）

例10 求x

x x x ln 12

)

1(lim +++∞

→

例11 )ln 111(

lim 1

x x --→ 例12 设()()

,00,0g x x f x x x ?≠?

=??=?且已知()()()()000,03,0g g g f ''''===求

解：

()()()()()()()()20

00000113

0lim

lim lim lim 2222

x x x x f x f g x g x g x g f g x x x x x →→→→'''--'''======

例13 求211lim 1n

n n n →∞

++ ???

解：先求211lim 1,x

x x x ∞→+∞

++ ???

此为1型

()21

11212220

111111111lim 1lim lim 1x

xIn x x t x x x t e x x In In t t x x xIn x x t

++ ?

????= ???

→+∞→∞

→??++= ???

??++ ?

++??

??++== ???而

()0021

121lim 11

t o t t t +

?? ???

→+++== 21lim 1x

x x e x →∞?

?∴++= ??

?e =由归结原则，原式

§3 Taylor 公式

多项式逼近函数为其实质

一、带有Peano 型余项的Taylor 公式

f 在0x 可微，则()A x o x ?=?+?

)())(()()(000'0x x x x x f x f x f -+-+=ο

用一次多项式))(()(00'0x x x f x f -+代替)(x f ，误差为)(0x x -一次项的高阶无穷小，对实际问题需要误差更高阶无穷小ο为此，设

n n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+= )(x P n 在0x 的各阶导数分别为

'"'''()0102030(),()2,()3!,,()!n n n n n n P x a P x a P x a P x n a ====

即)(0)

0(0x P a n

= ，)(0'1x P a n

= ，!2)(0"2x P a n = ，…，!

)(0)(n x P a n n n = )(A

这说明，多项式)(x P n 的各项系数由)(x P n 在0x 的各阶导数以唯一确定。对于一般函数，设其在0x 有直到阶导数，于是可以形式地放到一个多项式

n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00"00'

0-++-+-+= (B)

称(B)为f 在0x 的Taylar 多项式

)(x T n 的多项式系数

)

(0)

(k x f

k ，),2,1(n k =称为Taylor 系数，然后)(x f 是否等于)(x T n ，若不等，误差应是多大呢？定理6.8 若函数在0x 存在直到n 阶导数，则有

))(()()(0n n x x x T x f -+=ο 即为

)

)(()(!

))(()(!2)())(()()(0000)(2

00"00'

0n n n x x x x n x x x f x x x f x x x f x f x f -+--++-+-+=ο 证明：)()()(x T x f x R n n -= n n x x x Q )()(0-= 要证0)()

(lim )()(lim

00=-=→→n

n x x n n x x x x x R x Q x R

证由)(),(B A 可知 )()(0)(0)(x T x f k n k = k=0、1、2…n

故 0)()()(0)

(0'0====x R x R x R n n n n 又显然有0)()()()1('====-x Q x Q x Q n n n n 而!)(0)(n x Q n n =

由)(0)

(x f

n 存在，故在点0x 的某邻域)(0__

x U 内f 存在1-n 阶导函数)()1(x f n -，当

)(0__

x U x ∈，且0x x →时，对不等式)()

(lim

0x Q x R n

n x x →，连续使用1-n 次Hospital L '法则

可证)0

()()(lim 0=→x Q x R n n x x )()(lim ;

0x Q x R n

n x x →)0

0(== )()

(lim )1()

1(0x Q x R n n n n x x --→ )

())()((lim )1()

1(0

x Q x T x f n n n n x x --→-= )

(2)2)(1()

)(()()(lim

000)(0)1()1(0x x n n n x x x f x f x f n n n x x ------=--→

)]()()([lim !1

0)(0

0)1()1(0x f x x x f x f n n n n x x ---=--→ 0=

∴ )()()(x T x f x R n n -=))((0n x x -=ο 即

)

)(()(!

)

)(()(!

2)())(()()(0000)

(200"00'

0n n n x x x x n x x x f

x x x f x x x f x f x f -+--+

+-+-+=ο 注1 若f 在0x 附近满足))(()()(0n x x x P x f -+=ο

其中，)(x P n 为)(0x x -的n 次多项式，但)(x P n 未必是f 的Taylor 多项式例当)()(1x D x x f n += )(+∈N n

D 为Dirichlet 函数，f 在0=x 处只有一阶导函数0)('=a f 而无其他

阶导数

然而0)(lim )

(lim 010==→+→x xD x

x D x x n n x )()(n x x f ο=∴

若改0000)(=+++=n n x x x P 就有)()()(n n x x P x f ο+=

但)(x P n 非f 的Taylor 多项式，即)(x P n 不等于)(x T n

注2 f 的带有Peano 型余项的次逼近多项式是唯一的，即)(x T n 注3 当00=x 时，公式)(B 变为

)(0!

)0()0()0()()

n n

n x x n x f

x f f x f ++

++= 称f 为的Maclaurin 公式

该记忆的几个基本函数的Maclaurin 公式

① )(!

n n

x n x x x e ο+++++= ②)()!

12()1(!5!3sin 2)

12(153m m m x m x x x x x ο+--+++-=--

③)(!2)1(!4!21cos 2)

2(42m m m x m x x x x ο--+-

= ④231ln(1)(1)()23n

n n x x x x x x n

ο-+=-+-+-+

⑤2(1)

(1)(2)(1)

(1)1()2!

n n n x x x x x n ααααααααο----++=++++

⑥

)(111

2n n x x x x x

ο+++++=- 验证，② ④

证明②)2

sin()(sin )(x k x k +=π

n k ,2,1,0= 0)0()2(=k f 1)12()1()2

sin()0(---=-=k k k f π

???

???--===

--=)!12()1(0)!2(|)(sin 1

)2(2k a k x a k k x k k n k ,2,1,0= 代入即证例②

例2 写出2

2)(x e x f -

=的麦克劳林公式，并求)0()98(f 与

)0()99(f . 例3 求

ln 在x=2处的泰勒公式.

例4 求极限4

cos lim

x e

x x x -→-. 二、带Lagrange 型余项的Taylor 公式

定理6.9 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶连续导数，在()h a ,内有1+n 阶导数，则对任意给定的[]b a x x ,,0∈至少存在一点()b a ,∈ξ，使得

()x f =()()()()() +-''+

-'+00000!2x x x f x x x f x f +()

()n n x x n f 0!

- +

()()()()()

10101)(0!

1+++-+-+n n n x x x x n x f 证：作辅助函数

()()()()()()()()()()??

????-++-''+-'+-=n n t x n t f t x t f t x x f t f x f t F !!22

()()1+-=n t x t G ，于是要证

()()()()()()()()()()??????-++-''+-'+-=n n t x n t f t x t f t x x f t f x f t F !!22

=()()()()()()()()011

01!1!1x G n f x x n f n n n +=-++++ξξ

或 ()()())!

1(100+=

+n f x G x F n ξ，不防设x x <0 G F ,∴在[]x x ,0连续，在()x x ,0可导，而

()(){()()()()()()()??

????

-'''+-''+-'+-='32!3!2t x t f t x t f t x t f t f t f t F + ()()()}

'-+

n n t x n t f !

=()[{()()()()()(()+-''-+-''+'-+'-t x t f t x t f t f t f 0

()())

()()()()???

? ??-+-'''-+-'''3422!3!2!2t x t f t x t f t x t f +

()()()()()()]}

()()()n n n n n n t x n t f t x n t f t x n f --

=???? ??-+---+++-!

!!1111

()()()()x x t t x n t G n

,,010∈≠-+-='

而()()0==x G x F ，由Cauchy 中值定理

()()()()()()()()()()()()()n

n x n x n f G F x G x G x F x F x G x F ξξξξξ-+---=''=--=+1!10000

()()()()()b a x x n f n ,,,!

101?∈++ξξ 这里 ()()()()()()()()101!

1++-+=

-=n n n n x x n f x T x f x R ξ

=()()()()()10,!110001<<-+-+++θθn n x x n x x x f

注①

当0=n 时 Taylor 公式即为Lagrange 中值公式

②当00=x 时，Taylor 公式为Maclaurin 公式

()()()()()()()()()1

12!1!0!2000++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ

()10<<θ

③六个须记忆的基本初等函数带Lagrange 余项的Maclaurin 公

式，其中θ均满足10<<θ

()(

)

()

x n x

n x

e e x n e n x x x e =+++++=++1

12,!

1!!21)1θ

()()()()x m x

m x x x x x m m m m !12cos 1!121!

5!3sin )21212153+-+---+-=+--θ

()(

)

()()21sin sin 211cos 2m m x m x x

π+??

=++=- ???

()()()()242122

cos 3)cos 1112!4!2!22!

m m m x x x x

x x m m θ++=-+-+-+-+

()(

)

()()()

221

cos cos 11cos m m x m x x

π++=++=-

()()

()

()()

()

114)ln 11!1n n

n x n x +-++=-+ ()()()()()

123111ln 111231n n

n n n x x x x x x x n

n θ-+-++∴+=-+-+-+-+

()

(

)

()

()()()()

()

115)1121n n x n x α

ααααα+-++=---+

()()

11211112!

n x x x x x n α

ααααααααα-----+∴+=++

()()

111!

n n n x x

n ααααθ--+--+

()

()()

16)11n n n x x +++??=

?-??

()

122

1111n n n x x x x x x θ++∴=+++++-- 三、在近似计算中的应用

例6 （1）计算e 的值，使其误差不超过610-

（2）证明e 为无理数

解（1）()2112!!1!

n x

n x x e e x x n n θ+=++++++

当1=x 时

()!1!1!31!2111++

+++++=n e n e a

（*） ()()()!13

!11+<

+=∴n n e R a n 当9=n 时 ()3628800!10!19==+

而

610100000

36288003-=< 约去()19R

718285.2!

!31!2111≈+++++≈ e

（2）由（*）得

()1

15.44.3!!!+++++++=n e n n n n e n a

即 ()1

15.44.3!!!+=+++++-n e n n n n e n a

（**）

若e 为有理数即q

e = +∈N q p , 则当q n >时

e n ! 为正整数，从而（**）左边为整数

而右边1

11+<+<+n n e n e a 为非整数2≥n 时例7 证明0>x 则

①()

x Q x x x +=

-+211 其中()21

41≤≤x Q

②()()011

lim ,lim 42

x x Q x Q x →→+∞==

证：（1）考察函数()t t f = 在[]1,+x x 上使用Lagrange 中值定理有

()[]()x Q x x x x Q x x x +=-+?+=

-+21

1211

而 ()()

x x x Q x x Q x ++=+=

+121

设 ()()()()1214++++=+x x x x x Q x

(

)()

124

Q x x ∴=

+ (

)

x x x -++=

141

x x x -+?1 皆大于0

()4

∴x Q 又 (

)

11=+<

++=

-+?

x x x x x x

x x x

()2

∴x Q 综合以上得

()2

141<

(

)(

)

0011

lim lim 44

lim lim lim 4x x x x x Q x Q x →→→+∞→+∞→+∞??=+=

???

?????

???==??

=12 例8 设[]b a C f ,∈ f 在[]b a ,可导，且0>ab ，证明存在()b a ,∈ξ 使得

()()

()()1a

b f f a b f a g b ξξξ'=--

证：即证()()()()221'11ξξξξξf f a b a a f b b f --=--

故令()()x x f x F =

()x

x G 1

= 由Cauchy 中值定理即得 §4 函数的极值与最值

一、极值的判断

定理6.10 （极值的第一充要条件）设f 在0x 连续，在0x 的某邻域(),U x δ可导，

()i 若当()00,x x x δ∈-时()0f x '≤，当()00,x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在0x 取

得极小值；

()ii 若当()00,x x x δ∈-时()0f x '≥，当()00,x x x δ∈+时()0f x '≤，则f

在0x 取

得极大值。

定例6.11 （极值的第二充要条件）

设f 在0x 的某邻域(),U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且

()()0000f x f x '''=≠

()i 若()00f x ''<，则f 在0x 取极大值； ()ii 若()00f x ''>，则f 在0x 取极小值。

证：由条件，f 在0x 的Taylor 分式为：

()()()()()()()()

0000002

f x f x f x f x x x x x o x x '''=+-+-+- ()()()()()

00002!

f x f x x x o x x ''=+

-+- ()()()()()2

00012!f x f x f x o x x ''??∴-=+-????

()00f x ''≠ 而()1o 是0x x →的

无穷小，于是当0x x -充分小时，()()012!f x o ''??+????的符号由()

02!f x ''的符号确定。

即0δδ'?<<，当()0,x U x δ'∈时()()012!f x o ''??+????

与()

02!f x ''同号； ∴

当()00f x ''>时()()()00,f x f x x U x δ>∈即，f 在0x 取得极小值。当()00f x ''<时()()

()00,f x f x x U x δ<∈即，f 在0x 取得极大值。

例1 求()(25f x x =- 例2 求()2432

f x x x

的极值点解：0x ≠ 令 ()322

4322432

20x f x x x x -'=-=

= 设 6x = （此时可用 6.10Th ）

又 ()()3

862

26240432

f x f x ''''=+

∴=+

=> 由Th6.11知f 在6x =取极小值()432

6361086

f =+=。 Th6.12 （极值的第三充分条件）

设f 在0x 的某邻域内有直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且

()()()001,21k f x k n ==- 而 ()()00n f x ≠ 则：

()i 当n 为偶数时，f 在0x 取极值，且()()00n f x <时取极大值，()()00n f x >取极

小值；

()ii 当n 为奇数时，f 在0x 不取极值。

例3 求()()3

41f x x x =-的极值

解：令 ()()()()()3

34341311740f x x x x x x x x '=-+?-=--=

得稳定点 4017

x x x ===

()()()()()()2

2333174217471f x x x x x x x x x ''=--+--+-

()()()()()21317427471x x x x x x x x =---+-+-???? ()()2261782x x x x =--+

()()2

443163214010

6774777f f f ????????''''===?--+ ? ? ???????????

47f ??

???

为极小值又 ()()3263560304f x x x x x '''=-+- 有 ()()()6

1635603040f x f ''''''==-+-> ()1f '''∴无极值

()()()

()()4

432243*********f x x x x f =-+-=- ()0f ∴为极大值

0)0(=f 823543

6912

)74(-=f

注: 定理6.12仍是充分条件。

例设 ()210

x e

x f x x -??

≠=??=?

()2

221001

010lim lim lim 0x t x x t e t x f t x x

e e λ

-→→→∞-??

'==== ??? 当0x ≠时 ()111

123121x

x x f x e

e P e x x x ---'????'=-== ? ????? 这儿11P x ??

表示当0x ≠时f 的一阶导函数是2

1x e

与

的一个多项式的积，设 ()()1

1110x n n P e f x x ---???? ?=?????

则：()()2

1010

0lim x n n x P e x f x

--→??- ???=

故()()00n n N f ?∈+= 但()0f 为极小值。

二、最大值与最小值

最值只可能在区间端点,极值点取得:极值点是稳定点或不可导点

例4 求()332912f x x x x =-+在15,42??

-????

上的最值

解： 15,42f ??∈-???? ，故f 在15,42??

-????

必有最值

()()()()2221

291204

29125

291202

x x x x f x x x x x x x x ?--+-

≤≤??

=-+=?

?-+<≤

()()()()()2

216181204

56181202

161204561202

x x x f x x x x x x x x x x ?-+--≤≤??'∴=?

?---<

----≤≤??=?

?--<

()()()001200120f f f '''+=-=-∴不存在。

求出： ()

()

1512042f f f f f ??

??- ? ???

知：()1f 最小值为0，()5152f f ??

== ???

为最大值。

§5 函数的凸性与拐点

定义1 设f 为定义在区间I 上的函数．若对任意两点21,x x 和任意的实数

(0,1)λ∈，总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-

则称f 为I 上的凸函数．反之，若总有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+- 则称为I 上的凹函数．

若上面二不等式改为严格不等式，则f 相应地分别称为严格凸函数和严格凹函数．

注：若f 在I 上凸，则-f 在I 上凹显然．

引理 f 为I 上的凸函数的充分必要条件是：对与I 上的任意三点123x x x <<总有

2121()()f x f x x x --≤3232

()()f x f x x x --

证：“必要性” 记λ=32

x x x x --，则()2131x x x λλ=+-（易验证） ∵f 在I 上凸

?()()()()()()2131311f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-

3231

x x x x -- ()1f x +2131x x

x x -- ()3f x

?()()()()()()312321313x x f x x x f x x x f x -≤-+-

?()()()()()()()()322212321213x x f x x x f x x x f x x x f x -≤-+-+- ?()()()()()()()()32212131x x f x f x x x f x f x --≤-- ?

2121()()

f x f x x x --≤3232

()()f x f x x x -- （*）

“充分性”

在I 上任取两点13x x <，在[]31,x x 上任取一点()2131x x x λλ=+- ()0,1λ∈ 于是32

x x x x λ-=

-，由条件（*）成立．

逆推即可得()()()()()131311f x x f x f x λλλλ+-≤+- ∴f 在I 上凸同理可得

f 在I 上凸??Χ123,,x x x ∈I ，且123x x x <<，有 ?

2121()()f x f x x x --≤3131()()f x f x x x --≤3232

()()f x f x x x --

定理6.13 设f 在区间I 上可导，则以下论断互相等价

1.f 为I 上凸函数

2.f '为I 上的增函数

3.对I 上任意两点12,x x ，有()()()()21121f x f x f x x x '≥+- 证：1?2

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章微分中值定理及其应用上册P 178—180 习题解答 1．设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ，此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ，此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章微分中值定理及其应用一、填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是

_______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

第三章微分中值定理导数的应用

第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3．用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4．握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5．道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6．了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理如()x f 满足：（1）在 []b ,a 连续. （2）在 ()b ,a 可导. （3）()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈ξ 使()0f /=ξ 例设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则在区间（-1，0）内，方程()0x g /= 有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根例设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，证明存在()1,0∈ η，使()()0f f /=ηη+η。证：设()()x xf x F =在[a,b]可导，()()1F 0F = ∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η 例设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==, 证明存在η ()()0F F /=η+η 。解: 设()()x f e x F x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理

存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，亦即()()0f f /=η+η 例习题6 设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、拉格朗日中值定理如()x f 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，则存在()b ,a ∈ξ 使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f = ⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>， ()x f 在Ｉ单增（减）例对任意满足1x <的x ，都有4x arcsin 21x 1x 1arctg π=++- 设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x 1x 121x 1x 111x f 22/=-++-?+-?+-+= 0x 121x 12x 1x 12x 1212 22=-++?-+?+?-= ∴ ()c x f = ∵ ()4 0f π= ∴ ()4 x f π= 例设()0x >，证明()x x 1ln x 1x <+<+ 求导证明作业：见各章节课后习题。

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223 四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国达州 2010年4月

目录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（）是否为极值点不能断定的极值点不是　的极小值点是的极大值点是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是（） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（）． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．

第三章微分中值定理与导数应用教案教学设计

第三章微分中值定理与导数应用第一节微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。教学内容：一、罗尔定理 1. 罗尔定理几何意义：对于在],[b a 上每一点都有不垂直于x 轴的切线，且两端点的连线与x 轴平行的不间断的曲线 )(x f 来说，至少存在一点C ，使得其切线平行于x 轴。从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理设函数 )(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 并且在0x 处可导, 如果对任意)(0x U x ∈, 有)()(0x f x f ≤ (或)()(0x f x f ≥), 那么0)(0'=x f . 证明：不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤（若)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）. 于是对于)(00x U x x ∈?+,有)()(00x f x x f ≤?+, 从而当0>?x 时, 0 ) ()(00≤?-?+x x f x x f ; 而当0

根据函数 )(x f 在0x 处可导及极限的保号性的得 ==+)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≤?-?++ →?x x f x x f x ==-)()(0'0'x f x f 0)()(lim 000≥?-?+- →?x x f x x f x 所以0)(0'=x f , 证毕. 定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即 0)('=ξf . 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形：（1）m M =，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f = 由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M >，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性解显然 32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且 0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个. 例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件，但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f . 例如 ?? ?=∈-=0 ,0]1,0(,1x x x y 除了0=x 点不连续外，在]1,0[上满足罗尔定理的一切条

微分中值定理及其在不等式的应用

安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用作者张在系（院）数学与统计学院专业数学与应用数学年级2008级学号06081090 指导老师姚合军论文成绩日期2010年6月

学生诚信承诺书本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名：导师签名：日期

微分中值定理及其应用张庆娜（安阳师范学院数学与统计学院, 河南安阳455002）摘要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用. 关键词：连续；可导；微分中值定理；应用 1 引言人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理. 近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要. 2 预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理. 定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤. 定理2.2（最大、最小值定理）若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值. 定理2.3（介值性定理）设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点

数学分析之微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点：中值定理。教学难点：定理的证明。教学难点：系统讲解法。一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.doczj.com/doc/438138242.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且

微分与积分中值定理及其应用

第二讲微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ．朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导；则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用 §1 Lagrange 定理和函数的单调性一、Roll 中值定理与Lagrange 中值定理定理6.1 (Roll 定理) 若f 满足：（1）f [],C a b ∈ （2）f 在(),a b 可导（3）()()f a f b =，则()(),,.,0a b s t f ξξ'?∈= 证明：[],,f C a b ∈ 故f 必在[],a b 有最大值M 和最小值m ，若M=m ，则 f 为[],a b 上的常值函数，结论显然；若M ≠m,则M 与m 必有其一在(),a b 内部某点ξ取得，故ξ为必极值点，由Fermat Th 知 ()0f ξ'=. 例1 f 在R 上可导，若()0f x '=无实根，则()f x =0至多只有一实根定理6.2（Lagrange Th ）若f 满足1）[],f C a b ∈，2）(),f a b 在可导，则()()()() ,.. f a f b s t f b a ξξ-'?∈=-a,b —— Lagrange 中值公式证明：作辅助函数()()()()() ()f b f a F x f x f a x a b a -=----即可。 Lagrange 中值公式的基本形式 ()()()()() ()()()()()()()(),,,01,01f b f a f b a a b f b f a f a b a b a f a h f a f a h h ξξθθθθ'-=-∈'-=+--<<'+-=+<< 例2 证明对一切h>-1,h ≠0 成立不等式 ()ln 11h h h h <+<+ 证明：考虑函数()()ln 1f x x =+,x 在0与h 之间，显然在0到h 组成的闭区间上连续，开区间上得()()ln 1ln 1ln1.011h h h h θθ+=+-= <<+，当h>0时，11.h h θ+<+11h h h h h θ∴ <<++ ①；当-11+θh>1+h>0 11h h h h h θ∴<<++ ②；由①②知，当h>-1时,且h ≠0时, ()ln 11h h h h <+<+ 推论1 若f 在区间I 上可导，且()'0.f x ≡ 则f 为I 上的一个常量函

第三章微分中值定理及其应用

第三章微分中值定理及其应用 3.1 中值定理 3.1.1 费马引理设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。 3.1.2 罗尔定理设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。（1）罗尔定理的三个条件缺一不可。（2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。（3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ， 0)()('' b f a f 。证明：（1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf （2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i n n ,2,1,,01 2)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2 ,0(π内至少有一个实根。

高等数学微分中值定理应用举例

微分中值定理应用举例单调性与极值 1.函数)(x f 在[]0,1上//()0f x >，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：)(x f 在[]0,1上满足拉氏中值定理条件，存在()0,1ξ∈，使得/(1)(0)()f f f ξ-=.由于//()0f x >，所以/()f x 单调增加，而01ξ<<，所以///(0)()(1)f f f ξ<<，即//(0)(1)(0)(1)f f f f <-<. 2.函数)(x f 在[]0,1上/////()0,(0)0f x f >=，比较//(1),(0),(1)(0)f f f f -的大小. 解：由于///()0f x >，所以//()f x 单调增加，而//(0)0f =，所以在[]0,1上//()0f x >，同上题讨论有//(0)(1)(0)(1)f f f f <-< 3.()()f x f x =--在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>,判断在(),0-∞内///(),()f x f x 的符号. 解：()()f x f x =--，所以)(x f 在(),-∞+∞内为奇函数，/()f x 为偶函数，//()f x 为奇函数，在()0,+∞内///()0,()0f x f x >>，所以在(),0-∞内///()0,()0f x f x ><. 4.已知函数)(x f 在区间()1,1δδ-+内具有二阶导数,且/()f x 严格递增, /(1)(1)1f f ==，则：A.在()1,1δδ-+内均有()f x x <；B.在()()1,1,1,1δδ-+内均有()f x x >；C. 在()1,1δ-内均有()f x x <，在()1,1δ+内均有()f x x >； D. 在()1,1δ-内均有()f x x >，在()1,1δ+内均有()f x x <. 解：令()()F x f x x =-，则(1)(1)10F f =-=，//()()1F x f x =- 选择B.

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