微分中值定理及其应用(大学毕业论文)

微分中值定理的推广及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它在分析函数在区间内的平均速度和瞬时速率之间的关系上展示了重要的性质。

在本文中，我们将探讨微分中值定理的推广及其在实际问题中的应用。

首先，我们回顾一下微分中值定理的基本形式。

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么存在一个点c ∈ (a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

这个定理说明了在[a, b]上函数的瞬时变化率在某一点上与其平均变化率相等。

在进一步研究中，我们可以将微分中值定理推广到更一般的情形。

例如，当函数f(x)在闭区间[a, b]上多次可导时，我们可以得到多次求导的结果。

具体而言，对于任意非负整数n，存在点c ∈ (a, b)，使得f^(n)(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)^(n)，其中f^(n)(c)表示f(x)的n阶导数。

推广定理的证明是基于数学归纳法的。

首先，对于n=1的情况，即一阶导数，我们可以直接应用微分中值定理的基本形式进行证明。

接下来，假设对于k=1,2,...,n-1，定理成立。

我们将其应用于f'(x)，得到存在一个点d ∈ (a, b)，使得f''(d) = (f'(b) - f'(a))/(b - a)。

然后，我们可以使用拉格朗日中值定理来得到f''(d) = f^(2)(c)。

结合两个等式，我们可以得到f^(2)(c) = (f'(b) - f'(a))/(b - a)。

通过类似的推理，我们可以证明对于更高阶导数的情况也成立。

了解了微分中值定理的推广形式后，我们将进一步探讨其在实际问题中的应用。

微分中值定理常常被用于研究函数在某一区间的极值点及函数图像的凸凹性。

首先，我们考虑函数的极值点。

根据微分中值定理，如果函数在某一区间[a, b]上可导，那么在(a, b)内存在一个点c，使得f'(c) = 0。

新疆财经大学本科毕业论文题目：关于微分中值定理的应用学生姓名：皮路热木·热合木学号： 2014102009系部：应用数学学院专业：金融数学年级： 2014年级-2班指导教师姓名及职称：买买提热依木·尤努斯（讲师）完成日期： 2018年 3月 31 日摘要微分中值定理是高等数学微分学的主要知识点，本文在确定罗尔定理、拉格朗日中值以及柯西中值定理的重要基础上，深入分析不同中值定理的推广延伸形式。

在确定微分中值定理的经典证明的前提下，分析上述彼此之间的关系。

把其相关形式的证明全部寻找出来，且分析上述证明内所使用的理论，进而全面验证使用微分中值定理得得到的分段函数的导函数的属性、讨论导数零点的存在性、分析函数性态、证明不等式与求极限。

最终叙述微分中值定理的有关使用，然后确定微分中值定理在一元函数、求极限、方程实根、证明等式、证明不等式等部分的推广使用。

本文核心内容为：第一部分，重点叙述了微分中值定理的分析和其发展包含罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式。

第二部分，重点叙述微分中值定理在数学中的关键位置和其定义、属性、推广和部分关键的经典证明。

第三部分，重点叙述了微分中值定理在函数状况下的与相关不等式的使用推广和真实案例、求微分中值定理求极限等。

第四部分，重点叙述拉格朗日中值定理与柯西中值定理的行列式形式、推广延伸和其使用。

微分中值定理是数学研究中的关键内容。

本文重点叙述微分中值定理的内容和多种类型，和使用微分中值定理证明多种数学问题，全面叙述微分中值定理的彼此关系。

关键词：微分中值定理，应用，推广AbstractDifferential mean value theorem of higher mathematics is the core content of differential calculus, in the three differential mean value theorem are given on the basis of further study, each extending form the generalization of the mean value theorem.The differential mean value theorem proof based on the classic, discuss the connection between them.Its extension forms of evidence are presented, and discussed these proved in the use of thought, thereby further demonstrate that the application of the differential mean value theorem that piecewise function, discuss the properties of derivative function zero of derivative existence, of studying function, the proof of inequality and limit.Finally, the differential mean value theorem in multivariate function applicationKey words: differential mean value theorem, application, multiplefunctions摘要摘要 (2)ABSTRACT (3)1.引言 (8)2. 微分中值定理及其推广形式介绍 (10)2.1预备知识 (10)2.2微分中值定理及其经典证明 (11)2.3微分中值定理的推广形式及其证明 (12)3.微分中值定理的应用 (15)3.1一元函数微分中值定理 (15)3.2利用微分中值定理求极限 (18)3.3利用微分中值定理证明函数的连续性 (19)3.4利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (20)3.5利用微分中值定理求近似值 (20)3.6 利用微分中值定理解决导数估值问题 (20)3.7 利用微分中值定理讨论方程的实根 (21)3.8 利用微分中值定理证明有关的等式 (24)3.9 利用微分中值定理证明有关的不等式 (25)4.对微分中值定理的推广 (26)5.结论 (30)参考文献 (31)致谢 (32)1.引言在数学研究中，微分中值定理具备非常关键的作用。

微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。

本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。

一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。

其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。

罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。

3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。

柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。

二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。

下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。

1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX指导教师：XXX学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国 达州2010年4月目 录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章 微分中值定理历史 (1)1.1 引言 (1)1.2 微分中值定理产生的历史 (2)第二章 微分中值定理介绍 (4)2.1 罗尔定理 (4)2.2 拉格朗日中值定理 (4)2.3 柯西中值定理 (6)第三章 微分中值定理应用 (7)3.1 根的存在性的证明 (7)3.2 一些不等式的证明 (8)3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 00型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2∞∞型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 (12)第四章 结论 (14)参考文献 (15)致谢 (16)微分中值定理及其应用学生：XXX 指导老师：XXX摘要微分中值定理是微分学的基本定理之一,在微分学有着重要的地位，其发展经历了几百年．费马作为微积分的创立者,提出了费马定理，罗尔在《方程的解法》中又有了罗尔定理的前身，拉格朗日在《解析函数论》一书中首次提出拉格朗日中值定理，柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理．在本论文第二章分别详细的介绍了微分中值定理的三大派别．微分中值定理的应用很广，在很多领域都可以看到其理论知识．在第三章微分中值定理的应用中分别从证明根的存在性问题、证明一些不等式、不定式极限三个方向简要说明其应用，并用一些经典的例题来诠释．关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；根的存在性；不定式极限DIFFERENTIAL MEAN V ALUE THEOREM AND ITSAPPLICATIONstudent: Hu Zhanhong Supervisor: Hu RongABSTRACT Mean Value Theorem is one of the fundamental theorem of differential calculus, the differential calculus plays an important role. Its development through the centuries, Fermat as the founder of calculus proposed Fermat's theorem, Rolle in "Equation Solution" in the former, there has been Rolle's theorem, Lagrange in the "theory of analytic functions" the first time a book Lagrange mean value theorem, Cauchy in the "differential Computer Course" given in the initial Cauchy's theorem. In the second chapter presented a detailed description of the Mean Value Theorem of the three major factions. Mean Value Theorem is very broad, can be seen in many areas of their theoretical knowledge. Chapter III Application of Mean Value Theorem to prove the root, respectively, from the existence of the problem, that some of inequality, a brief description of the infinitive limit its application in three directions, and with some classic examples to explain.Key words:Rolle's theorem，Lagrange theorem，Cauchy mean value theorem，Root of，Infinitive Limit第一章 微分中值定理历史[1]1.1 引言微分中值定理是微分学的基本定理之一,是研究函数的有力工具. 微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义.以拉格朗日(Lagrange)中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[,]a b 上的可微（注：连续且除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线）的曲线弧()f x ,其上至少有一点C ， 使曲线在这一点的切线平行于连接点(,())a f a 与(,())b f b 的割线．它的运动学意义：设f 是质点的运动规律，质点在时间区间[,]a b 上走过的路程()()f b f a - , ()()f b f a b a--代表质点在(,)a b 上的平均速度， 在(,)a b 上至少存在某一时刻ξ，使得质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度.人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes)正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之时就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马引理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明．对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年)以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.1.2 微分中值定理产生的历史费马作为微积分的创立者,他在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得出原始形式的费马定理.所谓的虚拟等式法,费马的“虚拟等式法”基于一种非常直观的想法,如果0()f x 为()f x 的极大值,那么从直观上来看，()f x 在0x 附近值变化很小,当e 很小时0x x =,)(x f 和()f x e +相差很小.用现代语言来说,对于函数()f x ,让自变量从x 变化到e x +,当()f x 为极值时,()f x 和()f x e +的差近似为0,用e 除虚拟等式,()()0f x e f x e +-≈ ,然后让0→e ,就得到函数极值点的导数值为0,这就是费马定理: 函数 ()f x 在0x x =处取极值,并且可导,则()0f x '=. 应该指出: 费马给出以上结论,微积分还处于初创阶段,并没有明确导数,极限连续的概念,用现代眼光来看,其论断也是不严格的.现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的.罗尔在论著《方程的解法》给出了“在多项式101100n n n a x a xa x a --+++= 的两个相邻根中,方程12011(1)0n n n na x n a x a ---+-+= 至少有一个实根.”这是定理:“()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,并且()()f a f b =,则必存在一点(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=”的特例.也就是以上定理被称为罗尔定理的原因.最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同,而且证明也大相径庭,它是罗尔利用纯代数方法加以证明的,和微积分并没有什么联系.现在看到的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明,并把它推广为一般函数,“罗尔定理”这一名称是由德罗比什在1834年给出,并由意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的.拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理．它是指:“()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则存在一点(,)a b ξ∈,,使()()()f b f a f b aξ-'=-.”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的,它最初形式为:“函数()f x 在0x 和x 之间连续, ()f x '的最大值为A ,最小值为B ,则00)()(x x x f x f --必取],[A B 中一个值.” 历史上拉格朗日定理证明有三个,最初的证明是拉格朗日在《解析函数论》中给出的.这个证明很大程度建立在直观基础上,所以并不是严格的. 它依赖于这样一个事实: 当()0f z '>, ()f z 在[,]a b 上单调增加.所用的条件也比现在强,现代中值定理只须()f x 在[,]a b 上可导,而拉格朗日最初的中值定理,却需()f x 在[,]a b 上可导,并存在连续导数.并且所用连续概念,也是直观的,“假设变量连续地变化,那么函数将会产生相应变化,但是如果不经过一切中间值,它就不会从一个值过渡到另一个值.” 十九世纪初,在以柯西等为代表的微积分严格化运动中,人们给出了极限、连续、导数的严格定义,也给拉格朗日中值定理以新的严格证明,柯西在《无穷小计算概论》中证明了：如果()f x '在[,]a b 为连续,则 必有一个[,]a b ξ∈,使00()()()f x f x f x x ξ-'=-现代形式的拉格朗日定理,是由法国数学家博(O.Bonnet) 在其著作《Cours de Calcul Differentiel et integral 》中给出的,他不是利用()f x '的连续性,而是罗尔定理对拉格朗日定理加以重新证明.柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广.它是指: 设()f x 和()F x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,并且()0F x '≠,则必有一个值(,)a b ξ∈,使 ()()()()f b f a F b F a --=()()f F ξξ'' 柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理: ()f x 和()F x 在[,]a b 上有连续的导数,并且()F x '在[,]a b 上不为零,这时对于某一点[,]a b ξ∈,有 ()()()()f b f a F b F a --=()()f F ξξ'' 柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似.微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位.例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明,并研究泰勒公式的余项．从柯西起,微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分.第二章 微分中值定理介绍[2]2.1 罗尔定理定理1(罗尔定理) 若函数f 满足下列条件：(1)在闭区间[,]a b 连续；(2)在开区间(,)a b 可导；(3)()()f a f b =，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ， 使得()0f ξ'=（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）罗尔定理的几何意义是说：在除端点外处处可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平切线.证明：因为f 在[,]a b 上连续，所以有最大值和最小值，分别用M 和m 表示，现分两种情况来讨论：(1) 若m M =，则f 在[,]a b 上必为常数，从而结论显然成立.(2) 若m M <，则因()()f a f b =,使得最大值M 和最小值m 至少有一个在(,)a b 内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点.由条件（2），f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0f ξ'=2.2 拉格朗日中值定理定理2（拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：(1)在闭区间[,]a b 连续；(2)在开区间(,)a b 可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．证明：作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=---- 显然，()()0F a F b ==，且F 在[,]a b 上满足罗尔中值定理的另两个条件．故存在(,)a b ξ∈,使()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=- 移项后既得到所要证明的式子． 拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点 (,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ．我们在证明中引入的 辅助函数()F x ，正是曲线()y f x =与直线AB （()()()()f b f a y f a x a b a-=+--）之差． 此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：()()()()f b f a f b a ξ'-=-， a b ξ<<；()()(())()f b f a f a b a b a θ'-=+--， 01θ<<；()()()f a h f a f a h h θ'+-=+， 01θ<<．值得注意的是：拉格朗日公式无论对于a b <，还是a b >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数．而后两式的特点，在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-，使得不论,a b 为何值，θ总可为小于1的某一正数．2.3 柯西中值定理定理3（柯西中值定理）设函数f 和g 满足(1)在闭区间[,]a b 上都连续；(2)在开区间(,)a b 内都可导；(3)()f x '和()g x '不同时为0；(4)()()g a g b ≠，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a g b g a --=()()f g ξξ'' 证明：作辅助函数()()()()()(()())f b f a F x f x f a g b g a b a-=---- 易见F 在[,]a b 上满足罗尔中值定理条件，故存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()0()()f b f a F fg g b g a ξξξ-'''=-=- 因为()0g ξ'≠（否则由上式()f ξ'也不为零），所以可把上式改写成结论．柯西中值定理的几何意义：把f ，g 这两个函数写作以x 为参量方程()()u g x v f x =⎧⎨=⎩ 在UOV 平面上表示一段曲线，由于()()()()f b f ag b g a --表示连接该曲线两端的弦AB 的斜率，而()()x f dv g du ξξξ='='则表示该曲线上x ξ= 相对应的一点((),())C g f ξξ处的切线的斜率．因此上述切线与弦AB 互相平行．第三章 微分中值定理应用3.1 根的存在性的证明[3]引理 若实函数()y f x =在开区间(,)a b 内可导，且12()()()n f x f x f x === ，其中12,,n x x x 是(,)a b 内n 个互不相同的实数，则方程()0f x '=在(,)a b 内至少有1n -个不同的实根．设12,,n x x x 已按从小到大的顺序排列，以其作为分点可得1n -个小区间12231[,],[,],,[,]n n x x x x x x - ，在每个区间上应用罗尔定理即可得到上述结论．定理1 若实函数()y f x =在开区间(,)a b 内有m 阶导数，且12()()()n f x f x f x === ，其中12,,n x x x 是(,)a b 内n 个互不相同的实数，则方程()0mf x =在(,)a b 内至少有n m -个不同的实根．证明：由引理知方程()0f x '=在(,)a b 内至少有1n -个根，不妨设这1n -个根为121,,n ξξξ- .则121()()()0n f f f ξξξ-'''==== ，由引理可得方程()0f x ''=在(,)a b 内至少有 2n -个根．以此类推，()0mf x =在(,)a b 内至少有n m -个根．推论 若实函数()y f x =在开区间(,)a b 内有m 阶导数，且方程()0mf x =在(,)a b 内只有n 个不同的实根，则方程()0f x =在(,)a b 内至多有n m + 个不同的实根．例1：设,,a b c 为实数，求证方程32432ax bx cx a b c ++=++在(0，1)内至少有一个根． 证明：令432()()f x ax bx cx a b c x =++-++则 (0)(1)0f f ==．易验证()f x 在[0,1]上满足罗尔定理的三个条件，从而 存在(0,1)ξ∈，使得()0f ξ'=．即 32432ax bx cx a b c ++=++.例2：设()f x 在[0，1]上可导，且0()1f x <<，又对于(0，1)内的所有点x 有1)(-≠'x f 证明方程()10f x x +-=在(0，1)内有唯一的实根． 证明：先证存在性令()()1p x f x x =+-则()p x 在[0，1]上可导．因为0()1f x <<，所以(0)(0)10p f =-<， (1)(1)0p f => 由中值定理知()p x 在(0，1)内至少有一个零点 即方程()10f x x +-=在(0，1)内至少有一个实根． 再证唯一性用反证法，设方程()10f x x +-=在(0，1)内有两个实根12,x x ，不妨设0()1f x <<，有11()1f x x =-，22()1f x x =-．对()f x 在12[,]x x 上由拉格朗日中值定理，有12(,)x x ξ∈使21212121()()1(1)()1f x f x x x f x x x x ξ----'===---这与假设1)(-≠'x f 矛盾，唯一性得证．3.2 一些不等式的证明应用微分中值定理(含Taylor 公式)及其导出的结论证明不等式内容十分丰富， 在此仅举几例．例1[5]：设12,,n a a a≤12na a a n+++其中等号成立12n a a a ⇔===证明：取函数()ln xf x =，它的定义域是区间(0，+∞)故1()f x x '=，21)(xx f -='' 不妨设1a ≤2a ≤ ≤n a令120...na a a a n+++=或120...0n a a a na +++-=有1a ≤0a ≤n a将函数()ln x f x =在0a 展开泰勒公式（到二阶导数）∀0x >有020020111ln ln ()()()2!a x x a x a a ξ=+-+-- 其中ξ于0a 与x 之间，显然20211()()2!x a ξ--≤0 于是，∀ 0x >有0001ln ln ()ax x a a =+- 当12,,(0,)n x a a a =∈+∞ 时，分别有1ln a ≤01001ln ()a a a a +- 2ln a ≤02001ln ()a a a a +- ……………………………………ln n a≤0001ln ()an a a a +- 将上述n 个不等式两端分别相加，有：12ln ln ln n a a a +++ ≤()012001ln ...a n n a a a na a ++++- 0ln a n =即： ()12...1ln n a a a n⋅≤12()ln n a a a n +++⎛⎫⎪⎝⎭≤12na a a n+++因为211()02!ξ-≠所以，不等式中等号成立12n a a a ⇔=== 例4[4]. 设2e a b e <<<，证明()2224ln ln b a b a e->-． 证明：对函数2ln x 在[,]a b 上应用拉格朗日中值定理，得()222ln ln ln b a b a ξξ-=-，a b ξ<<．设 ()ln t t tϕ=，则()21ln tt t ϕ-'=当t e >时，()0t ϕ'<，所以()t ϕ单调减少，从而()2()e ϕξϕ>，即222ln ln 2e e eξξ>= ()222ln ln ln b a b a ξξ-=-故()2224ln ln b a b a e->- 3.3 求不定式极限我们把两个无穷小量或无穷大量之比的极限统称为不定式极限，分别记为00型或∞∞型的不定式极限．现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛必达法则．其中柯西中值定理是建立洛必达法则的理论依据．3.3.1型不定式极限 定理1 若函数f 和g 满足：（1）00lim ()lim ()0f x g x x x x x →→==；（2）在点0x 的某空心邻域00()u x 内两者都可导，且()0g x '≠；（3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则00()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'==' 例1[6]．求30(1)2(1)lim x x x x e e x →+--解：这是型不定式， 故 30(1)2(1)lim x x x x e e x →+-- 20(1)2lim3x x x x e xe e x →++-= 201lim 3x xx xe e x →+-= 0lim6x x x x e xe e x →+-= =163.3.2∞∞型不定式极限 定理2 若函数f 和g 满足：（1）00lim ()lim ()f x g x x x x x ++→→==∞；（2）在点0x 的某右邻域00()u x +内两者都可导，且()0g x '≠； （3）0()lim()x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则0()()lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x ++→→'=='例2.求0ln(sin 3)lim ln(sin )x x x +→解：这是∞∞型不定式，故 0ln(sin 3)lim ln(sin )x x x +→03cos3sin lim sin 3cos x x xx x+→=03cos cos39sin 3sin lim3cos cos3sin 3sin x x x x xx x x x+→-=- =13.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性利用拉格朗日中值定理能够很方便地判别出函数的单调性定理1：若函数()f x 在[,]a b 连续，在(,)a b 内可导，则有：如果在(,)a b 内()f x '≥0则()f x 在[,]a b 上单调递增；如果在[,]a b 内()f x ' ≤0则()f x 在[,]a b 单凋递减．另外()f x 在(,)a b 内除有限个点外，仍有()f x '≥0(或≤0)，则()f x 在[,]a b 仍然是单调递增(或单调递减的)，即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性． 证明： 若f 为增函数，则对每一0[,]x a b ∈，当0x x ≠时，有00()()f x f x x x -- ≥0令0x x →，即得()f x ' ≥0．反之，若()f x 在区间[,]a b 上恒有()f x '≥0,则对任意12,[,]x x a b ∈（设12x x <），应用拉格朗日定理，存在12(,)[,]x x a b ξ∈⊂,使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-≥0由此征得f 在[,]a b 上为增函数．例6．求证当0x >时，2ln(1)2x x x +>-证明：令2()ln(1)()2x f x x x =+--因()f x 在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且21()111x f x x x x '=-+=++ 当0x >时，有2()01x f x x '=>+，所以当0x >时，()f x 是单调增加的，当0x >时，()(0)0f x f >=，因此()0f x >，从而2ln(1)2x x x +>-第四章结论微分中值定理作为大学课程里的一个重要内容，是研究函数的有力工具．其地位是不容忽视的，微分中值定理的发展历史是非常悠久的，通过近三、四百年的发展数学科学家们得到了罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理．这三大定理可以说是其发展的一个里程碑，对以后的发展有着非常大的帮助．近些年来人们又开始着重去挖掘微分中值定理的一系列应用，并且得到了很多有用的定理．体现微分中值定理的一部分价值．本论文在详细的介绍了微分中值定理的来源之后，又系统性的整理了微分中值定理的三种不同的形式，同时分别证明了这三种定理，并总结了它们之间的联系．从接下来的内容中我们可以充分了解微分中值定理的应用，通过四个大方向来诠释其应用，其实这是微不足道的，因为微分中值定理的应用还有很多，这里只是总结了它的经典应用及其例题．希望能够帮助大家对微分中值定理的学习．参考文献[1] 卢玉峰. 微分中值定理历史与发展. 高等数学研究， 2008；11（5）：59-61[2] 华东师范大学. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001：119-128[3] 王宝艳. 微分中值定理的应用. 雁北师范学院学报， 2005；21（2）：59-60[4] 张娅莉、吴炜. 微分中值定理的应用. 信阳农业高等专科学校学报， 2007；17（1）：135[5] 霍玉珍. 高数中微分中值定理的应用. 河北建筑工程学院学报，2004；22（1）：153[6] 薛秋. 微分中值定理的应用. 无锡商业职业技术学院学报，2007；7（6）：68致谢衷心感谢我的指导老师胡蓉讲师，她渊博的专业知识，严谨科学的治学态度，精益求精的工作作风，一丝不苟、锲而不舍的精神，和对数学研究的独到见解，对我产生了深远的影响，使我终身受益．感谢他指引我进入一个崭新的研究方向，感谢他时刻关心着我的论文进度并认真耐心地指导毕业论文，使得本文能够顺利完成．在胡蓉老师的指引下，我对微分中值定理有了初步的了解，具有了一定的独立科研能力．能够成为胡蓉老师的学生，乃人生一大幸事．在此成文之际，谨向导师胡蓉讲师致以我最崇高的敬意和衷心的感谢，并祝胡蓉老师及家人身体健康，生活幸福．感谢四川文理学院的老师和领导，感谢他们在我读书期间所给予的关心和帮助．感谢同窗以及其他师兄妹，非常高兴能与他们一起学习讨论．最后，感谢我的家人，感谢他们对我永远的支持与鼓励！。

浅谈微分中值定理的推⼴及其应⽤---毕业论⽂【标题】浅谈微分中值定理的推⼴及其应⽤【作者】贾双双【关键词】微分中值定理推⼴应⽤【指导⽼师】郑莲【专业】数学与应⽤数学【正⽂】1、引⾔:⼈们对微分中值定理的研究,从微积分建⽴之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最⼤值和最⼩值的⽅法》中给出费马定理,在教科书中,⼈们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《⽅程的解法》⼀⽂中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗⽇在《解析函数论》⼀书中给出拉格朗⽇定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进⾏系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《⽆穷⼩计算教程概论》(1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要⽬标,对微积分理论进⾏了重构.他⾸先赋予中值定理以重要作⽤,使其成为微分学的核⼼定理.在《⽆穷⼩计算教程概论》中,柯西⾸先严格地证明了拉格朗⽇定理,⼜在《微分计算教程》中将其推⼴为⼴义中值定理—柯西定理.从⽽发现了最后⼀个微分中值定理(详见⽂献[1]).本⽂通过对微分中值定理的细致研究将其系统的推⼴到更⼀般的⼏个情况,同时也将进⼀步通过例题讲解它的具体应⽤及不同的微分中值定理是如何在题⽬中发挥作⽤的.这样⼀来便可以很清晰的理解微分中值定理的精髓及其意义之所在.2、预备知识定理2.1 (罗尔(Rolle)中值定理) 若函数满⾜如下条件:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导;(3) ( )= (b),则在( ,b)内⾄少存在⼀点,使得⼏何意义若连续曲线y= ( )在A( , ( )),B(b, (b))两点间的每⼀点都不垂直于轴的切线,⼜A,B点的纵坐标相等,则曲线在A,B 间⾄少存在⼀点使得曲线在点P处的切线平⾏于轴.定理2.2 (拉格朗⽇(Lagrange)中值定理) 若函数满⾜如下条件: （1）在闭区间上连续;（2）在开区间内可导;则在内⾄少存在⼀点,使得( )=⼏何意义若连续曲线= ( )在A( , ( )),B(b, (b))两点间的每⼀点处都有不垂直于轴的切线,则曲线在A,B间⾄少存在⼀点，使得该曲线在P 点的切线与割线AB平⾏.定理2.3 柯西中值定理设函数和g满⾜:(1)在上都连续;(2)在上都可导;(3) 和不同时为零;(4) ( )≠(b),则存在,使得其中对于拉格朗⽇中值定理也很容易得出下⾯⼏个推论:推论2.1 若函数在区间I上可导，且，则为I上的⼀个常量函数。

•上1记录O返回o下我❽打印© Email•下一记录【标题】微分中值左理的证明及其应用【作者】蒋雯亦【关键词】Lagrange中值立理Cauchy中值龙理辅助函数【指导老师】吴先兵【专业】数学教育【正文】1引言在一元函数微积分中，微分中值泄理是应用函数局部性质研究函数整体性质的重要工具。

Lagrange中值定理、Cauchy中值左理是微分学中的两个重要左理，它们揭示了函数值与导数值之间的内在联系，为微分学的应用和对函数的进一步研究提供了理论依据，对两个微分中值左理的证明一般都划归为Rolle中值泄理来证明。

因此，Rolle中值左理是基础， Lagrange中值泄理及Cauchy中值定理是Rolle中值立理的推广，熟练运用Rolle中值左理, 正确掌握函数证明的各种技巧，对解决实际问题非常重要。

2001年，鲁凤菊［5］给岀了证明微分中值定理时构造辅助函数的两种方法及微分中值左理在一元函数、多元向量值函数及抽象函数方面的推广。

2007年，贾计荣［6］用行列式证明Cauchy中值左理及Lagrange中值左理，并对微分中值泄理加以推广。

2008年，孙彩贤［7］从不同方而对微分中值左理加以证明，使得抽象的肚理灵活化，从而更易理解。

李建杰［8］着重探讨Cauchy中值泄理的几种新证法，比较详细地叙述了求证的思路、方法和具体步骤，简述了求证过程对微枳分教学的意义。

陈鱼昆［9］分别研究Lagrange中值泄理、Cauchy中值立理及Rolle中值定理的某些重要应用。

2009年，杨洪秀［10］列岀了证明Lagrange中值立理的几种不同方法。

宋振云［11］通过复数乘法运算构造出一系列Lagrange中值立理证明中满足Rolle中值立理条件的辅助函数，并明确指岀了Cauchy中值泄理证明中辅助函数的构造方法。

微分中值定理的证明和应用，通常以Rolle中值左理作为它的预备左理，证明的关键在于方法的掌握,而教材通常都只用一种方法来证明微分中值定理，因而不能提高学生的思维能力, 本文试用多种方法来证明Lagrange中值左理和Cauchy中值左理，再将Rolle中值立理、 Lagrange 中值左理及Cauchy中值定理分别应用到不同的问题中，让学生能够更加容易掌握和应用微分中值左理。

微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。

微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。

本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。

文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。

这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。

接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。

本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。

通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。

文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。

《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。

通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。

二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。

这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。

罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。

拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。

柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。

这些定理在实际应用中具有广泛的价值。

安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用作者秦国华系（院）数学与统计学院专业信息与计算科学年级 2009级学号 090802001指导教师陈峰论文成绩日期 2013年5月12日诚信承诺书郑重承诺：所呈交的论文是作者个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。

与作者一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

作者签名：日期：导师签名: 日期：院长签名：日期:论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

保密论文在解密后遵守此规定。

作者签名：导师签名：日期：微分中值定理及其应用秦国华(安阳师范学院 数学与统计学院， 河南 安阳 455002）摘 要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的理论核心.本文主要介绍微分中值定理在等式的证明、不等式的证明、方程根的存在性以及求近似值等中的应用。

关键词:等式证明;不等式证明；方程根存在性；近似值 1 引言微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中有重要的地位,在微积分教学与研究中具有承前启后的作用,是研究函数在某个区间内的整体性质的有力工具. 本文是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干推广和应用. 2 预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.1（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值.定理2.2（费马定理) 设函数f 在点0x 的某领域内有定义，且在点0x 可导。

微分中值定理及其应用和推广王泓元摘要：微分中值定理包括罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（lagrange）中值定理、柯西（cauchy）中值定理、泰勒（Taylor）定理。

微分中值定理是反映函数与导数之间关系的重要定理，也是微积分学的理论基础，也是沟通导数值与函数值之间的桥梁，它利用导数的局部性质来推断函数的整体性质的工具。

在许多方面它都有着重要的作用，在进行一些公式推导和定理证明中都有很多应用。

关键词：中值定理；推广；应用2. 微分中值定理的基本内容2.1罗尔（Rolle ）中值定理“罗尔定理”这个名字是由德罗比什在1834年给出的。

罗尔在当时提出的这个结论，主要是针对多项式函数的，现在所看到的罗尔定理则一般适用于一般的函数。

而且证明的方法也与罗尔的有所不同，罗尔是利用纯代数的方法加以证明的，而后人则是以分积分的理论证明的[1]。

罗尔在《方程的解法》论著中给出了“在多项式01110=+++--n n n n a x a x a x a 中，至少有一个实根。

”的论断。

正好是定理的一个特例，这也是以上定理称为罗尔定理的原因。

2.1.1罗尔定理 若函数)(x f 满足如下条件：（i ） f 在闭区间[a,b]上连续； （ii ） f 在开区间（a,b ）内可导； （iii ）)()(a f b f =，则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf .2.1.2罗尔定理的证明证明：由（i ）知)(x f 在[a,b]上连续，故)(x f 在[a,b]上必能有最大值M 和最小值m ，此时，分两种情况来谈论：（1）若M=m ，即)(x f 在[a,b]上得最大值和最小值相等，此时)(x f 为常数，m M x f ==)(，所以0)(='x f ，因此，可知ξ为（a,b ）内任意一点都有0)(='ξf .（2）若M>m ，因为)()(b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个在（a,b ）内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点，由条件（ii ）f 在点ξ处可导，故由费马定理推知，0)(='ξf .注：⒈ 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立，即定理中的条件是充分的，但非必要（见图2-2）。

毕业论文(设计)题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生姓名：邓奇峰院(系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月目录毕业设计任务书 (I)开题报告 ....................................................................................................................................... I I 指导老师审查意见. (III)评阅老师评语 (IV)答辩会议记录 (V)中文摘要 (VI)外文摘要 .................................................................................................................................... V II1 引言 (1)2 题目来源 (1)3 研究目的和意义 (1)4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1)5 微分中值定理的发展过程 (2)6 微分中值定理的基本内容 (3)6.1 罗尔(Rolle)中值定理 (3)6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4)6.3 柯西（Cauchy）中值定理 (4)6.4 泰勒（Taylor）定理 (4)7 微分中值定理之间的联系 (5)8 微分中值定理的应用 (5)8.1 根的存在性证明 (6)8.2 利用微分中值定理求极限 (8)8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性 (10)8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10)8.5 利用微分中值定理求近似值 (10)8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10)8.7 利用微分中值定理证明不等式 (11)9 微分中值定理的推广 (14)9.1 微分中值定理的推广定理 (15)9.2 微分中值定理的推广定理的应用 (17)参考文献 (18)致谢 (19)微分中值定理的推广及应用学生：邓奇峰，信息与数学学院指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。