数学建模竞赛 基于多雷达目标定位的数学模型

基于多雷达目标定位的数学模型(选作题号 A)摘要建立方程组把求雷达系统定位的最少雷达数量问题转化为以最少的方程个数n 使该方程组具有唯一解，得出结论：1、当雷达站点不共线布置时，只需要三部雷达便可实现定位；2、当所有雷达位于一直线上时，无论雷达数目是多少，均只能获得目标在x 或y 方向的坐标，不能完全定位。

对于问题二，我们采用微积分、概率论中的相关知识以及斜距离定位系统分析定位误差，建立了定位误差与测距误差和坐标误差的关系的微分方程模型。

得到结果：采用三个雷达定位时，定位误差的期望值为0，方差与雷达的测距误差r σ和坐标误差s σ成线性关系。

针对问题三，首先，建立了可选站址的定位算法模型，但此算法中雷达站址的选择具有局限性。

最后我们从概率统计的角度建立了基于最小方差的考虑误差非线性规划定位算法模型，并在具体实施中对算法进行化简，较好地解决了问题中的三组数据目标定位，得出的相应目标飞行物坐标为（-25292，6292，24003），（-28138，4315，23941），（-25461，6217，23765），并通过对结果的误差比较，给出了影响误差的因素及算法的评价。

以问题二对定位精度的分析为基础，进一步通过对定位误差分析计算并参考有关资料，给出了如下一些控制精度的建议：1、 采用先进技术,减小测距误差和站点坐标误差；2、适当增加相邻雷达站间距离；3、合理布置雷达站点空间分布；4、适当增加雷达站的数量。

在完成所有模型的建立与求解之后，我们还对模型优劣进行了比较分析和评价，并提出了相应的改进和完善的方向，并把模型进行推广使用。

关键字: 目标定位 定位误差 微分方程 坐标误差一、 问题的提出在电子对抗领域，对辐射源位置信息侦察越精确，就越有助于对辐射源进行有效的战场情报信息获取和电子干扰，并为最终摧毁目标提供有力的保障。

在某地上空发现有一可疑的飞行物，需要对其进行精确定位。

常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。

每个雷达都可以测量自身的坐标(,,)i i i x y z 以及它到飞行物距离ir (1,)i n =，其中n 为雷达的总数。

通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以确定目标的空间飞行物的坐标(,,)s x y z 。

由于每个雷达在测量自身坐标和飞行物到各雷达的距离都存在测量误差，这给精确定位带来了困难。

如何选取合适的方法进行精确定位是目前对飞行物进行精确定位一个难点。

假设距离误差服从正态分布(0,)t N σ，坐标误差服从正态分布(0,)r N σ。

在这个假定下完要我们成以下工作。

一、至少需要几个雷达才能定位飞行物？二、在最少雷达的条件下，分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度的影响。

三、在实际情况中，往往使用更多雷达进行精确定位，请设计一种定位算法。

对以下三组雷达得到的测量数据，计算飞行物的坐标。

（数据见附件一）四、试给出控制雷达定位精度的建议。

二、问题分析由题目我们可以知道，常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。

每个雷达都可以测量自身的坐标(,,)i i i x y z 以及它到飞行物距离ir (1,)i n =，其中n为雷达的总数。

通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以 确定目标的空间飞行物的坐标(,,)s x y z 。

通过图2-1我们可以看到在空间坐标图 2-1 ：单个雷达定位飞行物示意图系中一个雷达自身的坐标，雷达到飞行物的距离和空间飞行物的位置坐标三者之间的空间关系。

根据对题目的理解对所提出的四个问题逐一分析。

1、针对问题一，可以把最少需要多少个雷达才能定位飞行物的问题转化为以方程组中最少的方程个数n 使该方程组具有唯一解,该唯一解即为我们要求的飞行物定位坐标。

2、针对问题二，在最少雷达条件下已经知道距离误差服从正态分布(0,)t N σ，坐标误差服从正态分布(0,)r N σ，在使用最少雷达（也即三部雷达）的条件下，为了分析并比较距离误差(0,)t N σ和坐标误差(0,)r N σ对定位精度Q 的影响，我们必须首先找到距离误差和坐标误差与最终的定位误差dx 之间的关系,通过建立对两种误差的分析模型定量定性地描述距离误差和坐标误差对定位精度的影响。

3、针对问题三，根据题目中提供的数据，通过对数据的筛选分析，得到飞行物坐标变量与所提供数据之间的联系，建立一种计算飞行物坐标的算法模型，最终较为准确的得到飞行物的定位坐标。

4、对于问题四，可以通过本题目中对前三个问题所得结果的的总结和分析，找到尽量减小定位误差的方法，并通过查阅与提高雷达定位精度相关的资料，得到影响雷达定位精度的多方面因素，从而全面地提出提高雷达定位精度的合理建议。

三、模型假设1、各雷达组在地表的同一平面上，忽略地球曲率的影响。

2、在雷达对飞行物坐标进行测量时，我们认为飞行物在测量时段内处于静止状态，也就是说，误差的产生只与雷达自身有关，而与飞行物无关。

3、在空间位置上，根据雷达测距原理，我们假定雷达均处于飞行物的下方。

4、被测目标所在位置与xoy 平面距离较远（远远大于坐标误差和距离误差）。

5、假定各雷达站点站点坐标在各方向上的误差均相互独立，各测量的距离误差均相互独立，而且与站点坐标误差相互独立。

6、距离误差服从正态分布(0,)t N σ，坐标误差服从正态分布(0,)r N σ。

7、不考虑雷达及目标飞行物的形状大小，认为其位置为对应坐标系的一点。

四、符号约定4-1x 目标飞行物的x 轴坐标4-2 y 目标飞行物的y 轴坐标 4-3 z 目标飞行物的z 轴坐标 4-4i x 第i 个雷达站的x 轴坐标4-5 i y 第i 个雷达站的y 轴坐标 4-6 i z 第i 个雷达站的z 轴坐标 4-7 第i 个雷达自身的坐标 4-8 第i 个雷达到飞行物的距离 4-9 飞行物的坐标误差 4-10 飞行物到雷达的距离函数 4-11 Q 飞行物的定位精度4-12 x δ x 轴方向定位误差五、模型的建立与求解5-1 求雷达系统定位的最少雷达数量设至少需要i 个雷达才可以定位飞行物，由下面的方程组则可以解出 (x,y,z)（式1.1）(),,i i i i R x y z i r (),,x y z ∆∆∆(),,i f x y z ()()()()()()22221111222222222222r x x y y z z r x x y y z z ⎧=-+-+-⎪⎪=-+-+-⎪⎨⎪⎪确定目标位置需要确定三个方向上的坐标，故至少需要三个方程才能解出定位点(x,y,z)，即至少三个雷达，根据三个雷达的测得数据可以得到如下方程组：（式1.2） 分两种情况进行讨论：（1）三部雷达在一条直线上 此时可通过坐标转换将雷达的x 方向坐标定义在此直线上，即1230===y y y y ； 由于目标点和雷达的相对位置关系不变，因此转换坐标系对定位没有影响，此时 有方程组：（式1.3）观察式(1.2)可知，此时只能解出x,，无法解出y 和z 的值；在这种情况下，若增加雷达数目，由式(1.1)可知仍不能求解出y 和z 的值，即当雷达所在站点共线时，无法对目标定位。

（2）三部雷达不共线此时，由式(1.1)可确定方程组的唯一解(x,y,z)，即能够实现对目标点的定位。

综上，至少需要三部不共线的雷达才能实现定位。

假设有三部雷达坐标为它们所测量的到飞行物的距离为 化简后可以得到x,y 的系数矩阵为：相应的行列式为：可以用Matlab 软件解得x ，y ，z 的值，程序为：syms x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 r1 r2 r3 x y z;[x,y,z]=solve('(x1-x)^2+(y1-y)^2+(z1-z)^2=r1^2','(x2-x)^2+(y2-y)^2+(z2-z)^2=r2^2','(x3-x)^2+(y3-y)^2+(z3-z)^2=r3^2')5-2距离误差和坐标误差对定位精度的影响。

5-2-1问题的分析与模型建立：123,,r r r 21213131x x y y x x y y --⎛⎫⎪--⎝⎭112121223131331101x y x x y y x y x x y y x y--=≠--()()()()()()()()()222211112222222222223333r x x y y z z r x x y y z z r x x y y z z ⎧=-+-+-⎪⎪=-+-+-⎨⎪=-+-+-⎪⎩()()()()()()222110222220222330r x x y y z r x x y y zr x x y y z⎧=-+-+⎪⎪=-+-+⎨⎪=-+-+⎪⎩在使用最少雷达（也即三部雷达）的条件下，为了分析并比较距离误差(0,)l N σ和坐标误差(0,)r N σ对定位精度Q 的影响，我们必须首先找到距离误差和坐标误差与最终的定位误差x δ之间的关系。

为此，在假设由每组测量数据可以得到目标的一个存在误差的方位的前提下，我们首先进行以下推导： 易知各测量站测得的目标距离:12222[()()()]i i i i r x x y y z z =-+-+- 1,2,3i = (式5.2.1)而且可设,()(,,,,,)i i i i i i i r f X X f x y z x y z == 1,2,3i = (式5.2.2)对式2.1进行全微分可得ii i i i i i i i i r x y z x y z i i if f f f f fx y z x y z δδδδδδδ∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂ 1,2,3i = (式5.2.3) 求偏导数可得1i i i i i if f x x c x x r ∂∂-=-==∂∂ 1,2,3i = 2i i i i i i f f y y c y y r ∂∂-=-==∂∂ 1,2,3i = (式5.2.4) 3i i ii i if f z z c z z r ∂∂-=-==∂∂ 1,2,3i = 因此有 s r C x x δδδ=- (式5.2.5) 式2.5中111111213222212223313233333f f f xy z c c c f f f C c c c x y z cc c f f f xyz ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂ ⎪⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪== ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭(式5.2.6) 而111111121131212222232222313323333333s i i iii i x i i if f f x y z x y z c x c y c z f f f c x c y c z x y z x y z c x c y c z f f f x y z x y z αααδδδαααδδδαααδδδδδδδαααδδδαααδδδααα⎛⎫++ ⎪⎪++⎛⎫ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝⎭(式5.2.7)将式2.5移项后有s C x r x δδδ=+ (式5.2.8)可解得()1s x C r x δδδ-=+ （式5.2.9）其中1231123123a a a C b b b c c c -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（式5.2.10） 将式2.4与式2.7带入式2.9以后可得11111111122222222333333331[()()()]1[()()()]1[()()()]x x x y y y z z z r x r y C r x x x y y y z z z r z r x x x y y y z z z r δδδδδδδδδδδδδδδ-⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （式5.2.11）故可得31{[()()()]}ii i i i i i i i i ia x r r x x x y y y z z z r δδδδδ==⨯+-+-+-∑31{[()()()]}ii i i i i i i i i ib y r r x x x y y y z z z r δδδδδ==⨯+-+-+-∑（式5.2.12） 31{[()()()]}ii i i i i i i i i ic z r r x x x y y y z z z r δδδδδ==⨯+-+-+-∑至此，距离误差和坐标误差与最终的定位误差δx 之间的关系已经被找到如式5.2.12.5.2.2模型求解与分析：首先从数学期望的角度进行分析。