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3.1 函数的单调性与极值 课件4 (北师大选修2-2)

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31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-279953

31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-279953
调递增，那么恒有f ’(x)>0吗?
试结合函数 y＝f(x)=-x3进行思考
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
理解训练：
学以致用
求函数y 3x2 3x的递增区间与递减区间.
解: y' 6x3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1 1 x 1 .
2 1 x 2(1 x)
由
f
(
x)

0即
x 2(1

1 x)

0,得x<-1或x>1.
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞);
由f (x) 0 解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).
于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1
3y＝f(x)＝-3x+4
y＝f(x) ＝2x+5 2.5 y＝f(x) ＝x
2
函数的导数的正负与函数的递
增或递减有什么关1.5 系呢？
f(x) ＝x, f’(x) ＝1 1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 0.5
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′(x)<0,得函数单减区间.
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4) 2.
2
抽象概括
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间内
1) 如果恒有f′(x)>0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递增；

北师版数学高二选修2-2课件 函数的极值

北师版数学高二选修2-2课件 函数的极值

(2)函数的单调性与极值 ①如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是 增加 的，在区间(x0，b)上是_减__少__ 的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. ②如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少 的，在区间(x0，b)上是_增__加__ 的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.
解答
命题角度2 含参数的函数求极值 例2 设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1. (1)求f(x)的单调区间；
解答
(2)讨论f(x)的极值. 解 由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值. 当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.
跟踪训练3 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图像如图所示，且与直线y＝0在 原点处相切，函数的极小值为－4.
(1)求a，b，c的值；
解答
(2)求函数的递减区间.
解 由(1)知，f(x)＝x3－3x2，且f′(x)＝3x(x－2). 由f′(x)<0，得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0，2).
第三章 §1 函数的单调性与极值
1.2 函数的极值
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极 值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 函数的极值点和极值
思考1
观察y＝f(x)的图像，指出其极大值点和极小值点及极值.
本课结束
答案
梳理 求函数极值点的步骤
(1)求出导数 f′(x)； (2)解方程 f′(x)＝0， (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号 (即f(x)的单调性)，确定极值点 . ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点 . ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点 . ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是 极值点.

高中数学 3.1 第2课时 函数的极值课件 北师大版选修22

高中数学 3.1 第2课时 函数的极值课件 北师大版选修22

数y＝f(x)的____________，其函数值f(x0)为函数的
________．极大值点
极大值
图1
图2
如图2所示，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在 任何一点的函数值都不小于x0点的函数值，称点x0为函数y ＝f(x)的_________，其函数值f(x0)为函数的_________．
求函数 y＝2x＋8x的极值，并结合单调性、极值作出该函数 的图像．
[分析] 利用函数求极值的步骤：(1)先求函数的定义域； (2)求导数 f′(x)；(3)求方程 f′(x)＝0 的根；(4)检查 f′(x)在方 程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根 处取得极大值，如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小 值．
f′(x) ＋ 0
－
f(x)
极大值
故当 x＝e 时函数取得极大值，且极大值为 f(e)＝1e.
[点评] 讨论函数的性质要保持定义域优先的原则，如本题
若忽视了定义域，则列表时易错将区间(0，e)写为(－∞， e)．
求极值的具体步骤：第一，求导数f′(x)；第二，令f′(x)＝0， 求方程的根；第三，列表，检查f′(x)在方程根左右的值的 符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左 右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个根处无极 值．
①若f′(x)在x0两侧的符号______________ ，则x0为极大值
点；
“左正右负”
②若f′(x)在x0两侧的符号________________ ，则x0为极小
值点；
“左负右正”
③若f′(x)在x0两侧的符号___________，则x0不是极值点．

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)函数的定义域为R，y′＝3x2－1. 3 3 令3x －1<0，解得－ <x< ； 3 3
2
3 3 令3x －1>0，解得x<－ 或x> . 3 3
2
因此－
3 3 ， 为函数的单调递减区间， 3 3
3 3 ， ，＋∞为函数的单调递增区间． 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a＝ 时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0， 3 有且只有f′(1)＝0. 1 所以，实数a的取值范围为[ ，＋∞)． 3
[一点通] 已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数 的取值范围的步骤：
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性． 解：∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝2x－ln x； x (2)y＝ ＋cos x； 2 (3)y＝x3－x.
②判断f′(x)的符号；
③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x·x e
(
)
D．y＝ln x－x
解析：(sin x)′＝cos x， (x·x)′＝ex＋x·x＝(1＋x)·x， e e e 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
3 2
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·x)′＝(1＋x)·x>0. e e

2020北师大版高中数学选修2-2 教师课件：第三章 函数的极值

2020北师大版高中数学选修2-2 教师课件：第三章 函数的极值

当 x 变化时，y′，y 的变化情况见下表：
x (－∞，－3) －3 (－3,3) 3 (3，＋∞)
y′
＋
0－
0
＋
y
54
－54
∴当 x＝－3 时，y 有极大值，且 y 极大值＝54；当 x＝3 时，y 有极小值， 且 y 极小值＝－54.
探究二 已知函数极值求参数的值 [例 2] 已知函数 f(x)＝ax3＋bx2，当 x＝1 时，有极大值 3. (1)求 a，b 的值；(2)求函数 y＝f(x)的极小值．
2．结论：如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的， 则___x_0____是极大值点，__f_(_x_0)___是极大值． 如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则___x_0____ 是极小值点，__f_(_x_0)___是极小值．
当 a>1 时，函数 f(x)在 x＝0 处取得极大值 1，在 x＝a－1 处取得极小值 1－(a－1)3.
极值问题的综合应用主要是利用函数的单调性和极值确定函数图像的大致形状 和位置．题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的 思想、数形结合思想在解题中的应用，熟练掌握单调性问题以及极值问题的基本 解题策略是解决综合问题的关键．
[双基自测] 1．关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值和一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单调函数
解析：导数为零的点不一定是极值点，如 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x ＝0 不是极值点．极小值不一定小于极大值．f(x)在定义域内可能有 多个极值点．

31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284845-PPT精选文档

31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284845-PPT精选文档

3
3
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′(x)<0,得函数单减区间.
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4) 2.
f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
-2
-1
1
2
观察f (图x)像2 1 x 3
f (x) 3 2.2
x
2
1. 8
1. 6
指数函数的导1 数.的4 正负与函数 1. 2
的递增或递减有同1 样的关系呢？
0. 8
f (x) 0
0. 6
0.4f (x) 0
0. 2
- 2 - 1. -5 1 - 0. 50. 5 1 - 0. 2
(2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y3ex 3x的单调
区间。
解:
y'3ex 3
令y'0得ex 1 e 0 x0
令 y ' 0 得 e x 1 e 0 x 0
2) 如果恒有f′(x)<0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f(x)0 ,
则 f ( x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单
调递增，那么恒有f ’(x)>0吗?
试结合函数 y＝f(x)=-x3进行思考

高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.2函数的极值课件北师大版选修2_2


探究一
探究二
思维辨析
变式训练1判断下列函数是否有极值,如果有极值,请求出其极值; 如果无极值,请说明理由.
(1)y=f(x)=x3- x2+ x+1;
3 4
3 16
(2)y=f(x)=x|x|.
3 3 解 :(1)y'=3x - x+ . 2 16解得 x= . 2 16 4 1 1 当 x> 时 ,y'>0,当 x< 时 ,y'>0. 4 4
探究一
探究二
思维辨析
利用导数求函数的极值 【例1】 求函数y=3x3-x+1的极值. 分析:首先对函数求导,然后求方程y'=0的根,再检查y'在方程根的 左右的值的符号,如果左正右负,那么此处取最大值,如果左负右正, 那么此处取极小值.
探究一
探究二
思维辨析
解:y'=9x2-1,
令 y'=0,解得
1 1 x1= ,x2=- . 3 3
当x变化时,y'和y的变化情况如下表: 1 1 1 1 x -∞,- , 3 3 3 3 y' + 0 y ↗
1 3 1 3
0
1 3
+ ↗
1 ,+∞ 3
极大值
↘
7 9
极小值
11 9
因此当 x=- 时函数有极大值,并且 y 极大值 = . 当 x= 时函数有极小值,并且 y 极小值 = .
脉 络
1.函数的极值的有关概念 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小 于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为函数的极大值. 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大 于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值 f(x0)为函数的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.

31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284817-PPT精品文档

于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1
3 y＝f(x)＝-3x+4x
2
函数的导数的正负与函数的递
增或递减有什么关1.5系呢？
f(x) ＝x, f’(x) ＝1 1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 0.5
变1：求函数 y3x33x2的单调区间
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
令y'0得x2或x0
3 令y'0得0x
2
3
y3x33x2 的单调递增区间为
(,0),(2 ,)
单调递减区间为 ( 0 , 2 ) 3
3
利用导数判断函数单调性的基本步骤： (1)确定定义域；
(2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y3ex 3x的单调
区间。
解:
y'3ex 3
令y'0得ex 1 e 0 x0
令 y ' 0 得 e x 1 e 0 x 0
3
3
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′(x)<0,得函数单减区间.
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4) 2.
谢谢
1. 5 2
观察图像3
2.5
f(x)

2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.1 函数的单调性与极值3.1.2.2 .pdf


A.a> 2
B.a> 2或 a<- 2
C.a<- 2
D.a<-1
解析:∵函数 f(x)=x3-32ax2+a 在 R 上存在三个零点,∴函数 f(x)的极大
值与极小值异号.∵f'(x)=3x2-3ax,∴当 f'(x)=0 时,x=0 或 x=a.∴
f (0)·f (a)=a· ������3
-
3 2
以a-2=0,即a=2.如图②.综上,当a=2或a=-2时,方程恰有两个实数根.
图①
图②
由 f'(x)>0,得 x<-2 或 x>2; 由 f'(x)<0,得-2<x<2.
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二
由表可知,当 x=-2 时,f(x)有极大值 f(-2)=238; 当 x=2 时,f(x)有极小值 f(2)=-43. 又当 x→+∞时,f(x)→+∞;当 x→-∞
时,f(x)→-∞.
所以其大致图像如图所示.
由图像知,函数 f(x)有 3 个零点.故方程 13x3-4x+4=0 有 3 个解.
题型一 题型二
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
反思用求导的方法确定方程解的个数,是一种很有效的方法.它通 过函数的变化情况,运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交 点个数,从而判断方程解的个数.
典例透析

31函数的单调性与极值课件4北师大选修2-284706-精品文档


f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
-2
-1
1
2
观察f (图x)像2 1 x 3
f (x) 3 2.2
x
2
1. 8
1. 6
指数函数的导1 数.的4 正负与函数 1. 2
的递增或递减有同1 样的关系呢？
0. 8
f (x) 0
0. 6
0.4f (x) 0
0. 2
- 2 - 1. -5 1 - 0. 50. 5 1 - 0. 2
理解训练：
学以致用
求 函 数 y 3 x 2 3 x 的 递 增 区 间 与 递 减 区 间 .
解: y'6x3
令 y'0 得 x1, 令 y'0 得 x1
2
2
y3x23x 单 的 调 单 递 调 递 减增 区区 间 间 是 (1 2 ,, 1)
2
理解训练：
2) 如果恒有f′(x)<0，那么y＝f(x)在这 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f(x)0 ,
则 f ( x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单
调递增，那么恒有f ’(x)>0吗?
试结合函数 y＝f(x)=-x3进行思考
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
变1：求函数 y3x33x2的单调区间
解： y' 9 x 2 6 x 3 x (3 x 2 )
令y'0得x2或x0
3 令y'0得0x
2
3
y3x33x2 的单调递增区间为
(,0),(2 ,)
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导数是处理函数单调性问题的金钥匙
观察图像1 y＝f(x) ＝2x+5
3
y＝f(x)＝-3x+4
y＝f(x) ＝x
2.5
函数的导数的正负与函数的递 增或递减有什么关系呢？
1.5
2
f(x) ＝x, f’(x) ＝1
1
f(x) ＝2x+5, f’ (x) ＝2 f(x)＝-3x+4, f ’(x) ＝-3
拓展提高
x (2) f ( x ) sin x 2 f ( x) 1 cos x. 解:(1)函数的定义域是R,
例4: 确定下列函数的单调区间:
2 1 2 2 令 cos x 0 ,解得 2k x 2k (k Z ). 3 3 2
1 cos x 0 ,解得 2k 2 x 2k 4 ( k Z ). 令 2 3 3
3进行思考 y＝f(x)=-x
如果函数y＝f(x)在这个区间内 单调递减，那么恒有f ’(x)<0吗?
理解训练：
学以致用
2
求函数y 3 x 3 x的递增区间与递减区间.
解 : y ' 6 x 3
1 1 令y ' 0得x , 令y ' 0得x 2 2
1 y 3 x 3 x的单调递增区间 , 2 1 单调递减区间是( , ) 2
课下巩固作业：
P62 习题3-1 A组1(2)(3)(4)
2.
-2
抽象概括
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间内
1) 如果恒有f ′ >0，那么y＝f(x)在这 (x) 个区间内单调递增；
2) 如果恒有f ′ <0，那么y＝f(x)在这 (x) 个区间内单调递减。
如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 , 则 f (x)为常数.
发散思维
试结合函数 y＝f(x)=x3进行思考 如果函数y＝f(x)在这个区间内单 调递增，那么恒有f ’(x)>0吗? 试结合函数
x (1) f ( x ) ln(1 x ) 1 2
x 1 0,得x<-1或x>1. 2(1 x )
由 f ( x ) 0 即
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f (x)的递增区 间是(1,+∞); 由 f ( x ) 0 解得-1<x<1,故f (x)的递减区间是(-1,1).
2
变1：求函数 y 3 x 3 x 的单调区间
3 2
理解训练：
解： y ' 9 x 6 x 3 x(3 x 2) 2 令y ' 0得x 或x 0 3 2 令y ' 0得0 x 3 2 3 2 y 3 x 3 x 的单调递增区间为 ( ,0),( , )
0.5 -2 -1 1 2
观察图像2
1 f ( x) 3
x
2.2 2 1.8
f ( x) 3
x
1.6
指数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系呢？
1.2 1 0.8
1.4
f ( x) 0
-2 -1.5 -1 -0.5
0.6
0.4
0.2
f ( x) 0
0.5 1 1.5 2
2
单调递减区间为 (0, 2 )
3
3
利用导数判断函数单调性的基本步骤：
(1)确定定义域； (2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。
注意：单调区间不 以“并集”出现。
巩固提高：
变2：求函数 y 3e 区间。
欢迎各位老师同学走进数学课堂
3-6x2+7,求证： 引例 已知函数y=2x
这个函数在区间(0,2)上是单调递 增的. 用定义法判断函数单调性的步骤：
（1）在给定取值范围内任取x1<x2
( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）
（3）变形 （4）判断符号
（5）下结论
引入： 函数单调性体现出了函数值 y随自变量x的变化而变化的情况, 而导数是函数值的瞬时变化率, 刻画了函数变化的趋势. 于是我们设想一下能否利用 导数来研究单调性呢？
解:
x
3 x 的单调
x0
y ' 3e 3
x
令y ' 0得e ' 0得e 1 e x 0
0
y 3e 3 x的单调递增区间为(0, ) 单调递减区间为(,0)
x
拓展提高
例4: 确定下列函数的单调区间:
1 1 x 1 . 解:函数的定义域是(-1,+∞), f ( x ) 2 1 x 2(1 x )
2 2 因此, f(x)的递增区间是:(2k ,2k )(k Z ); 3 3 2 4 递减区间是: (2k 3 ,2k 3 )(k Z ).
谈谈你的收获
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′ (x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′ (x)<0,得函数单减区间.
-0.2
观察图像3
2.5
1 f ( x) 0 x ln 2
2 1.5 1 0.5 -2
f ( x) log 2 x
1 2 3 4
对数函数的导数的正负与函数 的递增或递减有同样的关系吗？
f ( x)
1
-1
1 x ln 2
0
-0.5 -1 -1.5
f ( x) log 1 x
2