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第一章 简单应力状态下的弹塑性力学问题

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塑性力学(第一章)简单应力状态下的弹塑性力学问题

塑性力学(第一章)简单应力状态下的弹塑性力学问题

MC M 1
σ =ψ(ξ),
dε P ∫
σS
A
—— ξ是刻画塑性变形历史的参数
例如：可取 ξ = 例如： 或
A'
O
M M''
'
N
ε
ξ =W P = ∫ ε P σd
图2（a）
该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2 该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2（a）中的NM 和NM'' 。
当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 可近似地认为体积是不可压的。 可近似地认为体积是不可压的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。
应力§1.3 应力-应变关系关系的简化模型
1．理想弹塑性模型
σ < σs时 ε = σ E 当 ， 当 ， σ = σs时 ε = σ E + λsignε
适用： 适用：拉伸时的屈服应力和压缩时的屈服应力始终是相等 的。
σ
随动强化模型 p σ −ψ(ε ) = σs ,
p 的单调递增函数） （ψ(ε ) 是塑性应变ε p的单调递增函数）
MC M 1
σS
A
上式在线性强化情形下也可写为
σ − hε = σs ,
p
dψ （h = p 是一个常数 ） dε
O
二、塑性与脆性 如果变形很小就破坏，便称是脆性 如果变形很小就破坏，便称是脆性 ——采用弹性理论分析 ——采用弹性理论分析 如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的 如果经受了很大的变形才破坏， 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强， 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便 称是塑性 在这种情况下， 塑性。 称是塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。 ——采用塑性力学分析 ——采用塑性力学分析
弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析

弹性与塑性力学基础 第1章 应力分析



1 1 2 2 1 2 1 2 2 4
2
(1-7)
应力圆：任一截面正应力与剪应力关系图 确定任一截面上 的 和。 坐标系： － 圆 半 应力圆 心： 轴上点 径：
1 ( 1 2 ) 2
1 ( 1 2 ) 2
单 向 拉 伸 时 轴 与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.2 应力的方向性
为了便于研究，通常将任意方向
截面上的应力分解为两个分量：
σ－垂直于截面的分量（正应力） τ－平行于截面的分量（剪应力）
即：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
1 cos2 2 sin 2
(1-4)
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系 沿a-a方向,力的平衡方程为：
边 界 存 在 正 应 力 时 斜 截 面 受 力 图
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
哈工大（威海） 材料学院
§1-1 单向及平面应力状态分析
1.1.3 平面应力状态应力关系
任一截面上 的 和 确定方法：
取任一截面上法向 和 的值。第一主应力截面法向夹角的二倍 2 ，由 轴逆时针旋转，应力圆上对应于2点的轴上的 和
弹性与塑性力学基础
哈工大（威海） 材料学院
第 一 章
应 力 分 析
弹性与塑性 力 学 基 础
第一章 应力分析
1.1.1 应力定义
哈工大（威海） 材料学院
(完整)弹塑性力学简答题

(完整)弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题第一章 应力1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用,偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。

2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？物体边界点的平衡条件。

3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系?相同。

110220330S S S σσσσσσ=+=+=+.4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？不规则，内部受力不一样。

5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？保证位移单值连续。

连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。

6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点?该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0,为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。

固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？第二章 应变1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。

从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目,求解出的位移不单值.从物理角度看,物体各点可以想象成微小六面体,微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入"，即产生不连续.2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力(且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？相同。

应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关.3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？不可以.保证位移单值连续。

连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续.4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量,问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？满足。

塑性力学(一)

塑性力学(一)


（四）学习塑性力学的基本方法 塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研 究时仍采用连续介质力学中的假设和基本方法。 (1) 受力分析及静力平衡条件(力的分析) 对一点单元体的受力进行分析。若物体受力作用 ，处于平衡状态，则应当满足的条件是什么？（静力 平衡条件）
(2) 变形分析及几何相容条件(几何分析) 材料是连续的，物体在受力变形后仍应是连续 的。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重叠”。则 材料变形时，对一点单元体的变形进行分析，应满 足的条件是什么？（几何相容条件） (3)力与变形间的本构关系 (物理分析) 固体材料受力作用必然产生相应的变形。不同的 材料，不同的变形，就有相应不同的物理关系。则对 一点单元体的受力与变形间的关系进行分析，应满足 的条件是什么？（物理条件，也即本构方程。）
（一）σ-ε曲线的简化 （二）σ-ε的关系式（分为三个不同的状态）
鉴于学习塑性力学问题的复杂性，通常在塑性理 论中要采用简化措施。为此得到基本上能反映材料的 力学性质，又便于数学计算的简化模型。 （一）σ-ε曲线的简化 理想弹塑性模型（软钢） 分段模型 大致分为两类： 连续模型 线性强化弹塑性模型 幂次强化模型 R-O模型
（6）包氏效应
卸载后，如果进行反向加载 （拉伸改为压缩）首先出现压缩 的弹性变形，后产生塑性变形， 但这时新的屈服极限将有所降 低，即压缩应力应变曲线比通常 的压缩试验曲线屈服得更早了。 这种由于拉伸时的强化影响到压 缩时的弱化现象称为包辛格 (Bauschinger)效应 (一般塑性理 论中都忽略它的影响) 。
小结： 由两个实验我们得到了四个结论： 1）应力－应变关系不再一一对应，且一般是非线性 的。 2）应力－应变的多值性。（出现卸载时） 3）在静水压力作用下，体积的改变都是弹性变形， 没有塑性变形。 4）在静水压力作用下，材料的塑性行为不受影响。
塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件

塑性力学简单的弹塑性问题优秀课件


一、按增量理论求解
对理想弹塑性材料，增量本构方程是 Prandtl-Reuses 关系，于是：
d z
1 E
d z
d
2 3
z
,
1 2
d z
1 2G
dz
d
z
(6-19)
无量纲化后得到：
消去 d 得：
d d d, d d d,
d d d d
(6-20)
(6 21)
由（6-18）式知 1 2 及 d d 0,
路径①沿OBC。在B点有0 0, 0 0。
A
在BC段上有 1 ln1 , 2 1
D ③
解出 e2y 1 tanh ,
e2y 1
O
在C点
e2 e2
1 1
0.76,
1 2 0.65
(6 30)
C ①
B
类似地，对路径②，即阶梯变形路径OAC可求得 0.76和 0.65
路径③是比例加载路径ODC，其上 d d 。在到达D点时，
Tp 2 A pdxdy
6 100
就是截面的塑性极限扭矩。
仍以半径为a的圆柱体为例，它处于全塑性扭转状态时， p 表面必然是一个
圆锥，既然斜率是 s , 高度就应为 sa，按（6-100）式求出
Tp
2 3
sa3.
6 101
与（6-96）式相比可知对圆柱体
Tp / Te 4 / 3.
6 102
塑性力学简单的弹 塑性问题
塑性力学
第六章 简单的弹塑性问题
§6.1 弹塑性边值问题的提法 §6.2 薄壁筒的拉扭联合变形 §6.5 柱体的弹塑性自由扭转 §6.6 受内压的厚壁圆筒 §6.7 旋转圆盘
塑性力学-第一章

塑性力学-第一章


σdσ≥0 σdσ<0
dσ=Etdε dσ=Edε
弹性变形有以下特点： (1)弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以 能力（应变能）的形式储存在物体内，当卸载时，弹性应变 能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复； (2)无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线 弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系； (3)对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应 力与应变是一一对应的关系。
塑性变形有以下特点：
(1)塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆，塑性变形的产生必定 要耗散能量（称耗散能或形变功）； (2)在塑性变形阶段，其应力应变关系是非线性的。由于本构方程 的非线性，所以不能使用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不 同，应力与应变之间不再存在一一对应的关系，即应力与相应的应 变不能唯一地确定，而应当考虑加载路径（或加载历史）； (3)在载荷作用下，变形体有的部分仍处于弹性状态称弹性区，有的 部分已进入了塑性状态称塑性区。在弹性区，加载与卸载都服从广 义胡克定律。但在塑性区，加载过程服从塑性规律，而在卸载过程 中则服从弹性的胡克定律，并且随着载荷的变化，两区域的分界面 也会发生变化； (4)依据屈服条件，判断材料是否处于塑性变形状态。
①结构的塑性极限分析和安定分析，对梁、桁架、刚架、拱、排架、圆 板、矩形极、柱壳、球壳、锥壳、组合壳等都已获得完全解。 ②构件的塑性极限分析和安定分析，已求出各种带有缺口、槽、孔的受 拉、受弯、受扭轴和构件的塑性极限载荷。 ③金属板料成形，包括深冲、翻边、扩口、缩口等工艺。 ④金属块体成形，包括镦粗、拉拔、挤压、锻造等工艺。 ⑤金属轧制，金属材料在两个反向旋转的轧辊间通过，并产生塑性变形。 ⑥塑性动力响应和塑性波，在防护工程、地震工程、穿甲和侵彻，高速成 形，超高速撞击、爆炸工程等方面都有重要应用。 ⑦自紧技术，通过使结构产生有益的残余应力，以增强厚壁圆筒弹性强度 和延长疲劳寿命。 ⑧在岩土力学中，用以研究地基承载能力、边坡稳定性、挡土墙的作用和 煤柱的承载能力。 ⑨用以研究估算和消除残余应力的方法。
弹塑性力学总复习

弹塑性力学总复习

弹塑性⼒学总复习《弹塑性⼒学》课程第⼀篇基础理论部分第⼀章应⼒状态理论1.1 基本概念1．应⼒的概念应⼒：微分⾯上内⼒的分布集度。

从数学上看，应⼒sPF s ??=→?0lim ν由于微分⾯上的应⼒是⼀个⽮量，因此，它可以分解成微分⾯法线⽅向的正应⼒νσ和微分⾯上的剪应⼒ντ。

注意弹塑性⼒学中正应⼒和剪应⼒的正负号规定。

2．⼀点的应⼒状态（1）⼀点的应⼒状态概念凡提到应⼒，必须同时指明它是对物体内哪⼀点并过该点的哪⼀个微分⾯。

物体内同⼀点各微分⾯上的应⼒情况，称为该点的应⼒状态。

（2）应⼒张量物体内任⼀点不同微分⾯上的应⼒情况⼀般是不同的，这就产⽣了⼀个如何描绘⼀点的应⼒状态的问题。

应⼒张量概念的提出，就是为了解决这个问题。

在直⾓坐标系⾥，⼀点的应⼒张量可表⽰为=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知⼀点的应⼒张量，则过该点任意微分⾯ν上的应⼒⽮量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进⼀步求出该微分⾯上的总应⼒p 、正应⼒νσ和剪应⼒v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平⾯、主⽅向与主应⼒由⼀点的应⼒状态概念可知，通过物体内任⼀点都可能存在这样的微分⾯：在该微分⾯上，只有正应⼒，⽽剪应⼒为零。

这样的微分⾯即称为主平⾯，该⾯的法线⽅向即称为主⽅向，相应的正应⼒称为主应⼒。

主应⼒、主⽅向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应⼒张量分量构成的矩阵，n σ为主应⼒，}{i n 为主⽅向⽮量。

01应力分析(弹塑性力学讲义)

01应力分析(弹塑性力学讲义)


s v l 2s x m 2s y n 2s z
py px O A x
tv
2lmt xy 2mn t yz 2nl t zx
B
y
s v l 2s 1 m 2s 2 n 2s 3
2 2 2 pv px p2 pz y
2 2 2 l 2s 1 m 2s 2 n2s 3
sy
y
tyx txy
sx
x
单元体的性质 a、任一面上，应力均布； ห้องสมุดไป่ตู้、平行面上，性质相同。
21
sz
z
应力状态
单元体上的应力分量： z
sz
tzx txz tzy tyz
正应力：
sx sy sz
切应力：
tyx
sy tyz sx
x
txy t yx
sy
y
txy tyx tyz tzy tzx txz
22
当斜面为边界时，可得到应力边界条件：
tzy
tzx sz
SDABC=S SDOAC=mS
SDOBC=lS SDOAB=nS
Fx、Fy、Fz 为边界上的面力分量。
28
1、斜截面上的应力 z
p x ls x m t yx nt zx p y lt xy m s y nt zy
s s3 s s3 2 s v 2 tv 2 2 2
2
2
s s3 s s3 2 s v 1 tv 1 2 2
2
2
s1 s 2 s1 s 2 2 s v tv 2 2
O
t
t
工程弹塑性力学题库及答案

工程弹塑性力学题库及答案


(2)如将该曲线表示成
解：（1）由 在
处连续，有
形式，试给出 的表达式。
（a）
由在
处连续，有
（a）、（b）两式相除，有
由（a）式，有
（2）取
形式时，
当
：
即
当
：应力相等，有
解出得，
（代入 值）
（b） （c） （d）
（代入 值） 5.6已知简单拉伸时的应力-应变曲线
如图5-1所示，并表示如下：
问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？
解：1） OD 边：
GD 边：
沿
线，
，
2）
沿 OB 线，
，
8.7 Mises 线性等强化材料，在平面应变（ 试导出用表示的强化规律和本构关系。
解：当 时，在弹性阶段有
）和泊松比 条件下，
得
平均应力 因此在弹性阶段有
，进入塑性后有
对平均应变
刚进入塑性时
。由上式导出
。因此进入塑性
后还满足
（2）当 = 时，继续加载，使 解：1）开始屈服时
，求此时的 、 、 。 ，代入 Mises 屈服准则
得
；
2）屈服后对应的塑性应变增量为
由 及屈服条件的微分形式
， 式子得到答案结果。
7.9 在如下两种情况下，试求塑性应变增量的比。
（1）单向拉伸应力状态，
；
，联列可得 ，代入
（2）纯剪力状态，
。
解：（1）单向拉伸应力状态
在
中：
沿
线，
中： ，
中：
,
，
，
, 情况二见图（1），与①一样
所以
8.6 已知具有尖角为 的楔体，在外力 P 的作用下，插入具有相同角度的 V 形缺口 内，试分别按如下两中情况画出滑移线场并求出两种情况的极限荷载。 1）、楔体与 V 形缺口之间完全光滑；2）、楔体与 V 形缺口接触处因摩擦作用其剪应 力为 k。
塑性力学-南京理工大学精品课程网

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塑性力学
大纲号：11030001 学分：2学时：32 执笔人：邹华审订人：尹晓春
一、课程的地位与作用
《塑性力学》对工程力学专业是主干课程，对土建、机械等其他专业可作为选修课。

研究结构的塑性变形和塑性应力，对结构强度和刚度研究的完整性有重要作用，对充分发挥结构极限承载线力有重要价值。

另外研究结构的塑性变形现象是金属成形加工工艺和设计的基础。

因此，掌握塑性力学的基本知识是必要的。

二、课程的教学目标与基本要求
1. 教学目标
通过本课程的学习，要使学生获得：(1) 简单应力状态下的弹塑性力学问题；(2) 梁的弹塑性弯曲及梁和刚架的塑性极限分析；(3) 应力分析和应变分析、屈服条件和加载条件；
(4) 塑性状态下的本构关系；(5) 复杂应力状态下最简单的弹塑性问题等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，使学生对塑性力学建立正确的物理概念，掌握区别于弹性力学的特点，为今后深入学习打下良好的基础。

2. 基本要求
通过各个教学环节逐步培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、探讨研究能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

工程塑性力学(第一章)

工程塑性力学(第一章)

σ σ
σ′
σ′
σs
σs
O
εp ε
εe
ε
O
εp ε
εe
ε
图 1-2
卸载和再加载
σ ′′
图 1-3 卸载后反向加载到屈服
1.2.2 没有明显屈服阶段的拉伸曲线（铝合金类）
屈服极限（应力）规定：0.2%塑性应变对应的应力， σ 0.2
σ σb σ0.2
σ′
O
0.2%
ε
σ ′′
图 1-4 没有明显屈服平台的应力应变曲线
1.5.2 卸载
从介于 Ps 和 Pe 之间的某一值 P * 卸载 ΔP ，服从弹性规律。应力应变的改变 量为
Δσ 1 = Δσ 3 =
Δε 1 = Δε 3 =
σ s ⎛ ΔP ⎞
⎛ ΔP ⎞ ⎜ ⎟ ， Δσ 2 = σ s ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ P ⎟ ⎟ 2 ⎝ Pe ⎠ ⎝ e ⎠
（1-20） （1-21）
σ
σs
E’
E
εs
图 1-7
ε
幂强化模型
σ = Aε n ， 0 ≤ n ≤ 1
（1-3）
σ
n =1
A
n = 1/ 2 n = 1/ 3 n=0
1
ε
图 1-8
Ramberg-Osgood 模型
σ /σ0
ε / ε 0 = σ / σ 0 + (σ / σ 0 ) n
3 7
(1-4)
1
n = 0 n =1 n=2 n=5 n=∞
位移：
(1-18)
δ y = ε 2 ⋅ l = 2ε1l =
或
2σ 1 l E
δy P = (1 + 2 ) − 2 δe Pe

塑性力学-简单弹塑性问题

ys
h2
理想弹塑性材料、矩形截面 b × h −σ s −
σ = Φ (ε ) = σ s
ys ys
其中：
⎤ ⎡ I (A ) M = σs ⎢ z e + Sp⎥ ⎦ ⎣ ys
2 3 I z ( Ae ) = b ⋅ y s 3
h2 2 S p = b( − y s ) 4
6
σs
+
M 3 1 y = − ( s )2 Me 2 2 h 2
+
ε=
y
+
σ
−
+
σs
σ
ρ
σ*
卸载前的应力、应变：σ 残余应力： σ * = σ − σ
ε
卸载过程应力改变量： σ = M y
I
10
2. 等截面梁的横向弯曲
•弯矩是变化的 M = M (x) •存在剪应力 忽略剪应力对屈服的影响
y ⎧ σs ⎪ σ ( x, y ) = ⎨ y s ( x ) ⎪Φ ( ε ) ⎩ 在 y ≤ ys ( x )时 在 y ≥ ys ( x )时
中性层曲率：
ρ
=
σs
Ey s
5
M = 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y = 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y + 2 ∫ σ ⋅ dA ⋅ y
0
h2
ys
h2
0
ys
= =
E
ρ σs
ys
I z ( Ae ) + 2 ∫ Φ (ε ) ⋅ dA ⋅ y
ys
h2
I z ( Ae ) + 2 ∫ Φ (ε ) ⋅ dA ⋅ y
z
该问题是球对称的。采用 球坐标 不为零的应力分量 σ θ σ ϕ σ r

塑性力学(一)


弹性变形 非弹性变形
塑性变形
粘性变形
粘性变形随时间而改变， 例蠕变、应力松弛等。
塑性变形、塑性变形特征、 塑性极限分析 构件受外荷载而变形，当外荷载卸除而 恢复的那部分变形称为弹性变形； 构件受外荷载而变形，当外载卸除而不 能恢复的那部分变形称为塑性变形。
塑性变形的特征： (1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。 (2)应力超过弹性范围后，应力-应变呈非线性关 系，叠加原理不再适用。 (3)塑性变形与加载历程有关，应力与应变之间不再 是单值关系。 (4)通常所指的塑性变形，忽略了时间因素的影响(常 温、低应变率）。
线性强化弹塑性模型，用于有显著强化性质 的材料。
线性强化刚塑性体模型
σ
σs
E1
o
σ = σ s + E 1ε
ε
线性强化刚塑性模型，用于弹性应变比塑性 应变小得多且强化性质明显的材料。
3、幂次强化模型
m=1 m=0.5 m=0.25 m=0
σ = B ε signε
m叫强化系数
其中，材料 常数B和 m 满足 B>0，0<m<1 。
（五）学习塑性力学的目的 塑性力学比弹性力学复杂得多，但为更好地了解 固体材料在外力作用下的性质，塑性理论的研究是十 分必要的，对于工程结构的设计来说，如不进行弹塑 性分析，则有可能导致浪费或不安全。学习塑性力学 的目的主要为： 1）研究在哪些条件下可以允许结构中某些部位的应力 超过弹性极限的范围，以充分发挥材料的强度潜力。 2）研究物体在不可避免地产生某些塑性变形后，对 承载能力和（或）抵抗变形能力的影响。 3）研究如何利用材料的塑性性质以达到加工成形的目 的。
当m=0时，代表理想 塑性体模型，当m=1时， 则为理想弹性体模型。

塑性力学01_绪论_简单应力状态下的弹塑性问题


塑性力学的基本方程
3 基本方程与基本解法
根据基本方程求解 精确解法 即能满足塑性力学中全部方程的解。 即能满足塑性力学中全部方程的解。 近似解法 即根据问题的性质， 即根据问题的性质，采用合理的简化假 设，从而获得近似结果。 从而获得近似结果。 有限元数值分析方法 它不受物体或构件几何形状的限制， 它不受物体或构件几何形状的限制，对于各种复 杂的物理关系都能算出正确的结果。 确的结果。
s s
J.Bauschinger(
德国)
塑性变形较大时， σ-ε曲线不能真正 反映加载和变形的 状态。 状态。 例如颈缩阶段， 阶段， σ-ε曲线上试件的 应变增加而应力反 而减小，与实际情 况不符。 颈缩后，由于局部的实际横截面积的减小，局部的 拉应力仍在增加。 拉伸失稳状态
真实应力和真实应变
4 基本概念
4 基本概念
③理想刚塑性模型
σ =σs
韧性 材料
②线性强化弹塑性模型
Eε
σ =
塑性成形阶段， 塑性成形阶段， 忽略弹性应变 σ = σ ② ①
ε σ
④线性强化刚塑性模型
s
(ε ≤ ε s ) ′ σ E ε ε ε > εs) + ( − ) ( s s
+ E ′ε
σ
E′
E′
σs
E
σs
o
④ ③
实验表明， 实验表明，直到1500MPa，体积变形仍然是弹性的， 体积变形仍然是弹性的，并且 这种弹性体积变化是很小的。 这种弹性体积变化是很小的。钢在1000MPa下体积仅缩小0.6% 因此， 因此，对于金属材料， 对于金属材料，可忽略弹性的体积变化， 可忽略弹性的体积变化，认为材料 不可压缩。 不可压缩。 对于金属材料， 对于金属材料，静水压力对初始屈服应力的 影响很小， 影响很小，可以忽略不计。 可以忽略不计。

应用弹塑性力学ch5-part3-简单的弹塑性力学问题


(a)
相容方程与无体力情况一样为重调和方程。在弹性状态下， 物体内任一点的应力函数均应满足重调和方程，也可以将 应力边界条件表示为应力函数的形式。这样先求出物体内 应力函数，再由式（a)求出应力分量。 一般地，应力函数可以选为多项式或级数的形式，具 体选择什么样的多项式及级数依具体问题的边界条件 来确定。
由第一式对x求偏导,第二式对y求偏导,然后再将两式相加, 整理得
2 xy
整理得:
2 2 y 1 x 2 2 xy 2 x y

2 2 2 2 ( x y ) 0 x y
即
( x y ) 0
(5.78)
h
dy x x 0
h h
dy 0 xL
xL
(a)
(5.79)
h
ydy x x 0
h
ydy M
(5.80)
设应力函数为
cy
3
(b) (5.81)
其中c为待定参数。设定的函数(b)显然满足双调和方程。由应 力函数与应变分量的关系，可求得应力分量
这样定义的应力函数能满足平衡方程式(5.70)，且将其代 入后得到 即
0 4 0
2 2
上式称为 双调和方程或应力函数表示的协调方程，也叫 相容方程，适用于无体力的弹性力学问题。
对于常体力情况，应力函数解可写成
2 2 2 x 2 xX , y 2 yY , xy y x xy
z xz yz 0 x x ( x, y ) y y ( x, y )

u u( x, y), v v( x, y)

弹塑性力学 第一章 绪论

弹性力学：研究固体材料弹性变形阶段 的力学问题。 塑性力学：研究固体材料塑性变形阶段 的力学问题。
σ
o
ε
1
3. 塑性力学与弹性力学的关联和区别： 密切性——弹性力学中的一些基本假设、应力应变分析、与 材料物理性质无关的基本概念、连续介质力学的宏观方法等 与塑性力学一致； 区别性——（A）应力应变关系，即本构关系：弹性力学有 广义胡克定律统一的应力应变关系，而塑性力学没有；（B） 与弹性力学不同，塑性力学的方程是非线性的，变形与加载 历程有关，数学求解更加困难。 4. 塑性力学所研究的问题： (1) 以试验观察所得结果为出发点，建立塑性状态下变形的基本
11
应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
强化阶段： 此阶段材料抵抗变形的能力有所增强。 如要增加应变，必须增大应力。 材料的强化 强度极限b —对应点G (拉伸强度)， 最大名义应力。 强化阶段的卸载再加载规律： 若在强化阶段卸载，则卸载过程 - 关系为直线。 立即再加载时，-关系起初基本上 沿卸载直线上升直至当初卸载的荷载， 然后沿卸载前的曲线断裂—冷作硬化 现象。
松木顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的s —e 曲线 特点： a、顺纹拉伸强度很高，但受木节等缺 陷的影响波动； b、顺纹压缩强度稍低于顺纹拉伸强度， 但受木节等缺陷的影响小。 c、横纹压缩时可以比例极限作为其强 度指标。 d、横纹拉伸强度很低，工程中应避免 木材横纹受拉。 许用应力 [] 和弹性模量 E 均 应随应力方向与木纹方向倾角 不同而取不同数值。
p0.2
对应于p=0.2% 时的应力值
14
应用弹塑性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS

塑性力学-绪论与第一章N


比例极限、弹性极限；线性弹性、弹性
§1.2
一种没有 明显的屈 服阶段， 例如一些 铝材的拉 伸试验曲 线。
一种有明显 的屈服阶段， 例如低碳钢 的拉伸试验 曲线。在这 种情形下， 在“屈服平 台”上应力 保持不变， 应变可以有 很大增长。
2. 如果应力超过弹性极限还继续加载，则完全卸载后应 变仍不为零，残留的应变称为塑性应变。记为 P 。 因此，弹性极限是产生不产生塑性应变的分界应力。
地震时混凝土构件中钢筋的塑性变形
切削中的塑性变形
图片引自周增文主编：《机械加工工艺基础》
材料的破坏伴随着塑性变形
（金属）材 料破坏区域 在破坏前经 历了明显的 （有时是非 常剧烈的） 塑性变形
材料的破坏伴随着塑性变形
（金属）材 料破坏区域 在破坏前经 历了明显的 （有时是非 常剧烈的） 塑性变形
尽管已取得很大成就，未解决的问题依然很多。特别是各种材料 的本构描述及小尺度下的材料塑性性质等方面。
塑性力学的应用
估计（或预测）工程结构的强度和寿命（塑 性力学通常会被用到）
寻找充分发挥材料的强度潜力的方法（例如 研究在哪些条件下可以允许结构中某些部 位进入塑性变形，以充分发挥材料的强度 潜力，减少用料，减轻结构自重 ）
线性强化
§1.3
2 线性强化弹塑性模型 （材料的强化率较高且强化率在一 定范围内变化不大）
为分析简便，将材料

E'
的应变强化假定为线性强
化、并假定拉伸和压缩的 s
屈服应力绝对值相同、强 E 化模量也相同。
s E'
s E
于是单调载荷下（即 不考虑卸载时）的应力应 变关系可以写为：
o


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当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 可近似地认为体积是不可压的。 可近似地认为体积是不可压的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。
§1.3 应力-应变关系关系的简化模型
1．理想弹塑性模型
当 < σs时 ε = σ E ， σ ε 当 = σs时， = σ E + λsignε σ
σ
(5)
（假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同） 假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同）
类似地，上式也可用应变表示为： 类似地，上式也可用应变表示为：
当ε ≤εs时 σ = Eε , , 当ε > εs时 σ = [σs + E′( ε − εs )]signε.
基本方程: 基本方程: ①几何关系 ②守恒定律 ③本构方程
§1.2 材料在简单拉压时的实验结果
一、实验描述
A0 l0
A0
l0
材料： 材料：金属多晶材料 受力： 受力：单向拉伸或压缩实验 名义)应力： (名义)应力：σ=P/A0 名义)应变：ε=（ (名义)应变：ε=（ι-ι0）/ι0
二、实验曲线
σ
M M1 C C
σ
σS
O
A
上屈服点
M1
σS
M
下屈服点
N
ε
p
ε
e
ε
O
εS
ε
M′
A′
(a)
M ′′
(b) 图 2
实验曲线加载过程
线弹性阶段 非线性弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 颈缩阶段
实验曲线卸载过程
σp
σ
σb
σe σs σb
M A
C
σS
O
N
ε
弹性阶段： 弹性阶段：卸载沿原路返回 塑性阶段：卸载沿直线返回， 塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性 阶段相同
类似地，上式也可用应变表示为： 类似地，上式也可用应变表示为：
σ
(4)
σS
当ε ≤ εs时， = Eε, σ σ 当ε > εs时， = σs signε
O εS
ε
图 3
适用：强化率较低的材料， 适用：强化率较低的材料，在应变不太大时可忽略强化效应
2．线性强化弹塑性模型
当 ≤ σS时 ε = σ σ , E, σ , 当 > σS时 ε = σ / E + (σ −σs )( 1 − 1 )signσ E′ E
随动强化模型
σ −ψ(ε p ) = σs ,
上式在线性强化情形下也可写为 σ
p （ψ(ε ) 是塑性应变ε p的单调递增函数） 的单调递增函数）
σ
M
A
C
S
σ − hε = σs ,
p
dψ （h = p 是一个常数 ） dε
A'
O
M'
N
ε
M ''
图2（a）
该模型对应图2 该模型对应图2（a）中的 NM和 NM''。
三、材料本身的失稳现象
例如，在低碳钢拉伸实验中由上屈服应力突然下降到下 例如， 屈服应力的现象，它与材料变形的内部微观机制的变化 屈服应力的现象， 有关。 有关。
塑性力学
第一章 简单应力状态下的 弹塑性力学问题
§ 1.1 § 1.2 § 1.3 § 1.4 § 1.5 § 1.6 § 1.7 § 1.8 § 1.9 §1.10 §1.11 引言 材料在简单拉压时的实验结果 应力应力-应变关系 简化模型 轴向拉伸时的塑性失稳 简单桁架的弹塑性分析 强化效应的影响 几何非线性的影响 弹性极限曲线 加载路径的影响 极限载荷曲线（ 极限载荷曲线（面） 安定问题
§1.1 引言
一、变形 弹性变形： 弹性变形：物质微元的应力和应变之间具有单一的 对应关系 非弹性变形： 非弹性变形：应力和应变之间不具有单一的对应关系 塑性变形 （是指物体在除去外力后所残留下 非弹性变形
的永久变形） 的永久变形） 弛等） 弛等） 随时间而改变，如蠕变、 粘性变形 （随时间而改变，如蠕变、应力松
三、两种现象
σ
M
C
应变强化：
材料经过塑性变形得到强化
σS
A
O
包氏效应：
实验曲线反向加载： 实验曲线反向加载：
M A'
'
N
ε
M ''
图2（a）
单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高(图2（a） 单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高( 中的M´´点 中的M´´点) 多晶体，其压缩屈服应力（ 多晶体，其压缩屈服应力（M´点）一般要低于一开始 就反向加载时的屈服应力（ ）。这种由于拉伸时强 就反向加载时的屈服应力（A´点）。这种由于拉伸时强 化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应 包氏效应（ 化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应（Bauschinger effect）。 effect）。
σ =ψ(ξ), —— ξ 是刻画塑性变形历史的参数
例如：可取 ξ = 例如： 或
σS
A
O
M A'
'
N
ε
dε P ∫
P P
ξ =W = ∫ ε σd
M ''
图2（a）
该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2 该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2（a）中的NM 和NM'' 。
适用： 适用：拉伸时的屈服应力和压缩时的屈服应力始终是相等 的。
2. σ与ε之间的线性关系 ε=σ/E+εp
（1） ）
有适用范围的。对于固定的内变量ε 有适用范围的。对于固定的内变量εP，σ或ε并不 σ 能随意取值。 能随意取值。
M
C
例如，对处于图2（a）中的M点，当加 中的M 例如，对处于图2 载时即应力（或应变）继续增长时， 载时即应力（或应变）继续增长时， 应力应变曲线将沿AMM 方向延伸， 应力应变曲线将沿AMM1方向延伸，公 当卸载时即应力（或应变） 当卸载时即应力（或应变）减小时应 力应变曲线才以（ 式的规律沿MN 力应变曲线才以（1）式的规律沿MN 向下降。 向下降。为了区分以上这种加载和卸 载所具有的不同规律， 载所具有的不同规律，就必须给出相 应的加卸载准则 加卸载准则。 应的加卸载准则。
适用： 适用：材料的强化率较高且在一定范围 内变化不大
σS
E′
O εS
E
ε
图 4
3．一般加载规律
对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系： 对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系：
σ = φ(ε ) = Eε[1−ω(ε )]
其 中 0 ω(ε ) = [Eε - φ(ε )]/(Eε ) 当ε ≤ εs 当ε > εs
适用：考虑包氏效应， 适用：考虑包氏效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力的代数 值之差，即弹性响应的范围始终是不变的。 值之差，即弹性响应的范围始终是不变的。
§1.4 轴向拉伸时的塑性失稳 σ
M
C
一、拉伸失稳的概念 1、拉伸失稳： （见图2） 拉伸失稳： 见图2
在最高点以后， 在最高点以后，增加应变时 应力反而下降， 应力反而下降，在通常意义 下称试件是不稳定的。 下称试件是不稳定的。
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变， 说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 0.7 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性， 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。 数学表达式上也较为简单。
σ
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
C
等向强化模型
则在颈缩时真应力应满足条件
C′
O
1
~ ε
~ ~ ~ ~ dσ = ( dσ ⋅ dε )eε +σ ⋅ eε = σeε = σ ~ ~ ~ dε dε dε
~ ~ 拉伸σ - ε 曲线
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。 结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
~ σ = σ (1+ ε ),
~ σ C ′′ C
~ ~ σ = σ (ε )
颈缩时的条件也可写为： 颈缩时的条件也可写为：
σ = σ (ε ) ε
~ ~ dσ = dσ (1+ε ) +σ = σ = σ , dε dε 1+ε
即
O
1
~ ~ = dσ (1+ ε). σ dε
(b)
~ 拉伸σ - ε曲线
σ
(6)
A
C
——表示图5（a）中的 AC/ AB 表示图5 表示图 线段比
O ε
p
B
ε
ε
(a)
4．幂次强化模型
σ = Bε signε, （8）
m
σ
σ0
1.0
（其中B>0，0<m<1）
注：这种模型在 ε =0处的斜率为 无穷大， 近似性较差， 无穷大 ， 近似性较差 ， 但在数学 上比较容易处理。 上比较容易处理。
二、塑性与脆性 如果变形很小就破坏，便称是脆性 如果变形很小就破坏，便称是脆性 ——采用弹性理论分析 ——采用弹性理论分析 如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的 如果经受了很大的变形才破坏， 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强， 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便 称是塑性 在这种情况下， 塑性。 称是塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。 ——采用塑性力学分析 ——采用塑性力学分析