材料力学应力状态

例2 分析受扭构件的破坏规律。
yx
C M C
解：确定危险点并画其原
始单元体
xy
xy
x y 0 Mn xy WP
求极值应力
yx
y O
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 2
2 xy
低碳钢 : s 240MPa; s 200MPa
灰口铸铁 : Lb 98 ~ 280MPa
低碳钢
yb 640 ~ 960MPa; b 198 ~ 300MPa
铸铁
根据给定的剪力图能否确定梁的受力，能否确定梁 的支承性质与支承位置？答案是否具有唯一性？由给定 的剪力图能否确定弯矩图，答案是否唯一？
由此的两个驻点：
01、（ 01 ）和两个极值： tg20 x y 2
x y x y 2 m´ 2 ax xy ±（ ´ ） 2 2 m in
0 极值正应力就是主应力！
0
p
2 xy
y
x
y O x
xy
1 max ; 2 min
2 max 100 60 124.72 100 60 2 (40) 35.28 MPa min 2 2
主平面方位
0
1 124.72MPa ,
2 35.28MPa ,
2 (40) tg 2 0 2 100 60
对上述方程消去参数（2），得：
x
y O
y
x
xy

x y x y 2 2 xy 2 2 n
2 2
此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，

由德国工程师：Otto Mohr引入）
y

y x n D( , ) 2 C O O
2

m
pD 4
pDl
p
F
t t ( 2 l )
y
0
t
t (2 l ) p(D l )
pD t 2
m
t
t 2 m
x
二向应力状态
y
x
y
由平衡即可确定任意方向面 上的正应力和切应力。
示例二：
l/2
FP
S平面
l/2
5 4 3 2 1
研究的来源 围绕一点所取各个方位截面上的应力组合(正应力和剪应力）情况复杂多样 因此提出了这类（复杂应力状态下）问题的应力、应变分析和强度条件。
任意实数
[ ]？ [ ]？
2 2 1
2 [ ] or 1 [ ]？ f ( 1 , 2） [ ]？
A(95, 25 3)
25 3
2
45 B
150°
95
A
0
25 3
1
B(45, 25 3)
(MPa)
B A 20MPa
AB的垂直平分线与
轴的交点C便是
圆心，以C为圆心， 以AC为半径画
3
20
C
O 2
1

(MPa)
圆——应力圆
主应力及主平面如图
1 120 2 20 3 0
x
1 ; 2 0; 3
tg2 0
2 xy
x y
0 45
x y 2 2 max （ ） xy 2 min
破坏分析
x y tg21 0 1 0 2 xy
25 3
y 45MPa yx 25 3MPa xy
x ?
y O x
60 95MPa 60 25 3MPa

x y
2
sin 2 xy cos 2
例1 已知单元体的应力状态如图（a）所示。求： （1）图示ef截面的应力； （2）主应力大小及主平面方位； （3）作主单元体图； （4）极值剪应力。 解：（1）ef截面的应力为 100 60 100 60 30 cos 60 (40)sin 60 124.64MPa 2 2 100 60 30 sin 60 (40) cos 60 2.68MPa 2 （2）故主应力为
x z
y
A
z x x
y
A
x
x
A
x
y
y
示例一 承受内压薄壁容器任意点的应力状态
m
t
p
Ｄ
l
pDl
m
(p D)
m
Ｄ
pp D 2 ４
p
m
t
t t (2 l )
m
(p D)
m
Ｄ
pp D 2 ４
m

F
x
0
πD m (π D ) p 4
y 一、任意斜截面上的应力 规定： 截面外法线同向为正；
xy
x
图1
绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
O

x
y
y
x
xy
图2

F
n
n
0
S x S cos 2 xy S cos sin
y S sin 2 yx S sin cos 0
q 25 kN m
50
30
m
20 kN
M knm
100
50
m
50 20kn
q＝20kn／m
平面应力状态分析——图解法
y x
y O x
一、应力圆（ Stress Circle）
xy

x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 cos 2 xy 2
n
二、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A( x，xy)和 B(y，yx) x

x
xy
A(x ,xy)
AB与 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；

B(y ,yx)
y

y
n
三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
1)每个面上应力均匀分布； 2)每对相互平向的面上应力相等
主单元体、主面、主应力：
y
y x
主单元体(Principal body)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。 主平面(Principal Plane)：
z
z x
剪应力为零的截面。
主应力(Principal Stress ）：
2 1
应力状态和强度理论
1、应力状态的概念 2、平面应力状态 3、三向应力状态 4、强度理论
应力状态的概念
一、引言
1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ P M 低碳钢 铸铁压缩 P
铸铁拉伸
铸铁Hale Waihona Puke Baidu
P P
2、组合变形杆将怎样破坏？ M
1 应力状态的概念
一点的应力状态（State of Stress at a Given Point）— 围绕一点所取单元体在各个方位截面上应力情况的总称
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
3
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
点面对应
x' y'
y
yx
a
A xy
x y
2
（
x y
2
2 2 ） xy
3 2
1

min
max max min R半径 2 min
x y 2 2 （ ） xy 2
例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 解：主应力坐标系如图 在坐标系内画出点
3 0
（3）作主单元体图b所示。
（4）极值剪应力为
max
100 60 2 (40) 44.72MPa 2 min
2
应力圆与应力单元体之间 三个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐
标值对应着微元某一方向面上的正应 力和切应力； 转向对应——半径旋转方向与方向 面法线旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是 方向面法线旋转角度的两倍。

例1：图示是一简支梁的剪 力图与弯矩图，试根据此 图求出与其相应的荷载图。
例2：图示是一梁的剪力图， 假设无集中力偶作用，试根据 此图求出与其相应的荷载图和 弯矩图。
Q
KN 50 1m 1m 2m
2m
20kn
2m
20kn 20kn
50
2m
50
20knm
10 20
q
q 50 kn
20 20kn m 20kN m
25 3
2
45 B
150°
95
A
0
25 3
1
0 30
(MPa)
B A 20MPa
3
20
C
O 2
1

(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
25 3
45
150°
95
x y 2 2 1 x y （ ） xy 2 2 60° 2
应力状态的概念
研究的依据 围绕一点所取各个方位截面上的各种应力组合之间存在着某种理论联系
cos 2 ,

2
sin 2
sin 2 , cos 2
研究的内容
围绕一点所取各个方位截面上的最大正应力，最大剪应力及其方位
研究的方法 以单元体为研究对象或模型： 一般单元提取为正六面体。
主平面0
主应力m1 m2
tg 2
2 xy
x y
m1,m 2
x y
2
(
x y
2
2 ) 2 xy
0和m1 m2排列 1 2 3 最大剪应力
max
max min
2
平面应力状态-解析法
y x
2 平面应力状态分析
平面（二向） 应力状态
( Plane State of Stresses )
yx
y
x
y
xy
x
平面应力状态-解析法
斜截面上的应力（对）, x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
O

y x
y
考虑剪应力互等和三角变换，得：
xy
x
图1
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
同理：
O

x
y
y
x
xy
图2

x y sin 2 xy cos 2 2
n
O

二、极值应力
d 令: ( x y ) sin 2 0 2 xy cos 2 0 0 d 0
FP 2
S平面
FP l Mz 4
5 4 3 2
1
2
1
x
1
2
2
x
2
3
3
3


l
示例三
S
FP
a
S平面
y
1 4
z
2 3
x
y
1
FQy
Mx 1 Wp
1 4
z
x
1
Mz Wz
Mz
x
3
Mx 3 Wp
2 3
Mx
Mz x Wz
3
4
M x 4 FQy 4 Wp 3A

x
xy
面的法线
x n D( , ) 2 C O O x
应力圆的半径
A(x ,xy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；

B(y ,yx)
四、在应力圆上标出极值应力

max
21 O C B(y ,yx) 20
x A(x ,xy)
1 OC R半径 3
1在剪应力相对的项限内，
且偏向于x 及y大的一侧。 y
y
主 单元体
2
x
xy 1
x
d 令: d
0
1
x y tg21 2 xy
O
x y 2 2 max ± （ ）x y 2 min
0 1 p
4 , 即极值剪应力面与主面成450