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材料力学应力状态分析

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工程力学-材料力学之应力应变状态分析

工程力学-材料力学之应力应变状态分析

σ1

μσ2

σ3
0
2

1 E
σ2

σ1

σ3


0
z
y
y
z
x
x
12
(Analysis of stress-state and strain-state)
解得
σ1

σ2

(1 1 2
)
σ
3

铜块的主应力为
0.34(1 0.34) 1 - 0.342
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
对于平面应力状态（In plane stress-state）
(假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 )
y
1 εx E (σx μσ y )
εy

1 E
(σ y

μσx )
εz

μ E
(σ
y

σx)
z

xy

xy
G
y
yx xy
x
x
y yx xy x
6
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)

材料力学 第八章 应力状态分析

材料力学 第八章 应力状态分析

利用三角函数公式
{
2
2 sin cos sin 2
并注意到 y x 化简得


x y
2

x y
cos 2 x sin 2
x y
2
sin 2 x cos 2
19
8.2 解析法分析二向应力状态
2.正负号规则
y
y
x
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
31
8.2 解析法分析二向应力状态
主平面的方位：
x

y
x
n
2 x tan 2 0 x y x 60 0.6 60 40
0 15.5 ,
代入 表达式可知
1.斜截面上的应力
已知：x ，y ，x， y ； 求：任意斜截面的应力（面 ）
y
y
x
x

x

n

x

y
x
y
y
dA
t
F
n
0
F 0
t
17
8.2 解析法分析二向应力状态
列平衡方程
x

x
n

Fn 0
y
y
dA
t
dA x (dA cos ) sin x (dA cos ) cos y (dAsin ) cos y (dAsin ) sin 0
4. 切应力极值和方向
采用同样的方法：

x y
2
sin 2 x cos 2
d 令 0 d

材料力学第9章 应力状态分析

材料力学第9章 应力状态分析

B
方位角α, 对应于应力圆上为2 α
a τy σy τx e σα σx a ταf
n
c
τ
a
B 2a
τσx x x o C
角, 自起始半径旋转, 且与α转向 一致；
A 单元体上A、B面夹角α, σ 应力圆上弧长AB的圆心角
b
σyτy d
为2 α角, 且转向一致。
3、主应力、主平面与主单元体
t
图解法
tadA (t xdAcosa ) cosa (s xdAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina) cosa 0
关系式
t x =t
(负号已包含在指向中）；
y
sin
2a
2 sin a
cosa；
cos2 a 1 cos 2a ； sin2 a 1 cos 2a
t
图解法
注意A1、A2点
σx
σ( 2,0)
A2 B2
σ τ E(
2a
Dα1，σ( xα,)τ x )
2a
数值 方位
τy τx
o
σ a C B1 A1 σ
( 1,0) 主点法
s1 = sx s y
s2
2
s
(
x
s
2
y
)2
t
2 x
tan
2a0
2t x sx s
y
(σy ,Dτ2y) σy
K
s1的方位
作D1K⊥σ轴, 交圆与K点, 则A2K方向
2
2
sa、ta
计算公式
sa
ta
sx sx
sy
2
s y

了解材料力学中的应力分析方法

了解材料力学中的应力分析方法

了解材料力学中的应力分析方法材料力学是研究材料行为及其力学特性的学科，应力分析方法是其中的重要内容之一。

在材料力学中，应力是描述物体内部受力情况的力学参数，而应力分析方法则是利用各种数学和物理手段来确定物体内部应力分布的过程。

本文将介绍几种常见的应力分析方法，并探讨其适用范围和基本原理。

1. 等效应力法等效应力法是最常用的应力分析方法之一，其基本原理是将复杂的三维应力状态简化为等效应力的一维问题。

等效应力通常使用了一些特定的理论假设，如弹性体材料的等效应力假设和受力高度假设。

通过计算等效应力，可以得出物体是否会发生破裂或变形的结论，从而指导工程实践。

2. 应力分量法应力分量法是应力分析的另一种常见方法，它将应力状态表示为各个坐标轴方向上的应力分量。

常见的应力分量包括正应力、切应力和主应力等。

通过计算和分析这些应力分量，可以更直观地理解和描述物体的内部应力状态，准确判断材料的强度和破坏机制。

3. 应变能法应变能法是一种基于能量原理的应力分析方法。

它假定物体的变形过程是一种能量的转化过程，通过计算和分析物体在外力作用下的应变能量和应力能量的变化情况，可以得出物体的内部应力分布。

应变能法在分析复杂的弹性和塑性变形问题时具有一定的优势，被广泛应用于材料力学和结构力学领域。

4. 有限元法有限元法是一种基于数值计算的应力分析方法，它通过将物体划分为无数个小区域，将连续的应力分析问题转化为离散的微分方程组。

通过求解这个方程组，可以得到物体各个小区域的应力状态，进而得出整体的应力分布情况。

有限元法具有计算精度高、适用范围广的优点，是现代材料力学研究中最常用的方法之一。

综上所述，材料力学中的应力分析方法有很多种，每种方法都有其独特的优点和适用范围。

在实际工程中，应根据具体情况选择合适的方法，结合实际问题进行应力分析，为材料设计和工程实践提供科学的依据。

通过深入了解和掌握应力分析方法，可以更好地解决材料力学中的问题，推动科学技术的进步和发展。

材料力学 应力状态分析 强度理论

材料力学 应力状态分析 强度理论
29
§7-4 三向应力状态
由三向应力圆可以看出： 由三向应力圆可以看出：
τ
3
τ max =
σ
σ 1 −σ 3
2
2
0
σ3
σ2
1
σ1
结论： 结论： 代表单元体任意斜 截面上应力的点， 截面上应力的点， 必定在三个应力圆 圆周上或阴影内。 圆周上或阴影内。
30
§7-5
广义胡克定律
y x
1. 基本变形时的胡克定律 1）轴向拉压胡克定律 σ x = Eε x 横向变形
2
σ x +σ y
2τ x tan 2α 0 = − =1 σ x −σ y
σ max = 105
α 0 = 22.5°
α 0 = 22.5° 或112.5°
σ min = 65
25
(二)使用图解法求解 二 使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出： 作应力圆，从应力圆上可量出：
τ
σ α = 102 MPa τ α = 22 MPa σ max = 105 MPa σ min = −65 MPa α 0 = 22.5° τ max = 85 MPa
2
§7—1 应力状态的概念
铸 铁 低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
3
§7—1 应力状态的概念
低碳钢 铸 铁
脆性材料扭转时为什么沿45 螺旋面断开 脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？ 45 螺旋面断开？
4
§7—1 应力状态的概念
l
S平面
T y
1 4
τ yx
σy
t
∑F =0
t
τ α dA − τ xy (dA cos α ) cos α − σ x (dA cos α ) sin α + τ yx (dA sin α ) sin α + σ y (dA sin α ) cos α = 0

应力状态-材料力学 经典

应力状态-材料力学 经典

将0值代入，得：
一点的应力状态
x y x - y 2 2 ( ) xy 2 2 x y x - y 2 2 - ( ) xy 2 2
应力状态/应力圆
主应力排序：
12 3



a
o 2
d
c
2qp

1
3 o
应力状态/应力圆
利用应力圆确定主应力
y
D

xy
A
x
a
yx
o B1 d
c
2q p

A 1
x y x - y 2 2 0c cA ( ) xy oA 1 1 2 2 x y x - y 2 2 oB1 0c - cB1 - ( ) xy 2 2 一点的应力状态
x



-
yx
xy
y
即又一次证明了剪应力的互等定理。
一点的应力状态
应力状态/应力圆
三、应 力 圆
（Mohr’s Circle for Stresses）
1、应力圆方程
x y x - y cos 2 - xy sin 2 2 2
5 4
FP 2
S平面
5 4 3 2
1
3
2 1
Mz x1 Wz
FP l Mz 4
2
3
x2
2
1
2
3
一点的应力状态
应力状态/应力状态的概念及其描述
主平面：单元体上剪应力为零的平面
主应力：主平面上的正应力
通过任意的受力构件中任意一点，总可以找到三个

材料力学-应力状态与应变状态分析


s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义 虎 克 定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变 体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则 ＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz

材料力学课件第7章 应力状态分析

α+
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。

材料力学应力状态


2
y
2
x
y
2 xy
J12 4
J2
R2
sin
2 0
xy
R
c os 2 0
(
x
R
y
)
/
2
x
y
2
R cos(2
20 )
R sin(2 20 )
x
2
y
2
2
R2
x
2
y
2
2 xy
6.2 平面应力状态
H ( , )
B
O
yx
y E
2
R
2
C 2 0
( x y ) / 2 x
y
y yx n
40
30 z
( MPa )
80
x
z 30MPa (主应力) x 80MPa y 40MPa
(1)求主应力
xy 40MPa
~m ~m
ax in
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
104.72 15.28
(MPa)
1 104 .72MPa 2 15.28MPa 3 30MPa
3
2
-30 O 15.28
( 3 1)( 3 2 )
2 n
(
n
2
2
3
)
2
2
3
(
n
2
2
3
)
2
2
3
0
n
2
2
3
2
2 n
2
2
3
2
O
c1
3 2
c2 c3

应力状态分析2,同济大学材料力学课件



s1 s3
2
t max
(s1, s 3, t13 ) s 2
s3
ta
s
o s
sa
s
3
例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，
最大切应力tmax及作用面。
y
20MPa
20
20MPa
40MPa
20MPa
x
z
20 40
(a)
(b)
解：由图示应力状态可知sz=20MPa为一主应力，
s3 s1
1

1 E
s 1
s3
3

1 E
s 3
s1
s1

E
1
2
1

3

210109 1 0.32
(240

0.3160) 106
44.3MPa
s 3

E
1 2
3

1
210109 1 0.32
(160
0.3 240) 106

E
1 2
3

1
20.3MPa
s1 44.3 MPa ; s 2 0; s 3 20.3 MPa ;
2



E
s
3
s1


0.3 210 109
(22.3

44 .3) 10 6
34.3106
17
平面问题广义胡克定律的一般形式:
sy
t max
s
o s
sa
s
图a
结论 ——
图b
1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对
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