图形的相似线段成比例

图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：CABD CABDE E D BACDE ∥BC∠B ∠AED∠B ∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型母子型AC ∥BD∠B ∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．AD B C。

九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。

③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

三角形中的相似关系与判定方法在几何学中，相似是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能不相等的大小。

在三角形中，我们常常遇到相似关系，并且有特定的判定方法来确认它们是否相似。

本文将探讨三角形中的相似关系及其相应的判定方法。

一、三角形的相似关系三角形的相似关系是指两个或多个三角形具有相同的形状，其对应的角度相等、对应的边长成比例。

当两个三角形相似时，我们可以推断它们的相似性质，例如角度对应相等、边长成比例等。

在三角形ABC与三角形DEF中，若满足以下条件，可以确定它们相似：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F；2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。

二、三角形相似的判定方法在几何学中，我们可以利用以下几种方法来判定三角形相似：1. AA相似法则（角-角相似法则）若两个三角形的两个角对应相等，则可以判定它们相似。

即在三角形ABC与三角形DEF中，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。

2. SAS相似法则（边-角-边相似法则）若两个三角形的两个边对应成比例，且夹角对应相等，则可以判定它们相似。

即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。

3. SSS相似法则（边-边-边相似法则）若两个三角形的所有边对应成比例，则可以判定它们相似。

即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。

4. 直角三角形相似定理在直角三角形中，若两个直角三角形的斜边长度成比例，则可以判定它们相似。

即在直角三角形ABC与直角三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF，则可以推断直角三角形ABC与直角三角形DEF相似。

5. 平行线分比定理若两个或更多平行线截取的线段成比例，则可以判定三角形相似。

图形的相似知识点总结及练习1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m：n例：已知线段AB=2、5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。

2、比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

）例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。

（2）比例性质1、基本性质: （两外项的积等于两内项积）2、反比性质：(把比的前项、后项交换)3、更比性质(交换比例的内项或外项)：4、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变、）如果，那么、注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零、 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立、例：已知5、合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）、知识点二：平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

用符号语言表示：∵AD//BE//CF,∴ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF2、推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

（1）是“A”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找几何语言：由DE∥BC可得：、此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行、例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,AGGC=23，则DFDC=_______。

知识点三：相似形多边形1、定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。

2、相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

数学相似图形知识点总结归纳※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成.※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c 与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数;⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.三、相似多边形¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5、相似三角形周长的比等于相似比.※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.※1、相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例.①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。

专题 图形的相似第一讲：成比例线段与平行线分线段成比例一、成比例线段知识点1、 相似的图形相似的图形一般而言，一般而言，一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是相似图形。

相似图形。

注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看做的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。

的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。

知识点2、两条线段的比、两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们的长度之比，比就是它们的长度之比，即即AB:CD=m:n,AB:CD=m:n,或写成或写成nmCD AB =，其中，其中，线段线段AB AB，，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。

如果把n m 表示成比值k ，那么k CD AB=，或者AB=k AB=k··CD CD。

注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统一时，要先化成同一单位长度；化成同一单位长度；2 2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同的长度单位即可。

的长度单位即可。

★知识点3、成比例线段、成比例线段对于四条线段对于四条线段a,b,c,d a,b,c,d，，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

段是成比例线段，简称比例线段。

注意：1、如果cbb a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项；的比例中项；2 2、在比例式、在比例式a:b=c:d 中，中，d d 叫做a ，b ，c 的第四比例项；的第四比例项；3 3、成比例线段是有顺序的，即、成比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d 知识点4、比例的性质、比例的性质1 1、比例的基本性质：如果、比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc ad=bc；； 如果如果ad=bc ad=bc（（a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d cb a = 2 2、等比性质：如果、等比性质：如果)0...(...¹+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b m c a =++++++......3 3、合比性质：如果、合比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a +=+4 4、分比性质：如果、分比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a -=- 【例题解析】例1、观察下列图形，指出、观察下列图形，指出 是相似图形是相似图形是相似图形. .例2、线段AB 被点M 分成32=BM AM ,则=MB AB ,=AM MB 例3、如果的值。

《成比例线段》图形的相似汇报人：2023-12-18•成比例线段的概念与性质•相似图形的定义与性质•成比例线段与相似图形的关系目录•成比例线段与相似图形的综合应用•总结与展望01成比例线段的概念与性质0102成比例线段的定义成比例线段也可以理解为两个相似图形中的对应线段之间的比值相等。

成比例线段是指在平面上画两条线段，如果它们之间的比值等于另外两条线段之间的比值，则称这两组线段成比例。

如果两条线段成比例，则它们之间的比值是常数，即 a:b = c:d。

性质1性质2性质3如果两条线段不成比例，则它们之间的比值是无理数，不能用分数表示。

如果两条线段成比例，则它们之间的长度比值等于它们之间的面积比值。

030201方法2利用相似三角形的性质进行判定。

如果两个三角形相似，则它们的对应边之间的比值相等，从而可以判定四条线段是否成比例。

方法1利用定义进行判定。

如果四条线段a、b、c、d满足a:b = c:d，则它们成比例。

方法3利用平行线的性质进行判定。

如果两条线段平行，则它们之间的比值等于另外两条平行线段之间的比值，从而可以判定四条线段是否成比例。

02相似图形的定义与性质两个图形在大小和形状上完全相同。

两个图形形状相同两个图形对应角相等，即每个对应角都相等。

对应角相等两个图形对应边成比例，即每条对应边之间的长度比相等。

对应边成比例相似图形的定义相似比是两个图形对应边之间的长度比，它反映了两个图形的大小关系。

相似比由于相似图形对应边成比例，因此它们的面积比等于相似比的平方。

面积比由于两个图形形状相同，因此它们的对应角相等。

对应角相等根据相似图形的定义，直接判断两个图形是否相似。

定义法利用相似三角形的判定定理，通过比较三角形的三边长度或两边长度之比来判断两个三角形是否相似。

判定定理法通过比较两个图形的对应角和对应边的长度来判断它们是否相似。

SAS判定法通过比较两个图形的两个对应角和包含的边长来判断它们是否相似。

九年级数学上册知识点图形的相似一、成比例线段1.定义：（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。

截得的线段成比例。

三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件1.两角分别相等的两个三角形相似。

2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3.三边成比例的两个三角形相似。

4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

六、利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子2.利用标杆3.利用镜子的反射七、相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

图形的相似成比例线段contents •引言•图形的相似•成比例线段•图形相似与成比例线段的关系•典型例题与解题方法•总结与回顾目录如果两个图形对应角相等，对应边的长度成比例，那么这两个图形称为相似图形。

相似图形对应角对应边在两个相似图形中，相互对应的角称为对应角。

在两个相似图形中，相互对应的边称为对应边。

03相似图形定义0201成比例线段在同一平面内，四条线段a、b、c、d称为成比例线段，如果其中两条线段的长度比等于另外两条线段的长度比，即a/b=c/d。

交叉乘积定理在成比例线段中，交叉乘积相等，即ad=bc。

成比例线段定义学习目标通过学习图形的相似和成比例线段，我们应该达到以下目标能够运用这些知识解决简单的几何问题；掌握相似图形和成比例线段的基本概念和性质；培养空间思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习几何学打下坚实基础。

相似图形的对应角相等，对应边成比例。

形状相同相似图形的大小可以不同，但形状必须相同。

大小可变对应线段之间的比值相等，即若a/b = c/d，则两图形相似，其中a、b、c、d分别为两图形的对应线段。

比例性质两角分别对应相等的两个图形相似。

AA判定两边对应成比例且夹角相等的两个图形相似。

SAS判定三边对应成比例的两个图形相似。

SSS判定建筑设计：建筑师利用相似图形来设计不同尺寸但风格统一的建筑物，如一个小区的房屋、围栏和公园设施。

艺术和设计：艺术家和设计师使用相似图形来创造分形艺术，以及在标志、海报和其他视觉设计中实现缩放效果。

这些性质、判定方法和应用展示了图形相似在几何学和现实生活中的重要性。

理解图形的相似有助于我们更好地分析、设计和应用各种形状和结构。

机械制图：在制造业中，相似的图形用于绘制不同比例的零件和装配图。

相似图形在生活中的应用等比性质在成比例线段中，若将其中两条线段作为一个整体，则其他两条线段的长度比等于这两条线段的长度比，即若a:b=c:d，则有(a+b):b=(c+d):d。

专题05图形的相似重难点题型专训（6大题型）【题型目录】题型一比例的性质题型二线段的比题型三成比例线段题型四由平行判断成比例的线段题型五由平行截线求相关线段的长或比值题型六黄金分割【知识梳理】知识点一、线段的比与成比例线段线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．成比例线段四条线段a、b、c、d中，如果dcba，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段．知识点二、比例的性质知识点三、黄金分割黄金分割若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果ACBCABAC，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为618.0215．知识点四、相似图形相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理【经典例题一比例的性质】约分即可求解．【经典例题二线段的比】第二次裁剪所得矩形的长为第三次裁剪所得矩形的长为第四次裁剪所得矩形的长为第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形，AC【答案】34/0.75为线段我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图且12EF OE ，连接OF ；以F 为圆心，EF 交OE 于点P ．根据材料回答下列问题：(1)根据作图，写出图中相等的线段：________(2)求OP 的长；(3)求证：点P 是线段OE 的黄金分割点．【答案】(1)EF FH ，OH OP (2)51OP (3)见解析【分析】（1）由题意知，EF FH ，OH （2）由勾股定理得225OF OE EF （3）由51OP ，可得2251OP235625OE PE ，则2OP OE 【详解】（1）解：由题意知，EF FH ，OH 故答案为：EF FH ，OH OP ；（2）解：∵EF OE ，∴90OEF ∵2OE ，【经典例题三成比例线段】是线段【经典例题四由平行判断成比例的线段】九年级四川省成都市七中育才学校校考阶段练习）如图，直线A．103B．152【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出【详解】解：∵a b c∥∥，∴AB DEAC DF，A．BH AGBC ADB．EG AGCD AD【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．【答案】54【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：∵直线123l l l ∥∥45AD BC DF CE ，5CE【答案】6【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得后根据平行线分线段成比例定理，可得【详解】解：∵AD平分，∴EAD CAD(1)求证：AG CG ；(2)求证：2CGE BDN (3)若4BD DG ，GP 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3AG a【分析】（1）证明ABG （2）先证明DAF GPD NDC DCP BDN BDC NDC （3）证明PM PC ，得出【经典例题五由平行截线求相关线段的长或比值】A．14B【答案】A【分析】根据a b∥可得BGA．3 20【答案】A【分析】过点F作FG∥由FG BN∥,得BF NG【答案】5:3:2【分析】首先过点M作MK点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得【详解】解：过点M作MK∵M是AC的中点，∴MN NK AN AMEC EF AE AC∵E、F为BC的三等分点，，∴BE EF FC【答案】16【分析】过点D 作DG ::BD CD EG CG 的值．∵:1:3AF FD ，BD ∴::AF FD AE EG ∴3EG AE ，EG ∴3EC EG CG(1)如果4AB ，8BC ，(2)如果:2:3DE EF ，AB 【答案】(1)6(2)15【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到（2）由平行线分线段成比例定理得到392BC AB ，即可得到【详解】（1）解：如图，∵123l l l ∥∥，∴AB DE BC EF，∵4AB ，8BC ，EF【经典例题六黄金分割】【点睛】本题考查了黄金分割点的意义，正确理解黄金分割的定义是解题的关键．上找一点51 51【答案】8516【分析】设AC m ，BD n ，根据【答案】1555【分析】根据黄金分割的定义，得2PA BP AB ，构建方程计算求解．【详解】解：根据题意，2PA BP AB ；∴2(10)10BP BP【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以(1)【操作判断】根据以上操作，直接写出图3中AGGB的值：______；(2)【问题解决】请判断图3中四边形BG MG的形状，并说明理由．(3)【拓展应用】我们知道：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP 割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片ABCD的宽AB为【重难点训练】A ．5B 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：∵a b ∥∥A． 454【答案】A【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键．【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得AB∵，8cm5AP AB故选：A．3．（2022上·山西运城形蕴藏着丰富的美学价值，我们可以用这样的方法画出黄金矩形；作正方形接EF，以FD为半径画弧，A．1个B．2个BG A ．259B ．27【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作FH BC ∥交CD 于H ，则DH HC 根据勾股定理得25AE ，所以【详解】解：如图，作FH ∥则45DH DF HC FG ，E ∵为CD 边中点，19HE ED ，FH AD ∵∥，19FE HE AE DE ，224225AE ∵，259FE ．故选：A ．5．（2023上·浙江·九年级周测）如图，点D ，与BC 的垂线CE 相交于点A ．3:2B ．5:3【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，4FC BC BF ，再根据DF ∥【详解】∵BE 平分ABC ，∴ABD FBD ，∵DF BC ，90A ，∴90DFB A ，【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、坐标与图形性质等知识点，根据三角形的重心的概念8．（2023上·浙江金华，，上，连结AB BC CACF三角形的中位线的判定及性质的综合应用，∵点B 和点F 关于直线DE ∴BD DF BF DE ，，∵AD DF ，∴AD BD DF ，∴,DBF DFB DAF 又DBF DFB DAF ∴ 2180DFB DFA ∴90,DFB DFA 即∴DE AC ∥，∴BD BE AD CE，∵AD BD ，∴BE CE ，∴132BE BC ，在Rt ABF 与Rt CBF △，由勾股定理可得：2222BF AB AF FB CB ，∴2222AB AF CB CF ∵56AB AC BC ，，【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设行四边形的性质可得AD ∥【详解】解：设FD x ，由2AF FD ，则2AF x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∥，AB CD ∥，2233AE AF x EC BC x ，23BE AE EG EC ，∵2BE ，223EG ，3EG ，故答案为：3．10．（2023上·安徽合肥·九年级校考期中）如图，矩形形ABNM 和矩形CDMN ．（1）若矩形CDMN 与矩形的长是，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个设正方形ABCD 的边长为在Rt BCF 中，BF 则2QF BF BQ 设AP PQ x ，则PD 在Rt QPF 和Rt DGF 有222FQ PQ DF 解得512x ，即点P 是AD 的黄金分割点（2）方法如图所示:第一步：对折矩形纸片第二步：再一次折叠纸片，使点14．（2023上·四川内江·九年级统考期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是黄金矩形ABCD 的宽1AB (1)黄金矩形ABCD 的长BC ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．【答案】(1)512(2)矩形DCEF 为黄金矩形，理由见解析(3)点D 到线段AE 的距离为1024【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．（1）根据512AB BC ，AB ，即可求解；（2）先求出512FD EC AD ，再求出DF EF 的值，即可得出结论；（3）连接AE ，DE ，过D DG AE 于点G ，根据1AB EF ，512AD，得出再根据12AED G S AD EF AE D ，即可求解．∵1AB EF ，AD∴22112AE ，在AED △中，12AED S 即AD EF AE DG ，则51122DG ，解得1024DG ，∴点D 到线段AE 的距离为15．（2022上·山西运城·九年级统考期中）阅读与思考请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．下面是小宇同学运用面积的思想对进行了证明．证明：如图，分别连接EB DC ，．设点E 到AB 的距离为1h ，点D 到AC 的距离为2h ，ADE BDE S S 111212AD h BD h AD BD ，ADE DEC S S …任务：(1)请补全以上证明过程．(2)应用以上结论解答问题：如图，在ABC 中，DG EC ∥，【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理的证明与应用：（1）根据两条平行线之间的距离处处相等，可得（2）直接利用平行线分线段成比例定理即可证明．【详解】（1）证明：如图，分别连接设点E 到AB 的距离为1h 则111212ADE BDE AD h S AD S DB BD h 221212ADE DEC AE h S AE S EC EC h ，设点B 到直线DE 的距离为∵DE BC ∥，点C 到直线DE 的距离与点∴12BDE DEC S S DE m ∴ADE BDE S S ADE DECS S ，∴ADDB AE EC．（2）证明：∵DG EC ∥∴AD AG DE GC，。