下载文档原格式
2.8函数模型及函数的综合应用探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及函数的综合应用①了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题2019北京,14函数的实际应用一元一次不等式★☆☆2015北京,8函数的图象2015北京文,8分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数取值范围;利用分离参数法求函数值域,进而求参数的取值范围等.破考点练考向【考点集训】考点函数模型及函数的综合应用1.(2020届北京四中期中,9)某商场实行购物优惠活动,规定:(1)一次性消费不超过200元,则不予优惠;(2)一次性消费超过200元但不超过500元,则按9折优惠;(3)一次性消费超过500元,其中500元按9折给予优惠,超过500元的部分按8折给予优惠. 某人两次去购物,分别付款168元和423元,若他只去一次购买同样价格的商品,则应付款( )A.472.8元B.510.4元C.522.8元D.560.4元 答案 D2.(2018北京东城一模,14)动点P 从点A 出发,按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周,A,P 两点间的距离y 与动点P 所走过的路程x 的关系如图所示,则动点P 所走的图形可能是( )答案 D3.(2019北京顺义期末,8)设函数f(x)的定义域为A,如果对于任意的x 1∈A,都存在x 2∈A,使得f(x 1)+f(x 2)=2m(其中m 为常数)成立,则称函数f(x)在A 上“与常数m 相关联”.给定函数①y=1x ;②y=x 3;③y=2x ;④y=ln x;⑤y=cos x+1,则在其定义域上“与常数1相关联”的所有函数是( )A.①②⑤B.①③C.②④⑤D.②④ 答案 C4.(2019 5·3原创冲刺卷一,11)设函数f(x)=2|x-1|+log 3(x-1)2,不等式f(ax)≤f(x+3)在x ∈(1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,52] B.(-∞,2] C.[-1,52] D.[-32,52]答案D炼技法提能力【方法集训】方法函数模型的实际应用问题1.(2019北大附中模拟文,6)某电力公司在工程招标中根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.分值权重表如下:总分技术商务报价100%50%10%40%技术分、商务分是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的,报价分则相对灵活.报价分的评分方法:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分为48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分;若报价低于基准价15%以上(不含15%),每再低1%,则在80分的基础上扣0.8分.在某次招标中,基准价为1000万元.甲、乙两公司的综合得分如下表:公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司的报价为1100万元,乙公司的报价为800万元,则甲,乙公司的综合得分分别是() A.73分,75.4分 B.73分,80分C.74.6分,76分D.74.6分,75.4分答案A2.(2020届北京铁二中10月月考,8)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=ae nt.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶L,则m的值为()中的水只有a4A.5B.8C.9D.10答案A3.(2020届北京人大附中统练七,6)有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从()年开始,快递业产生的包装垃圾将超过4000万吨.(参考数据:lg2≈0.301 0,lg3≈0.4771)()A.2020B.2021C.2022D.2023答案B【五年高考】A组自主命题·北京卷题组考点函数模型及函数的综合应用1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案D2.(2015北京文,8,5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日12350002015年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升答案B3.(2019北京,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.答案 ①130 ②15B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 函数模型及函数的综合应用1.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R,L 2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:M 1(R+r)2+M 2r2=(R+r)M 1R3.设α=rR .由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r 的近似值为( )A.√M 2M 1R B.√M 22M 1R C.√3M2M 13R D.√M23M 13R答案 D2.(2019天津,8,5分)已知a ∈R.设函数f(x)={x 2-2ax +2a,x ≤1,x -alnx, x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e] 答案 C3.(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则{x +y +z =100,5x +3y +13z =100,当z=81时,x= ,y= .答案 8;11C 组 教师专用题组考点 函数模型及函数的综合应用1.(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p+q 2B.(p+1)(q+1)-12C.√pqD.√(p +1)(q +1)-1 答案 D2.(2017天津,8,5分)已知函数f(x)={x 2-x +3,x ≤1,x +2x,x >1.设a ∈R,若关于x 的不等式f(x)≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( )A.[-4716,2] B.[-4716,3916] C.[-2√3,2] D.[-2√3,3916]答案 A3.(2019浙江,16,4分)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案 434.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x ∈R),对函数y=g(x)(x ∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x ∈I),y=h(x)满足:对任意x ∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若h(x)是g(x)=√4-x 2关于f(x)=3x+b 的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b 的取值范围是 . 答案 (2√10,+∞)5.(2017浙江,17,4分)已知a ∈R,函数f(x)=|x +4x -a|+a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 . 答案 (-∞,92]6.(2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x 轴的交点为(c,0),则称c 为a,b 关于函数f(x)的平均数,记为M f (a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f (a,b)=c=a+b 2,即M f (a,b)为a,b 的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f (a,b)为a,b 的几何平均数; (2)当f(x)= (x>0)时,M f (a,b)为a,b 的调和平均数2ab a+b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 答案 (1)√x (2)x7.(2014四川,15,5分)以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x 3,φ2(x)=sin x 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A ”的充要条件是“∀b ∈R,∃a ∈D,f(a)=b ”; ②函数f(x)∈B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B; ④若函数f(x)=aln(x+2)+x x 2+1(x>-2,a ∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 答案 ①③④8.(2010北京,14,5分)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点P(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f(x),则f(x)的最小正周期为 ;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 .说明:“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B 落在x 轴上时,再以顶点B 为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动.答案 4;π+19.(2016浙江,18,15分)已知a ≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x 2-2ax+4a-2},其中min{p,q}={p,p ≤q,q,p >q. (1)求使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围; (2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a). 解析 (1)由于a ≥3,故当x ≤1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x 2+2(a-1)(2-x)>0, 当x>1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围为[2,2a]. (2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x 2-2ax+4a-2,则 f(x)min =f(1)=0,g(x)min =g(a)=-a 2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)={0,3≤a ≤2+√2,-a 2+4a -2,a >2+√2.(ii)当0≤x ≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),当2≤x ≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}. 所以,M(a)={34-8a,3≤a <4,2,a ≥4.思路分析 (1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值的方法是分别求出各段上的最值,较大(小)的值就是这个函数的最大(小)值.评析本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.10.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数y=ax 2+b (其中a,b 为常数)模型. (1)求a,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax 2+b ,得{a25+b =40,a400+b=2.5,解得{a =1 000,b =0.(2)①由(1)知,y=1 000x (5≤x ≤20),则点P 的坐标为(t,1 000t ),设在点P 处的切线l 交x,y 轴分别于A,B 点,y'=-2 000x 3,则l 的方程为y-1 000t =-2 000t (x-t),由此得A (3t 2,0),B (0,3 000t ).故f(t)=√(3t 2)2+(3 000t 2)2=32√t 2+4×106t 4,t ∈[5,20].②设g(t)=t 2+4×106t 4,则g'(t)=2t-16×106t 5.令g'(t)=0,解得t=10√2.当t ∈(5,10√2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t ∈(10√2,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;从而,当t=10√2时,函数g(t)有极小值,也是最小值,所以g(t)min =300,此时f(t)min =15√3. ∴当t=10√2时,公路l 的长度最短,最短长度为15√3千米.评析本题主要考查函数的概念、导数的几何意义及应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.11.(2013江西,21,14分)设函数f(x)={1a x, 0≤x ≤a,11-a (1-x), a <x ≤1.a 为常数且a ∈(0,1).(1)当a=12时,求f (f (13));(2)若x 0满足f(f(x 0))=x 0,但f(x 0)≠x 0,则称x 0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x 1,x 2;(3)对于(2)中的x 1,x 2,设A(x 1, f(f(x 1))),B(x 2, f(f(x 2))),C(a 2,0),记△ABC 的面积为S(a),求S(a)在区间[13,12]上的最大值和最小值. 解析 (1)当a=12时, f (13)=23, f (f (13))=f (23)=2(1-23)=23. (2)f(f(x))={1a 2x,0≤x ≤a 2,1a(1-a)(a-x),a 2<x ≤a,1(1-a)2(x-a),a <x <a 2-a +1,1(1-x),a 2-a +1≤x ≤1.当0≤x ≤a 2时,由1a 2x=x 解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点; 当a 2<x ≤a 时,由1a(1-a)(a-x)=x 解得x=a-a 2+a+1∈(a 2,a),因f (a-a 2+a+1)=1a ·a-a 2+a+1=1-a 2+a+1≠a-a 2+a+1,故x=a-a 2+a+1为f(x)的二阶周期点; 当a<x<a 2-a+1时,由1(1-a)2(x-a)=x 解得x=12-a ∈(a,a 2-a+1),因f (12-a )=11-a ·(1-12-a )=12-a ,故x=12-a 不是f(x)的二阶周期点; 当a 2-a+1≤x ≤1时, 由1a(1-a)(1-x)=x 解得x=1-a 2+a+1∈(a 2-a+1,1),因f (1-a 2+a+1)=11-a ·(1-1-a 2+a+1) =a-a 2+a+1≠1-a 2+a+1,故x=1-a 2+a+1为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x 1=a -a 2+a+1,x 2=1-a 2+a+1.(3)由(2)得A (a-a 2+a+1,a-a 2+a+1),B (1-a 2+a+1,1-a 2+a+1),则S(a)=12·a 2(1-a)-a 2+a+1, S'(a)=12·a(a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2,因为a ∈[13,12],a 2+a<1, 所以S'(a)=12·a(a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2=12·a[(a+1)(a -1)2+(1-a 2-a)](-a 2+a+1)2>0.或令g(a)=a 3-2a 2-2a+2,g'(a)=3a 2-4a-2 =3(a -2-√103)(a -2+√103),因a ∈(0,1),g'(a)<0,所以g(a)在区间[13,12]上的最小值为g (12)=58>0,故对于任意a ∈[13,12],g(a)=a 3-2a 2-2a+2>0,S'(a)=12·a(a 3-2a 2-2a+2)(-a 2+a+1)2>0.则S(a)在区间[13,12]上单调递增,故S(a)在区间[13,12]上的最小值为S (13)=133,最大值为S (12)=120.评析本题考查了函数的零点、值域,是一道信息创新题,只有准确地理解信息,并具有较强的运算能力和数据处理能力,才能正确解答此题.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2019中央民大附中月考文,7)已知某厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函x3+81x-234,则使该厂家获得最大年利润的年产量为()数关系式为y=-13A.9万件B.11万件C.12万件D.13万件答案A2.(2020届北京八一学校开学摸底,7)在股票买卖过程中,经常会用各种曲线来描述某一只股票的变化趋势,其中一种曲线是即时价格曲线y=f(x),一种曲线是平均价格曲线y=g(x).例如:f(2)=3表示某股票开始交易后2小时的即时价格为3元,g(2)=4表示某股票开始交易后2小时内所有成交股票的平均价格为4元.下列四个图象中,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x).其中可能正确的是()答案B3.(2019北京丰台二模,8)某码头有总质量为13.5吨的一批货箱,每个货箱质量都不超过0.35吨,任何情况下,都要一次运走这批货箱,则至少需要准备载重1.5吨的卡车()A.12辆B.11辆C.10辆D.9辆答案B4.(2020届北京牛栏山一中9月月考,8)在交通工程学中,常作如下定义:交通流量Q(辆/小时):单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;车流速度V(千米/小时):单位时间内车流平均行驶过的距离;车流密度K(辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.)(其中v0,k0是正数),则以下说法正确的是()一般地,V和K满足一个线性关系:V=v0(1-Kk0A.随着车流密度增大,车流速度增大B.随着车流密度增大,交通流量增大C.随着车流密度增大,交通流量先减小、后增大D.随着车流密度增大,交通流量先增大、后减小答案D5.(2019北京丰台二模文,8)某快递公司的四个快递点A,B,C,D呈环形分布(如图所示),每个快递点均已配备10辆快递车辆.因业务发展需要,需将A,B,C,D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆,要求调整只能在相邻的两个快递点间进行,且每次只能调整1辆快递车辆,则()A.最少需要8次调整,相应的可行方案有1种B.最少需要8次调整,相应的可行方案有2种C.最少需要9次调整,相应的可行方案有1种D.最少需要9次调整,相应的可行方案有2种答案D6.(2019北京海淀期中,8)函数f(x)=x,g(x)=x2-x+3,若存在x1,x2,…,x n∈[0,92],使得f(x1)+f(x2)+…+f(x n-1)+g(x n)=g(x1)+g(x2)+…+g(x n-1)+f(x n),则n的最大值为()A.5B.6C.7D.8答案D7.(2020届北大附中周测,7)已知函数f(x)=cosπx,g(x)=e ax-a+12(a≠0),若∃x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A.[-12,0) B.[12,+∞)C.(-∞,0)∪[12,+∞) D.[-12,0)∪(0,12]答案B二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018北京东城二模,14)某种物质在时刻t(min)的浓度M(mg/L)与t的函数关系为M(t)=ar t+24(a,r为常数).在t=0min和t=1min时,测得该物质的浓度分别为124mg/L和64 mg/L,那么在t=4min时,该物质的浓度为mg/L;若该物质的浓度小于24.001mg/L,则最小整数t的值为.(参考数据:lg2≈0.3010)答案26.56;139.(2019北京牛栏山一中期中,13)已知函数f(x)=x-a(x+a)2,若对于定义域内的任意x1,都存在x2使得f(x1)>f(x2),则满足条件的实数a的取值范围是.答案a≥010.(2019北京西城二模文,14)因市场战略储备的需要,某公司从1月1日起每月1日购买相同金额的某种物资,连续购买了4次.由于市场变化,5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易,且该公司在买卖的过程中没有亏本,那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格(单位:万元)的可能变化情况的是.(写出所有正确的图表序号)答案②③三、解答题(共25分)11.(2020届北京八一学校10月月考,18)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A、B、C、D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒(接缝处忽略不计),E、F 在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大,试问x 应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大,试问x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解析 (1)设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=√2x,h=√2(30-x),0<x<30. ∴S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,∴当x=15时,包装盒的侧面积S 最大.(2)V=a 2h=2√2(-x 3+30x 2),∴V'=6√2x(20-x),令V'=0,得x=20,当x ∈(0,20)时,V'>0;当x ∈(20,30)时,V'<0.所以当x=20时,包装盒容积V 最大,此时,ℎa =12.故此时包装盒的高与底面边长的比值是12. 12.(2020届北京四中期中,19)近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定将一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网.安装这种供电设备的工本费(万元)与太阳能电池板的面积(平方米)成正比,比例系数约为0.5,为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电模式.假设在此模式下,该企业每年消耗的电费C(万元)与太阳能电池板的面积x(平方米)之间的函数关系是C(x)=k 20x+100(x ≥0,k 为常数),记F 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年消耗的总电费之和.(1)试解析C(0)的实际意义,并建立F 关于x 的函数关系式;(2)当x 为多少平方米时,F 取得最小值?最小值是多少万元?解析 本题考查函数的实际应用,考查学生运用数学知识分析与解决实际问题的能力,体现数学建模的核心素养.(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的电费,即未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费.由C(0)=k 100=24,得k=2 400.所以F=15×2 40020x+100+0.5x=1 800x+5+0.5x,x ≥0. (2)因为F=1 800x+5+0.5x=1 800x+5+0.5(x+5)-2.5≥2√1 800×0.5-2.5=57.5,当且仅当1 800x+5=0.5(x+5),即x=55时,取等号.所以当x 为55平方米时,F 取得最小值,最小值为57.5万元.。
第四节 函数性质的综合问题(对应学生用书第19页)⊙考点1 函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)或f (x 1)＜f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．(1)(2019·全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＞f ⎝⎛⎭⎪⎫2－23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314 (2)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3](1)C (2)D [(1)∵f (x )是定义域为R 的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34)．又∵log 34＞log 33＝1，且1＞2－23＞2－32＞0， ∴log 34＞2－23＞2－32＞0.∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2－32)＞f (2－23)＞f (log 34)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314.故选C. (2)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.](1)函数值的大小比较问题，可以利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用其单调性比较大小．(2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f (x 1)＞f (x 2)的形式，再结合单调性脱去“f ”变成常规不等式，如x 1＜x 2(或x 1＞x 2)求解．1.已知函数f (x )满足以下两个条件：①任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0；②对定义域内任意x 有f (x )＋f (－x )＝0，则符合条件的函数是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝1－|x |C ．f (x )＝－x 3D ．f (x )＝ln(x 2＋3)C [由条件①可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A 、D 选项，由条件②可知，f (x )为奇函数，则可排除B 选项，故选C.]2．函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 B [∵函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，∴函数y ＝f (x )在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y ＝f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，∴f (1)＝f (3)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＜f (1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.] 3．(2019·滨州模拟)设奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式3f (x )－2f (－x )5x＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)D [∵奇函数f (x )定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，∴函数f (x )的图像关于原点对称，且过点(1,0)和(－1,0)，且f (x )在(－∞，0)上也是增函数．∴函数f (x )的大致图像如图所示．∵f (－x )＝－f (x )，∴不等式3f (x )－2f (－x )5x ＜0可化为f (x )x ＜0，即xf (x )＜0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x 的范围，据图像可知x ∈(－1,0)∪(0,1)．]⊙考点2 函数的周期性与奇偶性已知f (x )是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．(2019·福州质量检测)已知函数f (x )对任意的x ∈R 都满足f (x )＋f (－x )＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32为偶函数，当0＜x ≤32时，f (x )＝－x ，则f (2 017)＋f (2 018)＝________. －2 [依题意，f (－x )＝－f (x )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝f (x )，所以f (2 017)＝f (1)＝－1，f (2 018)＝f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32＝f (1)＝－1，所以f (2 017)＋f (2 018)＝－2.]解奇偶性、周期性的综合性问题的两个关键点(1)利用奇偶性和已知等式求周期．(2)将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题求解．1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 018)＝________.－2 [因为f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，所以f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )． 所以f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2 018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.]2．已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3，则实数a 的取值范围为________．(－∞，2) [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，∴f (5)＝2a －3＜1，即a ＜2.]⊙考点3 单调性、奇偶性、周期性、对称性等综合问题函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50C [法一：(直接法)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0.又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图像关于直线x ＝1对称，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.法二：(特例法)由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图像如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.](1)函数的奇偶性与对称性的关系①若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则其函数图像关于直线x ＝a 对称；当a ＝0时可以得出f (x )＝f (－x )，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数．②若函数f (x )满足f (2a －x )＝2b －f (x )，则其函数图像关于点(a ，b )对称；当a ＝0，b ＝0时得出f (－x )＝－f (x )，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数．(2)函数的对称性与周期性的关系①若函数f (x )关于直线x ＝a 与直线x ＝b 对称，那么函数的周期是2|b －a |. ②若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是2|b －a |. ③若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，那么函数的周期是4|b －a |.(3)函数的奇偶性、周期性、对称性的关系其中a≠0，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个．[教师备选例题]1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数D[根据题意，因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.又因为f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，所以函数f(x)在[0,1]上是增函数，所以函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，所以f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.]2．已知定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，有下列命题：①函数f(x)的图像关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称；②函数f(x)的单调递增区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)；③函数f(x)在区间(－2 018,2 018)上恰有1 008个极值点；④若关于x的方程f(x)－m＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8.其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3D．4C[①正确，∵定义在R上的连续奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f[(x－4)－4]＝－f(x－4)＝f(x)，即f(x－8)＝f(x)，∴f(x)是以8为周期的周期函数，8k(k∈Z 且k≠0)也是其周期．又f(x)为R上的连续奇函数，由f(x－4)＝－f(x)，即f(x)＝－f(x－4)，得f(x)＝f(4－x)，∴函数f(x)的一条对称轴为x＝42＝2.又8k(k∈Z且k≠0)是f(x)的周期，∴f(x)＝f(x＋8k)＝f(4－x)，∴函数的对称轴为x＝8k＋42＝4k＋2(k∈Z且k≠0)．综上，函数f(x)的图像关于直线x＝4k＋2(k∈Z)对称，故①正确；②错误，作图如下：由图可知，函数f(x)的单调递减区间为[8k－6,8k－2](k∈Z)，故②错误；③正确，由图可知，f(x)在一个周期内有两个极值点，在区间(－2 016,2 016)上有504个完整周期，有1 008个极值点，在区间(－2 018，－2 016]和[2 016，2 018)上没有极值点，故在区间(－2 018，2 018)上有1 008个极值点，③正确；④正确，由图中m1，m2，m3，m4，m5五条直线可知，关于x的方程f(x)－m ＝0在区间[－8,8]上有根，则所有根的和可能为0或±4或±8，故④正确．综上所述，①③④正确，故选C.]1.(2019·福建龙岩期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x ＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是() A．(－1,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)A[由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3，故选A.] 2．定义在R上的奇函数f(x)满足f⎝⎛⎭⎪⎫x＋32＝f(x)，当x∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12时，f(x)＝log12(1－x)，则f(x)在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，32内是()A ．减函数且f (x )＞0B ．减函数且f (x )＜0C ．增函数且f (x )＞0D ．增函数且f (x )＜0D [当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )＞0，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上也单调递增，且f (x )＜0. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数f (x )单调递增且f (x )＜0.]课外素养提升② 数学运算——用活函数性质中的三个结论数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发展．通过常见的“二维结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．奇函数的最值性质x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】 设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.2 [显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1， 设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数，由奇函数图像的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.]【素养提升练习】1．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2D [设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )，易知函数的定义域为R ，关于原点对称， ∵g (x )＋g (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln(1＋9x 2－3x )(1＋9x 2＋3x )＝ln 1＝0，∴g (x )为奇函数，∴g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋g (－lg 2)＝0， 又∵f (x )＝g (x )＋1，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋1＝2.] 抽象函数的周期性(2)如果f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】 已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，且当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，则f (－2 017)＋f (2 018)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0C [因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (－2 017)＝－f (2 017)，因为当x ≥0时，有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，即当x ≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次．又当x ∈(0,3)时，f (x )＝x ＋1，∴f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)＝2，f (2 018)＝f (336×6＋2)＝f (2)＝3.故f (－2 017)＋f (2 018)＝－f (2 017)＋3＝1.]【素养提升练习】2．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 52 [∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.]抽象函数的对称性(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b 2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图像关于点(a,0)对称．【例3】 函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图像关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________．4 [因为函数y ＝f (x －1)的图像关于点(1,0)对称，所以函数y ＝f (x )的图像关于原点对称，所以f (x )是R 上的奇函数，则f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0， 所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.]【素养提升练习】3．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图像的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑m i ＝1x i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4mB [∵函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，故函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，函数y＝|x2－2x－3|的图像也关于直线x＝1对称，故函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点也关于直线x＝1对称，且相互对称的两点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时，∑mi＝1x i＝m2×2＝m，当f(x)过点(1,4)时，∑mi＝1 x i＝m－12×2＋1＝m.综上，∑mi＝1x i＝m.]。
第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)．知识梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B或y＝f(x)，x∈A，此时x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．(3)表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法．(4)分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．2．函数定义域的求法类型x满足的条件2nf(x)，n∈N＋f(x)≥01f(x)与[f(x)]0f(x)≠0log a f(x)f(x)＞0四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题 使实际问题有意义诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( )(3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) 解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数． (3)由于x 2＋1≥1，故y ＝x 2＋1－1≥0，故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}． (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数． 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图像不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]． 答案 B3．(2017·合肥一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 由题意，得⎩⎨⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12. 答案 D4．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A ．－1 B.14 C.12 D.32解析 因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C5．(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________. 解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图像上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 答案 －2考点一 求函数的定义域 【例1】 (1)(2017·郑州调研)函数f (x )＝ln x x －1＋的定义域为( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是____________． 解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧xx －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋的定义域为(1，＋∞)．(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1,2 017]， ∴g (x )有意义，应满足⎩⎨⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}． 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析(1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2,3)∪(3,4]．(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立．因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案 (1)C (2)[－1,0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 则2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13 规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )．(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)． (3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)． 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32时，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解之得b ＝78，不合题意舍去． 若52－b ≥1，即b ≤32，则－b ＝4，解得b ＝12.(2)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， 所以x <1. 当x ≥1时，≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8.综上可知x 的取值范围是(－∞，8]． 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 即2a －1＝－1，不成立，舍去； 当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A. (2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1， 解之得－4≤x ≤0.当x >0时， 由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}． 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图像的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法． 4．分段函数问题要用分类讨论思想分段求解． [易错防范]1．复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·宜春质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1] B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案 D2．(2017·衡水中学月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则x 123 4f(x)342 1映射g的对应法则x 123 4g(x)431 2则f[g(1)]的值为()A．1 B．2 C．3 D．4解析由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.答案 A3．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝()A．x＋1 B．2x－1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 A4．(2017·衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 答案 C5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10 B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案 B6．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2x D ．y ＝1x解析 函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x 的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ，故选D.答案 D7．(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是( ) A.12 B.14C ．－25 D.18解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案 C8．(2017·铜陵一模)设P (x 0，y 0)是函数f (x )图像上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝x ＋4xD ．f (x )＝tan x解析 对于A 项，当x ＝1，f (1)＝0，此时02≥12不成立．对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立．在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立．∴A ，B ，D 均不正确．选C.事实上，在C 项中，对任意x 0∈R ，y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x 20＋8>0，有y 20≥x 20成立． 答案 C二、填空题9．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．解析 要使函数有意义，则3－2x －x 2≥0，∴x 2＋2x －3≤0，解之得－3≤x ≤1.答案 [－3,1]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1. ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案 －211．已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________． 解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x . 答案 f (x )＝－log 2 x12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为________． 解析 由题意知，若x ≤0，则2x ＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12，故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 能力提升题组(建议用时：15分钟)13．(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析 当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ；当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ；当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x .答案 D14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞) 解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.答案 C15．函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析 要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧ x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0,1]．答案 (0,1]16．(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x－3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3.答案022－3。
