【新教材】新人教A版 高中数学必修一 函数模型及其应用 课件

—、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快（底数。

＞0）例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前—天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？问仁在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？问2：根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识? 问3：你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗?问4：由以上的分析，你认为应当如何做出选择?分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第兀天所得回报是y元，则方案一可以用函数尸40（用甘）进行描述；方案二可以用函数y=10x（xeM）进行描述；方案三可以用函数y二0. 4X2-1（兀WN*）进行描述. 三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型•要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4） o再作出三个函数的图象（图3.2-1） o 140-= 0.4x2x"1 120100 80 60 40 20 ~0y m = 10%•-* •- •- •-/—•- ——•»y = 40 2 4 6 10 12 *由表3-4和图3.2T可知，方案一的函数是常数函数, 方案二、方案三的函数都是增方.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的变，而方案三是成倍增加的, 从第7天开始，方案三比其得种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第1〜3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多, 方案三最少；在第5〜8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累计的回报数，通过计算器或计算机列表如下:因此，投资1〜6天，应选择方案―；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8〜10天，应选择方案二；投资门天（含门天）以上，则应选择方案三.例2.某公司为了实现WOO万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%•现有三个奖励模型：y=0. 25兀,y= Iog7x+1, y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？问仁例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？问2：你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？问3：通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的解答吗?分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%,由于公司的总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润•于是，只需在区间[10, 1000]±,检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002^的图象（图3. 2-2）观察图象发现，在区间［10, 1000］上，模型y二0. 25兀，yT. 002*的图象都有一部分在直线丁二5的上方，只有模型尸log：计的图象始终在尸5的下方, 这说明只有按模型y二I og7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y二0.25兀，它在区间［10, 1000］上递增, 而且当x二20时,y=5,因此，当兀>20时,y>5,所以该模型不符合要求；对于模型yT.002",由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806)内有一个点必满足1.002x° = 5,由于它在区间［10, 1000］上递当x>Xo时，y>5，所以该模型也不符合要求;对于模^y=log7x+1,它在区间［10,1000］上递增，而兀=1000时，y=log71000+1^4. 55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y二I og7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%,即当xe ［10, 1000］时，是否有# =些些0・25成立.vf （x） = I og7x+1 -0. 25x, [10, 1000].利用计算器或计算机作出函数fh）的图象（图3.2-3）由图象可知它是递减的，因此f(x) </(10)^-0. 3167<0即I og7x+1 <0. 25兀.所以当xe [10, 1000]时，叱兀 +1 < 0.25.X说明按模^y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模SLy= I og7x+1确实能符合公司要求.课堂小结通过师生交流进行小结:确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.新课1.通过图、表比较尸珂）=2龙两个函数的增长速度.利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表1）•再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图1）从表1和图1可以看到，y=2*和丁=兀2的图象有两个交点，这表明2*与W在自变量不同的区间内有不同的大小关系,有时2x>x2,有时2x<x2.利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表2）.再在同一平面直角坐标系内从表2和图2可以看出，当自变量兀越来越大时, 尸2啲图象就像与%轴垂直一样，2长，兀2比起0来，几乎有些微不足道.2.探究〉=昭，y二log?/两个函数的增长速度.利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表3）.再在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象（图3）: /8-/611■\ 4■ /"/J=l OgQ\2w1 1 1■3 -2-10| 2 3 4 x，心,y= | og2X的增长差异在区间（0,+8）上，总Wx2>log2x；当兀>4时，总有2〉W.所以当兀>4时9总有2x>x2> I og2x.4.—般的，在区间(0, +oo) ±,尽管函数y=a x(a>1),)=log,a>1)和)=対(斤>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个'档次'上，随着兀的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于〉=0S>O)的增长速度, 而)=log/(d>1)的增长速度则会越来越慢. 因此，总会存在一个勺，当兀>勺时，就有I og CI x<x n<a x.—= X ,y = log 1 X 这二个具体的 j2丿 2函数的衰减情况，探= ^'(0 <a<l\y = x f \n <0), y = log “ x(0<a< 1)在区间(0,+oo)上的衰减情况•探究:通过研憩=利用计算器或计算机，先列出自变量与函数值的对应值表（表4）.再在同一平面直角坐标系内2从表4和图4可以看到，在区间(0, +8)上，存在一个兀°,当兀＞“时，-1 fiVV = x 2 > —(2丿总有>log x X2最后探尬=a' (0 <a< l),y = x'1(n <Q\y = log f/ x(0 <a< l) 在区间(0,+8)上的衰减情况.在区间(0,+oo) ±,总存在一个勺,当兀>勺时，总有x n>a x> I og t/x (nvO, Ovdvl).复习导入问：对幕函数、指数函数、对数函数, 么不同？你是否注意到函数变化的速度有什。