离散数学 第七章 代数系统

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例题分析
例6 设 ∘ 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, x∘y = x+y+2xy, (1) ∘运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 ∘ 运算的单位元、零元和所有可逆元. 解 (1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x, 任取x, y, zQ, (x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz
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a1∘a1 a1∘a2 … a2∘a1 a2∘a2 … ... ... ... an∘a1 an∘a2 …
an∘an
运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算 （{a,b}为全集） 的运算表 ∼ 的运算表 {a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a} X ∼X {a} {b} {a} {a} {a.b} {b} {b} {a,b} {a,b} {a,b} {b} {a} {a,b} {a} {a} {b} {b} {a,b}
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实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R) 为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为 A上A，|A|2. 集合 运算 分配律 普通加法 + 与乘法 吸收律
Z,Q,R
Mn(R) 矩阵加法 + 与乘法
P(B)
并 与交 交 与对称差
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实例分析
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实例分析
集合 运算 Z, 普通加法+ Q, 普通乘法 R Mn(R) 矩阵加法+ 矩阵乘法 P(B) 并 交 对称差
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单位元
零元
逆元
实例分析
集合 运算 Z, 普通加法+ Q, 普通乘法 R 单位元 0 1 零元 无 0 无 n阶全0 矩阵 B 逆元 X 的逆元 x X 的逆元 x1 (x-1属于给定集合) X逆元X X的逆元 X1 （X是可逆矩阵） 的逆元为 B 的逆元为 B
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消去律
定义：设∘为V上二元运算，如果 x, y, zV， 若 x ∘ y = x ∘ z，且 x不是零元，则 y = z 若 y ∘ x = z ∘ x, 且 x 不是零元，则 y = z 那么称 ∘ 运算满足消去律.
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消去律
实例: （1）Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. （2）Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关 于矩阵乘法不满足消去律. （3）Zn关于模 n 加法满足消去律，当 n 为素数 时关于模 n乘法满足消去律. 当 n 为合数时关 于模 n 乘法不满足消去律.
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一元运算的定义与实例
定义：设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一 元运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数 (2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的 一元运算: 求倒数 (3) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (4) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求 反函数 (5) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
结合律
幂等律
实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2. 集合 Z, Q, R Mn(R) P(B) 运算 普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法 并 交 相对补 对称差 AA 函数符合 交换律 有 有 有 无 有 有 无 有 无 结合律 有 有 有 有 有 有 无 有 有 幂等律 无 无 无 无 有 有 无 无 无
若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则 称θ为 S 上关于运算 ∘ 的 零元.
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二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元 令 e 为 S 中关于运算∘的单位元. 对于 x∈S，如 果存在yl（或 yr）∈S 使得 yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e）， 则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ). 关于 ∘运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的 右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
Mn(R) 矩阵加法+ n阶全0矩阵 矩阵乘法 n阶单位 矩阵 P(B) 并 B 交
对称差

无
X 的逆元为 X
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唯一性定理
定理 设 ∘为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S 中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于 ∘ 运算的唯一的单位元. 证：el = el ∘ er = el ∘ er = er 所以 el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是 S 中的单位元，则有 e’ = e ∘ e’ = e. 唯一性得证. 类似地可以证明关于零元的唯一性定理. 注意：当 |S| 2，单位元与零元是不同的； 当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元.
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二元与一元运算的表示
运算符：∘, ∗, · , 等符号表示二元或一元运算。 , 对二元运算 ∘，如果 x 与 y 运算得到 z，记做
x∘y = z；
对一元运算 ∘, x 的运算结果记作 ∘x。 表示二元或一元运算的方法：公式、 运算表。 注意：在同一问题中不同的运算使用不同的运算符
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二元与一元运算的表示（续）
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第七章 代数系统
7.1 二元运算及其性质

二元运算定义及其实例 一元运算定义及其实例 运算的表示 二元运算的性质

交换律、结合律、幂等律、消去律 分配律、吸收律 单位元 零元 可逆元素及其逆元

二元运算的特异元素


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二元运算的定义及其实例
定义：设 S 为集合,函数 f：S×S→S 称为S上的二 元运算, 简称为二元运算. 也称 S 对 f 封闭. 例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘为 S 上二 元运算.
公式表示 例3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ∗： x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3∗4=3 0.5 ∗ (-3) = 0.5
运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
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运算表的形式
∘
a1 a2 . . . an a1 a2 … an a1∘an a2∘an a1 a2 . . . an ∘ai ∘a1 ∘a2 . . . ∘an
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二元运算的性质（续）
定义 设 ∘ 和 ∗ 为 S 上两个不同的二元运算, (1) 如果 x, y, z∈S 有 (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) z ∘(x ∗ y) = (z ∘ x) ∗ (z ∘ y) 则称 ∘ 运算对 ∗ 运算满足分配律. (2) 如果∘ 和 ∗ 都可交换, 并且 x, y∈S 有 x ∘ (x ∗ y) = x x ∗ (x ∘ y) = x 则称 ∘ 和 ∗ 运算满足吸收律.
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运算表的实例（续）
例5 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法 与乘法 的运算表 的运算表 0 1 2 3 4 0 1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 0 2 3 2 3 3 4 4 0 0 1 1 2 4 4 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 1 4 2 4 0 4 3 2 1
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Z,Q,R
吸收律 无 无 有
Mn(R) 矩阵加法 + 与乘法 对 + 可分配
P(B)
并 与交
二元运算的特异元素
单位元 定义 设∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er） S，使得对任意 x∈S 都有
el ∘ x = x ( 或 x ∘ er = x )， 则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右 ) 单位元. 若 e∈S 关于 ∘ 运算既是左单位元又是右单位
第七章 代数系统
7.1 二元运算及其性质 7.2 代数系统及其子代数 7.3 代数系统的同合、关系和函数等概念基础上，研 究更为复杂的对象——代数系统，研究代数系统 的性质和特殊的元素，代数系统与代数系统之间 的关系（如代数系统的同态和同构），这些概念 较为复杂也较为抽象，是本课程中的难点。它们 将集合、集合上的运算以及集合间的函数关系结 合在一起进行研究。
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唯一性定理（续）
定理 设 ∘为 S 上可结合的二元运算, e 为该运算 的单位元, 对于 x∈S 如果存在左逆元 yl 和右逆元 yr , 则有 yl = yr= y, 且 y 是 x 的唯一的逆元. 证：由 yl ∘ x = e 和 x ∘ yr = e 得 yl = yl ∘ e = yl ∘(x ∘ yr) = (yl ∘ x) ∘ yr = e ∘ yr = yr 令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则 y'= y’ ∘ e = y’ ∘(x ∘ y) = (y’ ∘ x) ∘ y = e ∘ y = y 所以 y 是 x 唯一的逆元. 说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有 唯一的逆元，记作 x1.