人教版2016九年级数学上册-21.2-二次根式的乘除(疑难分析)

课题：21.2二次根式的乘除一、教学目标1.经历二次根式乘法法则的形成过程，会进行简单的二次根式的乘法运算.2.会利用积的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的乘法法则.2.难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：前面我们学习了二次根式的概念和性质，从本节课开始我们要学习二次根式的乘除（板书课题：21.2二次根式的乘除），这节课我们先学习二次根式的乘法.（二）尝试指导，讲授新课师：，并指准）这是一个二次根式，这也是一个二次根式，这两个二次根式怎么相乘呢？（稍停）还是让我们先来看几个具体的例子.师：⨯⨯2等于3（边讲边板书：=2×3）⨯等于6（边讲边板书：=6）.师：，等于什么？讲边板书：6（边讲边板书：=6）.师：⨯66，⨯⨯.师：我们再来看一个例子.师：⨯⨯.（生计算）师：你算出的结果是什么？生：20.（多让几名同学回答）师：⨯等于45（边讲边板书：=4×5），20（边讲边板书：=20）.师：等于什么？大家算一算.（生计算）师：你算出的结果是什么？生：20.（多让几名同学回答）师：）等于20（边讲边板书：=20）.师：（指准等式）⨯等于20，也等于20，所以⨯⨯.师：⨯⨯，从这两个等式，你能发现什么规律？（让生思考一会儿）师：⨯=⨯等于什么？生：……（多让几名同学回答）师：（⨯⨯，也就是等于.师：⨯=⨯.）师：师：乘法法则）.师：a是被开方数，所以a必须大于等于0；因为b也是被开方数，所以b也必须大于等于0（边讲边板书：(a≥0,b ≥0)）.师：下面我们利用二次根式的乘法法则来做几个题目.（师出示例1）例1 计算：⨯；⨯（以下师边讲解边板书，解题过程如课本第7页所示）（三）试探练习，回授调节1.计算：⨯=⨯（四）尝试指导，讲授新课师：）刚才我们做的这个题目的结果是什么？简.怎么化简？师：），（边讲边板书：.师：再叫学生）生：……（让一两名学生发表看法）师：（指准式子），所以反过来，，所以化结果是.师：化简的目的是把被开方数中的因数开方后移到根号外，化简时要用到一个等式，这个等式.师：这个等式反过来得到的.师：下面我们来化简几个二次根式.（师出示例2）例2 化简：；（师边讲解板书，(1)(2)小题解题过程如课本第8页所示，(3)小题解题过程如下）（(2)小题教学时，暂时不要说明本章字母都表示正数这个约定，以免使问题复杂化）（五）试探练习，回授调节2.化简：= == == == == =====（六）归纳小结，布置作业那个题）这就是二次根式乘法法则；运用法则后，如果得到的二次根式还可以化简，就要化简二次根式.化简的目的是把像4这样的因数或因式开方后移到根号外.（作业：P8练习1.2.）四、板书设计课题：21.2二次根式的乘除（第2课时）一、教学目标1.会进行二次根式的乘法运算.2.培养学生的运算能力.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的乘法运算.2.难点：正确地进行乘法运算.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.(a≥0，b≥0)2.计算：⨯⨯3.化简：= == == == == == =（二）创设情境，导入新课（师出示下面的板书）≥0,b≥0)(a≥0,b≥0)师：上节课我们学习了二次根式的乘法法则和二次根式的化简.（指准板书），利用用这个等式可以化简二次根式.师：（指准板书）会运用乘法法则，会化简二次根式，就会做二次根式乘法了.为什么这么说？（稍停）因为做二次根式的乘法实际上就是做这两件事，一件事是运用乘法法则，一件事是化简二次根式.师：下面我们来做几个二次根式乘法的题目.（三）尝试指导，讲授新课（师出示例题）例计算：⨯(2)⨯；⨯（(1)(2)小题第一步运用法则，第二步化简；(3)小题第一步化简，第二步运用法则，第三步化简.教学时，师边讲解边板书，(1)(2)小题的解题过程如课本第11页所示，(3)小题的解题过程如下）⨯⨯=⨯=师：（指例题）我们做了三道二次根式的乘法，从这三道题目，哪位同学会归纳做二次根式乘法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准(3)小题）做二次根式的乘法，第一步：先看二次根式能不能化简，如果能化简先要化简；第二步：运用二次根式的乘法法则；第三步：再看所得的二次根式能不能化简，如果能化简还要化简.简单地说，就是化简——运用法则——再化简.（四）试探练习，回授调节4.计算：⨯= = = = = = = =(3)⨯⨯⨯= == == == =5.cm和，则这个矩形的面积为cm2.（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们做了几道二次根式的乘法，请大家在脑子里想一想，做二次根式乘法的步骤是什么？（让生想一会儿）（作业：P12习题1.4.5.）四、板书设计课题：21.2二次根式的乘除（第3课时）一、教学目标1.知道二次根式的除法法则，会运用法则进行简单的二次根式的除法运算.2.会利用商的算术平方根的性质化简二次根式.二、教学重点和难点1.重点：二次根式的除法法则.2.难点：二次根式的化简.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.计算：= == ======（二）创设情境，导入新课师：前面我们学习了二次根式的乘法，这节课我们要学习二次根式的除法（板书课题：21.2二次根式的乘除）（三）尝试指导，讲授新课师：谁来说说二次根式的乘法法则？（板书：乘法法则）生：……（让一两名学生回答）≥0,b≥0)），这就是二次根式的乘法法则.师：二次根式的除法法则也是类似的（板书：除法法则）.师：叫学生）生：……（让几名学生发表看法）=.师：（指等式）在这个等式中，a必须大于等于0，b必须大于0（边讲边板书：(a ≥0,b＞0)）.师：（指准板书）这是二次根式的乘法法则，这是二次根式的除法法则，两个法则是类似的，大家仔细看一看，对比对比（生观察对比）.师：下面我们就利用除法法则来做几个题目.（师出示例1）例1 计算：÷（四）试探练习，回授调节2.计算：(2= == == =÷÷= == == == =（五）尝试指导，讲授新课师：÷）刚才我们做的这个题目的结果是什么？简.怎么化简？）.师：生：……（让一两名学生发表看法）师：（指准式子）我们知道，.，所以化简结果是2（板书：=2）.师：化简的目的是把被开方数的分母开方后移到根号外，化简时要用到一个等式，这个等式就.师：来得到的.师：下面我们利用这个等式来化简二次根式. （师出示例2） 例2 化简：； （师边讲解边板书，解题过程如课本第10页所示） （六）试探练习，回授调节 3.化简：= = = = = = （五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了二次根式的除法法则，这个等式就是二次根式的除法法则，把这个等式反过来，（指等式），利用它可以化简二次根式.（作业：P12习题2.3.）四、板书设计课题：21.2二次根式的乘除（第4课时）一、教学目标1.会利用第二种方法（分母有理化）进行二次根式的除法运算.2.培养运算能力，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：利用第二种方法进行二次根式的除法运算.2.难点：两种方法的选择.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1) (a≥0,b≥0)；= (a≥0,b＞0).(2)2.计算：= == == == =÷= == == == =（二）创设情境，导入新课师：≥0,b＞0)）这是二次根式的除法法则，上节课我们用这个法则做二次根式的除法.实际上，利用法则只是做二次根式除法的第一种方法（板书：第一种方法），做二次根式的除法还有第二种方法（板书：第二种方法）.师：那么，怎么用第二种方法做二次根式的除法呢？（三）尝试指导，讲授新课师：还可以怎么除？（稍停），分母成了2（边讲边板书：，讲边板书：=b）.师：（指准板书）第二种方法是怎么做的呢？（稍停）第二种方法是通过分子分母同乘分母中的那个二次根式，来去掉分母中的根号，从而把二次根式的除法转化为二次根式的乘法.（如有必要可再讲一遍）师：下面我们就用第二种方法来做几个题目.（师出示例题）例计算：.（师边讲解边板书，解题过程如课本第10页所示）师：（指例题）做了几道题目，哪位同学能归纳用第二种方法做二次根式除法的步骤？生：……（让一两名好生归纳）师：（指准(2)小题）用第二种方法做二次根式的除法，一般有这么三步，第一步：个二次根式，去掉分母中的根号；第三步：做二次根式的乘法.师：按这样的步骤，下面请同学们自己来做几个题目.（四）试探练习，回授调节3.计算：（五）尝试指导，讲授新课师：（指准板书）做二次根式的除法有这么两种方法，一种是利用法则来做，一种是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.可能有同学会问：做题的时候，用哪一种方法做会更简单呢？这要看具体的题目.师：（指准式子）被开方数24除以3，商是一个整数，用第一种方法比较简单.师：÷÷（指准式子）被开方数3 2除以118，商等于27，商也是一个整数，也是用第一种方法比较简单.师：我们再来看这个例题，3除以5，商不是整数，用第二种方法比较简单.同样，（指(2)(3)题）这两个小题也是用第二种方法比较简单.师：总之，两个二次根式相除，如果它们的被开方数的商是整数，一般用第一种方法比较简单；如果商不是整数，一般用第二种方法比较简单.÷一种方法比较简单.之所以这样说，只是为了教学上的方便）（以下师出示写有下面式子的卡片，让生判断用哪种方法比较简单）÷（六）归纳小结，布置作业师：好了，最后我们把这节课的内容来小结一下.师：（指准板书）做二次根式的除法有两种方法，一种方法是利用法则来做，一种方法是去掉分母中的根号，把二次根式的除法转化为乘法来做.对任何一个二次根式的除法题，两种方法都可以做，但有的题目用第一种方法比较简单，有的题目用第二种方法比较简单.所以，同学们要学会根据题目的特点来选择合适的方法.（作业：P12习题6）课外补充作业4.选择合适的方法计算：÷四、板书设计课题：21.2二次根式的乘除（第5课时）一、教学目标1.知道什么是最简二次根式，能把所给的二次根式化成最简二次根式.2.培养运算能力，发展数感. 二、教学重点和难点1.重点：最简二次根式.2.难点：最简二次根式的概念. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.计算：÷=（二）尝试指导，讲授新课师：刚才我们做了两道二次根式的除法，有同学是这样做的，大家看一看他做的对不对.师：（板书：÷÷（边讲边板书：.师：（板书：）第(2)讲边板书：. 师：这位同学做的如何，你有什么评论？（让生思考一会儿，再叫学生） 生：……（多让几名同学发表看法）师：这位同学利用法则计算，这有没有错？没错.问题出在什么地方？（稍停）问题出在他没有把结果化简..），等于（边讲边板书：=.师：（指准.讲边板书：，结果等于2讲边板书：=2.师：.师：所以它们不是最简二次根式，不能再化简了，所以它们是最简二次根式.从这两个例子，请大家想一想，什么样的二次根式是最简二次根式？（让生思考一会儿，再叫学生）生：……（多让几名同学发表看法）师：（指准被开方数28中含有能开得尽方的因数4.可见，最简二次根式首先要满足这样一个条件.（师出示下面的板书）(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；师：（指板书）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.师：这是一个条件，下面我们来看第二个条件.师：32中含有分母.可见，最简二次根式要满足的第二个条件是：（师出示下面的板书）(2)被开方数不含分母.师：（指准板书）被开方数不含分母.师：（指准板书）我们把同时满足这样两个条件的二次根式叫做最简二次根式.师：6不含能开得尽方的因数，而且被开方数6.师：下面我们来看一道例题.（师出示例题）例下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：（生让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）不是最简二次根式.=2==a=5（三）试探练习，回授调节2.下列二次根式中，哪些不是最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：3.把下列各式化成最简二次根式：(1)(2)x=（四）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了最简二次根式，什么是最简二次根式？从字面上讲，最简二次根式就是化得最简的二次根式，换句话说，就是不能再化简的二次根式.这种二次根式有两个特点，（指准板书）第一个特点是，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；第二个特点是，被开方数不含分母.师：知道了什么是最简二次根式，对我们做二次根式的乘法和除法有很大的帮助.有什么帮助？（稍停）它可以帮助我们判断题目有没有做完，如果结果是最简二次根式，说明题目做完了；如果结果不是最简二次根式，说明题目还没有做完，还要继续化简，直到化成最简二次根式为止.（作业：P11练习2.P12习题7.）四、板书设计。

二次根式运算中常见错误及原因一、忽视公式适用的条件例1.计算：)9()16(-⨯-.错解：原式=)16(-×)9(-=（-4）×（-3）=12.正解：原式=144=12. 错因分析及解题指导：本题有两处错误：错误一：忽视了公式b a ab ⋅=成立的条件：0≥a ，0≥b ，错误二：因为负数没有平方根，所以)16(-、)9(-无意义，无法化简．正确做法是先计算被开方数，再化简．例2.化简：2)32(-.错解：原式=32-. 正解：原式=32. 错因分析及解题指导：本题错用了公式a a =2这一公式．我们在运用a a =2要注意对其中的a 的正负进行分类讨论.二、忽视结果的化简例3.计算：242⨯.错解：原式=48.正解：原式=34.例4.计算：2421332--. 错解：原式=2132421324=--. 正解：原式=2232422324=--. 错因分析及解题指导：以上两例都错在对结果的化简上，在进行运算时，出现48，21时要对它们进行化简，使被开方数不含分母和开得尽的因数．另外在计算例4时还会出现下面的错误：错解：原式=221124221124=--. 这一错误主要是书写不规范造成的，其中的2211应写成223. 三、与乘法运算律混淆例5.计算：21227⨯÷.错解：原式=33133=÷.正解：原式=212133⨯⨯=323. 错因分析及解题指导：本题错将乘法结合律用在乘除混合运算上了.对于这类同级运算，应该按从左到右的顺序进行计算，乘除混合运算通常先将除法转变为乘法再计算．四、与算术平方根的积运算混淆例6.计算：22247+.错解：原式正解：原式=57649+例7.计算：1691. 错解：原式=43116911691=+=+. 正解：原式=451625=. 错因分析及解题指导：本题错用了算术平方根的运算，将算术平方根的和的运算与算术平方根的积运算混淆了．这类问题正确的处理方法是先计算被开方数再化简，如果被开方数是带分数，先将带分数化为假分数再计算．五、与算术平方根的商运算混淆例8.计算：2818-.错解：原式=3-2=1.正解：原式=22223-=22. 错因分析及解题指导：本题错将根号内的因数与根号外的因数直接相除，本题正确做法是先将被开方数化简，再计算．。

人教版数学九年级上册21.2《二次根式乘除》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册21.2《二次根式乘除》是整个初中数学阶段非常重要的一部分内容。

这一节内容主要引导学生学习二次根式的乘除运算，让学生掌握二次根式乘除的法则，能够灵活运用二次根式进行运算。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握二次根式乘除的运算方法。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了实数、有理数、无理数的基本概念，也学习了二次根式的基本性质和运算。

但是，对于二次根式的乘除运算，学生可能会感到困惑，因为其运算规则与有理数的运算规则有所不同。

因此，在教学过程中，我需要引导学生通过已有的知识体系，理解和掌握二次根式的乘除运算规则。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握二次根式的乘除运算规则，能够运用二次根式进行简单的运算。

2.过程与方法目标：通过小组合作、探究学习的方式，学生能够自主发现二次根式乘除的运算规则，培养学生的自主学习能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，让学生感受数学的美妙。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握二次根式的乘除运算规则。

2.教学难点：学生能够灵活运用二次根式进行运算，理解二次根式乘除运算的本质。

五.说教学方法与手段1.教学方法：我将会采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生通过已有的知识体系，理解和掌握二次根式的乘除运算规则。

2.教学手段：我将使用多媒体教学，通过动画、图片等形式，帮助学生形象地理解二次根式的乘除运算。

六.说教学过程1.导入：我会通过一个实际问题，引发学生对二次根式乘除运算的兴趣，激发学生的学习动机。

2.新课导入：我会引导学生回顾二次根式的基本性质和运算规则，为学生学习二次根式的乘除运算打下基础。

3.案例分析：我会通过具体的例题，引导学生理解和掌握二次根式的乘除运算规则。

4.小组合作：我会学生进行小组合作，让学生通过探究学习，自主发现二次根式乘除的运算规则。

人教版九年级上册21.2二次根式乘除教学设计教学目标通过本节课的学习，学生将会掌握：1.二次根式的分解与合并；2.二次根式的乘法分配律；3.二次根式的除法。

教学重点与难点教学重点：1.二次根式的分解与合并；2.二次根式的乘法分配律；3.二次根式的除法。

教学难点：1.二次根式乘法分配律的应用；2.二次根式除法的运算方法。

教学准备1.黑板、粉笔；2.PPT课件；3.九年级数学教材；4.练习题。

步骤一：引入教师展示一个还原的能量棒（有二次根式式子），让学生们想一想，如何把这个能量棒拆开，再解析出里面的成分。

步骤二：二次根式的分解与合并1.让学生回顾前面学过的一次根式分解法与合并法；2.同样是根式分解，只是次数扩大到了二次根式；3.展示一些例题，让学生梳理分解和合并的思路。

步骤三：二次根式的乘法分配律1.同样是乘法分配律，只是表象看起来吓人；2.考虑常规乘法分配律的运用，适当扩大思维；3.展示一些例题，让学生熟练掌握。

步骤四：二次根式的除法1.和二次根式的乘法类似，需要注意运算规律；2.让学生自己探索解法，适当引导；3.展示一些例题。

步骤五：讲授注意事项1.整分式及其运算原则；2.约分的方法；3.化简式子的基本方法。

步骤六：课堂练习让学生完成几道练习题，巩固所学内容。

通过学生对案例的分析和运算，并对一些类似情况的讨论，考察学生对二次根式分解、乘法分配律、除法的掌握情况，并最终结合练习情况对学生掌握的情况给予评价。

总结与展望通过本节课的学习，学生对二次根式的分解、合并、乘法分配律和除法都有了比较深入的认识。

但是，二次根式本质上是一类高级的数学操作，带给学生很大的挑战，仅靠本节课还不能满足学生的需要，九年级下学期还会有更多相关内容的学习。

教师要在日常教学中，注意引导学生认真阅读教材，进行思考和思辨能力的锻炼。

人教版数学九年级上册21.2.2《二次根式的乘除—除法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第21.2.2节《二次根式的乘除—除法》是二次根式乘除法运算的一部分，是学生进一步掌握二次根式运算的重要内容。

本节课通过介绍二次根式的除法运算，帮助学生理解和掌握二次根式除法的运算方法，为以后解决更复杂的数学问题打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次根式的概念、性质和乘法运算。

但学生在进行二次根式的除法运算时，可能会遇到困难，因为除法运算涉及到分母有理化，这对学生的逻辑思维能力和转化能力提出了较高的要求。

三. 教学目标1.让学生理解二次根式除法的运算方法。

2.培养学生进行二次根式除法运算的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和转化能力。

四. 教学重难点1.二次根式除法运算的方法。

2.分母有理化的方法和技巧。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生思考和探索二次根式除法的运算方法；通过案例分析，让学生理解和掌握二次根式除法的步骤；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备教学PPT，包括二次根式的概念、性质、乘法和除法运算的步骤。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次根式除法运算的需求，激发学生的学习兴趣。

例如：已知√64=8，求√256÷√64。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式除法的运算方法，包括分母有理化的步骤。

通过PPT展示和讲解，让学生清晰地理解二次根式除法的运算过程。

3.操练（10分钟）让学生进行二次根式除法的练习，巩固所学知识。

教师可设置不同难度的题目，让学生分组讨论和解答。

4.巩固（10分钟）对学生的练习情况进行总结，指出常见的错误和问题，并进行讲解。

通过典型例题的讲解，帮助学生进一步巩固二次根式除法的运算方法。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何将二次根式除法运算应用于实际问题中？让学生举例说明，培养学生的应用能力。