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专题7-3解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2、转为三角函数求最值：化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。
二、边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； (2)若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； (3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； (4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．2022·全国甲卷（理&文）T161．已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD = ．2022·新高考1卷2．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．2020·浙江卷3．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a −=． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．2019年全国Ⅲ卷·文·理T184．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．2018·北京卷 5．若ABC 的面积为2223()4a cb +−,且∠C 为钝角，则∠B = ；c a 的取值范围是 .2018·江苏卷6．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．题型一 由不等式求最值角平分线相关1．（多选）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，π3ABC ∠=，内角B 的平分线交AC 于点D 且3BD =，则下列结论正确的是（ ） A ．111a c+= B ．b 的最小值是2C ．3a c +的最小值是43D ．ABC 的面积最小值是32．（2024届·湖南衡阳市八中校考）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________. (1)求A ；(2)若内角A 的角平分线交BC 于点，且，求的面积的最小值.（注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）中线相关3．（2024届·湖北校联考）已知分别是的三个内角的对边，且. (1)求角；(2)若在边上且，求面积的最大值.()()b c a b c a bc +−++=sin 3(cos )a C a C b =−(2)cos cos 0b c A a C ++=ABC D 3AD =ABC ,,a b c ABC ,,A B C cos 3sin 0a C a C b c +−−=A D BC ,2BD DC AD ==ABC 重点题型·归类精讲浙江省百校联盟2022-2023学年高三上学期11月模拟4．在ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若()tan tan 2tan b A B c B +=，BC 边的中线长为1． （1）求角A ；（2）求边a 的最小值．福建省厦门双十中学高三上学期期中5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin 3cos sin b A a B a B =+. （1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC 的中点，若3BD =，求a c +的取值范围.定角定高6．如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AH=4 ，∠BAC=60°，求△ABC 面积的最小值.对式子变形后利用基本不等式求最值7．在中，角，，的对边分别为，，，已知.(1)若，，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小.湖南省益阳市2022届高三上学期9月调研8．已知ABC 的角,,A B C 对边分别为,,a b c ，3cos sin 0a B b A −=. (1)求B ∠；(2)若2a c +=，求b 的取值范围.题型二 构造函数求范围9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，，求的取值范围．2024届·雅礼中学月考（二）10．记锐角的内角的对边分别为，已知．(1)求证：；(2)若，求的最大值．ABC A B C a b c ()2222sin 0ac B C a c b +++−=π6A =2a =ABC 2224sin 3sin 2sin C A B++B π32c =2a b −ABC ,,A B C ,,a b c sin()sin()cos cos A B A C B C−−=B C =sin 1a C =2211a b +2023届河北省唐山市三模11．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知A 为钝角，sin cos a B b B =. (1)若π6C =，求A ；(2)求cos cos cos A B C ++的取值范围.12．（2024届·湖南长郡中学校考）在锐角中，内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若的取值范围.ABC ,,A B C ,,a b c ()2sin cos cos 3A c B b C a +=A 3a =223b c bc ++2023届广东江门市一模13．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1tan B ，1sin A ，1tan C依次组成等差数列. (1)求2a bc的值；(2)若b c >，求222b c a +的取值范围.2024届常德市一中校考14．在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若，请完成以下问题： (1)求角B 的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围．2024届长沙一中月考（一）15．在锐角中，角的对边分别为，且满足. (1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围.ABC 1cos 2b Cc a +=ABC 1c =22a b +ABC ,,A B C ,,a b c 22b a ac −=2B A =ABC l la2024届长沙一中月考（二）16．的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.(1)在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.17．在中，角，，所对的边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若的取值范围.ABC ABC OBC △OAC OAB 1S 2S 3S 22213132S S S S S +−=2AB =cos cos 1a C c A +=4sin sin cos21B A A +=12cos 12cos 0sin sin A BA B−−+=ABC ABC ABC ABC ABC A B C a b c sin sin tan cos cos A BC A B+=+C ABC 3c18．（2024届·扬州中学校考）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3b =，sin sin 23A a B +=，则ABC 周长的取值范围为 .2024届河南省实验中学校考19．在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且.(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考20．在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的面积()1cos S bc A =−，则2abc的取值范围为A ．4,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．416,515⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．432,535⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3216,3515⎡⎫⎪⎢⎣⎭ABC ,,A B C a b c 222sin sin sin 1sin sin A A CC B−−=A C 2BC =BD ABC ∠4a =BD专题7-3解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
“万岁军”38军传奇（讲义稿）“万岁军”38军传奇（讲义稿）首先，请大家听一首军歌。
播放《钢铁部队进行曲》：钢铁的部队钢铁的英雄，钢铁的意志钢铁的心。
秀水河子歼灭战，队伍打成钢。
嘿！大小几百仗，仗仗有名堂，三下江南，打得敌人胆破心又慌。
四战四平街，威名全国扬，四战四平街，威名全国扬！我们越打越硬越战越强，跟着英明的毛主席，嘿！勇猛地向前进！阶级的部队阶级的英雄，阶级的意志阶级的心。
劳动人民上战场，复仇显本领。
嘿！人人逞英雄，个个是模范。
英雄模范，成千成万杀敌立大功。
打过山海关，解放全中国，打过山海关，解放全中国。
我们越打越硬越战越强，跟着英明的共产党。
嘿！勇猛的向前进。
（原始版为：钢铁的队伍，钢铁的意志，钢铁的战士，钢铁的心。
马蹄歪子歼灭战，队伍打成钢呦，嘿，大小几百仗，仗仗有名堂，三下江南，打得敌人胆破心又慌。
四战四平街，威名全国扬，四战四平街，威名全国扬。
我们越打越勇，越战越硬。
跟着英明的林司令，嘿，勇猛地向前进）大家可能听出了这首军歌是38军军歌。
从这首歌里，大家可能也听出了38军的大概历史。
那么，38军是一支什么样的部队，这支部队又是怎样成为我国第一王牌军的呢？我们还是从1945年8月说起吧。
1945年8月15日，日本宣布投降，中华民族取得了抗日战争的伟大胜利。
我党及时作出了“向北发展，向南防御”的战略抉择，派出了十万干部和部队抢占东北。
在进军东北的大军中，有一支较早到达东北的部队，这支部队由山东军区组建，叫“东北挺进纵队”，因其由时任八路军山东军区滨海军区副司令员兼山东军区滨海支队支队长的万毅率领，所以，这支部队又叫“万毅纵队”。
“万毅纵队”是被毛泽东连发三道金牌调去东北的。
第一道金牌发于1945年8月11日，全文是：东北军万毅所部，由山东、河北现地，向辽宁进发。
第二道金牌发于8月20日，内容为：中央决定从山东调两个团（万毅支队在内），冀鲁豫调一个团，冀中调一个团，共四个团，归万毅率领开赴东三省。
高2019届理科数学总复习讲义第三十八讲 随机变量及其分布、期望与方差知识提要1、 随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母,ξη等表示。
（1） 离散型随机变量。
如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
（2） 连续型随机变量。
如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。
（3） 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量。
2、 离散性随机变量的分布列（1） 概率分布（分布列）。
设离散性随机变量ξ可能取的值为12,,x x ···,,i x ···,ξ取每一个值（1,2,i x =···）的概率()i i P x p ξ==，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
（2）二项分布。
如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在ｎ次独立重复试验中这个事件恰好发生ｋ次的概率是：()k k n k n P k c p q ξ-==（其中k=0，1，···，n ，q=1-p ），于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~B(n,p)，其中n,p 为参数。
3、期望（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称1122n n E x P x P x p ξ=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅为ξ的数学期望，简称期望。
（2）离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量值的平均水平。
(3 ) 数学期望的性质：(),()E c C E a b aE b ξξ=+=+（,,a b c 为常数）。
3、 方差：（1）221122()()D x E P x E P ξξξ=-+-+···2()n n x E P ξ+-+···为ξ的方差。
专题三十八 组合一般地，从n 个不同元素中取出m 个（m ≤n ）元素组成一组而且不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
从n 个不同元素中取出m 个元素(m ≤n )的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数。
记作m n C 。
在数学中可把a ÷b (b ≠0)记作ab，其中a 叫做分子，b 叫做分母，所以 223322A C A =。
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素排成一列的排列数mn A 可以分两步求得：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 中方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m A 种排法。
故由分步计数原理得到： m m m n n mA C A =∙ 因此 (1)(2)(1)!mmn nm m A n n n n m C A m ---+== 这就是组合数公式。
二、例题选讲例1：计算：①2466,C C ； ②2577,C C 。
分析与解答：①2266226515,21A C A ⨯===⨯ ②2277227621,21A C A ⨯===⨯446644654315;4321A C A ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯ 557755765432154321A C A ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯注意到上面的结果中，有24256677,C C C C == 一般地，组合数有下面的重要性质： m n m n nC C -= ()m n ≤ 这个公式是很容易理解的，它的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有方法。
n m n C -表示从n 个元素中取出(n -m )个元素组成一组的所有方法。
显然，从n 个元素中选出m 个元素的方法恰是从n 个元素中选 (n -m )个元素剩下的方法。
例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =。
第38讲 数列求和1．掌握数列求和的常用方法与思路．2．能选择适当的方法解决有关数列求和的问题．知识梳理 1．常用公式(1)等差数列求和公式：S n ＝ n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，推导方法是 倒序相加 . (2)等比数列求和公式：S n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1) ，推导方法是 错位相减 .2．常用方法(1)分组求和法：将通项展开后分解成几组，其中每一组可转化为等差或等比数列或其他可求和的数列求和． (2)裂项求和法：将数列中的通项拆成两项之差求和，使之正负相消，剩下首尾若干项．(3)并项求和法：依次将数列中相邻两项并成一项，使之转化为等差或等比数列或其他可求和的数列求和． (4)倒序相加法：将一个数列倒过来排列(倒序)与原数列相加，叫倒序相加，主要用于倒序相加后对应项和有公因式可提的数列求和，如等差数列求和公式就是用倒序相加法推导出来的．(5)错位相减法：这是推导等比数列前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列．1．常见数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； (3)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；(4)12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.2．常见的裂项公式(1)若{a n }各项都是不为0的等差数列，公差为d (d ≠0)，则 1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)； (2)1n (n ＋k )＝1k (1n －1n ＋k )； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热身练习1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n 的前n 项和是(B)A ．1＋n 2－(12)n －1B ．1＋n 2－(12)nC ．1＋n 2－(12)n ＋1 D ．1＋n 2－2n112＋314＋518＋7116＋…＋(2n －1)＋12n ＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)] ＋(12＋14＋18＋116＋…＋12n ) ＝n [1＋(2n －1)]2＋12[1－(12)n ]1－12＝n 2＋1－(12)n .2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝(A) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15因为a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28 ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28) ＝3×5＝15. 3．求和S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝ 12(32－1n ＋1－1n ＋2) .因为1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)，所以原式＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1n ＋2)]＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝12(32－1n ＋1－1n ＋2)． 4．sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝892.设S ＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°， 则S ＝sin 289°＋sin 288°＋…＋sin 22°＋sin 21° 上述两式相加得2S ＝1×89，所以S ＝892.5．化简和式：1×2＋2×4＋…＋n ×2n ＝ (n －1)2n ＋1＋2 .令S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ①－②得：－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n)1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1. 所以S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.分组求和与并项求和(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．(1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ∈N *)． 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1. 从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n (1＋2n －1)2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n －12.(1)数列求和，要注意通项的分析，根据通项的特点灵活选择方法．本题通项c n 可表示为a n ＋b n 的形式，其中{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，故可采取拆项求和的方法．(2)“拆项”和“并项”方式不同，但目的都是为了转化，通过“拆”和“并”的手段，将不可直接求和的数列问题转化为可求和的数列来处理．1．若S n ＝－12＋22－32＋…＋(－1)n n 2(n ∈N *)，求S n .当n 为偶数时，S n ＝－12＋22－32＋…＋[－(n －1)2]＋n 2 ＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[n 2－(n －1)2] ＝3＋7＋…＋(2n －1)＝3＋(2n －1)2·n 2＝n (n ＋1)2. 当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2.综上，可知S n ＝(－1)nn (n ＋1)2.裂项求和法(经典真题)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n －1a 2n ＋1的前n 项和．(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)d2.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)， 从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1) ＝n1－2n.(1)本题考查了等差数列的基本量及其关系，考查了裂项求和的基本方法．(2)利用裂项求和法时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，要根据通项的特点来确定．2．(2017·全国卷Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和．(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时， a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式， 所以{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)记⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2(2n ＋1)(2n －1)＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n2n ＋1.错位相减法求和(经典真题)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ， 故d ＝12，从而a 1＝32，所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋(123＋…＋12n ＋1)－n ＋22n ＋2 ＝34＋14(1－12n －1)－n ＋22n ＋2＝1－n ＋42n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.(1)本题考查了等差数列的通项公式及错位相减法求和的基本方法，考查运算求解能力． (2)一般地，若{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，则求数列{a n ·b n }的前n 项和可采用错位相减法．3．(2017·山东卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .(1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2， 所以a n ＝2n .(2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ， 又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12T n ＝32＋(12＋122＋…＋12n －1)－2n ＋12n ＋1 ＝32＋1－12n －1－2n ＋12n ＋1＝52－2n ＋52n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .1．数列求和的基本思想是“转化”，其一是转化为基本数列(如等差、等比数列)的求和或其他可求和的数列；其二是通过消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．到底如何进行转化，关键是在分析数列通项及其和式的构成规律，根据其特点转化为基本数列求和，或分解为基本数列求和．2．对于一般的数列求和无通法可循，能求和的是几类特殊的数列，其常用的方法有分组求和法、并项求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项求和法等，要注意分析总结这几种方法的适用类型．3．对通项中含有(－1)n 或奇数项、偶数项由等差(等比)数列构成的数列，求前n 项和时，注意根据n 的奇偶性进行讨论，转化为基本数列求和．。
第38讲应用同余问题一、知识要点同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。
同余的定义是这样的：两个整数a，b，如果它们除以同一自然数m所得的余数想同，则称a，b对于模m同余。
记作：a≡b（mod ｍ）。
读做：ａ同余于ｂ模ｍ。
比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做12≡47（mod 5）。
同余的性质比较多，主要有以下一些：性质（1）：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。
比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。
“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。
也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：32≡2（mod 5），19≡4（mod 5），32+19≡2+4≡1（mod 5）性质（2）：对于同一个除数，两个数的乘积与它们余数的乘积同余。
性质（3）：对于同一个除数，如果有两个整数同余，那么它们的差就一定能被这个除数整除。
性质（4）：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么它们的乘方仍然同余。
应用同余性质几萼体的关键是要在正确理解的基础上灵活运用同余性质。
把求一个较大的数除以某数的余数问题转化为求一个较小的数除以这个数的余数，使复杂的题变简单，使困难的题变容易。
二、精讲精练【例题1】求1992×59除以7的余数。
应用同余性质（2）可将1992×59转化为求1992除以7和59除以7的余数的乘积，使计算简化。
1992除以7余4，59除以7余3。
根据同余性质，“4×3”除以7的余数与“1992×59”除以7的余数应该是相同的，通过求“4×3”除以7的余数就可知道1992×59除以7的余数了。
因为1992×59≡4×3≡5（mod 7）所以1992×59除以7的余数是5。
【例题•单选题】（2018年）某公司委托证券公司发行普通股400000股，每股面值为1元，每股发行价格为16元。
双方协议约定，证券公司按发行收入的2%收取佣金，并直接从发行收入中扣除。
不考虑其他因素，该公司发行股票应计入资本公积的金额为（）元。
A.6272000B.5880000C.5872000D.6000000【答案】C【解析】该公司发行股票应计入资本公积的金额=400000×16×（1-2%）-400000×1=5872000（元）。
【例题•判断题】（2018年）企业收到的投资者超出其在企业注册资本中所占份额的投资，应直接计入当期损益。
（）【答案】×【解析】企业收到的投资者超过其在企业注册资本中所占份额的投资，应记入“资本公积——资本（股本）溢价”科目。
【例题•判断题】（2018年）资本公积项目在满足一定的条件时可以重新分类确认为损益，成为企业利润的一部分。
（）【答案】×【解析】资本公积不会影响企业的损益，部分其他综合收益项目在满足企业会计准则条件时，可以重分类进损益，成为企业利润的一部分。
【例题•多选题】（2012年）下列各项中，属于资本公积来源的有（）。
A.盈余公积转入B.其他资本公积C.资本溢价或股本溢价D.从企业实现的净利润提取【答案】BC【解析】资本公积包括资本溢价（或股本溢价）和其他资本公积。
盈余公积可以转增资本，但不能转入资本公积；从企业实现的利润中提取应计入盈余公积，不计入资本公积。
【例题•单选题】（2017年）下列各项中，关于股份公司溢价发行股票的相关会计处理表述正确的是（）。
A.发行股票溢价计入盈余公积B.发行股票相关的印花税计入股票成本C.发行股票相关的手续费应从溢价中抵扣D.发行股票取得的款项全部计入股本【答案】C【解析】股份公司溢价发行股票的会计处理为：借：银行存款贷：股本资本公积——股本溢价选项A，发行股票的溢价计入资本公积；选项B，发行股票相关的印花税计入税金及附加；选项D，发行股票取得的款项按投资合同或协议约定的份额计入股本，超过所占份额的部分计入资本公积。
