新高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3-1-1实数指数幂及其运算学案新人教B版必修1

实数指数幂及其运算学习目标：掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。

掌握根式和有理数指数幂的意义注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件 学习重点：实数指数幂的运算和底数的限制条件 学习难点：实数指数幂的运算 学习过程：一、正整数指数幂（复习）：1．()n a n N +∈的意义： n na a a a =⋅L 142432．()n a n N +∈的运算：（1）m n m n a a a +⋅= （2）()m nm na a⋅=（3）(,0)m m n n a a m n a a-=>≠ （4）()m m ma b a b ⋅=⋅二、负整数指数幂（拓展）：规定： 01(0)a a =≠ 1(0)n n a a a-=≠ 三、分数指数：1．复习：问题： 2x a = 3x a = 则x 的取值是什么？ 2．拓展：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a R n n N +∈>∈，则x 叫做a 的n 次方根； 求a 的n 次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算， 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根。

叫做根式，n 叫做根指数。

3．根式性质：(1) (1,)na n n N +=>∈a n a n ⎧=⎨-⎩，当为正奇数时，当为正偶数时4．分数指数幂（有理指数幂）：（1）正分数指数幂：10)n a a =>0,,,)m nma a n m N n+=>∈且为既约分数 （2）负分数指数幂：1(0,,,)m nm nmaa n m N na-+=>∈且为既约分数 5、有理指数幂运算法则：0,0a b >>，,αβ是有理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅四、无理指数幂：1、0,0a b >>，,αβ是无理数 (1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅2、实数指数幂： 0,0a b >>，,αβ是实数(1) aa a αβαβ+⋅= (2) ()a a αβαβ⋅= (3) ()a b a b ααα⋅=⋅五、典型例题：例1、（整数指数幂）化简下列各式：（1）()03.14π- （2）512-⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）()42x - （4）))10922+-（5）()32212339a b a b a b-----⋅⋅- （6）()()()()33334411aa a a aa a a----+-++-练习： 一组：（1）57x x （2）232(2)a b --- （3）23(2)()x x -- （4）13()()a ab b- （5）2222(2)()a a a a ---+÷- （6）2222()()x y x y ---÷-二组：（1）若,m n Z ∈，满足5m a =，15n b=，则25m n -=. （2）已知21na=，*()n N ∈，则33n nn na a a a ---=-（3）已知11a a --=，则66a a -+的值为 例2、（根式）求下列各式的值：（1 （2（3（4)a b <练习：求下列各式的值（1）（2（3） 63⋅ （4）若42xa=，求x xxxa a a a--+-例3(3a =-成立的实数a 的取值范围=，求实数a 的取值范围 例4．（有理指数幂）计算下列各式：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-（2）20.520371037(2)0.1(2)392748π--++-+（3）141030.753327(0.064)()[(2)]16|0.01|8-----+-+--（4）2110323(3)(0.002)2)8----+-+练习：计算下列各式：（1）0212121236253----⨯⨯⨯-； （2）；（3）12113142[(1](111212---+÷ （4）2111333324()3a b a b ---÷-例5．（1）已知0x >，0y >，化简y xy x x y y x（2）已知22()xxa -+=常数，求88x x -+的值练习： （1）设0x >，0y >yyx x--=，求y y x x -+的值小结：1、根式和根式的性质：2、指数幂的拓展：3、实数指数幂的运算律：4、实数指数幂的运算律的应用。

幂函数教学设计一、教学目标1.知识与技能 理解、掌握幂函数的图象与性质，并进一步掌握研究函数的一般方法。

2.过程与方法 渗透分类讨论、数形结合的思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力。

3.情感态度价值观 培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程. 二、教学重、难点本节课的重点内容是幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法。

相对于指数函数与对数函数来说，幂函数的情况比较复杂，对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点。

学情分析及教学内容分析 三、学情分析 1.知识储备方面学习幂函数之前，学生在初中已经掌握了一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数几类基本初等函数，并且在高中阶段独立探究过指数函数与对数函数的图象与性质，基本掌握了研究函数的一般方法与过程.由于幂函数的情况比较复杂，学生在对图象共性的归纳与概括方面可能遇到困难. 2. 思维水平方面所授课班级是理科实验9班，学生有较高的数学素养和较强的数学思维能力，对数学充满探索精神，对课堂教学有较高需求. 四. 教学内容分析1.幂函数在教材中的地位幂函数是新课标教材新增的内容，位于必修1第三章基本初等函数（Ⅰ）的第三节.在过渡性教材中，曾将幂函数这一内容删掉了，新课标又把幂函数重新编入教材，而相比起人教版的旧教材，幂函数的地位和难度都有所下降，新教材将幂函数的位置放到了指数函数与对数函数之后，并且将幂函数研究的对象限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质. 2.幂函数的作用新教材将幂函数重新加入,主要考虑到幂函数在以下几方面的作用： 1.是幂函数在实际中的应用.2.学生在初中已经学习了x y =、2x y =、1-=x y 三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构.3.幂函数是基本初等函数（Ⅰ）研究的最后一个函数，在指数函数和对数函数之后，幂函数的学习与探究过程可体现类比的学习方法，渗透分类讨论数形结合的数学思想，培养归纳、概括的能力，并使学生进一步体会并掌握研究基本初等函数的一般思路与方法.组织探究二、幂函数的定义自然地，给出幂函数定义（板书，学生打开课本）一般地，形如：αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数．（由上面的式子可以看出幂函数和幂联系紧密，由于根式推广时，我们仅推广到有理数的情况，所以仅研究有理数）。

3．1．1 实数指数幂及其运算1．了解实数指数幂的意义．2．理解有理指数幂的含义．3．掌握幂的运算．1．整数指数幂(1)正整数指数幂的运算法则①a m·a n＝a m＋n；②(a m)n＝a mn；③a ma n＝a m－n(m>n，a≠0)；④(ab)m＝a m b m．(2)零指数幂和负整数指数幂①a0＝1(a≠0)；②a－n＝1a n(a≠0，n∈N＋)．2．分数指数幂(1)n次方根的概念①a的n次方根：如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做a的n 次方根．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算．②a的n次方根的分类(n>1，n∈N＋)当n是偶数时，若a>0，则a的偶次方根有两个Ｗ.它们互为相反数，分别表示为na，－naＷ.若a<0，负数的偶次方根在实数范围内不存在.当n是奇数时，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为na．当a＝0 时，a的n次方根为 0，记作0．③正数a的n次算术根正数a的正n次方根叫做a的n次算术根．(2)根式①当n a 有意义的时候，na 叫做根式，n 叫做根指数． ②根式性质(na )n＝a (n >1 且 n ∈N ＋)；nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数且n >1，n ∈N ＋），|a |（n 为偶数且n >1，n ∈N ＋）. (3)分数指数幂①a 1n ＝na (a >0，n ∈N ＋)；②a mn ＝n a m(a >0，m 、n ∈N ＋，且 m n为既约分数)；③a －mn ＝1a m n(a >0，m 、n ∈N ＋，且 mn为既约分数)．3．有理指数幂的运算法则 设a >0，b >0，α，β∈Q ，则有 (1)a αa β＝aα＋β；(2)(a α)β＝aαβ；(3)(ab )α＝a αb α．[注意] 有理指数幂还可以推广到无理指数幂．1．已知a >0，m ，n 为整数，则下列各式中正确的是( )A ．a m÷a n＝a mnB ．a n ·a m ＝a m ·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n＝a0－n答案：D2．下列等式中一定成立的有( )① 36a 3＝2a ；②3－2＝ 6（－2）2；③－342＝ 4（－3）4×2． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A ．36a 3＝36·a ≠2a ；3－2<0，而6（－2）2>0；－342<0，而4（－3）4×2>0．3．把根式a a 化成分数指数幂是( ) A ．(－a )32 B ．－(－a )32 C ．－a 32 D ．a 32答案：D4．求481×923的值．解：481×923＝(34×913)14＝3×316＝376＝363．根式与分数指数幂的互化(1)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(只填序号)． ①－x ＝(－x )12(x ＞0)；②6y 2＝y 13(y ＜0)；③x －34＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)；④x －13＝－3x (x ≠0)． (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a ＞0，b ＞0)． ①3a ·4a ； ②a a a ； ③(3a )2·ab 3．【解】 (1)对于①，－x ＝－x 12，故①错误；对于②，当y ＜0时，6y 2＞0，y 13＜0，故②错误；对于③，x －34＝14x 3＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x ＞0)，故③正确；对于④，x －13＝13x，故④错误．综上，填③．(2)①3a ·4a ＝a 13·a 14＝a 712；②原式＝a 12·a 14·a 18＝a 78；③原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132·a 12·b 32＝a 76b 32．根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数分数指数的分母， 被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理指数幂的运算性质解题．[注意] 如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．1．设a ＞0，则a 2a ·3a 2表示成分数指数幂是( )A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32解析：选C ．a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2·a －56＝a 2－56＝a 76．2．把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)(a －b )－34(a ＞b )；(2) 5（ab ）2；(3) 3（x －1）5；(4)13a 2；(5)(a －b )37．解：(1)(a －b )－34＝14（a －b ）3；(2) 5（ab ）2＝(ab )25；(3) 3（x －1）5＝(x －1)53；(4)13a 2＝a －23；(5)(a －b )37＝7（a －b ）3．利用指数幂的运算性质化简、求值计算或化简： (1)a 3b 2(2ab －1)3；(2)(0．064)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3]－43＋16－0．75＋|－0．01|12；(3)3a 92·a －3÷3a －7·3a 13(a >0)．【解】 (1)原式＝a 3b 223a 3b －3＝8a 6b －1．(2)原式＝(0．43)－13－1＋(－2)－4＋2－3＋(0．12)12＝(0．4)－1－1＋116＋18＋0．1＝14380．(3)原式＝[a 13×92·a 13×(－32)]÷[a 12×(－73)·a 12×133]＝a 96－36＋76－136＝a 0＝1．利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．计算：(1)(－1．8)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2·3⎝ ⎛⎭⎪⎫3382－10.01＋93；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）30.1－2·（a 3b －3）12(a ＞0，b ＞0)．解：(1)原式＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫27823－10＋932 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫322－10＋27＝29－10＝19． (2)原式＝412·0．12·23·a 32·b －32a 32·b －32＝2×1100×8＝425．条件求值问题已知x 12＋x －12＝3，求2x －1＋x ＋3的值．【解】 因为x 12＋x －12＝3， 所以(x 12＋x －12)2＝9，所以(x 12)2＋2x 12·x －12＋(x －12)2＝9， 所以x ＋2＋x －1＝9， 所以x ＋x －1＝7， 所以原式＝27＋3＝15．1．若将本例条件“x 12＋x －12＝3”改为“x 12－x －12＝1”，如何求值？ 解：将x 12－x －12＝1两边平方， 得x ＋x －1－2＝1，所以x ＋x －1＝3， 则2x ＋x －1＋3＝23＋3＝13．2．在本例条件下，如何求x 2＋x －2的值？解：将x 12＋x －12＝3两边平方可得x ＋x －1＋2＝9，则x ＋x －1＝7，两边再平方，得x 2＋x －2＋2＝49，所以x 2＋x －2＝47．条件求值问题的解法(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值：(1)a 2＋a －2；(2)a 12－a －12；(3)a 3＋a －3．解：(1)法一：由a ＋a －1＝5两边平方得：a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即a 2＋a －2＝23．法二：a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23．(2)因为(a 12－a －12)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3． 所以|a 12－a －12|＝3，所以a 12－a －12＝±3． (3)a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－aa －1＋a －2) ＝(a ＋a －1)(a 2＋2aa －1＋a －2－3) ＝(a ＋a －1)[(a ＋a －1)2－3] ＝5×(25－3)＝110．1．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．2．正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用，只是底数的范围缩小为a >0．3．对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算．在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如3a ，若a >0，则3a >0，若a <0，则3a <0；但对根指数为偶数的根式，只有当a ≥0时，对a 才有意义．4．在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有负指数幂又有分母的形式．如a 32b 、ab－2都不是最简形式．应该注意，分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系，不可颠倒．在根式运算中，经常会遇到开方和乘方两种运算并存的情况，特别要注意两者的运算顺序是否可换，何时可换．如对ma n，仅当a ≥0时，ma n＝(ma )n恒成立，若a <0，则不一定成立．在进行分数指数幂的运算时，要注意底数是否大于零，否则运算过程容易出现错误．例如：化简(－1)13＝(－1)26＝6（－1）2＝1．这个过程就是错误的，应改为(－1)13＝3－1＝－1．1．5a －2可化为( )A ．a －25 B ．a 52C ．a 25D ．－a 52答案：A2．当(1x－1)0有意义时，x 的取值范围是( )A ．{x |x ≠1}B ．{x |x ≠0}C ．{x |x ≠0，1}D ．以上答案都不对答案：C3．当m <n 时， （m －n ）2＝________． 答案：n －m4．(m 34·n －23)6＝________．(m ，n >0)解析：(m 34·n －23)6＝(m 34)6(n －23)6＝m 92·n －4． 答案：m 92·n －4[A 基础达标]1．下列说法正确的个数是( ) ①49的平方根为7； ②na n＝a (a ≥0)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 5＝a 5b 15； ④6（－3）2＝(－3)13． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A ．49的平方根是±7，①错；②显然正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 5＝a 5b －5，③错；6（－3）2＝313，④错．故选A ．2．化简－x3x的结果是( )A ．－－xB ．xC ．－xD ．－x 解析：选A ．由题意知x ＜0，则－x3x＝－－x3x 2＝－－x ．3．化简(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)得( ) A ．－32b 2B ．32b 2C ．－32b 73D ．32b 73解析：选A ．原式＝－6a －4b 134a －4b －53＝－32b 2．4．将⎝⎛⎭⎪⎫x 13·3x －2－85化成分数指数幂为( )A ．x －13 B ．x 415 C ．x －415D ．x 25解析：选B ．原式＝(x 16·x －23×12)－85＝(x 16－13)－85＝x －16×(－85)＝x 415． 5．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于( ) A ．16 B ．10 C ．2D ．81解析：选A ．因为a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， 所以a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2． 由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0， 解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． 所以m 14＝2，m ＝24＝16．6．[(－5)4]14－150的值是________．解析：[(－5)4]14－150＝(54)14－150＝5－1＝4．答案：47．若a ＞0，则a 34·a －12÷3a 4＝________． 解析：a 34·a －12÷3a 4＝a 14÷a 43＝a 14－43＝a －1312． 答案：a－13128．当2－x 有意义时，化简 x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果为________． 解析：由2－x 有意义得x ≤2， 所以x 2－4x ＋4－ x 2－6x ＋9＝|x －2|－|x －3|＝(2－x )－(3－x )＝－1．答案：－19．化简下列各式(式中字母都是正数)：(1)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)；(2)(m 14n －38)8． 解：(1)(2a 23b 12)(－6a 12b 13)÷(－3a 16b 56)＝[2×(－6)÷(－3)]a 23＋12－16b 12＋13－56＝4ab 0＝4a ． (2)(m 14n －38)8＝(m 14)8(n －38)8＝m 2n －3＝m 2n 3． 10.计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2140.5－0．752＋6－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23； (2)823－(0．5)－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫8116－34． 解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2140.5－0．752＋6－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32212－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋136×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－23 ＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋136×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＝32－916＋136×94＝1．(2)823－(0．5)－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫8116－34 ＝(23)23－(2－1)－3＋(3－12)－6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫324－34 ＝22－23＋33×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＝4－8＋27×827＝4． [B 能力提升]11.设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a＝( ) A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2 解析：选C.将a 12－a －12＝m 平方得(a 12－a －12)2＝m 2，即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a＝m 2＋2， 所以a 2＋1a＝m 2＋2. 12．若2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________． 解析：因为2x ＝8y ＋1＝23y ＋3，9y ＝32y ＝3x －9，所以x ＝3y ＋3，①2y ＝x －9，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27.答案：27 13．化简求值：(1)2×(32×3)6＋(22)43－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12－42×80.25＋(－2 017)0；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值． 解：(1)原式＝2×(213×312)6＋(212×214)43－4×34－214×234＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.(2)由x 12＋x －12＝3得x ＋x －1＝7， x 2＋x －2＝47，又因为x 32＋x －32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －123＝⎝⎛⎭⎪⎫x 12＋x －12(x ＋x －1－1) ＝3×(7－1)＝18，所以原式＝18＋247＋3＝25. 14．(选做题)(1)已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a 12＋41＋a的值． (2)化简a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a . 解：(1)11＋a 14＋11－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝2（1＋a 14）（1－a 14）＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a 12＋41＋a＝4（1－a 12）（1＋a 12）＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝81－a2＝－1.(2)原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13 ＝a 13{（a 13）3－[（8b ）13]3}4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13 ＝a 13（a 13－2b 13）（a 23＋2a 13b 13＋4b 23）4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13 ＝a 13×a 13×a 13＝a .。

• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。

的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。

新课标人教版数学B ·必修（1）第三章基本初等函数(Ⅰ) 3．1指数与指数函数 3．1．1有理指数幂及其运算教学目标：根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算． 教学重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质．本小节的难点是根式的概念和分数指数幂的概念．关键是理解分数指数幂和根式的意义． 教学过程：（1）指数概念的扩充：指数的概念是由乘方概念推广而来的。

相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅=n a 导出乘方，这里的n 为正整数。

从复习初中内容开始，首先将n 推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念.（2）分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运算．对于问题计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．（3）随着指数范围的扩充，幂的运算性质逐步合并且简化．正整数指数幂的运算性质如下： ①； ②；③；④；⑤．当指数的范围扩大到整数集之后，幂的运算性质可由5条合并为3条，即：①； ②； ③．这3条性质都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定． 当指数的范围扩充到有理数集以至实数集后，幂的运算性质仍然是上述3条，但要遵守负实数指数幂的底数不能等于0的规定．（4）例1:先化简再用计算机求值（1）4.1213.2)549(+- （2）11(22--+-+m m m m （其中3.8=m ）例2：已知：22121=+-aa 求下列各式的值（1）22-+a a ；（2）33-+a a ；（3）44-+a a .例3：化简：332ba ab b a 课堂练习：第97页练习A,练习B小结：本节学习了根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算．课后作业：第100页习题3-1A 第1题3．1．2指数函数（1）教学目标：1.使学生掌握指数函数的概念,图象和性质.(1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域.(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质.2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习,培养学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.教学重点：指数函数的图象、性质。

3．1.1 实数指数幂及其运算1．理解n次方根及根式的概念．(重点)2．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点)3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点)4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)[基础·初探]教材整理1 整数指数阅读教材P85～P86“第7行”以上部分，完成下列问题．1．a n＝.a n叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，并规定a1＝a.2．零指数幂与负整数指数幂规定：a0＝1(a≠0)，a－n＝1a n(a≠0，n∈N＋)．3．整数指数幂的运算法则正整数指数幂的运算法则对整数指数幂的运算仍然成立．下列运算中，正确的是( )A．a2·a3＝a6B．(－a2)5＝(－a5)2C．(a－1)0＝0 D．(－a2)5＝－a10【解析】a2·a3＝a5；(－a2)5＝－(a5)2；当a＝1时，(a－1)0无意义；当a≠1时，(a－1)0＝－1.【答案】 D教材整理2 根式阅读教材P86～P87“第6行”以上内容，完成下列问题．1．a的n次方根的意义如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．求a的n次方根，叫做把a 开n 次方，称作开方运算．2．根式的意义和性质当n a 有意义时，na 叫做根式，n 叫做根指数． 根式的性质：(1)(na )n＝a (n >1，且n ∈N ＋)；(2)n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，当n 为奇数时，|a |，当n 为偶数时.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当n ∈N *时，(n－16)n都有意义．( )(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．( ) (3)na n＝a .( )【解析】 (1)×.当n 是偶数时，(n－16)n没有意义． (2)×.负数没有偶次方根．(3)×.当n 为偶数，a <0时，na n＝－a . 【答案】 (1)× (2)× (3)× 教材整理3 实数指数幂阅读教材P 87“第7行”～P 88“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．分数指数幂的意义(1)正数的正分数指数幂的意义：a mn ＝(n a )m ＝n a m ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 2．有理指数幂的运算性质 (1)a αa β＝aα＋β(a >0，α，β∈Q )； (2)(a α)β＝aαβ(a >0，α，β∈Q )；(3)(ab )α＝a αb α(a >0，b >0，α∈Q )． 3．无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－π2＝π－3.( )(2)分数指数幂a mn 可能理解为mn个a 相乘．( )(3)0的任何指数幂都等于0.( ) 【解析】 ∵－π2＝|3－π|＝π－3.∴(1)正确．由分数指数幂的意义知(2)、(3)均错． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]【导学号：60210072】(1)5－5；(2)4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π24； (3)x －y2；(4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)．【精彩点拨】 根指数是奇数的，直接开出结果，根指数是偶数的，先判断被开方数的底数的符号，如不能唯一确定，可分类表示．【自主解答】 (1)5－5＝－2.(2)∵3－π<0，∴4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π24＝π－32.(3)x －y2＝|x －y |＝⎩⎪⎨⎪⎧x －y ，x ≥y ，y －x ，x <y .(4)原式＝x －2－x ＋2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴－4<x －1<2,0<x ＋3<6.当－4<x －1<0，即－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2； 当0≤x －1<2，即1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4. ∴x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.1．正确区分na n与(na )n(1)(na )n已暗含了na 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的范围； (2)na n中的a 可以是全体实数，na n的值取决于n 的奇偶性． 2．有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[再练一题]1．求值：3－22＋⎝⎛⎭⎫31－23＝________.【解析】3－22＋⎝⎛⎭⎫31－23＝2－2＋()1－2＝2－1＋1－2＝0.【答案】 0【精彩点拨】 对于本题先把根式化为分数指数幂，再利用运算性质求解． 【自主解答】1．当所要化简的根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．2．关于式子na m＝a m n 的两点说明：(1)根指数n ↔分数指数的分母；(2)被开方数(式)的指数m ↔分数指数的分子．3．通常规定分数指数幂的底数a ＞0，但像(－a )12＝－a 中的a 则需要a ≤0. 特点提醒：分数指数幂和根式是同一个数的两种不同书写形式．[再练一题]2．化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A.x B ．x C ．1 D ．x 2【解析】 .故选C.【答案】 C(1) ；(2)．【精彩点拨】【自主解答】 (1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2).利用指数幂的运算性质化简求值的方法1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．[再练一题]3．计算：.【解析】【答案】 12[探究共研型]探究1 把⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 分别展开是什么？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a ＋1a ＋2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝a 2＋1a 2＋2.探究2 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2和⎝⎛⎭⎪⎫a －1a2有什么关系？【提示】 ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋4.已知a 12＋a -12＝4，求下列各式的值： (1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2.【精彩点拨】 寻找要求值的式子与条件式a 12＋a -12＝4的联系，进而整体代入求值． 【自主解答】 (1)将a 12＋a -12＝4两边平方，得a ＋a －1＋2＝16，故a ＋a －1＝14. (2)将a ＋a －1＝14两边平方，得a 2＋a －2＋2＝196，故a 2＋a －2＝194.1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．[再练一题]4．已知a 12－a -12＝5，则a 12＋a -12＝________.【解析】 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＝a ＋a －1＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122＋4＝5＋4＝9，又因为a 12＋a -12>0，所以a 12＋a -12＝3. 【答案】 31．下列运算结果中，正确的是( ) A ．a 2a 3＝a 5B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(a －1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6【解析】 a 2a 3＝a2＋3＝a 5；(－a 2)3＝－a 6≠(－a 3)2＝a 6；(a －1)0＝1，若成立，需要满足a ≠1；(－a 2)3＝－a 6，故选A. 【答案】 A2．下列各式中成立的一项是( )【解析】 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；B 中等式左侧为正数，右侧为负数；C 中x ＝y ＝1时不成立；D 正确．【答案】 D3.【解析】 .【答案】 D4．如果x >y >0，则x y y xy y xx ＝________.【解析】 ∵x >y >0，∴x y y x y y x x ＝x y -x ·y y -x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y -x. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y y -x5．化简下列各式(式中字母均为正数)： (1)b 3a a 6b 6； (2) (结果为分数指数幂)．【解】。

3．1.1 实数指数幂及其运算1．计算[(－2)2]－12的结果是( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－222．对a>0，n 、m 为实数，则下列各式中正确的有( )A ．a m ÷a n ＝a m nB ．a n ·a m ＝a m·nC ．(a n )m ＝a m ＋nD ．1÷a n ＝a 0－n3．下列根式，分数指数幂的化简中正确的是( )A ．－x ＝(－x)12(x≠0)B ．x －13＝－3xC ．(x y )－34＝4(y x )3(x·y≠0)D.6y 2＝y 13(y<0)4．计算3(－8)3＋4(3－2)4－(2－3)2＝________.5．若10x ＝3,10y＝4，则10x －12y ＝________.1．下列等式中一定成立的有( )①36a 3＝2a ②3－2＝6(－2)2 ③－342＝4(－3)4×2 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列各式运算错误的是( )A ．(－a 2·b)2·(－ab 2)3＝－a 7·b 8B ．(－a 2b 3)3÷(－ab 2)3＝a 3·b 3C ．(－a 3)2·(－b 2)3＝a 6·b 6D ．[－(a 3)2·(－b 2)3]3＝a 18·b 183．已知x 2＋x －2＝22且x>1，则x 2－x －2的值为 ( )A ．2或－2B ．－2 C. 6 D ．24．若(|x|－1)－14有意义，则x 的取值范围为________．5．当3x<5y 时，25y 2－30xy ＋9x 2＝________. 6．求下列各式的值．(1)481×923；(2)23×31.5×612； (3)(325－125)÷45；(4)a2a ·3a 2；(5)52·5535·1057.7．已知a 2x＝2＋1，求a 3x＋a－3xa x ＋a－x 的值．1．化简a ＋4(1－a)4的结果是( ) A ．1 B ．2a －1 C ．1或2a －1 D ．02．下列结论中，正确命题的个数为( )①当a<0时，(a 2)32＝a 3 ②n a n ＝|a| ③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域为(2，＋∞) ④若100a ＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1A ．0B ．1C ．2D ．33.若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是( )A ．1 B.14 C.22 D.234．计算(1＋12)(1＋122)(1＋124)(1＋128)的值等于( )A ．1＋1216 B ．1－1216 C ．2＋1215 D ．2－12155．已知x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则y x＝________. 6.x ＋y x ＋y ＋2xy x y ＋y x＝________.7．若5x 2·5x ＝25y，则y 的最小值为________．8．若x>0，y>0，且x(x ＋y)＝3y(x ＋5y)，求2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y的值．9．已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x －1＋x ＋3的值．10．已知x ＝12(51n －5－1n)，n∈N *，求(x ＋1＋x 2)n的值．答案与解析课前预习1．C 原式＝2－12＝12＝22.2．D 只有D 选项是按照幂的运算律进行的．A 应为a m －n .B 应为a m ＋n ，C 应为a m·n.3．C 选项A 中左边的负号应在括号外；选项B 应化为13x ；选项D 中的指数26不能约分为13，∵当y<0时，6y 2>0，而y 13<0.4．－8 原式＝－8＋|3－2|－(2－3)＝－8＋2－3－2＋3＝－8. 5.32 10x －12y ＝10x ÷1012y ＝10x ÷(10y )12＝3÷4＝32. 课堂巩固1．A 36a 3＝36·a≠2a；3－2<0，而6(－2)2>0；－342<0，而4(－3)4×2>0.2．C 对于C ，∵原式左边＝(－1)2·(a 3)2·(－1)3·(b 2)3＝a 6·(－1)·b 6＝－a 6b 6. ∴C 不正确．3．D 方法一：∵x>1，∴x 2>1，由x 2＋x －2＝22化为x 4－22x 2＋1＝0，解得x 2＝2＋1，∴x 2－x －2＝2＋1－12＋1＝2＋1－(2－1)＝2.方法二：(x 2－x －2)2＝(x 2＋x －2)2－4x 2·x －2＝(22)2－4×1＝4.又x>1，∴x 2>1>x －2.∴x 2－x －2＝4＝2.4．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 由(|x|－1)－14＝1(|x|－1)14＝14|x|－1，得需|x|－1>0，即|x|>1，∴x>1或x<－1.5．5y －3x 25y 2－30xy ＋9y 2＝(5y －3x)2＝|5y －3x|. ∵3x<5y，即3x －5y<0， ∴|5y－3x|＝5y －3x.点评：为使开偶次方后不出现符号错误，先用绝对值保留开方的结果，再去掉绝对值化简，化简要结合条件或分类讨论．6．解：(1)481×923＝[34×(343)12]14＝(34＋23)14＝376＝3·63. (2)23×31.5×612＝2×312×(32)13×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.(3)原式＝(523－532)÷514＝523÷514－532÷514＝523－14－532－14＝5512－554＝1255－455.(4)原式＝a2a 12·a 23＝a2－12－23＝a 56＝6a 5.(5)原式＝52·535512·5710＝52＋35－12－710＝5·525.点评：(1)既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算；(2)对于计算结果，不统一要求用什么形式表示，但结果不能同时含有根式与分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数幂．7．解：a 3x ＋a －3x a x ＋a －x ＝(a 2x ＋a －2x －1)(a x ＋a －x )a x ＋a －x＝a 2x ＋a －2x－1＝(2＋1)＋12＋1－1＝2＋1＋2－1－1＝22－1.点评：先化简后计算是代数运算的常用策略，要培养化简意识． 课后检测1．C 原式＝a ＋|1－a|＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a≤1，2a －1，a>1.2．B 只有④正确，由100a＝102a＝5,10b＝2，得102a ＋b＝5×2＝10，∴2a＋1＝1.而①中(a 2)32应为－a 3，②中n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a|，n 为偶数，③中函数的定义域由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，得x∈(2，73)∪(73，＋∞)．3．D a ＝12＋3＝2－3，b ＝12－3＝2＋ 3.(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2·(3＋3)2＝12＋63＋12－63[(3－3)(3＋3)]2＝2462＝2436＝23. 4．D 原式×(1－12)＝(1－12)(1＋12)(1＋122)(1＋124)(1＋128)＝(1－122)(1＋122)(1＋124)(1＋128)＝(1－124)(1＋124)(1＋128)＝(1－128)(1＋128)＝1－1216.∴原式＝(1－1216)×2＝2－1215.5．－3 ∵x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝|x －1|＋|y ＋3|＝0，∴|x－1|＝|y ＋3|＝0.∴x＝1，y ＝－3.∴(－3)1＝－3.6.x ＋y 原式＝x ＋y x ＋y ＋2xy x ＋y ＝(x ＋y)2x ＋y＝x ＋y.7．－18 由题意，x 2＋x ＝2y ，即y ＝12(x 2＋x)，∴y＝12[(x ＋12)2－14]＝12(x ＋12)2－18≥－18.8．解：由x(x ＋y)＝3·y(x ＋5y)，得(x)2－2xy －15(y)2＝0， 即(x ＋3y)(x －5y)＝0， ∵x>0，y>0，∴x ＝5y ，即x ＝25y ，∴2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y ＝50y ＋225y 2＋3y 25y －25y 2＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y ＝3. 9．解：x ＋x －1＝(x 12＋x －12)2－2＝32－2＝7，∴x 32＋x －32＋2x －1＋x ＋3＝(x 12)3＋(x －12)3＋2x －1＋x ＋3 ＝(x 12＋x －12)(x －1＋x －1)＋27＋3＝3×6＋210＝2010＝2.点评：此类题目一般不宜采用求x 的值的方法，要考虑对x 12＋x －12的整体应用．10．解：∵x＝12(51n －5－1n )，∴1＋x 2＝1＋14(51n －5－1n)2 ＝1＋14(52n －2＋5－2n) ＝14(52n ＋2＋5－2n )＝12(51n ＋5－1n)． ∴x＋1＋x 2＝12(51n －5－1n )＋12(51n ＋5－1n )＝51n.∴(x＋1＋x 2)n＝(51n )n ＝51n×n＝5.。

人教版高中必修1(B版)3.1.1实数指数幂及其运算教学设计一、教学目标•掌握实数指数幂的概念•熟练掌握实数指数幂的运算方法•能够解决实际问题中的运算问题二、教学重难点教学重点•实数指数幂的概念•实数指数幂的运算方法教学难点•运用实数指数幂解决实际问题三、教学内容1.实数指数幂的概念2.实数指数幂的运算方法四、教学步骤第一步：引入实数指数幂通过引入一道具体问题，引导学生了解实数指数幂的概念。

例如：一张面积为1平方米的圆形纸片折成相等的两半，再将其中一个部分继续折成相等的两半，不断折下去，直到最后纸片的面积只剩下了1/1024平方米，问这张纸片折了几次？学生根据已知条件推理出实数指数幂的概念。

第二步：讲解实数指数幂的概念通过引入具体案例，对实数指数幂的概念进行详细讲解。

例如：若正整数a>1，x为实数，则a的x次方就是x个a相乘得到的积，记作a^x。

第三步：讲解实数指数幂的运算方法引入具体运算方式，对实数指数幂的运算方法进行讲解。

例如：a^x*a y=a(x+y)a x/a y=a^(x-y)(a x)y=a^(xy)第四步：举例操作通过实例展示具体的运算过程，引导学生应用实数指数幂的运算方法。

例如：计算2^3*2^(-1)2^3*2(-1)=2(3-1)=2^2=4第五步：练习巩固让学生进行相关的练习和巩固，加深对实数指数幂的理解。

例如：计算下面的值：(1)5^(-2)*10^(3)(2)(1/3)^2*(2/3)^(-3)五、教学方法案例法通过实例引导学生了解实数指数幂的概念。

讲解法让学生了解实数指数幂的运算方法。

实践操作让学生通过练习和操作巩固所学内容。

六、教学时长本次教学所需时间约为2个课时。

七、教学评价针对学生的学习情况，进行适时的小结和评价。

例如：通过课堂互动和练习，学生对实数指数幂的概念和运算方法进行了深入的了解和掌握，课堂效果良好。