大庆铁人中学高二学年下学期期中考试理科数学试题

大庆铁人中学高二学年下学期期中考试理科数学试题试卷说明：1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)： 1、下列各进位制数中，最大的数是( )A ．)2(11111B ．)3(1221C ．)4(312D ．)8(56 2、P 点的直角坐标(－1，3)化成极坐标为( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛π32,2B.⎪⎭⎫ ⎝⎛π32,2C.⎪⎭⎫ ⎝⎛π34,2D.⎪⎭⎫ ⎝⎛π34,2 3、某大学数学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )A ．80B ．40C ．60D ．20 4、可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换为( )A.⎩⎨⎧2x ′＝5xy ′＝2y B.⎩⎨⎧2x ′＝x5y ′＝ 2 yC.⎩⎨⎧5x ′＝2x2y ′＝yD.⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝y5、阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．(]2,-∞-B .[]1,2--C ．[)2,1-D ．[)+∞,26、下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数； ③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后，方差恒不变； ④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的个数有( )A ．0B ．1C ．2D ．37、极坐标方程θ＝π3，θ＝23π(ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )A.163πB.83πC.43D.23π8月份x 1 2 3 4 用电量y4.5432.5y ＝－0.7x ＋a ，则 a ＝( )A. 10.5 B ．5.25 C ．5.2 D ．5.159、甲乙两人下棋，和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则甲不输的概率是( )A.16B.13C.12D.2310、向边长分别为5,6,13的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于 1 的概率为（ ）A 181.π-B 121.π-C 91.π-D 41.π-11、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布)50,800(2N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p .则0p 的值为( )(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝0.9974)A ．0.954 4B ．0.682 6C ．0.997 4D ．0.977 2 12、如图6－2－3，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )图6－2－3A.126125 B.65 C.168125 D.75第II 卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共四个小题，每题5分，共20分）： 13、若随机变量)21,4(~B ξ，则=<)3(ξp ________；14、用秦九韶算法计算多项式641922401606012)(23456+-+-+-=x x x x x x x f 当2=x 时的=4v ________；15、直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：1=ρ上，则|AB |的最小值为________；16、小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是 （用数字作答）。

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大庆铁人中学2021级高二学年下学期期中考试数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.第Ⅰ卷选择题部分一、单选题（每小题只有一个选项正确，共8小题，每小题5分，共40分.）1. 已知数列为等差数列，且满足，，则的值为（）{}n a 1002023a =2023100a =2123a A. 2033 B. 2123C. 123D. 0【答案】D 【解析】【分析】根据是等差数列，先求出公差，然后由等差数列的通项公式即可求出结果. {}n a d 【详解】设等差数列的公差为，则，{}n a d 202310012023100a a d -==--所以， 0212310(2123100)202320230a a d =+-=-=故选：D.2. 设可导函数，则（ ）()ln f x x x =+()()131lim x f x f x∆→+∆-=∆A. －2 B. 2C.D. 623【答案】D 【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出，再根据导数的定义计算可得. ()1f '【详解】因为，所以，则， ()ln f x x x =+()11f x x'=+()1112f '=+=所以.()()()()()0Δ013113Δ1lim3lim3163Δx x f x f f x f f xx∆→→+∆--='+==∆故选：D3. 用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（ ）A. 96种B. 24种C. 48种D. 12种【答案】B【解析】【分析】根据分步计数原理计算即可.【详解】因为①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外两13C 3=种颜色，故有种，所以共有24种. 111222C C C 8⨯⨯=故选：B4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A. B. 24310r r r r <<<<42130r r r r <<<<C. D.42310r r r r <<<<24130r r r r <<<<【答案】A 【解析】【分析】利用正负相关与线性相关的强弱进行求解即可 【详解】都是正线性相关， 13,r r 所以， 130,0r r >>并且相关性最强， 1r 所以；13r r >都是负线性相关并，24,r r 所以， 420,0r r <<且相关性强， 2r 所以， 24r r >所以；24r r <所以； 24310r r r r <<<<故选：A5. 已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则X ()()()1,2,3,41aP X n n n n ===+a （ ）1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭A.B.C.D.5568551365645【答案】C 【解析】【分析】根据分布列的性质求出，即可得到计算可得.a ()()151222P X P X P X ⎛⎫<<==+= ⎪⎝⎭【详解】因为，()()()1,2,3,41aP X n n n n ===+所以，，，， ()112a P X ==⨯()223a P X ==⨯()334a P X ==⨯()445a P X ==⨯则，解得， 111111114522331442233514a a a a a ++++=⨯⨯⎛⎫=--+-+-⎝⨯ ⎪⨯⎭54a =所以，， ()518==P X ()5224P X ==所以.()()1555512228246P X P X P X ⎛⎫<<==+==+=⎪⎝⎭故选：C.6. 若，，则（ ）22223A A A n n =299C C xx=x n +=A. 5 B. 3 C. 6 D. 2或5【答案】D 【解析】【分析】根据排列数和组合数的计算公式，列出方程求得的值，即可求解.,x n 【详解】由，可得，整理得，解得，22223A A A n n =2(21)6(1)n n n n -=-220-=n n 2n =又由，可得或，解得或， 299C C x x=2x x =92x x =-0x =3x =所以或. 2x n +=5x n +=故选：D.7. 用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，（代表万位，千位，百位，十位，个位依abcde abcde 次为a ，b ，c ，d ，e ）其中满足的五位数有n 个.则在a b c d e >><<的展开式中，的系数是（ ）()()()()12311111nx x x x +++++++++ 2x A. 56 B. 35 C. 20 D. 84【答案】B 【解析】【分析】利用组合数求得，再根据二项式的展开式的通项公式，即可求解. 6n =【详解】因为，所以，剩下4个数有种排法， a b c d e >><<1c =24C 6=所以满足的五位数有6个，即，a b c d e >><<6n =所以，()()()()()()1212611111111n x x x x x x =++++++++++++++ 其展开式中，含的系数为.2x 2222223456C C C C C 136101535++++=++++=故选：B.8. 设，则（ ）17767ln ,,16e 7a b c ===A. B. C. D.a b c <<a c b <<b a c <<b<c<a 【答案】D 【解析】【分析】分析三个数，找到它们两两之间的联系，然后根据两两之间的联系构造函数，利用函数的单调性判断大小.【详解】设，则恒成立， ()1ln (01)g x x x x =--<<11()10x g x x x-'=-=<所以单调递减，所以， ()g x ()(1)0g x g >=所以，即，即； 616()ln 0777g =-->77ln 16>a c >设，则恒成立，()(1)e 1(0)xs x x x =-->()e (1)e e 0xxxs x x x '=-+-=-<所以单调递减，所以，所以，()s x ()(0)0s x s <=1716(e 1077s =-<即，即； 176e 17<b c <综上，. b<c<a 故选：D.二、多选题（本题共4小题，共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得得2分，有选错的得0分）9. 下列命题正确的是（ ）A. 对于事件A ，B ，若A ⊆B ，且，，则()0.3P A =()0.6P B =()1P B A =B. 若随机变量且，则()22,N ξσ()40.84P ξ<=()240.16P ξ<<=C. 若某种水果的果实横径X （单位：mm ）服从正态分布，则果实横径在(65,80)的概率为()270,5N 0.7185（若，则）()2,X Nμσ ()0.6827P X μσμσ-<<+≈()220.9545P X μσμσ-<<+≈D. 已知随机变量，满足，若，，则， ξη8ηξ=-+()6E ξ=() 2.4D ξ=()2E η=() 2.4D η=【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，根据条件概率的公式结合已知条件分析判断，对于BC ，根据正态分布的性质分析判断，对于D ，利用期望和方差的性质求解判断.【详解】对于A ，因为A ⊆B ，且，，所以， ()0.3P A =()0.6P B =()()0.3P AB P A ==所以，所以A 正确，()0.3()1()0.3P AB P B A P A ===对于B ，因为随机变量且，()22,N ξσ()40.84P ξ<=所以，所以B 错误， ()240.5(10.84)0.34P ξ<<=--=对于C ，因为水果的果实横径X （单位：mm ）服从正态分布，()270,5N 所以果实横径在(65,80)的概率为，所以C 错误， 0.68270.9545(2)0.818622P X μσμσ-<<+≈+=对于D ，因为随机变量，满足，且，，ξη8ηξ=-+()6E ξ=() 2.4D ξ=所以，，所以D 正确，()()()882E E E ηξξ=-+=-+=()()28(1)() 2.4D D D ηξξ=-+=-=故选：AD10. 若则下列结论正确的是（ ） ()()()()11211012112111x a a x a x a x -=+-+-++- A.B.02a =1011a =-C. D.24101023a a a +++=- 1231123111a a a a ++++= 【答案】BC 【解析】【分析】令，则，再利用赋值法判断A 、C ，利用展开式1t x =-()11211012111t a a t a t a t -=++++ 的通项判断B ，对式子两边求导，再利用赋值法判断D.【详解】因为， ()()()()11211012112111x a a x a x a x -=+-+-++- 令，则， 1t x =-()11211012111t a a t a t a t -=++++ 令，可得，故A 错误；0=t ()110011a =-=-令，可得， 1t =012110a a a a ++++= 令，可得， 1t =-()11012112a a a a -++-=- 两式相加可得，()1102410210242a a a a -++++==- 所以，故C 正确；24101023a a a +++=- 将两边对求导可得， ()11211012111t a a t a t a t -=++++ t ()10101211111211t a a t a t -=+++ 再令，可得，故D 错误；1t =()1012311231111110a a a a ++++=-= 二项式展开式的通项为，所以，故B 正确；()111t -()11111C 1rr r r T t -+=-()111011C 111a =⋅-=-故选：BC11. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的6%5%4%零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零5:6:9=i A 件为第台车床加工”（，2，3），事件 “零件为次品”，则下列结论中正确的是（ ） i 1i =B =A. B. ()10.25P A =()216P B A =C. D. ()0.048P B =()1516P A B =【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式依次求解即可.【详解】事件“零件为第台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”， =i A i 1i =B =则，，， ()151204P A ==()2632010P A ==()3920P A =，，，故A 正确，B 错误； 1(|)6%P B A =2(|)5%P B A =3(|)4%P B A =，故C 正确； ()()()()1231396%5%4%0.04841020P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，故D 正确．()1111()(|)()0.256%5|()()0.04816P A B P B A P A P A B P B P B ⨯====故选：ACD ．12. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为取出白球的个数，随机变量为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球X Y 得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则下列结论中不正确的是（ ） Z A .B.()112P X ==4X Y +=C. D. ()()E X E Y >()285E Z =【答案】AC 【解析】【分析】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，可判断B 选项；的取4X Y +=X 值为，计算的概率和期望值，又，可计算0,1,2,3,4(),0,1,2,3,4P X i i ==()()4P Y i P X i ===-()E Y ，可判断AC 选项；的取值为，且，计算可判断D 选项. Z 4,5,6,7,8()()4P Z i P X i ===-()E Z 【详解】由条件可知，袋子中有6黑4白，又共取出4个球，所以，故B 正确； 4X Y +=又的可能取值为，X 0,1,2,3,4所以，， ()0446410C C 150C 210P X ===()1103464C C 81C 2180210P X ====，，，可知A 错；()2246410C C 902C 210P X ===()3146410C C 243C 210P X ===()4046410C C 14C 210P X ===的取值为，且，， Y 0,1,2,3,4()()104210P Y P X ====()()2413210P Y P X ====，，， ()()9022210P Y P X ====()()82131P Y P X ====()()1540210P Y P X ====则，，()8018072482105E X +++==()2401802460122105E Y +++==所以，故C 错；()()E X E Y <的取值为，且，，Z 4,5,6,7,8()()40P Z P X ===()()51P Z P X ===，，， ()()62P Z P X ===()()73P Z P X ===()()84P Z P X ===所以，故D 正确；()154805906247181176282102105E Z ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”.某种机械设备的使用年限x （单位：年）与失效费y （单位：万元）的统计数据如下表所示： 使用年限x （单位：年） 1 2 3 4 5 6 7 失效费y （单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90由上表数据可知，y 与x 的相关系数为______.（精确到0.01，参考公式和数据：，，nx x y y r --=()()7114.00iii x x y y =--=∑）()7217.08ii y y =-=∑14.10≈【答案】0.99 【解析】【分析】分别求出，，，再利用参考公式和数据计算即可.x y ()721i i x x =-∑【详解】由题意，知，123456747++++++==x ，2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.904.307y ++++++==.()()()()()()()()72222222211424344454647428i i x x=-=-+-+-+-+-+-+-=∑所以.14.000.9914.10r ==≈≈所以y 与x 的相关系数近似为0.99. 故答案为：0.99.14. 已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，那么数{}n a n n S 21n n S a =-()0,2023n a ∈n a 列的所有“和谐项”的和为__________. {}n a 【答案】2047 【解析】【分析】利用求出，由得出再求和即可. ()12n n n a S S n -=-≥n a 2023n a <n 【详解】由题意得，当时，， 2n ≥()111212122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-所以，12n n a a -=由，得，所以是公比为2且首项为1的等比数列，11121a S a ==-11a ={}n a 所以，12n n a -=由得，即，所以和为.122023n n a -=<110n -≤11n ≤111112204712S -==-故答案为：2047.15. 河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北：二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为______．【答案】0.4## 25【解析】【分析】由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水，2，7属性为火，5，10属性为土，然后分别求出从这10个数字中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数和这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水，2，7属性为火，5，10属性为土，从这10个数字中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数为，1122152222C (C C C C )20n =+=其中这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为，1122122222C (C C C C )8m =+=所以这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为， 82205=故答案为：2516. 某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为________． 【答案】5040 【解析】【分析】参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.【详解】若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有161542种情况：和，1112，，，122，，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为； 1221111345354364423233600C C C C C C A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有 种情况：和，故无人6421122，，，222，，参加“演讲团”的不同参加方法数为， 221432264244642222+C 1440C C C A C C A A =故满足条件的方法数为， 360014405040+=故答案为：5040四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17. 已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2：5．2nx ⎛ ⎝（1）求常数项； （2）求系数最大的项． 【答案】（1）60 （2）33240T x =【解析】【分析】（1）根据题意结合二项式求得，再利用二项展开式的通项公式分析运算； 6n =（2）根据展开式的通项公式，然后列出不等式求解作答. 【小问1详解】因为第二项与第三项的二项式系数之比是，2:5则，即，解得或（舍去）， 12C 2C 5nn =()2152n n n =-6n =0n =所以的展开式的通项为，62x ⎛+ ⎝()36662166C 22C ,0,1,2,,6kk k k k k k T x x k ---+==⋅⋅=⋅⋅⋅当时，即时，， 3602k -=4k =4256C 260T ==所以常数项为60． 【小问2详解】 设第k ＋1项系数最大，可得，解得， 67166651662·C 2·C 2·C 2·C k k k k k k k k -----+⎧≥⎨≥⎩4733k ≤≤又因为，所以，k ∈N 2k =所以展开式中系数最大的项为第3项，且.4233362C 240T x x =⋅⋅=18. 数列满足，，，即{}n a 13a =212n n n a a a +-=()2log 1n n b a =+（1）求证：是等比数列； {}n b （2）若，求的前n 项和为． 1n nnc b =+{}n c n T 【答案】（1）证明见解析（2） 222n n n T n +=+-【解析】【分析】（1）先求出，再由已知条件可得，然后两边取对数化简可证得结论；1b ()2111++=+n n a a （2）由（1）可得，，，再利用错位相减法可求得结果. 2nn b =12n nnc =+【小问1详解】，，()2log 1n n b a =+()12log 312b =+=∵，∴，212n n n a a a +=+()2211211n n n n a a a a ++=++=+∴，又因为．()()212log 12log 1n n a a ++=+11b =∴， ()()2112log 12log 1n n n n a b b a +++==+所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． {}n b 【小问2详解】由（1）可得，，， 2nn b =12n nnc =+设，设其前n 项和为， 2n nnd =n S 则，① 1231123122222n n n n n S --=+++++ ，② 234112312221222n n n S n n+-=+++++ ①减②得：， 12311111122111112112222222212nn n n n n n n n S -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=++++-=-=-- 所以， 222n nn S +=-所以． 222n n nn T S n n +=+=+-19. 某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，且一台14机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器，丙负责其他工作. （1）对于方案一，设X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X 的分布列与数学期望E （X ）； （2）在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？ 【答案】（1）分布列见解析，12（2），，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高． 72140963472048【解析】【分析】（1）根据题意得到随机变量，结合独立重复试验的概率计算公式求得相应的概1~2,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；（2）根据题意，分别求得方案一和方案二中，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得机器发生故障时不能及时维修的概率和，根据大小关系，即可得到结论. 1P 2P 【小问1详解】解：由题意，车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是，可14得方案一中，随机变量， 1~2,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，，，()2390416P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()121331C 448P X ==⋅⋅=()2112416P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量的分布列为：X X12P916 38116所以期望为． ()11242E X =⨯=【小问2详解】解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责的2台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为，1P则其概率为． ()331172111211164096P P X ⎛⎫=--==--=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为，2P 则， 652465412266313133631533471C C 14444440962048P +⨯+⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅-⋅⋅=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高． 21P P <20. 已知． ()1ln 2f x x x =-（1）求的单调区间；()f x （2）若，记，为函数的两个极值点，求的取值范围．()()2g x f x mx =+1x 2x ()g x ()()12g x g x +【答案】（1）的单调减区间为，的单调增区间为 ()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2） 3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导函数，利用导数的正负求解函数的单调性；（2）先求导函数则有两个不等的正根，可得，令，构24210mx x -+=12,x x 104m <<1,(1)4t t m=>造函数，利用函数的单调性求解即可. 11()ln 22h t t t =--【小问1详解】，（x ＞0），令，则， ()112f x x '=-()1102f x x '=-=12x =当时，，的单调减区间为． 12x >()1102f x x '=-<()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，，的单调增区间为． 102x <<()1102f x x '=->()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述，的单调减区间为，的单调增区间为． ()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问2详解】，，（x ＞0），()21ln 2g x x x mx =-+()24212mx x g x x-+'=∵，为两个极值点，∴有两个不等的正根，， 1x 2x 24210mx x -+=1x 2x ∴，，，，得， 0m ≠4160m ∆=->12102x x m +=>12104x x m =>104m <<，()()()()2121212*********ln 2ln 22442g x g x x x x x m x x x x m m ⎡⎤+=-+++-=--⎣⎦令，（t ＞1），得， 14t m =()()()1211ln 22g x g x h t t t +==--，因为t ＞1，则，则， ()112h t t '=-11022t <<()1102h t t'=-<∴在（1，＋∞）单调递减，∴， ()h t ()()312h t h <=-即的取值范围为．()()12g x g x +3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭21. 某技术部门对工程师进行达标等级考核，需要进行两轮测试，每轮测试的成绩在90分及以上的定为该轮测试通过，只有通过第一轮测试的人员才能进行第二轮测试，两轮测试的过程相互独立，并规定： ①两轮测试均通过的定为一级工程师；②仅通过第一轮测试，而第二轮测试没通过的定为二级工程师； ③第一轮测试没通过的不予定级．现有某公司的甲、乙、丙三位工程师参加等级考核，已知他们通过第一轮测试的概率分别为，，132323，通过第二轮测试的概率均为．12（1）求经过本次考核，甲，乙，丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师的概率； （2）公司为鼓励工程师参加等级考核设制两套奖励方案：方案一：奖励定为一级工程师2000元，奖励定为二级工程师1500元，未定级给予鼓励奖500元； 方案二：获得一级或二级工程师均奖励2000元，未获得任何等级的不予奖励． 采用哪套方案，公司的奖励支出会更少？ 【答案】（1）16（2）公司采用方案二，奖励支出会更少 【解析】【分析】（1）甲，乙，丙三位工程师中恰有两位被定为一级工程师分成三种情况，分别求其概率再相加即可求解；（2）分别算出甲，乙，丙获得的对应奖金的概率，再求出两种方案获得奖金的均值，比较大小即可. 【小问1详解】设甲，乙，丙被定为一级工程师的事件分别为，，， 1A 2A 3A 事件表示三位工程师中恰有两位被定为一级工程师．C ，()1111326P A =⨯=()()23211323P A P A ==⨯=所以()()()123123123()P C P A A A P A A A P A A A =++ 51112111216336336336=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】方案一：设甲，乙，丙获得的奖金分别为，，，则，，的取值均为2000，1500，500； X Y Z X Y Z 则，，； ()11(2000)6P X P A ===111(1500)326P X ==⨯=12(500)133P X ==-=故 1122750()200015005006633E X =⨯+⨯+⨯=，()21(2000)(2000)3P Y P Z P A =====， 211(1500)(1500)323P Y P Z ====⨯=； 21(500)(500)133P Y P Z ====-=；1114000()()200015005003333E Y E Z ==⨯+⨯+⨯=． 2750400010750()()()2333E X E Y E Z ++=+⨯=方案二：设甲，乙，丙获得的奖金分别为，，，则，，的取值均为2000，0；X 'Y 'Z 'X 'Y 'Z '，； ()111120006323P X '==+⨯=()12000200033E X '=⨯=，， ()()1212200020003323P Y P Z ''====+⨯=()()24000200033E Y E Z ''==⨯= ()()()20004000100002333E X E Y E Z '''++=+⨯=显然，公司采用方案二，奖励支出会更少． 107501000033>22. 已知函数.()()2e 2e xx f x a a x =+--（1）当时，求在处的切线方程； 2a =()f x 0x =（2）若有两个零点，求的取值范围；()f x a （3）求证：. ()23e e 326xx x x ->++【答案】（1）32y x =+（2）()0,1（3）证明见详解 【解析】【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义运算求解；（2）求导，利用导数分类讨论原函数的单调性，结合单调性分析零点，即可得结果； （3）由（2）可得，构建，利用导数可得，2e e x x x -≥()()3e e 326xd x x x =-++()3ee 326x x x ≥++进而可得结果. 【小问1详解】 当时，则，2a =()()222e,4e 1xx f x x f x '=-=-可得， ()()02,3f f x '==即切点坐标为，斜率， ()0,23k =所以切线方程. 32y x =+【小问2详解】由题意可得：，()()()()22e 2e 1e 12e 1xx x x f x a a a '=+--=-+因为，则有：2e 10x +>（i ）当时，则，即，0a ≤e 10x a -<()0f x '<所以在上单调递减，至多有1个零点，不合题意；()f x R （ⅱ）当时，令时，则；令时，则； 0a >()0f x ¢>ln x a >-()0f x '<ln x a <-则在上单调递增，在上单调递减，()f x ()ln ,a -+∞()ln ,a -+∞且当x 趋近于时，趋近于，当x 趋近于时，趋近于， -∞()f x +∞+∞()f x +∞若有两个零点，则， ()f x ()1ln ln 10f a a a-=-+<构建，则在上单调递增，且， ()1ln 1g a a a=-+()g a ()0,∞+()10g =若，则； ()0g a <01a <<综上所述：的取值范围为. a ()0,1【小问3详解】由（2）可知：当时，在上单调递增，在上单调递减， 1a =()f x ()0,∞+()0,∞+则，()()2ee 00xx f x x f =--≥=可得，当且仅当时，等号成立； 2e e x x x -≥0x =构建，则， ()()3e e 326xd x x x =-++()()212ee x d x x '=-+构建，则，()()h x d x '=()e e xh x x '=-构建，则，()()x h x ϕ='()e e xx ϕ'=-令，解得；令，解得；()0x ϕ'>1x >()0x ϕ'<1x <则在上单调递增，在上单调递减，所以， ()x ϕ()1,+∞(),1-∞()()10x ϕϕ≥=即恒成立，则在上单调递增，且， ()0h x '≥()h x R ()10h =令，解得；令，解得； ()0h x >1x >()0h x <1x <即当时，；当时，；1x >()0d x '>1x <()0d x '<则在上单调递增，在上单调递减，所以， ()d x ()1,+∞(),1-∞()()10d x d ≥=所以，当且仅当时，等号成立； ()3e e 326xx x ≥++1x =综上所述：， ()32e e 326exx x x x ≥+≥+-但等号不能同时取到，所以. ()23e e 326xx x x ->++【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数h (x )；（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题 时间120分钟 满分150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．平行于同一直线的两直线平行. ∵a ∥b ，b ∥c ，∴a ∥c. 这个推理称为A. 合情推理 B .归纳推理 C .类比推理 D . 演绎推理 2．已知随机变量X 服从正态分布),3(2σN ，且3.0)2(=<X P ，则)42(<<X P 的值等于（ ）A ．0.5B ．0.2C ．0.3D ．0.43．由直线21-=x ，2-=x ，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是（ ） A ．415 B ．417C ．2ln 21D ．2ln 24．设函数2)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率为（ ）A ．4B ．41- C ．2 D ．21-5．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( ) A ．2πR 2B ．πR2C ．4πR 2D. 12πR 26. 已知随机变量8ξη+=，若()~10,0.6B ξ，则,E D ηη分别是( ) A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6 7．已知32()26([2,2]f x x x m m =-+-为常数）在上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为（ ）A. 37-B. 29-C. 5-D. 11-8.如果生男孩和生女孩的概率相等，有一对夫妻生有3个小孩，已知这对夫妻的孩子有一个是女孩，那么这对夫妻有男孩的概率是（ ）A ．31 B ．67C ．34D ．789.若函数),1)()...(3)(2)(1()(*∈≥----=N n n n x x x x x x f 且,且)('x f 是函数)(x f 的导函数，则=)1('f （ ）A. 0B. 1C.)!1()1(1---n nD.!)1(n n - 10.用数学归纳法证明错误！未找到引用源。

黑龙江省大庆铁人中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学理考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、在83)12(xx -的展开式中，常数项是（ ） A 28- B 7- C 7 D 282、已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且3.6)(=X E ，则a 的值为( )3、 已知回归直线的斜率估计值是23.1，样本中心为)5,4(，则回归直线的方程为（ ） A 423.1+=∧x y B 523.1+=∧x y C 08.023.1+=∧x y D 15.223.1-=∧x y4、已知随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，且8.0)4(=<X P ，则=<<)20(X P （ ） A 6.0 B 4.0 C 3.0 D 2.05、甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分A 甲B 乙C 丙D 丁6、已知随机变量,,ηξ满足,8=+ηξ且)6.0.10(~B ξ，则)(),(ηηD E 分别是多少（ ） A 4.2,6 B 4.2,2 C 6.5,2 D 6.5,67、盒中有10只螺丝钉，其中有3只是不合格的，现从盒中随机地抽取4个，那么恰有两只不合格的概率是（ ）A301B 103 C 31 D 21 8、若nxx )13(+的展开式中各项系数和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有（ ） A 2项 B 3项 C 5项 D 6项9、甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为6.0，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）.A 216.0 .B 36.0 .C 432.0 .D 648.010、两封信随机投入A ，B ，C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望=EX （ ） A31B 32C 94D 9511、已知随机变量)51,9(~B X 则使)(k X P =取得最大值的k 值为（ ）A 2B 3C 4D 5 12、某车站每天00:900:8-，00:1000:9-都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，A 24B 25C 26D 27二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、72)2)(1(-+x x 的展开式中，3x 的系数是______14、抛掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，求________)(=B A P15、中华人民共和国第十二届全运会将于2013年8月31日—9月12日在辽宁举行。

大庆铁人中学高二学年下学期期中考试理科数学答案 一、选择题：C ABCB CBB DA DB 二、填空题：13、1611; 14、80; 15、3 ; 16、167三、解答题：17、(1)153-119=34 119-34=85 85-34=51 51-34=17 34-17=17 故153和119的最大公约数为17； 5分（2）225=135⨯1+90 135=90⨯1+45 90=45⨯2 故225和135的最大公约数为45 . 5分18、(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供协助，所以该地区老年人中，需要协助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.. 4分(2)K 2＝500×(40×270－30×160)270×300×200×430≈9.967，因为9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要协助与性别相关．. 8分(3)根据(2)的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供协助与性别相关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要协助的比例有明显差异，所以在调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．. 12分19、解：(1)众数是最高小矩形底边中点的横坐标，众数为m ＝75分；前三个小矩形面积为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4.∵中位数要平分直方图的面积．∴n ＝70＋0.5－0.40.03＝73.3. . 4分(2)依题意60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，∴抽样学生成绩的合格率是75%，. 8分 利用组中值估算抽样学生的平均分45·f 1＋55·f 2＋65·f 3＋75·f 4＋85·f 5＋95· f 6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.估计这次考试的平均分是71分．. 12分20、解：(1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)，B (2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π2))，C (2cos(π3＋π)，2sin(π3＋π))，D (2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1). 6分 (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．. 12分 21、解:(1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A －＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为P(A －)＝C 36C 310＝16，所以P(A)＝1－P(A －)＝56. 4分(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3.P(X ＝0)＝515253202•⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝4125； P(X ＝1)＝54525351525320021112•⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+•⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛C C ＝28125； P(X ＝2)＝54525351525311120222•⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛C C ＝57125；P(X ＝3)＝5452530222•⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎭⎫ ⎝⎛C ＝36125.. 8分所以X 的分布列为：所以E(X)＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.. 12分22、由题意知直线l 的参数方程为为参数）t t y tx (224222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=， 2分,2121t t M M 、对应的参数分别为、则22212111,,t AM t t M M t AM =-==，由2211,,AM M M AM 成等比数列得21221AM AM M M •=，即21221t t t t •=-可化为21212214)(t t t t t t •=-+ )(* 6分 将直线的参数方程代入px y 22=得)222(2)224(2+-=+-p t 整理得0)4(8)4(222=+++-p t p t)4(8),4(222121+=+=+∴p t t p t t ，代入)(*式得)4(8)4(32)4(82+=+-+p p p ，即5)4(2=+p因,54,0=+∴>p p 故1=p 12分。

大庆铁人中学高二阶段性考试试题高二数学（理科）一.选择题：(每小题5分,共60分)1．已知随机变量X 满足D (X )＝2，则D (3X ＋2)＝( )A ．2B ．8C ．18D ．202．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A ．122B ．111C ．322D ．2113．已知随机变量1~95B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P k ξ=取得最大值的k 值为Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．54．若随机变量η则当()P x η<=Ａ．x ≤2 Ｂ．1≤x ≤2 Ｃ．1＜x ≤2Ｄ．1＜x ＜25．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( ) A ．30种 B ．36种 C ．42种 D ．48种 6．为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( ) A ．期望与方差 B ．排列与组合 C ．独立性检验 D ．概率 7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”； 事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于Ａ．13Ｂ．118Ｃ．16 Ｄ．198．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 A ．4 B ．14-C ．2D ．12- 9．已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的回归方程必经过（ ）Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5)10．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324 B ．328 C ．360 D ．64811．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．5612．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．118二.填空(每小题5分,共20分)13．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ． 14．若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_________. 15．92x⎛- ⎝的展开式中，常数项为 （用数字作答）16．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．三.解答题: (每小题5分,共60分) 17．(本小题12分)求函数()2xf x x e -= 的极值18. (本小题12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ 的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A；（2）求η的分布列及期望Eη．19．(本小题12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y((1)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆy bx a=+(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)（参考公式:回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+， 其中1221ˆni ii nii x y n x ybxnx ==-⋅⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-，）21．(本小题12分)把一根长度为7的铁丝截成3段．（1）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；（2）如果把铁丝截成2，2，3的三段放入一个盒子中，然后有放回地摸4次，设摸到长度为2的次数为ξ，求E ξ与D ξ；（3）如果截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率． 22. (本小题12分)已知函数22()(23)(),xf x x ax a a e x R =+-+∈其中a R ∈(1)当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； (2)当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.参考答案一选择：CDACCCCACBCB二、填空：13. 0.8 14. a<0. 15。

2020-2021学年黑龙江省大庆市铁人中学高二下学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i2=−1，则i(1−i)=()A. −iB. +iC. −−iD. −+i2.在用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时的正确反设应为()A. a，b，c都是奇数B. a，b，c都是奇数或至少有两个偶数C. a，b，c都是偶数D. a，b，c中至少有两个偶数3.若1a <1b<0，则四个结论：①|a|>|b|；②a+b<ab；③ba+ab>2；④a2b<2a−b正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 44.给出如图所示的程序框图，那么输出的数是()A. 7023B. 7500C. 7800D. 74065.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(3,a)，B(4,b)，且角α终边不在直线y=x上，若，则|a−b|=()A. 1B. 15C. 13D. 126.极坐标方程(ρ−1)(θ−π)=0(ρ≥0)和参数方程{x=tanθy=2cosθ(θ为参数)所表示的图形分别是()A. 直线、射线和圆B. 圆、射线和椭圆C. 圆、射线和双曲线D. 圆和抛物线7.已知函数y=xlnx，则其在点(e,e)处的切线的斜率是()A. 1B. 2C. 1eD. e8.有一段“三段论”，推理是这样的：指数函数y=a x(a>0,a≠1)是增函数，因为y=(12)x是指数函数，所以y=(12)x是增函数，以上推理中()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确9.函数y=x−lnx的单调递增区间是()A. (0,1)B. (−∞,1)C. (1,2)D. (1,+∞)10.如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则f(6)=( )A. 31B. 33C. 63D. 6511.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意，；(2)对任意，．则函数的最小值为()A. B. C. D.12. 定义在R 上的函数f(x)对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，且函数y =f(x +1)的图象关于点(−1,0)成中心对称，若当1≤s ≤4时，s ，t 满足不等式−f(s2)≥f(t)≥f(s)，则t−ss+t 的取值范围是( )A. [−3,12)B. [−5,−12]C. [−5,12)D. [−3,0]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设i 是虚数单位，若复数z =a +153−4i (a ∈R)是纯虚数，则复数z 的虚部为______ ． 14. 已知关于x 方程lg2xlg(x+a)=2无解，则a 的取值范围是______ ．15. 观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，根据上述规律写出第六个等式为______．16. 若f(x)=13kx 3+(k −2)x 2−5k +7在(0,2)上单调递减，则k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 众所周知，大型网络游戏(下面简称网游)的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络(包括“电信”和“网通”)在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：(1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？(2)若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A ，B 两地区至少选到一个的概率． 参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18. 已知f(x)=ax −(2a +1)lnx −2x ，其中a ∈R(I)分析判断函数f(x)在定义域上的单调性情况；(II)若0<a <1e ，证明：方程ax −(2a +1)lnx −2x =0在区间[1,e]上没有零根． (其中e 为常数，e 约为2.7182…)19. 平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π6). (1)写出曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线OM ：θ=a 0(ρ≥0)平分曲线C 2，且与曲线C 1交于点A ，曲线C 1上的点B 满足∠AOB =π2，求|AB|．20. 某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取6个家庭，得到数据如下：参考公式：回归直线的方程是：y ̂=b ̂x +a ̂，其中，b =∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i ni=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −． (1)据题中数据，求月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程(保留一位小数)； (2)从这6个家庭中随机抽取2个，求月支出都少于1万元的概率．21. 选修4--4；坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：{x =2cosβy =2sinβ(β为参数)上，对应参数分别为β=α与β=2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．(a∈R)在x=0处取得极值．22.已知函数f(x)=x+ae x(1)求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当0<m≤e，x∈(1,+∞)时，xe x−2−m(x−1)lnx>0．【答案与解析】1.答案：B解析：i(1−i)=i−i2=+i．2.答案：B解析：解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：B．用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．本题主要考查用反证法法证明数学命题，求一个命题的否定，注意否定词语的应用，属于基础题．3.答案：C解析：解：①∵1a <1b<0，∴不妨取a=−1，b=−2，∴|a|=1，|b|=2，∴|a|<|b|，故不成立；②∵1a <1b<0，∴1a+1b<0，a<0，b<0，∴a+b<ab，故成立；③∵1a <1b<0，∴b<a<0，∴ba+ab>2，故成立；④∵(a−b)2b =a2−2ab+b2b<0，∴a2b−2a+b<0，∴a2b<2a−b，故成立；故选C．①不妨取a=−1，b=−2；②根据1a <1b<0，可得1a+1b<0，a<0，b<0，从而a+b<ab；③根据1a <1b<0，可得b<a<0，从而ba+ab>2；④根据(a−b)2b=a2−2ab+b2b<0，可得结论．本题以不等式为载体，考查不等式的性质，不成立列举反例，成立结论需严密证明．4.答案：B解析：此题考查程序框图的循环结构的应用，及等差数列的求和公式，关键是模拟程序框图的循环结构，判断算法表示的为等差数列的和． 解：当k =1时，S =3×1，k =3；当k =3时，不满足输出条件，S =3×1+3×3，k =5； 当k =5时，不满足输出条件，S =3×1+3×3+3×5，k =7；⋮当k =99时，不满足输出条件，S =3×1+3×3+3×5+⋯+3×99=3×50×(1+99)2=7500，k =100；当k =100时，满足输出条件，输出S =7500． 故选B ．5.答案：C解析：本题考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题． 由题意利用任意角的三角函数的定义求出tanα=b −a ，且b −a ≠1，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求出tanα的值，可得|a −b|的值． 解：由题意可得tanα=b−a 4−3=b −a ，且b −a ≠1，若=1−tan 2α1+tan 2α+tanα1+tan 2α=12，解得tanα=−13或tanα=1(舍去)，即|a −b|=13， 故选：C ．6.答案：C解析：解：∵极坐标方程(ρ−1)(θ−π)=0(ρ≥0)， ∴ρ=1或θ=π(ρ≥0)，若ρ=1化为普通方程是x 2+y 2=1，是以原点为圆心，以1为半径的圆， 若θ=π(ρ≥0)是一条射线， ∵参数方程{x =tanθy =2cosθ(θ为参数)，，∴y 24−x 2=1，∴参数方程{x =tanθy =2cosθ(θ为参数)所表示的图形是双曲线．综上，极坐标方程(ρ−1)(θ−π)=0(ρ≥0)和参数方程{x =tanθy =2cosθ(θ为参数)所表示的图形分别是圆、射线和双曲线． 故选：C ．ρ=1是以原点为圆心，以1为半径的圆，θ=π(ρ≥0)是一条射线，参数方程{x =tanθy =2cosθ(θ为参数)化为普通方程是y 2−4x 2=4，表示的图形是双曲线．本题考查曲线的形状的判断，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，是基础题．7.答案：B解析：解：求导函数可得y′=lnx +1 ∴x =e 时，y′=lne +1=2， 即有在点(e,e)处的切线的斜率是2． 故选：B ．求导函数，将x =e 代入，即可得到斜率．本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，正确求导是关键．8.答案：A解析：解：指数函数y =a x (a >0且a ≠1)是R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，故选A．指数函数y=a x(a>0且a≠1)是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，即大前提是错误的．本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．9.答案：D解析：对函数y=x−lnx求导，解不等式y′>0便得到原函数的单调递增区间．考查求导数来找函数的单调区间的方法，比较容易求解．解：y′=1−1x =x−1x，∵x>0，∴x>1时，y′>0，所以原函数的单调递增区间是(1,+∞)．故选D．10.答案：C解析：本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，属于中档题．根据移动方法与规律发现，随着金属片数目的增多，都是分两个阶段移动，用金属片数目减1的移动次数都移动到2号针，然后把最大的金属片移动到3号针，再用同样的次数从2号针移动到3号针，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．解：设f(n)是把n个金属片从1号针移到3号针过程中之最少移动次数，n=1时，f(1)=1；n=2时，小金属片→2号针，大金属片→3号针，小金属片从2号针→3号针，完成，即f(2)=3= 22−1；n=3时，小金属片→3号针，中金属片→2号针，小金属片从3号针→2号针，[用f(2)种方法把中、小两金属片移到2号针，大金属片3号针；再用f(2)种方法把中、小两金属片从2号针移动到3号针，完成]，f(3)=f(2)×2+1=3×2+1=7=23−1，f(4)=f(3)×2+1=7×2+1=15=24−1，…以此类推，f(n)=f(n −1)×2+1=2n −1， ∴f(6)=26−1=63． 故选：C ．11.答案：B解析：试题分析：根据性质，，当且仅当，的最小值为3，故答案为B ．考点：合情推理的应用．12.答案：D解析：解：由函数y =f(x +1)的图象关于点(−1,0)成中心对称，可得y =f(x)的图象关于原点O 中心对称，即函数f(x)为奇函数，又对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0，可知f(x)在R上单调递减，由−f(s 2)≥f(t)≥f(s)，得f(−s 2)≥f(t)≥f(s)，即{s +2t ≥0s ≥t，∴约束条件为{1≤s ≤4s ≥t s +2t ≥0，画出可行域如图：t−ss+t=t+s−2s s+t=1−2s s+t =1−21+ts．由图可知，−12≤ts ≤1，则12≤1+ts ≤2， ∴−4≤21+t s≤−1，则t−s s+t∈[−3,0]．故选：D ．由已知可得函数的奇偶性与单调性，再由1≤s ≤4，且s ，t 满足不等式−f(s2)≥f(t)≥f(s)，得到约束条件，作出可行域，由线性规划知识求解．本题考查函数的性质及其应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13.答案：−95解析：解：∵z =a +153−4i =a +15(3+4i)(3−4i)(3+4i)=a +95+125i 是纯虚数，∴a +95=0，即a =−95． 故答案为：−95．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的基本概念，是基础题．14.答案：[12,+∞)解析：解：若关于x 方程lg2xlg(x+a)=2有解， 则{x >0x +a >0x +a ≠1lg2x =lg(x +a)2有解，由lg2x =lg(x +a)2，得2x =(x +a)2，即x 2+(2a −2)x +a 2=0， △=(2a −2)2−4a 2=4−8a ≥0，得a ≤12． 此时x =2−2a±2√1−2a2=1−a ±√1−2a ，若关于x 方程lg2xlg(x+a)=2有解，则{a ≤121−a +√1−2a >01−a +√1−2a >−a 1−a +√1−2a +a ≠1，解得a <12． ∴关于x 方程lg2xlg(x+a)=2无解的实数a 的取值范围是[12,+∞)． 故答案为：[12,+∞)．把已知方程变形，求出原方程有解的a 的取值范围，取补集得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查化归与转化思想、补集思想的应用，考查运算求解能力，是中档题．15.答案：13+23+33+43+53+63+73=282解析：解：等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102， 可知等式左侧是项数加1，立方和，右侧是项数和的平方， 所以第六个等式为：13+23+33+43+53+63+73=282， 故答案为：13+23+33+43+53+63+73=282．通过已知条件，判断表达式的特征，找出规律，然后求解即可．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．16.答案：(−∞,1]解析：解：∵f(x)=13kx 3+(k −2)x 2−5k +7在(0,2)上单调递减， ∴f′(x)=kx 2+2(k −2)x ≤0在x ∈(0,2)恒成立，①当k <0，f′(x)=kx 2+2(k −2)x 的图象开口向下，对称轴方程为x =−2(k−2)2k=−1+1k<0，当x ∈(0,2)时，f′(x)<0恒成立，故f(x)=13kx 3+(k −2)x 2−5k +7在(0,2)上单调递减，满足题意； ②当k =0时，f(x)=−2x 2+7的图象开口向下，在(0,2)上单调递减，满足题意； ③当k >0时，由f′(x)≤0对∀x ∈(0,2)恒成立得：{f′(0)≤0f′(2)≤0，解得0<k ≤1； 综上所述，k ∈(−∞,1] 故答案为：(−∞,1]．f(x)=13kx 3+(k −2)x 2−5k +7在(0,2)上单调递减⇔f′(x)=kx 2+2(k −2)x ≤0在x ∈(0,2)恒成立，分①当k <0，②当k =0，③当k >0时，三类讨论，利用对应的函数的性质分析解决即可． 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)根据题意列出2×2列联表如下，由表中数据，计算K 2=10×(3×3−2×2)25×5×5×5=0.4<2.07，所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能说明网络状况与网络的类型有关； (2)依题意，在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广， 其所有的可能有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10种， 其中满足条件的为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE 共7种， 故所求的概率为P =710．解析：(1)根据题意列出列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； (2)用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．18.答案：(Ⅰ)解：函数f(x)的定义域为{x|x >0}，又f′(x)=(ax−1)(x−2)x 2…(1分)(1)当a =0时，则f′(x)=−x−2x ，可以看出，当x >2时，f′(x)<0；当0<x <2时，f′(x)<0；所以，a =0时，函数f(x)在区间(0,2)上单调递减；在(2,+∞)上单调递增…(2分) (2)当a ≠0时，f′(x)=a(x−1a)(x−2)x 2，(i)若a <0，则1a <0，1a <0<2，当0<x <2时，f′(x)>0；当x >2时，f′(x)<0， 所以得a <0时，f(x)在(0,2)上单调递增；在(2,+∞)上单调递减； (ii)若0<a <12，则0<2<1a ，解不等式a(x−1a)(x−2)x 2>0，得0<x <2或x >1a ，解不等式a(x−1a)(x−2)x 2<0，得2<x <1a ，所以得：0<a <12时，函数f(x)在区间(2,1a )上单调递减；在区间(0,2)，(1a ,+∞)上分别单增． (iii)当a =12时，f′(x)=2(x−2)2x 2，在定义域(0,+∞)上，总有f′(x)≥0，所以此时，在定义域(0,+∞)上，函数f(x)恒为单调递增函数； (iv)当a >12时，0<1a <2，解不等式a(x−1a)(x−2)x 2>0，得0<x <1a 或x >2；解不等式等式a(x−1a)(x−2)x <0，得1a <x <2；所以，当a >12时，得函数f(x)在(0,1a )和(2,+∞)上分别单调增；在(1a ,2)单调递减；…(5分) 综上，当a <0时，f(x)在(0,2)上单调递增；在(2,+∞)上单调递减； 当a =0时，函数f(x)在区间(0,2)上单调递减；在(2,+∞)上单调递增； 当0<a <12时，函数f(x)在(2,1a )上单调递减；在(0,2)，(1a ,+∞)上分别单增． 当a =12时，在定义域(0,+∞)上，函数f(x)恒为单调递增函数，当a >12时，函数f(x)在(0,1a )和(2,+∞)上分别单调增；在(1a ,2)单调递减．…(6分) (Ⅱ) 证明：因为0<a <1e ，所以a ∈(0,12)，由(Ⅰ)得，此时函数f(x)在(2,1a )上单调递减；在(0,2)，(1a ,+∞)上分别单增． 列出x ，y′，y 在[1,e]上单调性情况分析如下表：由图可以看出，x ∈(1,2)，函数单调递增；x ∈(2,e)时，函数单调递减；当x =2时，函数取得极大值，也是最大值，y max =f(2)=2a −(2a +1)ln2−1…(9分) 因为0<a <1e ，2a <1，所以2a −1<0；又−(2a +1)ln2<0， 所以y max =f(2)=2a −(2a +1)ln2−1<0恒成立， 由此，在[1,e]上，f(x)<0恒成立…(11分)根据连续函数根的存在性，方程f(x)=0在[1,e]上，不可能有根存在…(12分)解析：(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (Ⅱ)根据a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，判断即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．19.答案：解：(1)∵曲线C 1的参数方程为{x =√3cosθy =sinθ(θ为参数)，∴曲线C 1的直角坐标方程是x 23+y 2=1，化成极坐标方程为ρ2=31+2sin 2θ，∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin(θ+π6)，∴ρ=4sinθcos π6+4cosθsin π6，即ρ2=2√3ρsinθ+2ρcosθ， ∴曲线C 2的直角坐标方程是(x −1)2+(y −√3)2=4．(2)曲线C 2是圆，射线OM 过圆心，∴射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)，代入ρ2=31+2sin 2θ，得ρA2=65， 又∠AOB =π2，∴ρB 2=2， ∴|AB|=√ρA 2+ρB 2=4√55．解析：(1)曲线C 1的参数方程消去参数，能求出曲线C 1的直角坐标方程，由此能求出曲线C 1的极坐标方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2=2√3ρsinθ+2ρcosθ，由此能求出曲线C 2的直角坐标方程．(2)射线OM 方程是θ=π3(ρ≥0)，代入ρ2=31+2sin 2θ，得ρA 2=65，由∠AOB =π2，得ρB 2=2，由此能求出|AB|．本题考查曲线的极坐标方程、直角坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.答案：解：(1)x −=38，y −=7；其中b ̂=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2=20×4+30×5+35×6+40×8+48×8+55×11−6×38×7202+302+352+402+482+552−6×382≈0.2，a ̂=y −−b ̂x −=7−0.2×38=−0.6，故月支出y 关于x 月收入的线性回归方程是：y ̂=0.2x −0.6，(2)若从6个家庭中抽取2个，则基本事件为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，月支出都少于1万元的基本事件为12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共10种， 则月支出都少于1万元的概率为P =1015=23．解析：(1)由题意得到x −、y −，b ̂，a ̂，从而得到月支出y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程； (2)从6个家庭中抽取2个，共包含15种情况，其中月支出都少于1万元的基本事件共10种，从而得到结果．本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(I)根据题意有：P(2cosα,2sinα)，Q(2cos2α,2sin2α)，∵M 为PQ 的中点，故M(cosα+cos2α,sin2α+sinα)，∴求M 的轨迹的参数方程为：{x =cosα+cos2αy =sinα+sin2α(α为参数，0<α<2π)．(II)M 到坐标原点的距离d =√x 2+y 2=√2+2cosα(0<α<2π)． 当α=π时，d =0，故M 的轨迹过坐标原点．解析：(I)根据题意写出P ，Q 两点的坐标：P(2cosα,2sinα)，Q(2cos2α,2sin2α)，再利用中点坐标公式得PQ 的中点M 的坐标，从而得出M 的轨迹的参数方程；(II)利用两点间的距离公式得到M 到坐标原点的距离d =√x 2+y 2=√2+2cosα，再验证当α=π时，d =0，故M 的轨迹过坐标原点．本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，两点间的距离公式的应用，轨迹方程，属于基础题．22.答案：解：(1)f′(x)=1−x−a e x，由题意可得，f′(0)=1−a =0，故a =1， f(x)=1+xe x，f′(x)=−xe x ， 由f′(x)>0可得x <0，故函数单调递增区间(−∞,0)， 由f′(x)<0可得x >0，故函数单调递减区间(0,+∞)，(2)证明：由(1)可知f(x)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)单调递减， 故f(x)≤f(0)=1， 即x+1e x ≤1，故e x ≥x +1，∴e x−2≥x −1当且仅当x =2时取等号， ∵x >0，∴xe x−2≥x(x −1)，∴xe x−2−m(x −1)lnx ≥x(x −1)−m(x −1)lnx =(x −1)(x −mlnx)， ∵x >1，lnx >0，因为0<m≤e，所以x−mlnx≥x−elnx，，令g(x)=x−elnx，则g′(x)=1−ex由g′(x)>0可得，x>e，故g(x)在(e,+∞)上单调递增，由g′(x)<0可得，x<e，故g(x)在(−∞,e)上单调递减，所以g(x)≥g(e)=0，即x−elnx≥0在x=e处取得等号，∴xe x−2−m(x−1)lnx≥(x−1)(x−mlnx)≥(x−1)(x−elnx)≥0，由于取等条件不同，所以xe x−2−m(x−1)lnx>0．解析：(1)先对函数求导，然后结合极值存在的条件可求a及单调区间；(2)结合(1)的结论可得e x−2≥x−1，然后对不等式进行合理的放缩，构造函数，结合导数可证．本题主要考查了函数极值存在条件的应用及利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．。

大庆铁人中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一、选择题1. 已知集合{|{|23}M x y N x x ===-<<，则MN =（ ）A. {|32}x x -<≤B. {|32}x x -<<C. {|22}x x -<≤D.{|22}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：∵M ＝{x |x ≤2}，N ＝{x |﹣2＜x ＜3}， ∴M ∩N ＝{x |﹣2＜x ≤2}． 故选：C ．【点睛】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2. 已知命题1,20x p x R -∀∈>：，则命题p ⌝为（ ）A. 1,20x x R -∀∈≤ B. 1,20x x R -∃∈≤C. 1,20x x R -∃∈≠D. 1,20x x R -∀∈<【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定的定义即可判断. 【详解】因为命题1,20x p x R -∀∈>：所以命题:p ⌝1,20x x R -∃∈≤故选：B【点睛】本题主要考查了写出全称命题的否定，属于基础题. 3. 三个数0.73a =，30.7b =，3log 0.7c =的大小顺序为（ ）A. b c a <<B. b a c <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数以及对数函数的性质进行求解. 【详解】由题意得，0.70331a =>=3000.70.71b <=<=33log 0.7log 10c =<=c b a ∴<<故选：D .【点睛】本题考查利用指数函数以及对数函数的单调性比较数的大小，属于基础题. 4. 下列命题错误的是（ ）A. 命题“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0” B. 若p ：∀x ≥0，sinx ≤1，则￢p ：∃x 0≥0，sinx 0＞1 C. 若复合命题：“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题 D. “x ＞2”是x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由命题的逆否命题的形式可判断A ；由全称命题的否定为特称命题可判断B ；由复合命题的真假表可判断C ；由充分必要条件的定义和二次不等式的解法可判断D.【详解】对于A ，“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”，故A 正确；对于B ，p ：∀x ≥0，sinx ≤1，则￢p ：∃x 0≥0，sinx 0＞1，故B 正确；对于C ，若复合命题：“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 错误； 对于D ，“x ＞2”可得x 2﹣3x +2＞0”，反之则不成立，故“x ＞2”是x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，故D 正确. 故选：C【点睛】本题主要考查四种命题、命题的否定、复合命题的真假表以及充分不必要条件，属于基础题. 5. 设x ∈R ,则“1122x -<”是“1x <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 先求解1122x -<再根据充分与必要条件的概念分析即可. 【详解】由111110122222x x x -<⇒-<-<⇒<<. 又因为“01x <<”是“1x <”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及充分不必要条件的辨析.属于基础题. 6. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x f x m =-，则()2019f =（ ）A. 1B. -1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x +1）=f （1-x ），便可推出f （x +4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m =0，从而求得m =1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1． 【详解】∵()f x 是定义在R 上奇函数，且()()11f x f x +=-；∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；∵[0,1]x ∈时，()2xf x m =-； ∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；∴[0,1]x ∈时，()21x f x =-；∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B .【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题. 7. 函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题. 8. 以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位 ③线性回归方程ˆy bx a =+必过(),x y④设具有相关关系的两个变量,x y 的相关系数为r ，那么||r 越接近于0，,x y 之间的线性相关程度越高；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，那么2K 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。