黑龙江省大庆铁人中学2019～2020学年度高一第1学期期末考试数学试题参考答案

黑龙江铁人中学2018-2019学年度上学期期末考试高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩∁N B ＝( )A ．{1,5,7}B ．{3,5,7}C ．{1,3,9}D ．{1,2,3}2．方程log 3x ＋x ＝3的解所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3，＋∞)3．若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14y4．已知方程|x |－ax －1＝0仅有一个负根，则a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a >1D ．a ≥15.在同一坐标系内，函数11()2,()2x x f x g x +-==的图象关于（ ）A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y =x 对称6．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－37．点C 在线段AB 上，且AC →＝ 25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－328．要想得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只须将y ＝cos x 的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向右平移5π6个单位C ．向左平移5π6个单位D ．向左平移π3个单位9．△ABC 中，AB →·BC →<0，BC →·AC →<0，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定10．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．±242511．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．－433B ．－4 3C ．4 3D ．812．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于( )A ．4B ．－6C ．－3D ．－4第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．tan24°＋tan36°＋3tan24°tan 36°＝________. 14．已知函数2()31x f x a =++为奇函数，则a ＝________. 15．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列命题： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减； 其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)（1）将形如⎪⎪⎪⎪a 11a 21 a 12a 22的符号称二阶行列式，现规定⎪⎪⎪⎪a 11a 21 a 12a 22＝a 11a 22－a 12a 21.试计算二阶行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π4 1 1 cos π3的值；（5分）（2）已知的值求ααααπtan 1cos 22sin ,214tan 2+--=⎪⎭⎫⎝⎛+。

22大庆市铁人中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试卷本试题满分150分,答题时间120分钟第I 卷选择题部分一.选择题；（每小题5分只有一个选项正确，共60分）1 •已知集合^={x|-l<x<2}, B={X \X >1}9 ^]AUB=(2•命题0,— , sinx 0 <cosx 0w的否定是( k 4丿3.若0vxvyvl,则下面大小关系正确的是（A. 3 V< 3Xz34兀、4. cos(- -- )=(1 A. 一26.慕函数/（切=（〃,一加一1）疋'+心在（0,+8）时是减函数，则实数加的值为（9.已知 aW(0, n), IL sina+cosa=|,贝0 cos 2a 的值为()A. (一1, 1)B. (1, 2) C ・(一1,十8) D. (1, +8)B.Vxe 0,弓,sinxvcosx C. 3^0 g 0,^1 sin x 0 > cos x 0D. Vxe 0I, sinx>cos x 4；B. C. sin x < sin yD.-I -1x < yB. D.A.D. (OJ]A. 2 或-1B. -1C. 2D. -2 或-12X+1 ]—x7.已知函数金）=|777卞g （x ）=lg 匸则函数力（x ）=7（x ） g （x ）的图象关B ・y 轴对称C ・x 轴对称D ・y=x 对利;8•某工厂的年产值第二年比第•年的增长率为c,第三年比第二年的增长率是而这两年中的年平均增长率为P ，在门+卩2为定值的情况下，P 的最大值是（ ）A ・原点对称C ・x 轴对称A.B ・C.P\!h B⑴求3sina + cosasin a-cos a的值 ⑵求cos(a-0)的值11 •定义在斤上的偶函数/(X)满足/(%+l) = /(l-x)且/(X)在［-3,-2］上是减函数，又久0是锐角三角形的两个内角，则()A. /(sin<7)> /(cos/7)B. /(sin^z)< /(cos/7) c. f (sin a)> f (sin 0)D. f (cos a)<f (cos 0)12.已知定义在R 上的奇函数f(x),满足/(x+2) = /(-x),当XG ［0,1］时,y(x) = >/7,则函数 g(x) = (x —2)f(x) —1在区间［—3,6］上的所有零点之和为( )A. 2B. 4c. 6D. 8二 填空题：(每小题5分，共20分)13函数/(对=巴二 在区间(1，+8)上单调递减，则实数d 的取值范圉为 _____________ ；x-1 14- 已知 0,0均为锐角，且(1-^3 tan W1-V3 tan^)=4,则 & + © = ______ ； 15- 给出下列命题：(1) 设角&的始边为x 轴非负半轴，则“角a 的终边在第二、三象限”是“cosavO”的充要条件： (2) 若函数：y = 2sin(ex + £) —1的最小正周期为彳：那么实数力=4： (3) 若•扇形的圆心角为2,圆心角所对的弦长为2,则此扇形的而积为：—:sin" 1 4 1 9(4) 若A, B ・C 为/XABC 的三个内角，贝IJ ： - + --- 的最小值为：-：A B + C n其中正确的命题是 _________ :16若函数f(x) = \n(>j\ + cix 2+2x)是定义在实数集上的奇函数；则实数a = __________ :满足关于X 的不等式./(2w -,HSinA)+ /(cos 2x)>0恒成立，则实数加的取值范围 ______三.解答题：(17题10分，18-22每题12分共70分)4 7T517.已知：tana = --,a ecos/7 = - — ,/?是第三象限角：A.D.10.已知函数/(x) = < (2-a)x + 3a,x< 12 In x,x> 1的值域为/?,那么实数"的取值范围是(A.B. [-1, 2)C. (0, 2)18.已知函数/(x) = 2sin 2x+—j.(1)求函数于(劝在［0,兀］的单调递增区间:(2)关于x的不等式：f(x) < 1的解集：19.已知函数f(x) = cosxsin(x +—) - >/3cos2 x + —( xeR)3 4(1)求XQ在闭区间［--,-1的最大值和最小值.4 4(2)设函数g(x)对任意xWR,有g(x +兰)= g(x), IL当xG ［0,—］H;t，g(x) = ^--f(x).求g(x)在区间［一兀,0］上的解析式.X20.已知函数/(x) = log2 (2x)- log2 -,(1)当xe［l,4］时，求该函数的最值：(2)若f(x)<mlog2x对于*［1,4］恒成立，求实数加的取值范围.21.已知/(x) = a¥2-2^+i-b(QH0, Z?>-1)在区间［2,3］上最大值为4,最小值为1.(1)求/(x)的衣达式：(2)设g(小=丄2,若Hre［-1,1］,不等式^(2v)-2x-w>0成立，求加的取值范圉.22.已知函数/(x) = 2x2 -3x+l;g(x) = 2sin(x-—)6(1) a为何值时,方程:/(sin x) = a-sinx4[0,2n\上有两解？7 5(2)若/i(x) = (g(x --- ) + a)(g(x+ —) + “)(" e R)，试求：h(x)的最大值6 3数学答案_选择题：CDCB DBBA ABAD 二填空题：13 (1, +8) 三解答题：2 14 一兀315 (3) (4)16 4 [0, +00)・17 解：(1)(2) _电6n18 解(1)令2k 兀一—S2x + —+ —,解得£龙—TrSxSk/r ------- 、k wZ 、23 2 12 12故.广(x)的单调递增区间k 兀— 兀、kjt -- (k e Z),12 12令k=o,单调递增区间为°，詈，令k =「单调递增区间为(2) (kn 十]kir + F)(k £ z) 19【解】f(x) = fsin(2x-f)当x = m 甘;f(x)有最大值为 t:当x=—g -时;f(x ；疽最小值为 冷⑵当 X€ ［Of ］ i^,g(x) = ；-；sin(2x-；)乙 乙 乙 3 当 XE [-共]时,(x +》G [of] :g(x) = g( 当-寸)时’(x + iT)e[o,|] :g(x) = g(x + ir) = j-|sin(2x-综上：验)在区间f 。

大庆铁人中学高一年级上学期期末考试数学试题试卷说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。

第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知集合{}022<+=x x x A ，1202xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂= ( )A.()12--，B.()01，-C.(]12--，D.[)01，-2.函数()2ln f x x = ( ) A ．是偶函数且在(－∞，0)上单调递增； B ．是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增； C ．是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增； D ．是奇函数且在(－∞，0)上单调递增；3．已知α是锐角，31,sin ,cos ,43a b αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且//a b ，则α为 ( ) A ．15° B ．45° C ．75°D ．15°或75°4．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点()-3,4P ，则cos sin cos sin αααα+-等于 （ ）A.1-7 B. 3 C.-3 D. 175．已知向量(),1a λ=，()2,1b λ=+，若a b a b +=-，则实数λ的值为 ( ) A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-6.设11113,2,1,,,,,1,2,32332α⎧⎫∈-----⎨⎬⎩⎭，则使()αx x f =为奇函数且在()+∞,0 上单调递减的α的值的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.若将函数sin 64y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，则所得图象的一个对称中心是 （ ） A.,016π⎛⎫⎪⎝⎭ B.,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭8．设 1.1 3.13log 7,2,0.8a b c ===，则 ( ) A ．b a c << B ．c a b << C ．c b a << D ．a c b <<9．设对任意实数]1,1[-∈x ，不等式032<-+a ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )A.0>aB.21>a C.0>a 或12-<a D.41>a 10．函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的一个最高点坐标为（2,2），相邻的对称轴与对称 中心之间的距离为2，则函数()y f x =的单调增区间是 （ ） A.[]28,28k k k Z -++∈ B. []24,24k k k Z ππ-++∈ C.[]28,68k k k Z ++∈ D. []24,64k k k Z ππ++∈11．已知函数()y f x =(x )R ∈满足()()x f x f =+2,且当(]1,1x ∈-时，()f x x =，函数()sin ,01,0x x g x x xπ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则函数h()()()x f x g x =-在区间[]5,5-上的零点的个数为 （ ） A ． 8 B ． 9 C ．10 D ．1112.已知ABC V 的外接圆的圆心为O，2,AB AC BC ==AO BC ⋅的值为 （ ）A.94 B. 94- C. 12 D. 12- 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的指定位置） 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．14. 若21025c ba ==且0≠abc ，则=+bca c _______________. 15.70cos 20cos 10sin 2-的值是 .16．给出以下命题：①若a b a b +=+，则a 与b 同向共线； ②函数()()cos sin f x x =的最小正周期为π；③在ABC ∆中，3,4,5AC BC AB ===,则16AB BC ⋅=；④函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； 其中正确命题的序号为___________________.三．解答题：（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题满分10分)已知1,2a b ==，a 与b 的夹角为.θ(1)若//a b ，求a b ⋅； (2)若a b -与a 垂直，求θ.18.(本小题满分12分)已知30,444πππβα<<<<, 335cos ,sin 45413ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, （1）求sin α的值； （2）求()sin αβ+的值.19. (本小题满分12分)已知函数()14226x x f x +=-⋅-，其中[]0,3x ∈.(1）求函数()f x 的最大值和最小值；(2）若实数a 满足()20x f x a -⋅≥恒成立，求a 的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数()sin() (0,f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期为π是直线8π=x ．(1)求ω，ϕ；(2)利用“五点法”画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图象．21. (本小题满分12分)已知(sin ,cos ),(sin ,sin )m a x x n x b x ==u r r，其中,,a b x R ∈， 若()f x m n =u r r g ,满足26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的图象关于直线6x π=-对称.(1)求,a b 的值；(2)若对任意的[0,]2x π∈，都有2()log 2f x k +≤，求实数k 的取值范围.22. (本小题满分12分) 已知函数2()(1)f x x x x a =+-- （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围．数学试题一．选择题1.C2.B3.D4.A5.D6.C7.D8.B9.B 10.A 11.C 12.D 二．填空题13. 5 14.2 15. ①②④三．解答题17. 解析： (1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. ……5分 (2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. ……5分18.（1）304424ππππαα<<∴-<-<4sin 45πα⎛⎫∴-=-⎪⎝⎭43sin sin 4455ππαα⎛⎫∴=---=+=⎪⎝⎭ ……6分 （2）340sin 442445πππππααα⎛⎫<<∴-<-<∴-=- ⎪⎝⎭333120cos 444413ππππββπβ⎛⎫<<∴<+<∴+=- ⎪⎝⎭()3sin cos cos 244312455651351365πππαβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-⨯-+⨯=⎪⎝⎭ ……12分19.（1）令[]2,1,8x t t =∈246y t t ∴=--min max 486106432626y y ∴=--=-=--= ……6分（2）4426244262x x x x x xa a-⋅-≥⋅-⋅-∴≥即求44262x x x -⋅-的最小值；442662422x x xx x -⋅-=--单调递增，9a ∴≤- ……6分20.解：（1）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- ω=2 ………………4分（2）由知)432sin(π-=x y………………8分故函数()y f x =在[0,]π区间上图像是 ………………12分21.2(1)()sin sin cos (1cos 2)sin 222()2,68(0)()63(2)2,(2)()1cos 222sin(2)165[0,],2266602sin(2)13,(6f x m n a x b x x a bx x f a x f f b a b f x x x x x x x f πππππππππ==+=-+=+==-∴=-∴====-+=-+∈∴-≤-≤∴≤-+≤u r rg Q 由得（1）由（1），（2）可得由（1）得即[][]22max min 2)[0,3]()log 2[0,]22()log 2()[0,]22()2,2()1,2log 11111[,].4242x f x k f x k f x f x f x k k k ππ∈+≤--≤≤---=--=-∴-≤≤-≤≤∈Q 又在上恒成立，即在上恒成立，解得，即22. 【解析】（1）当1-=a 时，有⎩⎨⎧-<-≥-=1,11,12)(2x x x x f当1-≥x 时，1122=-x ，解得：1=x 或1-=x 当1-<x 时，1)(=x f 恒成立，∴方程的解集为1|{-≤x x 或}1=x ． ………………3分（2）⎩⎨⎧<-+≥++-=a x ax a ax a x a x x f ,)1(,)1(2)(2若)(x f 在R 上单调递增，则有………………7分（3）设)32()()(--=x x f x g ，则⎩⎨⎧<+--≥+++-=a x a x a ax a x a x x g 3)1(,3)3(2)(2即不等式0)(≥x g 对一切实数R x ∈恒成立，∴1<a ，∴当a x <时，)(x g 单调递减，其值域为),32(2∞++-a a ， ∴22)1(3222≥+-=+-a a a ，∴0)(≥x g 恒成立，当a x ≥时，∴1<a ，，得53≤≤-a ，∴1<a ，∴13<≤-a ，综上：13<≤-a ． ………………12分。

2019—2020学年度上学期期末考试高一年级数学（文科）试题说明：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合{}22,0,2,{|20}A B x x x =-=--=,则A B ⋂=（ ）A. ∅B.C. {}0D. {}2-【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =-，，故{}2A B ⋂=，选B ． 考点：集合的运算．2.函数1()233f x x x =--的定义域为（ ） A. [32，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞） C. [32，+∞）D. （3，+∞）【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】因为函数230123,303x y x x x -≥⎧=-∴⎨-≠-⎩， 解得32x ≥且3x ≠； ∴函数()1233f x x x =--的定义域为()3,33,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭, 故选A ．【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.3.下列函数中，单调增区间为()0+∞，的是（ ） A. 1y x=B. 3y x =C. 2xy =D. lg y x =【答案】D 【解析】 【分析】逐一写出各选项的函数的单调区间即得解 【详解】A. 1y x=没有增区间，所以该选项不符合题意； B. 3y x =的单调增区间为(,)-∞+∞，所以该选项不符合题意； C. 2xy =的单调增区间为(,)-∞+∞，所以该选项不符合题意； D. lg y x =的单调增区间为(0,)+∞，所以该选项符合题意. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4.函数2()log (1)f x x =-的图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 分析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．【详解】观察四个图的不同发现，A 、C 、D 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B ；又由定义域可知x<1,排除D ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A ． 故选C ．【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.5.已知幂函数()f x 的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f 8的值为( )C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】幂函数()af x x =的图象过点2,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，得到α的值，得到函数的解析式，再代入值计算即可．【详解】∵幂函数()af x x =的图象过点⎛ ⎝⎭，α2=， 1α2∴=-，()12f x x -∴=，()12f 884-∴==， 故选A ．【点睛】本题考查了幂函数的解析式和函数值，属于基础题．6.设函数2,0()(2),0x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(6)f =（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】直接利用分段函数的解析式求解即可.【详解】由题得0(6)(4)(2)(0)021f f f f ====-=-. 故选：B【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.属于基础题. 7.已知315α=，则与角α终边相同的角的集合是（ ） A. {|2,}4k k Z πααπ=-∈ B. {|2,}4k k Z πααπ=+∈C. 5{|2,}4k k Z πααπ=-∈ D. 5{|2,}4k k Z πααπ=+∈ 【答案】A 【解析】试题分析：由题先化为弧度；073151804ππ⨯=，再由终边相同的角的集合可得； 72,,1,{|2,}444k k Z k k k Z πππαπαααπ=+∈=-=-=-∈时，得； 考点：角度制与弧度制的互化及终边相同角的集合. 8.函数2tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（ ） A. |12x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B. |12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭C. |,12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D. |,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域可知2,32x k k Z πππ+≠+∈，化简即可求出.【详解】因为2,32x k k Z πππ+≠+∈，所以,212k x k Z ππ≠+∈ 故函数的定义域为 |,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，选D. 【点睛】本题主要考查了正切型函数的定义域，属于中档题.9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，如果0A >，0>ω，2πϕ<，则（ ）A. 4A =B. 1ω=C. 6π=ϕ D. 4B【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A 和B ，然后利用图象求得函数的周期，求得ω，最后根据6x π=时取最大值，求得ϕ．【详解】解：如图根据函数的最大值和最小值得4A B A B +=⎧⎨-=⎩求得2,2A B ==函数的周期为54126πππ⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，即2,2ππωω== 当6x π=时取最大值，即sin 21,22662k πππϕϕπ⎛⎫⨯+=⨯+=+ ⎪⎝⎭26ππϕϕ<∴=故选C ．【点睛】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式．考查了学生基础知识的运用和图象观察能力．10.的结果是( ) A. sin4+cos4 B. sin4-cos4C. cos4-sin4D.-sin4-cos4 【答案】C 【解析】∵54π<32π，∴由三角函数线易知cos4>sin4. =cos4-sin4. 本题选择C 选项.11.将函数sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A .1sin2y x = B. 1sin 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】将函数y=sin(x －3π)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y=sin(12x －3π)，再向左平移3π个单位得到的解析式为y=sin(12（x+3π）－3π)=y=sin(12x －6π)，故选C12.已知函数()2,02,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，方程()()20f x bf x -=，()0,1b ∈，则方程的根的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程解出()0f x =或()f x b =，()0,1b ∈，再画出函数的图象，根据图象交点个数确定方程的实数根.【详解】()()0f x f x b ⋅-=⎡⎤⎣⎦，即()0f x =或()f x b =，()0,1b ∈ 如图，画出函数的图象由图象可知()0f x =时，有2个交点，当()f x b =，()0,1b ∈时有3个交点， 所以共有5个交点，故选D.【点睛】本题考查了数形结合求解方程实数根的问题，函数的零点是对应方程的实数根，同时也是函数图象和x 轴的交点，求()()0f x g x -=的实数根也可转化为求()y f x =和()y g x =的图象的交点个数.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量(1,2)AB =，(3,4)AC =.那么向量CB 的坐标是_________. 【答案】()2,2-- 【解析】 【分析】由题得CB =AB AC -，代入坐标即得解.【详解】由题得CB =(1,2)(3,4)(2,2)AB AC -=-=--. 故答案为：()2,2--【点睛】本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14.函数231(0x y aa -=⋅+>且1)a ≠的图象必经过点______．【答案】()2,4 【解析】 【分析】令指数等于零，求得x 、y 的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标． 【详解】解：对于函数231(0x y aa -=⋅+>且1)a ≠，令20x -=，求得2x =，4y =，可得它的图象经过定点()2,4， 故答案为()2,4．【点睛】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．15.已知1cos 3α=，且π02α-<<，则()()()cos πsin 2πtan 2π3ππsin cos 22ααααα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】- 【解析】02πα-<<sin 3α∴==∴原式cos sin tan cos cos tan sin ααααααα==-故本题正确答案为-.点晴：本题考查的是诱导公式及同角三角函数间的基本关系式.对于诱导公式要理解并能熟练运用“奇变偶不变，符号看象限” ，奇变偶不变是指当角度为π2的奇数倍时，要变成原函数的余名函数，当当角度为π2的偶数倍时，保持原函数名不变.符号看象限是指把α看成锐角时原三角函数的符号.16.下列说法中，所有正确说法的序号是__________．①终边落在y 轴上角的集合是|,2k k Z παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭； ②函数2cos 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象的一个对称中心是3,04π⎛⎫⎪⎝⎭； ③函数tan y x =在第一象限是增函数；④为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度． 【答案】②④ 【解析】当=2k 时，απ=，终边不在y 轴上，①错误；因为32cos =044ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以图象的一个对称中心是3,04π⎛⎫⎪⎝⎭，②正确；函数的单调性相对区间而言，不能说在象限内单调，③错误；函数sin2y x =的图象向右平移6π个单位长度，得到sin2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，④正确.故填②④．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17.已知平面向量(1,2)(3,4)a b =-=，　． (1)求向量34a b +的坐标；(2)当实数k 为何值时，ka b -与34a b +共线．【答案】（1）（15，10）；（2）34-【解析】【详解】解：(1)34a b +＝(3,-6)+(12,16)＝(15, 10) (2)ka b -＝(k,-2k)-(3,4)＝(k-3,-2k-4)，34a b +＝(15,10)．由ka b -与34a b +共线，可得10k-30＝-30k-60， 解得k ＝34-18.已知集合{|24}A x x =≤<， {|3782}B x x x =-≥-， （1）求A∪B， （2）求 ()()R R C A C B .【答案】{|2}A B x x ⋃=≥;()(){|2}R R C A C B x x ⋂=<. 【解析】 【分析】（1）化简集合B ，利用并集的定义求解即可；（2）利用补集的定义求出R C A 与R C B ，再由交集的定义求解即可.【详解】试题解析：(1)由3782x x -≥-，可得3x ≥， 所以{|3}B x x =≥， 又因为{|24}A x x =≤< 所以{|2}A B x x ⋃=≥；（2）由{|24}A x x =≤<可得{|2R C A x x =<或4}x ≥， 由{|3}B x x =≥可得{|3}R C B x x =<. 所以()()(){|2}R R R C A C B C A B x x ⋂=⋃=<.【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的补集、并集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.19.已知2πsin(3πcos(2π)sin 2()cos(π)sin(π)f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----）． （1）化简()f α．（2）若31π3α=，求()f α的值．【答案】（1）cos α-；（2）12-【解析】【分析】 （1）利用三角函数的诱导公式，即可化简函数的解析式为()cos f x α=-；（2）由（1），代入313πα=，利用诱导公式，即可求解()f α的值． 【详解】解：（1）()()()()()3πsin 3πcos 2πsin 2cos πsin πf αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=---- ()()()()()sin 3πcos cos cos πsin πααααα--⋅-⋅-=⎡⎤+⋅-+⎣⎦()sin cos cos cos sin ααααα-⋅⋅-=-⋅ cos α=-．（2）∵31π3α=-，()cos f αα=-， ∴()31πcos 3f α⎛⎫=--⎪⎝⎭ 31πcos 3=- πcos 10π3⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ πcos 3=- 12=-． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简与求值问题，解答中涉及到三角函数的诱导公式的应用，其中合理使用三角函数的诱导公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．20.已知已知tan 2α=，求（1）4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+； （2）225sin 3sin cos 2cos αααα+-的值.【答案】（1）613（2）245 【解析】【分析】（1）原式=4tan 25tan 3αα-+，代入已知即得解；（2）原式=2222225sin 3sin cos 2cos 5tan 3tan 2sin cos tan 1ααααααααα+-+-==++，代入已知即得解. 【详解】（1）原式=4tan 28265tan 310313αα--==++； （2）原式2222225sin 3sin cos 2cos 5tan 3tan 2206224sin cos tan 155ααααααααα+-+-+-====++． 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查同角三角函数的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21.函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()y f x =的单调递增区间；（3）求函数在区间0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）T π=（2）k ,k 36ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（3）见解析【解析】【分析】 （1）利用函数的周期公式得解；（2）解不等式2k 2x 2k ,k Z 262πππππ-≤+≤+∈，即得函数的单调递增区间；（3）由题得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即得函数的最值. 【详解】(1) 2=2T ππ=. (2) 因为()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以2k 2x 2k ,k Z 262πππππ-≤+≤+∈， 所以k x k ,k Z 36ππππ-≤≤+∈，所以函数()y f x =的单调递增区间为k ,k 36ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．(3)由(1)知()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 有最大值，最大值为1； 当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 有最小值，最小值为12-． 【点睛】本题主要考查三角函数的周期和单调递增区间的求法，考查三角函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.设定义域为R 的奇函数11()22x f x a =-+（a 为实数） （1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性（不必证明），并求出()f x 的值域； （3）若对任意的[1,4]x ∈，不等式2(2)0f k f x x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1a =（2）单调递减，11(,)22-；（3）(,2)-∞【解析】【分析】（1）根据(0)0f =即得解；（2）判断()f x 在R 上单调递减，根据单调性求出函数的值域；（3）等价于2(2)f k f x x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，即22k x x<+-，再利用对勾函数的性质求出函数的最小值得解. 【详解】(1)因为()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，从而1a =，此时11()212x f x =-+， 经检验，()f x 为奇函数，所以1a =满足题意；(2)由(1)知11()212x f x =-+， 所以()f x 在R 上单调递减， 由20x >知211x +>，所以1(0,1)21x ∈+， 故得()f x 的值域为11(,)22-；（3）因为()f x 为奇函数， 故由2(2)0f k f x x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭得2(2)(2)f k f x f x x ⎛⎫->--=- ⎪⎝⎭， 又由（2）知()f x 为减函数，故得22k x x -<-，即22k x x <+-， 令2()2,[1,4]g x x x x=+-∈， 则依题只需min ()k g x <，由“对勾”函数的性质可知()g x 在上递减，在4]上递增，所以min ()2g x g ==，故k 的取值范围是(,2)-∞．【点睛】本题主要考查奇函数的性质和应用，考查函数的单调性的判断和应用，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

绝密★启用前黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高一上学期期末数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{1,2,3}A =，{|(1)(2)0,}B x x x x Z =+-<∈，则A B ⋃= A ．{1}B ．{12}，C ．{0123}，，，D ．{10123}-，，，， 2．下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．1y x =+C ．12y x =D ．3y x =3．函数y = ）A ．[0,)+∞B ．[0,2]C ．[0,2)D ．(0,2)4．函数()22log 2y x x =-的单调减区间为（ ）A ．(]0,1B ．()0,2C ．()1,2D ．[]0,25．幂函数()()2231m m f x m m x+-=--在()0,∞+时是减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2或-1B ．-1C ．2D ．-2或-16．已知函数f(x)={x 2+1(x ≤0)2x(x >0)，若f （a ）=10，则a 的值是（ ）A ．-3或5B ．3或-3C ．-3D ．3或-3或5 7．函数()f x =）A ．0,π⎡⎤B ．,k k k Z πππ⎡⎫+∈订…………○……※※答※※题※※订…………○……C．()2,22k k k Zπππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭D．(),22k k k Zππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭8．若扇形圆心角的弧度数为2，且扇形弧所对的弦长也是2，则这个扇形的面积为（）A．21sin1B．22sin2C．21cos1D．22cos29．函数()0,0,2()(||)f x Asin x Aπωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x的解析式为（）．A．()2sin6f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭B．()2sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭C．()2sin12f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭D．()2sin23f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭10．若sinθ，cosθ是关于x方程2420x mx m++=的两个根，则实数m的值是（）A．1+B．1-C．1-D．1-11．要得到函数y x=的图象,只需将函数)4y xπ=-的图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度B．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度C．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4π个单位长度D．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8π个单位长度12．已知函数21,0()ln,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x=的实数根的个数是（）A．6B．3C．4D．5第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．当a ＞0且a ≠1时，函数()23x f x a-=-必过定点____________.14．已知()1,2a x =+r ，()47b =-r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则x 的取值范围为__________． 15．已知sin 6⎛⎫+=⎪⎝⎭πα，则10cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________． 16．设函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确是 ______ ．（填写序号）①f （x ）的图象过点302⎛⎫ ⎪⎝⎭，；②f （x ）在2123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减； ③f （x ）的一个对称中心是5012π⎛⎫⎪⎝⎭，； ④将f （x ）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y =2sinωx 的图象．三、解答题17．已知向量()4,3a =，()1,2b =-r ．（1）求a b -r r；（2）若向量a b λ-r r 与2a b +r r平行，求λ的值．18．已知集合{}1|41,|22xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-<<=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．（1）求,A B A B I U ；（2）设函数()f x C,求()R C A C ⋂.19．已知()()()()3sin cos tan cos 222()sin 2tan sin f πππααπαααπααππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=---+．（1）化简()fα；（2）若α是第二象限角，且31cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求()f α的值． 20．已知1sin cos 5θθ+=，θ∈(0，π). (1)求tanθ的值； (2)求2212sin cos cos sin θθθθ--的值.21．函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,02x R A πωϕ⎛⎫∈>><<⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式及单调增区间； （2）求当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域． 22．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案1．C 【解析】试题分析：集合{}{|12,}0,1B x x x Z =-<<∈=，而{}1,2,3A =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，故选C.【考点】 集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．D 【解析】 【分析】选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解. 【详解】选项A 中，设函数()y f x =，()()f x f x -=Q ，函数21y x =+是偶函数，不符合题意；选项B 中，设函数()y f x =，()()f x f x -≠±Q ，则函数1y x =+为非奇非偶函数，选项B 不符合题意；选项C 中，函数12y x =的定义域为[0,)+∞，则12y x =为非奇非偶函数，选项C 不符合题意；选项D 中，3y x =是单调递增且满足()()f x f x -=-，则3y x =是奇函数，符合条件.故选：D. 【点睛】本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题. 3．C 【解析】 ∵2x >0, 故0≤4-2x <4,∴函数值域为[0,2). 4．C 【解析】 【分析】先研究()22121==-+--t x x x 的单调性，再看2log y t =的单调性，最后根据复合函数的单调性，同增异减，得到结论，要注意定义域. 【详解】()22log 2y x x =-的定义域为()0,2，令()22121==-+--t x x x根据二次函数的性质得t 在()1,2上单调递减 又2log y t =在()1,2上单调递增 根据复合函数的单调性得()22log 2y x x =-在()1,2上单调递减故选：C 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，还考查了数形结合的思想，属于中档题. 5．B 【解析】 【分析】先由()f x 是幂函数，得21m m --=1，1m =-或，2m =，再分类讨论，验证是否满足在()0,∞+上是减函数. 【详解】因为()f x 是幂函数 所以21m m --=1 解得1m =-或，2m =当1m =-时，()3f x x -=，在()0,∞+时是减函数当2m =时，()3f x x =，在()0,∞+时是增函数，不符合题意所以1m =- 故选：B 【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．A 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，分两种情况讨论分别求得a =5或a =−3. 【详解】若a ≤0,则f (a )=a 2+1=10,∴a =−3(a =3舍去）, 若a >0，则f (a )=2a =10,∴a =5, 综上可得，a =5或a =−3,故选A . 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求自变量，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 7．B 【解析】 【分析】首先根据根式函数，负数不能开偶次方根，得tan 0x ≥，再利用正切函数的性质得到结论. 【详解】 因为tan 0x ≥所以由正切函数的性质得2πππ≤<+k x k故选：B 【点睛】本题主要考查了函数定义域的求法和正切函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想，属于中档题.8．A 【解析】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可. 详解：由题意得扇形的半径为：1sin1又由扇形面积公式得该扇形的面积为：2211122sin 1sin 1⨯⨯=. 故选：A.点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用. 9．D 【解析】 【分析】根据最值计算A ，利用周期计算ω，当512x π=时取得最大值2，计算ϕ，得到函数解析式. 【详解】由题意可知52,4,212()6A T πππω==-==， 因为:当512x π=时取得最大值2， 所以:5222)2(1sin πϕ=⨯+， 所以:522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 解得:2,Z 3k k πϕπ=-∈，因为:||2ϕπ<， 所以:可得3πϕ=-，可得函数()f x 的解析式:()(2)23f x sin x π=-．故选D ． 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题 10．B【解析】 【分析】利用韦达定理与同角三角函数公式求解即可. 【详解】由题,判别式()224404m m m ∆=-⨯>⇒>或0m <.又由韦达定理有sin cos 4sin cos 2m mθθθθ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩,故222124024m m m m ⎛⎫--⨯=⇒--= ⎪⎝⎭.解得1m =±.因为4m >或0m <,故1m =故选：B 【点睛】本题主要考查了韦达定理的应用以及同角三角函数的关系,属于中等题型. 11．B 【解析】 【详解】))424y x x πππ=-=+-，即)4y x π=+，所以要得到函数y x =的图像，先将横坐标伸长到原来的2，变为)4y x π=+；再向右平移4π个单位即可得到y x =，应选答案B ．12．D 【解析】 【分析】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数． 【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个 故选：D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题． 13．(2,2)-. 【解析】 【分析】由指数函数恒过(0,1)点,即可得出答案. 【详解】由指数函数的图像恒过(0,1)点,可得当2x =时,2 x a -=1,所以()22232f a-=-=-,即函数()23x f x a -=-必过定点(2,-2).故答案为: (2,-2). 【点睛】本题考查了指数函数的性质,借助于指数函数的图像的性质求解函数图像过定点的问题,掌握指数函数图像恒过(0,1)点是解题的关键,属于基础题. 14．52x <且 94x ≠【分析】由a r 与b r 的夹角为钝角，则0a b ⋅<r r 且1⋅≠-r ra b 求解.【详解】 因为a r 与b r 的夹角为钝角，则0a b ⋅<r r 且1⋅≠-r r a b即()()41270++⨯-<x 且()()41271++⨯-≠-x 解得52x <且 94x ≠ 故答案为：52x <且 94x ≠ 【点睛】本题主要考查了数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．【解析】【分析】 利用诱导公式将10cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭变形10cos cos[3]cos sin 3336ππππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求解. 【详解】因为sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，所以10cos cos[3]cos sin 33363ππππαπααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3-本题主要考查了诿导公式的应用，还考查了转化化归的思想，属于中档题.16．③【解析】∵()f x 的周期为π ∴22πωπ==又∵()f x 的图象关于直线23x π=对称 ∴2232k k Z ππϕπ⨯+=+∈， ∵0＜φ＜2π ∴6π=ϕ ∴()2sin(2)6f x x π=+当0x =时，(0)2sin16f π==，即图象过点(0)1，，故①错误； 由3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得263k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ∴()f x 在2[]63ππ，上单调递减，故②错误； 由26x k k Z ππ+=∈，得212k x k Z ππ=-∈，，故当1k =时，()f x 的对称点为5(0)12，π，故③正确； 将()2sin(2)6f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得2sin[2()]2sin(2)666x x πππ-+=-，故④错误； 故答案为③17．（1（2）12λ=-【解析】【分析】 （1）由()4,3a =r ，()1,2b =-r ，得到()5,1a b -=r r ，再利用求模公式求解.（2）先求得()4,32a b λλλ-=+-r r ，()27,8a b +=r r ，又因为向量a b λ-r r 与2a b +r r 平行，则有()()847320λλ+--=求解.【详解】（1）因为()4,3a =r ，()1,2b =-r ，∴()5,1a b -=r r ，∴a b -==r r（2）因为()4,32a b λλλ-=+-r r ，()27,8a b +=r rQ 向量a b λ-r r 与2a b +r r 平行，∴()()847320λλ+--=， 解得12λ=-【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．（1）{}{}|41,|1A B x x A B x x ⋂=-<≤-⋃=<；（2）{}|2x x ≥.【解析】【详解】试题分析：（1）(],1B =-∞-，所以{}{}|41,|1A B x x A B x x ⋂=-<≤-⋃=<；（2）根据231x -≥解得{}|2C x x ∴=≥，{}|41R C A x x x =≤-≥或，所以{}()|2R C A C x x ⋂=≥.试题解析：（1）{}{}=|1,|41B x x A x x ≤-=-<<Q ，{}{}|41,|1A B x x A B x x ∴⋂=-<≤-⋃=<（2）由4log (23)0x -≥得231x -≥，2x ∴≥，{}|2C x x ∴=≥.又{}{}|41,()|2R R C A x x x C A C x x =≤-≥∴⋂=≥或考点：指数不等式、定义域、对数不等式.19．（1）()cos f αα=（2）()f α= 【解析】【分析】 （1）利用三角函数的诱导公式即可求解.（2）利用诱导公式可得1sin 5α=，再利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 （1）由题意得()()()()()cos sin tan sin ()cos sin tan sin f ααααααααα---==---． （2）∵31cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 5α=． 又α为第二象限角，∴cos α==，∴()f α=． 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.20．（1）43-（2）-7 【解析】【分析】（1）利用平方的方法，列方程组，解方程组求得sin ,cos θθ的的值，进而求得tan θ的值. （2）利用同角三角函数的基本关系式将所求表达式化为只含tan θ的形式，由此求得表达式的值.【详解】（1）∵()1sin cos ,0,5θθθ+=∈π①， 则sin 0θ>. 平方可得112sin cos 25θθ+=，∴12sin cos 25θθ=-②， 由①②求得43sin ,cos 55θθ==-，∴sin 4tan cos 3θθθ==-.（2）()()()222cos sin 12sin cos cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ--=-+⋅-cos sin 1tan 7cos sin 1tan θθθθθθ--===-++ 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 21．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2- 【解析】【分析】（1）由最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到2A =，再由相邻两个交点之间的距离为2π 所以T π=，得到2ω=，又因为由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上，代入()()2sin 2f x x ϕ=+求解，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；利用整体思想，由222262k x k πππππ-≤+≤+来求单调增区间.（2）由,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用整体思想转化，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）由题意得，由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭，得2A =， 因为相邻两个交点之间的距离为2π 所以T π=，∴2ω=． 因为由点2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上， 所以42sin 23πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 所以4232k ππϕπ+=-+， k Z ∈所以1126k πϕπ=-+， 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2k =时，6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+， 得36k x k ππππ-≤≤+，∴函数()f x 的单调区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． （2）∵,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=，2x π=时，()f x 取得最小值-1， 故()f x 的值域为[]1,2-．【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求法及单调性怀最值的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.22．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>Q()()32793x x x x f k f ∴⋅>--+()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>- ∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．。

大庆铁人中学高一年级上学期期末考试数学试题命题人：杨会范 张丽莉 审题人：车卫东试卷说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。

第I 卷 选择题（共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1.已知集合{}22<+=x x x A ，1202xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=-≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B ⋂=( )A.()12--，B.()01，-C.(]12--，D.[)01，-2.函数()2ln f x x =( )A ．是偶函数且在(－∞，0)上单调递增；B ．是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；C ．是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增；D ．是奇函数且在(－∞，0)上单调递增； 3．已知α是锐角，31,sin ,cos ,43a b αα⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且//a b ，则α为( )A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75°4．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点()-3,4P ，则cos sin cos sin αααα+-等于 （ ）A.1-7 B. 3 C.-3 D. 175．已知向量(),1a λ=，()2,1b λ=+，若a b a b +=-，则实数λ的值为 ( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-6.设11113,2,1,,,,,1,2,32332α⎧⎫∈-----⎨⎬⎩⎭，则使()αx x f =为奇函数且在()+∞,0 上单调递减的α的值的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.47.若将函数sin 64y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，则所得图象的一个对称中心是（ ） A.,016π⎛⎫⎪⎝⎭ B.,09π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.,02π⎛⎫⎪⎝⎭8．设1.3lo g 7,2a b c ===，则 ( )A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<9．设对任意实数]1,1[-∈x ，不等式032<-+a ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( )A.0>aB.21>a C.0>a 或12-<a D.41>a 10．函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的一个最高点坐标为（2,2），相邻的对称轴与对称中心之间的距离为2，则函数()y f x =的单调增区间是 （ ）A.[]28,28k k k Z -++∈B. []24,24k k k Z ππ-++∈C.[]28,68k k k Z ++∈D. []24,64k k k Z ππ++∈11．已知函数()y f x =(x )R ∈满足()()x f x f =+2,且当(]1,1x ∈-时，()f x x =，函数()sin ,01,0x x g x x xπ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则函数h()()()x f x g x =-在区间[]5,5-上的零点的个数为（ ）A ． 8B ． 9C ．10D ．1112.已知ABC V 的外接圆的圆心为O，2,AB AC BC ===AO BC ⋅的值为 （ ）A.94 B. 94- C. 12 D. 12- 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二．填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的指定位置）13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t)，OB →＝(2，2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．14. 若21025c ba ==且0≠abc ，则=+bca c _______________. 15.70cos 20cos 10sin 2-的值是 .16．给出以下命题：①若a b a b +=+，则a 与b 同向共线； ②函数()()cos sin f x x =的最小正周期为π；③在ABC ∆中，3,4,5AC BC AB ===,则16AB BC ⋅=；④函数()tan 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； 其中正确命题的序号为___________________.三．解答题：（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题满分10分)已知1,2a b ==，a 与b 的夹角为.θ(1)若//a b ，求a b ⋅； (2)若a b -与a 垂直，求θ.18.(本小题满分12分)已知30,444πππβα<<<<, 335cos ,sin 45413ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,（1）求sin α的值； （2）求()sin αβ+的值.19. (本小题满分12分)已知函数()14226x x f x +=-⋅-，其中[]0,3x ∈.(1）求函数()f x 的最大值和最小值；(2）若实数a 满足()20xf x a -⋅≥恒成立，求a 的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数()sin() (0,f x x ωϕωπϕ=+>-<<的最小正周期为π是直线8π=x ．(1)求ω，ϕ；(2)利用“五点法”画出函数(x f y =在区间],0[π上的图象．21. (本小题满分12分)已知(sin ,cos ),(sin ,sin )m a x x n x b x ==u r r，其中,,a b x R ∈， 若()f x m n =u r r g ,满足26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的图象关于直线6x π=-对称. (1)求,a b 的值；(2)若对任意的[0,]2x π∈，都有2()log 2f x k +≤，求实数k 的取值范围.22. (本小题满分12分) 已知函数2()(1)f x x x x a =+-- （1）若1a =-，解方程()1f x =；（2）若函数()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a <且不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立，求a 的取值范围．大庆铁人中学高一年级上学期期末考试数学试题一．选择题1.C2.B3.D4.A5.D6.C7.D8.B9.B 10.A 11.C 12.D 二．填空题13. 5 14.2 15. ①②④三．解答题17. 解析： (1)∵a ∥b ，∴θ＝0°或180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝± 2. ……5分 (2)∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， 即|a |2－a ·b ＝1－2cos θ＝0， ∴cos θ＝22. 又0°≤θ≤180°，∴θ＝45°. ……5分18.（1）304424ππππαα<<∴-<-<4sin 45πα⎛⎫∴-=-⎪⎝⎭43sin sin 44525210ππαα⎛⎫∴=---=⋅+⋅=⎪⎝⎭ ……6分 （2）340sin 442445πππππααα⎛⎫<<∴-<-<∴-=- ⎪⎝⎭333120cos 444413ππππββπβ⎛⎫<<∴<+<∴+=- ⎪⎝⎭()3sin cos cos 244312455651351365πππαβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-⨯-+⨯=⎪⎝⎭ ……12分19.（1）令[]2,1,8x t t =∈246y t t ∴=--min max 486106432626y y ∴=--=-=--= ……6分（2）4426244262x x x x x xa a -⋅-≥⋅-⋅-∴≥即求44262x x x -⋅-的最小值；442662422x x xx x -⋅-=--单调递增，9a ∴≤- ……6分20.解：（1）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- ω=2 ………………4分（2）由知)432sin(π-=x y………………8分故函数()y f x =在[0,]π区间上图像是 ………………12分21.2(1)()sin sin cos (1cos 2)sin 222()2,68(0)()63(2)2,(2)()1cos 222sin(2)165[0,],2266602sin(2)13,(6f x m n a x b x x a bx x f a x f f b a b f x x x x x x x f πππππππππ==+=-+=+==-∴=-∴====-+=-+∈∴-≤-≤∴≤-+≤u r rg Q 由得（1）由（1），（2）可得由（1）得即[][]22max min 2)[0,3]()log 2[0,]22()log 2()[0,]22()2,2()1,2log 11111[,].4242x f x k f x k f x f x f x k k k ππ∈+≤--≤≤---=--=-∴-≤≤-≤≤∈Q 又在上恒成立，即在上恒成立，解得，即22. 【解析】（1）当1-=a 时，有⎩⎨⎧-<-≥-=1,11,12)(2x x x x f当1-≥x 时，1122=-x ，解得：1=x 或1-=x 当1-<x 时，1)(=x f 恒成立，∴方程的解集为1|{-≤x x 或}1=x ． ………………3分（2）⎩⎨⎧<-+≥++-=a x ax a ax a x a x x f ,)1(,)1(2)(2若)(x f 在R 上单调递增，则有………………7分（3）设)32()()(--=x x f x g ，则⎩⎨⎧<+--≥+++-=a x a x a ax a x a x x g 3)1(,3)3(2)(2即不等式0)(≥x g 对一切实数R x ∈恒成立，∴1<a ，∴当a x <时，)(x g 单调递减，其值域为),32(2∞++-a a ， ∴22)1(3222≥+-=+-a a a ，∴0)(≥x g 恒成立，当a x ≥时，∴1<a ，，得53≤≤-a ，∴1<a ，∴13<≤-a ，综上：13<≤-a ． ………………12分精品文档试卷。

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．集合，，，，则A．B．C．D．2．若，，则A．B．C．D．3．已知，则的值构成的集合是A．，，2， B．，C．，，0，2，D．，4．幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连结，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么A．0 B．1 C．D．25．已知，且，则的值为A．B．C．D．6．若，是夹角为的两个单位向量，则；的夹角为A．B．C．D．7．对于函数，在使恒成立的式子中，常数的最小值称为函数的“上界值”，则函数的“上界值”为A．2 B．C．1 D．8．设函数，则使得成立的的取值范围是A．B．，，C．D．，，9．如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为A．B．C．D．310．关于函数有下述四个结论：①是偶函数②在区间，单调递增③在，有4个零点④的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③11．已知是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）A．50 B．2 C．0 D．12．已知函数，则函数的零点个数是A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（共4道小题）13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是．14．已知，则．15．如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，，分别与交于，两点，用向量，表示向量，则．16．函数的图象与函数的图象的所有交点为，，，，，，则十．三、解答题17．已知函数．（1）若点在角的终边上，求，和的值；（2）若，求的最值以及取得最值时的值．18．已知全集，集合，或，，或．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．19．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调递减函数．（1）求函数的解析式；（2）讨论的奇偶性．20．函数的一段图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，且图象关于原点对称．（1）求的解析式并求其单调递增区间；（2）求实数的最小值，并写出此时的表达式；（3）在（2）的条件下，设，关于的函数在区间上的最小值为，求实数的取值范围．21．已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）若不等式对，恒成立，求实数的取值范围．（注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）22．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．（1）若函数是“型函数”且，求出满足条件的实数对；（2）已知函数，函数是“型函数’对应的实数对为，当，时，．若对任意，时，都存在，，使得，试求的取值范围．参考答案一、选择题（共12道小题）1．集合，，，，则A．B．C．D．【分析】由集合子集的定义去判断集合间的关系即可．解：若，，则，则，又，，，故选：．2．若，，则A．B．C．D．【分析】根据条件取，，，可排除，由函数的单调性判断和的大小．解：由，，取，，，可排除；，函数在上单调递减，当时，，故正确．故选：．3．已知，则的值构成的集合是A．，，2， B．，C．，，0，2，D．，【分析】按的奇偶性化简式子，可得的值构成的集合：，．解：当为偶数时，；为奇数时，．的值构成的集合是，．故选：．4．幂函数，当取不同的正数时，在区间，上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连结，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即有，那么A．0 B．1 C．D．2【分析】先根据题意结合图形确定、的坐标，然后分别代入，求得，；最后再求的值即得．解：，点，，所以，，，，分别代入，，，，．故选：．5．已知，且，则的值为A．B．C．D．【分析】将条件两边平方，确定，，，求出，即可得出结论．解：，①两边平方可得，，，，，，，②由①②可得，，．故选：．6．若，是夹角为的两个单位向量，则；的夹角为A．B．C．D．【分析】由条件可以得到，，然后进行数量积的运算便可求出，，从而根据向量夹角余弦的计算公式即可求出，这样便可得出向量的夹角．解：根据条件，，；，，；；的夹角为．故选：．7．对于函数，在使恒成立的式子中，常数的最小值称为函数的“上界值”，则函数的“上界值”为A．2 B．C．1 D．【分析】由，结合指数函数的性质即可求解的范围，然后结合恒成立问题与最值转化可求．解：，，，，，恒成立，故，即的最小值为1．故选：．8．设函数，则使得成立的的取值范围是A．B．，，C．D．，，【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，故，等价于，求出即可．解：函数，定义域为，为偶函数，当时，显然单调递增，故，等价于，由，，，故选：．9．如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为A．B．C．D．3【分析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出，，的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．解：如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，过点做轴，过点做轴，，，，，，，，，，，，，，，设，，，，，，当时，取得最小值为．故选：．10．关于函数有下述四个结论：①是偶函数②在区间，单调递增③在，有4个零点④的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解：则函数是偶函数，故①正确，当，时，，，则为减函数，故②错误，当时，，由得得或，由是偶函数，得在，上还有一个零点，即函数在，有3个零点，故③错误，当，时，取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：．11．已知是定义域为的奇函数，满足，若（1），则（1）（2）（3）A．50 B．2 C．0 D．【分析】由题意可得，进而根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，分析可得（1）（2）（3）（4）的值，结合函数的周期性分析可得答案．解：根据题意，是定义域为的奇函数，则，且；又由即有，则，进而得到，为周期为4的函数，若（1），可得（3）（1），（2），（4），则（1）（2）（3）（4），则（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）；故选：．12．已知函数，则函数的零点个数是A．3 B．4 C．5 D．6【分析】换元，求函数的零点可得，分别作出和的图象得两个函数的交点的横坐标，再由图象可得交点个数，即函数的零点个数．【解答】解令，，则可得，即，做和图象，如图所示：由图象可知两个函数有两个交点，横坐标分别为，，则可得，，可得时有两根，，也有两根，所以的零点共有4个，故选：．二、填空题（共4道小题）13．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数．当一条鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是．【分析】将数据代入函数进行计算．解：将代入可得，故答案为：．14．已知，则0 ．【分析】观察知，，利用互余形诱导公式即可求得答案．解：，，．故答案为：0．15．如图，在平行四边形中，点，分别是，边的中点，，分别与交于，两点，用向量，表示向量，则．【分析】根据条件，可设，而根据，，三点共线即可得出，从而得出；而同理即可得出，从而得出．解：设，且，，三点共线，，解得，，设，且，，三点共线，，解得，，．故答案为：．16．函数的图象与函数的图象的所有交点为，，，，，，则十．【分析】作出两个函数的图象，判断两个函数的对称性，利用两个函数的对称性进行求值即可．解：作出两个函数和的图象如图，则两个函数都关于点对称，在上，两个函数共有4个交点，从左到右依次为，，，，，，，，且满足，，，，即，十，则十（8），故答案为：三、解答题（共70分）17．已知函数．（1）若点在角的终边上，求，和的值；（2）若，求的最值以及取得最值时的值．【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义求得，的值，进而可求的值．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得的值域．解：（1）点在角的终边上，，，，．（2），，，，当即时，取得最小值，当，即时，取得最大值2．18．已知全集，集合，或，，或．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【分析】（1）当时，确定，可求；（2）当时，可得．分，两类得对应不等式组，求解取并集即可．解：因为，或，所以，（1）当时，，所以；（2）当时，可得．当时，，解得，满足题意；当时，应满足或解得或；即或．综上，实数的取值范围．19．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调递减函数．（1）求函数的解析式；（2）讨论的奇偶性．【分析】（1）由幂函数为上递减，推知，解得因为为整数故，1或2，又通过函数为偶函数，推知为偶数，进而推知为奇数，进而推知只能是1，把代入函数，即可得到的解析式．（2）把的解析式代入，得到的解析式．然后分别讨论且时，且时，且时，时，函数的奇偶性．解：（1），由题意知为奇数又且在上递减，，（2）是偶函数，是奇函数①且时，为非奇非偶函数；②且时，为奇函数；③且时，为偶函数；④时，为奇且偶函数20．函数的一段图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象，且图象关于原点对称．（1）求的解析式并求其单调递增区间；（2）求实数的最小值，并写出此时的表达式；（3）在（2）的条件下，设，关于的函数在区间上的最小值为，求实数的取值范围．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性、正弦函数的最小值，求得实数的最小值，并得到此时的表达式．（3）由题意利用正弦函数的周期性，可得，由此求得的范围．解：（1）由函数的一段图象可知，，，．，根据五点法作图可得，，．令，求得，可得的增区间为，，，（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象的图象关于原点对称，，的最小值为，故．（3），函数在区间上的最小值为，，，的取值范围是，．21．已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）若不等式对，恒成立，求实数的取值范围．（注：如果求解过程中涉及复合函数单调性，可直接用结论，不需证明）【分析】（1）依题意，，可求得；（2）由（1）知，不等式恒成立，即为恒成立，构造函数，可求得其最小值，从而可得实数的取值范围．解：（1）函数是偶函数，，，，．（2）由（1）知，，不等式，即为，令，，下面求的最小值则，函数在，单调递减，，的取值范围是，．22．对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．（1）若函数是“型函数”且，求出满足条件的实数对；（2）已知函数，函数是“型函数’对应的实数对为，当，时，．若对任意，时，都存在，，使得，试求的取值范围．【分析】（1）根据“型函数的定义建立方程关系，结合条件建立方程组进行求解即可．（2）对任意，时，都存在，，使得，等价为的值域是值域的子集，结合不等式恒成立问题利用参数分离法进行转化求解即可．解：（1）由题意若函数是“型函数”则．即．代入得，即得，，所求实数对为．（2）由题意得：的值域是值域的子集，易知在，内的值域为，，只需使当，时，恒成立即可，，即，而当，时，，，故由题意得，要使当，时，都有，只需使当，时，恒成立即可，即在，上恒成立，若，显然不等式在，成立，若，则可将不等式转化为，显然当时，不等式成立，令，，则在，上单调递增，则的最小值为，此时，综上，综上所述，所求的取值范围是，．。