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数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
无界区域的定解问题前言：对于定义在整个空间或半空间的偏微分方程的定解问题，原则上可以用分离变量法求解，另外还有一些专门的方法来解决这类问题，本章就讨论这些解法。
含两个自变量x 和y 的二阶线性偏微分方程的一般形式为：),(22122222122211y x f cu y ub x u b yu a y x u a x u a =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂其中11a ，12a ，22a ，1b ，2b 和c 都只是x 和y 的函数。
根据判别式2211212a a a -=∆符号的不同可如下来划分偏微分方程的类型⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆=-=∆>-=∆椭圆型，抛物型，双曲型，000221121222112122211212a a a a a a a a a 定解问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∞<<-∞=∂∂==∂∂-∂∂==)0,0,(,)(),(),(),(00022222a t x x t x u t x t x u x u a t u t t ψϕ由于111=a ，012=a ，222a a -=，则0)(222211212>=-->-=∆a a a a a 。
令at x t x +=),(ζ，at x t x -=),(η，),(),(ηζv t x u =，可化为：02=∂∂∂ηζv通解为：)()(),(21ηζηζf f v +=，其中)(1ζf ，)(2ηf 为任意函数。
通解为：)()(),(21at x f at x f t x u -++= 代入初始条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-⇒='-'⇒=∂∂=+⇒=⎰==)()()(1)()()()()()(),()()()()(),(0201212102100x f x f d a x f x f x x f a x f a x t x u tx x f x f x t x u x x t t ζζψψψϕϕ由上式可推出：⎪⎩⎪⎨⎧---=-++=⎰⎰)]()([21)(21)(21)()]()([21)(21)(21)(020*******00x f x f d a x x f x f x f d a x x f x x x x ζζψϕζζψϕ 特解： ⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ζζψϕϕ)(21)]()([21),(达朗贝尔公式的物理意义： 初位移)(x ϕ分成两半，各为2)(x ϕ，经过时间t 分别向左移动at 变成2)(at x +ϕ，向右移动at 变成2)(at x -ϕ，移动的速度均为a ，弦的总位移),(t x u 为2)(at x +ϕ和2)(at x -ϕ的叠加。
第15章综合习题
用傅氏变换法求解下列15.1;15.2;15.3题；用拉氏变换法求解下列 15.4;15.5;15.6题
15.1 二维波动，初始速度为零，初始位移在圆1ρ=以内为1，在圆外为零，试求 0|.u ρ=
【答案01, (1/)|11/)t a u t a ρ=<⎧⎪=⎨>⎪⎩
】 15．2 半无界杆，杆端0x =有谐变热流sin B t ω进入，求长时间以后的杆上温度分布(,)u x t .
[答案
π)4t ω--] 15.3 研究半无限长细杆导热问题. 杆端0x =温度保持为零.初始温度分布为 (1)x B e λ-- 【答案
2222[2a t x x B e e erfc e erfc Berf λλλ--- 15.4 求解一维无界空间中的扩散问题即 200,|()t xx t u a u u x ϕ=-==
【答案
22()4(,)(]d x a t u x t ξϕξξ--+∞-∞=⎰】 15.5 求解一维无界空间的有源输运问题 20(,),|0t xx t u a u f x t u =-==
【 答案
22()4()(,)d [(,)]d x t a t u x t f ξττξξττ--+∞--∞=⎰⎰】
15.6 求解无界弦的受迫振动 200(,),|(),|()tt xx t t t u a u f x t u x u x ϕψ==-===
【答案 ()0()
111[()()]()d d (,)d 222x at t x a t x at x a t x at x at f a a ττϕϕψξξτξτξ++----++-++⎰⎰⎰】 计算机仿真编程实践
15.7 利用计算机仿真方法(Matlab 中的傅里叶变换法)对习题15.1进行求解.
【解】计算机仿真图形显示
% Assume a=2
%仿真求解由读者思考，下面仅仅给出仿真显示
a=12.0
t=0.1:0.01:2
if t>1.0/a
u=1-a*t./sqrt((a*t).^2-1);
end
plot(t,u)
图形：
15. 8利用计算机仿真(Matlab等)：拉普拉氏变换法对习题15.6进行求解. 【解】计算机仿真程序
% 任意假设 f(x,t)=A=2.56; fai(x)=x;pusi(x)=B=6.7
%仿真求解由读者思考，下面仅仅给出仿真显示
%可以推出此情况下的解为u(x,t)=x+B*t+A/2*t^2，仿真显示为
A=2.56;B=6.7;
[x,t]=meshgrid([0:0.1:12]);
u=x+B*t+A/2*t.^2;
mesh(u)。
