下载文档原格式
分枝定界 python分枝定界法简介分枝定界法是一种求解组合优化问题的算法，其核心思想是将问题分解成一系列子问题，并对每个子问题使用上界和下界进行限制。
这种分而治之的方法允许算法高效地搜索解决方案空间，并最终确定最优解。
算法步骤1. 初始化：从问题的初始状态开始，并计算该状态的成本下界。
2. 分支：将当前状态分解成多个子状态，每个子状态代表可行的解决方案。
3. 定界：对于每个子状态，计算其成本上界和下界。
4. 剪枝：如果一个子状态的成本上界低于当前最佳解的成本下界，则可以将其剪枝，因为它不可能产生更优解。
5. 递归：对于未被剪枝的子状态，递归地应用分枝定界法。
6. 回溯：如果所有子状态都被剪枝或探索完毕，则回溯到父状态并继续搜索。
优势分枝定界法具有以下优势：保证最优解：算法保证找到最优解，只要问题是整数规划问题。
高效：通过使用上界和下界进行剪枝，算法避免了对整个解决方案空间的穷举搜索。
适用于各种问题：分枝定界法可以用于求解各种组合优化问题，包括旅行商问题、背包问题和装箱问题。
劣势分枝定界法也存在一些劣势：计算量大：对于大规模问题，算法可能需要大量的计算时间。
存储需求：算法需要存储大量信息，包括子问题、上界和下界。
不易并行化：分枝定界法通常不容易并行化，这限制了其在大规模问题上的可扩展性。
改进为了提高分枝定界法的效率，已经提出了多种改进技术：有效的启发式：使用启发式方法来生成良好的初始解，可以减少搜索空间。
松弛：使用线性规划或其他松弛技术来计算更紧的下界。
基于约束的传播：传播约束之间的逻辑关系，以减少剪枝所需的计算。
可变邻域搜索：在当前解周围搜索，以逃离局部最优解。
总体而言，分枝定界法是一种功能强大的算法，可用于求解各种组合优化问题。
通过利用上界和下界进行剪枝，该算法可以高效地搜索解决方案空间，并保证找到最优解。
然而，对于大规模问题，计算量和存储需求可能成为限制因素。
改进技术有助于克服这些限制，并提高算法的效率。
分支定界法概述（1）分枝定界-简介分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。
每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。
当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。
在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。
从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。
分枝定界-方法有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）：1) 先进先出（F I F O）即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活节点表的性质与队列相同。
2) 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。
如果查找一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点。
分枝定界-例子例5-1 【迷宫老鼠】考察图16-3a 给出的迷宫老鼠例子和图1 6 - 1的解空间结构。
使用F I F O分枝定界，初始时取（1，1）作为E-节点且活动队列为空。
迷宫的位置（1 , 1）被置为1，以免再次返回到这个位置。
（1，1）被扩充，它的相邻节点（1，2）和（2，1）加入到队列中（即活节点表）。
为避免再次回到这两个位置，将位置（1，2）和（2，1）置为1。
此时迷宫如图1 7 - 1 a所示，E-节点（1，1）被删除。
节点（1，2）从队列中移出并被扩充。
检查它的三个相邻节点（见图1 6 - 1的解空间），只有（1，3）是可行的移动（剩余的两个节点是障碍节点），将其加入队列，并把相应的迷宫位置置为1，所得到的迷宫状态如图17-1b 所示。
节点（1，2）被删除，而下一个E-节点（2，1）将会被取出，当此节点被展开时，节点（3，1）被加入队列中，节点（3，1）被置为1，节点（2，1）被删除，所得到的迷宫如图17-1c 所示。
分枝定界法的步骤
分枝定界法是一种求解组合优化问题的方法，其步骤如下：
1. 确定问题的目标函数以及约束条件：首先需要明确问题的目标函数是什么，以及有哪些约束条件需要满足。
2. 构造初始问题：根据问题的要求，构造一个初始问题，并计算初始问题的目标函数值。
3. 分枝：在初始问题的基础上，对其中的某个变量（或几个变量）进行分枝操作。
将问题划分为多个子问题，每个子问题代表了某个变量取值的一个分支。
4. 计算下界：对于每个子问题，计算出一个下界值。
下界值是一个目标函数值的估计，它不会高于目标函数的最小值。
5. 判断分支：根据计算出的下界值，选择一个最有希望的子问题进行分支，即选择一个下界值最小的子问题。
6. 回溯：从步骤5选择的分支开始，回溯到父问题，跳过部分分支。
7. 重复：重复步骤3到步骤6，直到找到一个满足问题要求的解，或者找到一个可行解的上界值。
8. 定解：通过进一步确定上界值，并进行剪枝操作，选择最优解。
9. 输出：输出最优解及其对应的目标函数值。
需要注意的是，分枝定界法的关键在于如何计算下界值和进行剪枝操作，以减少问题的搜索空间。
常用的技巧有线性规划松弛、最小生成树、割集等。
分支定界法原理简介分支定界法是一种广义搜索算法，人工使用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特点，这种算法十分适合计算机进行。
分支定界法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。
基本思想：1. 松弛模型的最优解要优于其相应的整数规划的解由于松弛模型可行解的区域（多边形）包含了对应的整数规划的可行解的集合（多边形内的整数点），因而松弛模型的解要优于整数规划的解。
这就是说，如果问题是求最大值的，则松弛模型最优解对应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是求最小值的，则松弛模型的最优解对应的目标函数值必小于或等于整数规划最优解对应的目标函数值。
由此可以推出：2. 松弛模型的最优解如果是整数解，则必然也是整数规划的最优解。
3. 松弛模型的最优解如果不是整数解，则如果问题是求最大值的，松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个上界；如果问题是求最小值的，则松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个下界。
我们用例子来说明用分支定界法求解整数规划的步骤。
例 求下面整数规划的最优解1212121212max 4090s.t. 975672070 ,0x ,Z x x x x x x x x x =++≤+≤≥为整数解 从上述各约束条件可见，是一个可行解，对应的松弛模型目标函数值。
本问题是一个求最大值的问题，因而整数规划最优解的目标函数的下界可以取为0，即取整数规划模型最优值的下界(0,0)0Z =0Z =。
先考虑此整数规划问题的线性松弛模型0：其解为 松弛模型0 0123564.811.82Z x x ===由于松弛模型解的目标函数值是整数规划模型最优值的一个上界，可以取此处的0Z 为整数规划模型最优值的一个上界356Z =。
由于该松弛模型解不是整数解，分原问题为和两个子模型：子模型1和子模型2。
14x ≤15x ≥子模型1子模型2 14≤x 15≥x1123494.002.10Z x x ===2123495.001.57Z x x ===子模型1的形式： 121212112max 4090s.t. 975672070 4x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≤≥子模型2的形式：121212112max 4090s.t. 975672070 5x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≥≥所求整数规划模型的最优值不会超过这两个子模型的最优值中大的那个，即349。
分支定界(branchand bound)算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：
1．产生当前扩展结点的所有孩子结点；
2．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；
3．将其余的孩子结点加入活结点表；
4．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：
1．FIFO(First In First Out)分支定界算法：
按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。
2．最小耗费或最大收益分支定界算法：
在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。
如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。
又称分支定界搜索法。
过程系统综合的一类方法。
该法是将原始问题分解，产生一组子问题。
分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。
如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。
用该法寻求整数最优解的效率很高。
将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。
分支定界法的思想是：
首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。
这时，我们就必须采用搜索算法来解决问题。
搜索算法按搜索的方式分有两类，一类是深度优先搜索，一类是广度优先搜索。
我们知道，深度搜索编程简单，程序简洁易懂，空间需求也比较低，但是这种方法的时间复杂度往往是指数级的，倘若不加优化，其时间效率简直无法忍受；而广度优先搜索虽然时间复杂度比前者低一些，但其庞大的空间需求量又往往让人望而却步。
所以，对程序进行优化，就成为搜索算法编程中最关键的一环。
本文所要讨论的便是搜索算法中优化程序的一种基本方法棗“剪枝”。
什么是剪枝
相信刚开始接触搜索算法的人，都做过类似迷宫这样的题目吧。
我们在“走迷宫”的时候，一般回溯法思路是这样的：
1、这个方向有路可走，我没走过
2、往这个方向前进
3、是死胡同，往回走，回到上一个路口
4、重复第一步，直到找着出口
这样的思路很好理解，编程起来也比较容易。
但是当迷宫的规模很大时，回溯法的缺点便暴露无遗：
搜索耗时极巨，无法忍受。
我们可不可以在向某个方向前进时，先一步判断出这样走会不会走到死胡同里呢？这样一来，搜索的时间不就可以减少了吗？
答案是：
可以的。
剪枝的概念，其实就跟走迷宫避开死胡同差不多。
若我们把搜索的过程看成是对一棵树的遍历，那么剪枝顾名思义，就是将树中的一些“死胡同”，不能到达我们需要的解的枝条“剪”掉，以减少搜索的时间。
搜索算法，绝大部分需要用到剪枝。
然而，不是所有的枝条都可以剪掉，这就需要通过设计出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。
在设计判断方法的时候，需要遵循一定的原则。
剪枝的原则
1、正确性
正如上文所述，枝条不是爱剪就能剪的。
如果随便剪枝，把带有最优解的那一分支也剪掉了的话，剪枝也就失去了意义。
所以，剪枝的前提是一定要保证不丢失正确的结果。
2、准确性
在保证了正确性的基础上，我们应该根据具体问题具体分析，采用合适的判断手段，使不包含最优解的枝条尽可能多的被剪去，以达到程序“最优化”的目的。
可以说，剪枝的准确性，是衡量一个优化算法好坏的标准。
3、高效性设计优化程序的根本目的，是要减少搜索的次数，使程序运行的时间减少。
但为了使搜索次数尽可能的减少，我们又必须花工夫设计出一个准
确性较高的优化算法，而当算法的准确性升高，其判断的次数必定增多，从而又导致耗时的增多，这便引出了矛盾。
因此，如何在优化与效率之间寻找一个平衡点，使得程序的时间复杂度尽可能降低，同样是非常重要的。
倘若一个剪枝的判断效果非常好，但是它却需要耗费大量的时间来判断、比较，结果整个程序运行起来也跟没有优化过的没什么区别，这样就太得不偿失了。
综上所述，我们可以把剪枝优化的主要原则归结为六个字：
正确、准确、高效。
剪枝算法按照其判断思路可大致分成两类：
可行性剪枝及最优性剪枝。
对于分支定界算法,上界是已求得的可行解的目标函数值中的最小者,分为初始上界和在探测过程中产生的动态上界.分支定界法在求最优解的迭代过程中,若某结点估计的下界不小于已知的上界,则不必从该节点往下继续搜索.因此若能产生一个较好的上界,可以消除许多不必要的列举计算.
分支定界算法的实现
在描述分支定界算法步骤之前,先对算法涉及到的有关术语进行定义如下:
p ——分支层数;
C*——当前最优目标函数值;
P*——相应于C*的工件顺序;
P1——当前节点(现在需要进行分支的节点)所对应的部分序列.
分支定界算法的实施步骤如下:
步骤1初始化:
设置p = 0, P 1 = Á (空集) , C* = ∞.设当前节点总是与P 1相对应.此时,当前节点即根节点.
步骤2计算从当前节点分支得到的各个子节点的下界,并按下界值由小到大对各子节点排序.令p ←p + 1.
步骤3如果当前节点被探测尽,令p ←p - 1,转步骤6.否则,设当前层(第p 层)各活动子节点中具有最小下界值的节点为Q ,则在P 1末尾加入Q 对应第p 位置上的工件,此时的当前节点转为Q ,转步骤4.
步骤4因为当前节点是同层同父节点具有最小下界值的节点,如果当前节点下界值大于或等于C*,则不必再搜索当前节点及其同层同父的活动节点,这样,当前节点的上一层节点(父节点)被探测尽, p ←p- 1,去掉P 1中的最后一个工件,转步骤6.否则,转步骤5.步骤5如果p = n,则得到一个较优顺序.令P* = P 1, C*是当前节点的下界值, p ←p- 1,去掉P 1中最后一个工件,转步骤6;否则转步骤2.
步骤6若p ≠ 0,去掉P 1中最后一个工件,转步骤3;否则,算法停止. C*是最优的目标函数值, P*是最优顺序.。
