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运筹学3.4 分枝定界法

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运筹学第三节分支定界法

运筹学第三节分支定界法

Z=4
整理课件
10
运筹学教程
不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
确定整数解目标函数值上下界并不断更新 ，“剪除”目 标函数值小于下界的分支的过程，称为定界（Bound）。
整理课件
4
运筹学教程
整数规划问题的求解方法 分支定界法图解整数规划
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
B1 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≥2
X1 ， X2 ≥ 0
B2 Max Z = X1 + X2
14X1 + 9X2 ≤ 51
- 6X1 + 3X2 ≤ 1
X1
≤1
X1 ， X2 ≥ 0
6
运筹学教程
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
0, B采用原加工方式 y1 1, B不采用原加工方 多余式 的约束
0, B采用新加工方式 y2 1, B不采用新加工方式
当y1=1,y2=0;采用
st.00..23xx11
0.5x2 0.4x2
150My1 120My2
新工艺,(2)式成立;
y1 y2 1 整理课件
15
分枝定界法

分枝定界法



4
x1
x2 x1
16.5 4
x1 0, x2 0
结论1 ：（IP）的最优解一定在某个子问题中
2 ：子问题的可行域 父问题的可行域 子问题的最优解 ≤ 父问题的最优值
3 ：子问题中的整数解都是（IP）的可行解
二: 定界,以每个后继问题为一分枝标明求解结 果,在解的结果中,找出最优目标函数值最大者作 为新的上界.从已符合整数条件的各分支中,找出 目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界 为0.
x1 x2 x3 x4 x5 解
检 0 0 -20/3 0 -50/3 Z-440/3
x2 0
x1 1 x4 0
1 1/3 0
00
0
0 -1/3 1
-2/3 17/6 13 -10/3 5/3
L1最优解：x1 3，x2 17 6 , x3 0
x4

5 3
,
x5

0,
最优值：z1

440 3
求解子问题L3 :
x1 x2 x3
检 0 0 -20/3
x2 0 1 1/3 x1 1 0 0 x4 0 0 -1/3
x6 0 1 0
x4 x5
x6
0 -50/3 0
00 1
解 Z-440/3 17/6 3 5/3
2
最优解：
xx14

35，/ 2x，2 x52, x03,
11 4，x2 0，x4
3, 52，
z3 130 得下界
x5 14 , x6 0
z4

285 2
z3
L5
:x1 x3
2，x2 0，x4
4.3.1 分枝定界法

4.3.1 分枝定界法


四、分枝定界法求解实例
LP0 ： 1 7 5 x1 3 , x 2 2 , Z 3 2 9 9 9
上界： 32 下界： 0 5 9
x1≤3
L P1 ： 6 2 , Z 32 7 7
x1 ≥4
LP 2 ： x 1 4 , x 2 1, Z 2 9
上界： 32 下界： 29 2 7
z 0, z 35 .5
x2≥7 无可行解
z 0, z 35 .3
x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35 分枝过程图示
z 35, z 35
OR:SM
x* (5,5), z* 35
例2：
MaxZ 6 x1 5 x 2 2 x1 x 2 9 5 x 7 x 35 1 2 s .t . x1 , x 2 0 x1 , x 2 取整数
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第三节 （I）分枝定界法
1.分枝定界法的创立者 2.分枝定界法求解依据 3. 分枝定界法求解步骤 4.分枝定界法求解实例 5.分枝定界法求解小结 6. 算法应用注意事项
2
OR:SM
一、分枝定界法的创立者
理查德·卡普（Richard Karp）教授1935年1月3日生 于波士顿，从小时起就兴趣广泛，聪明过人。在哈 佛大学时他文理兼修， 1955 年先获得文学学士学位 ，第二年又获得理科硕士学位。之后他进入哈佛大 学的计算实验室攻读博士，于 1959 年取得应用数学 博士学位。现任美国加州大学伯克利分校计算机科 学讲座教授，美国科学院、美国工程院、美国艺术 与科学院、欧洲科学院院士。因其在计算机科学领 域的杰出贡献曾获图灵奖、冯诺依曼奖、美国国家 科学勋章、哈佛大学百年奖章等奖项. 卡普和他的同事海尔特（M．Held）20世纪60年代，经过反复研究，提出 了一种称为“分枝限界法”（branch—and—bound method）的新方法。该方 法的要点是：对解集合反复进行分枝，每次分枝时，都对所得的子集计算最 优解的界。如果对某个子集求得的界不优于已知的允许解，则抛弃此子集不 再进行分枝；否则继续分枝以探索更好的解，直到所得的子集仅含有一个解 时为止。分枝限界法就其实质而言是一种求解策略而非算法，具体算法要根 据实际问题的特点去实现。但由于这种方法在求解许多问题中都非常实用， 因此常常被直呼为“分枝限界算法”。
分枝定界 python

分枝定界 python

分枝定界 python分枝定界法简介分枝定界法是一种求解组合优化问题的算法，其核心思想是将问题分解成一系列子问题，并对每个子问题使用上界和下界进行限制。

这种分而治之的方法允许算法高效地搜索解决方案空间，并最终确定最优解。

算法步骤1. 初始化：从问题的初始状态开始，并计算该状态的成本下界。

2. 分支：将当前状态分解成多个子状态，每个子状态代表可行的解决方案。

3. 定界：对于每个子状态，计算其成本上界和下界。

4. 剪枝：如果一个子状态的成本上界低于当前最佳解的成本下界，则可以将其剪枝，因为它不可能产生更优解。

5. 递归：对于未被剪枝的子状态，递归地应用分枝定界法。

6. 回溯：如果所有子状态都被剪枝或探索完毕，则回溯到父状态并继续搜索。

优势分枝定界法具有以下优势：保证最优解：算法保证找到最优解，只要问题是整数规划问题。

高效：通过使用上界和下界进行剪枝，算法避免了对整个解决方案空间的穷举搜索。

适用于各种问题：分枝定界法可以用于求解各种组合优化问题，包括旅行商问题、背包问题和装箱问题。

劣势分枝定界法也存在一些劣势：计算量大：对于大规模问题，算法可能需要大量的计算时间。

存储需求：算法需要存储大量信息，包括子问题、上界和下界。

不易并行化：分枝定界法通常不容易并行化，这限制了其在大规模问题上的可扩展性。

改进为了提高分枝定界法的效率，已经提出了多种改进技术：有效的启发式：使用启发式方法来生成良好的初始解，可以减少搜索空间。

松弛：使用线性规划或其他松弛技术来计算更紧的下界。

基于约束的传播：传播约束之间的逻辑关系，以减少剪枝所需的计算。

可变邻域搜索：在当前解周围搜索，以逃离局部最优解。

总体而言，分枝定界法是一种功能强大的算法，可用于求解各种组合优化问题。

通过利用上界和下界进行剪枝，该算法可以高效地搜索解决方案空间，并保证找到最优解。

然而，对于大规模问题，计算量和存储需求可能成为限制因素。

改进技术有助于克服这些限制，并提高算法的效率。

运筹学_分支定界法

运筹学_分支定界法


⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且 为 整 数 x1 , x 2 0 且 为 整 数
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
分枝定界法

分枝定界法

第8页/共34页
束——缩小可行域;将原整数规划问题分枝——分为两个子 规划,再解子规划的伴随规划……通过求解一系列子规划的 伴随规划及不断地定界 .最后得到原整数规划问题的整数最 优解 . 下面结合一个极大化例题来介绍分枝定界法的主要思路 .
例2 某公司计划建筑两种类型的宿舍.甲种每幢占地0.25 ×103m2, 乙种每幢地0.4×103m2.该公司拥有土地3×103m2. 计划甲种宿舍不超过 8 幢,乙种宿舍不超过4幢.甲种宿舍每 幢利润为10万元，乙种宿舍利润为每幢20万元.问该公司应
x2 3 x1, x2 0
问题 B4
max f 20 x1 10 x2
5x1 8x2 60
x1 8
s.t
x2 4 x1 6
x2 4 x1, x2 0
它们的可行域分别为 K3, K4 ( ). 见图3。
第21页/共34页
x2
因为 K4 ，问题 B4
4
无可行解，此问题已
3
作出问题 A1, 的A2伴随规划 B则1, 问B2题, 的可B1行, B2, 域为 K1, K见2图, 2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两
个分枝问题称为"一对分枝".
第15页/共34页
x2
4
x2
3
2 1
O
246
8 x1
O
12 4
6
8
x1
(a)
(b)
图2 ( a )
4. 分别求解一对分枝
在一般情况下,对某个分枝问题(伴随规划)求解时,可能出现 以下几种可能:
x1, x2 0, 整数
（1）
第3页/共34页
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
运筹学课件第三节分支定界法

运筹学课件第三节分支定界法

算法改进
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
THANKS
感谢观看
运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
分支定界法

分支定界法


第三节 分枝定界法
• 分枝定界法基本思想 • 分枝定界法计算步骤
1. 分枝定界法基本思想
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数 最优值比界好
最优解为非整 数最优值比界好
分 枝 边界
分枝
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
• 分枝的方法 min c x
Ax b s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr

br

x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
• 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
• 定界 1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有 最好解
整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分 支其中无最优解
非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分 支
非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删 除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx例((xPP2))(x231.25.,(1323) ,(52.Px))1z(P1解) (4xP答(x)P1)3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 0 T 2T 0 3 12 1 6 2 2 T 2 4
2. 分枝定界法计算步骤-例题
• 例3.3.1
minZ (x1 x2 )
运筹学 第三节 分支定界法

运筹学 第三节 分支定界法


的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原
线性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问
题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，
继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过
程称为“分支（Branch）”。
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每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于 或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的 最大值作为新的上界。
意图），并设最优解位于C。如
果这个最优解中所有的变量都
是整数，则已经得到整数规划
的最优解。如果其中某一个变 量Xr不是整数，则在可行域中 X2
除去一块包含这个最优解但不 E
包含任何整数解的区域
DC
Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr
的整数部分），线性规划的可
行域被划分成不相交的两部分，
分别以这两部分区域作为可行
Z=4
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不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
X1 ，
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说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标函 数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。
3.2分枝定界法

3.2分枝定界法


L 3 : x = 3，x = 2, 1 2 L 4 x1 = 11 4，x2 = 3, : x3 = 5 / 2，x4 = 5 / 2， x3 = 0，x4 = 5 ， x5 = 0, x6 = 0 2 z 3 = 130 得下界 x5 = 1 , x 6 = 0 4 z 4 = 285 ≥ z 3 2
x6
0 0 0 0
1
解 Z-440/3 17/6 3 5/3 -1/6
解 Z-440/3 17/6 3 5/3
x2 x1 x4
最优解： x1 = 11 ，x2 = 3, x3 = 0， 4 5 ，x = 1 , x = 0 x4 = 2 5 4 6 最优值：z 3 = 285 2
x3
-15 0 1/2 -2 -1/2
分枝定界法计算过程：
讨论松弛问题 L 0 : 1、 L0无最优解， 则(IP )无最优解 结束
上界
2、最优解 X *0 = ( x *01 ， x *02 , , x * on ), 最优值 z 0 (1) X *0 为整数解 ，则X *0 为( IP)的最优解 结束 ( 2 ) X * 0 中至少有一个是分数，设x *01 是分数 ：分枝
混合型
L 0 : x1 = 3.5，x 2 = 2.5, x3 = 0，x 4 = 0, z 0 = 155
松弛问题 L 0 ； max z = 30 x 1 + 20 x 2 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 14 . 5 s .t 4 x 1 + x 2 + x 4 = 16 . 5 x1 , x 2 , x 3 , x 3 ≥ 0 L0的最优单纯型表：
剪枝
L6 :
求解子问题 L1 :
分枝定界法

分枝定界法


§3 分枝定界法 （2）
x2 10 1)不受整数限制，作为 9 8 普通线性规划求解，可 得出最优解为：x1=10/3， 7 6 x2=4/3，z=26/3（ 见 图 5 2-1）。 4 3 该解示如图2-4中的节 2 点①。 1
[解]
2x1+x2=8 最优解 x1+2x2=6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图2-1 x1
x1+2x2≥6
x1≤3 x2≥2 x1≥0，全取整。 其图解法见图2-5，最优解为x1=2，x2=2，z=10。
§3 分枝定界法 （9）
x1≤3 1 z =26/3 x1=10/3 x1≥4 x2=4/3 图2-4
2
z =9 x1=3 x2=3/2 3 不可行
x2
8 7 6 5 4 3 x2=2
目标函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1 图2-5
§3 分枝定界法 （10）
从对求解[例2-5]的过程，可归纳出求解整数规划的分枝 定界法有下述特点： (i) 既可求解全整数规划，亦可求解混合整数规划。 (ii)求解每个子集的最优整数解，都是首先放弃整数约束， 用线性规划解法求出无约束时的最优解，此时的目标函 数值即为该子集所有可行解的目标下界（对于求极小值 的规划而言）。
§3 分枝定界法 （3）
2）因为x1、x2当前均为非整数，故不满足整数要求，任 选1个进取分枝。设选x1进行分枝，把可行集分成2个子 集： x1≤[10/3]=3及x1≥[10/3]+1=4 3)x1≤3时 目标函数 min z=x1+4x2 约束条件 2x1+x2≤8
x1+2x2≥6
x1≤3 x1，x2≥0且为整数。
(iii)如果子集的非整数最优解的下界超过迄今已得到的最 好可行整数解目标值，或者子集无解，则这个子集将被 剪掉，又称剪枝。

运筹学-第三章-整数规划


于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。

分支定界法

分支定界法分支定界法，顾名思义，就是按照定好的界进行分支。

这里说的分支意思是“剪枝”。

剪的枝是问题解空间树的枝。

所谓解空间树，即此问题所有解和中间解形成的树型结构，是有序的。

常有排列树和子集树之分，举个例子，n个物品的0-1背包问题的解空间树就是子集树(每个物品都可能为0或1)，而最短路径问题的解空间树是一颗排列树。

分支定界法一般有两种实现形式：1.优先队列法2.FIFO队列法。

这与分支定界的思想无太多本质联系，只是前者在一般情况下能更快的求得问题解。

分支定界法要对问题的解空间树进行“剪枝”操作以减少对解空间树的搜索。

那么问题是，如何“剪枝”？这就要回答如何定界的问题。

在分支定界法中，“界”的作用就是用来阻止对不可行分支的搜索的。

当解空间树很深时（叶子节点为解），如果能在前面几层就预先的知道了“此路不通”或者“此路不是最优”而停止此路的继续，这样能大幅度的提高算法效率。

如何定界要放入具体问题中考虑，一般可以以“理论最大最小”这个概念来求界。

以0-1背包问题为例，设所有物品预先已经按照单位价值量递减排列。

在解空间树的第i层（此时正在考虑第i个物品是否应该被放入的时刻），设左子树为放入i物品，右子树为不放i物品。

那么在确定左子树的上界的时候有：界=当前价值+i的价值+MaxValue(背包剩余重量-i物品重量);其中的MaxValue为放i后剩余背包容量能获得的最大价值，应该注意的是此最大价值为理论意义上的最大价值，比如在继续放入p个后(按单位价值量递减),放不下第p+1个，此时应该按(Value[p+1]/Weight[p+1])*(WeightLeft)来计p+1物品的价值,(实际中不可能放入零点几个某物品。

)；右子树的情形类似。

知道了如何定界，那么在实际流程中就要根据当前目标节点的界来剪枝了（是用上界还是下界，具体问题具体分析）。

今天准备举个稍微有点挑战的例子---NPC问题中的TSP问题。

在TSP问题中，由于是环路，每个节点都要进出各一次，我们可以将每个节点最小的入度和最小的出度的和累加作为一个下界，这个下界几乎不可能达到！（全部最小出度的和即为下面提到的rcost的初值）初始时我们创建一个最小堆，表示活节点队列。

运筹学3-4章

【例3-1】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物品。

他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表3-1所示。

问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大。

表3-1【例3-2】在例3-1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为12公斤，其体积是0.02m3背包和旅行箱只能选择其一，建立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大:(1)所装物品不变;(2)如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别是4元/件和3元/件，载重量和体积的约束为1.8x1+0.6x2≤121.5x1+2x2≤20【例3-3】试引人0-1变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件(1)x1+x2≤6或4x1+6x2≥10或2x1+4x2≤20(2)若x1≤5，则x2≥0，否则x2≤8(3) x2取值0, 1, 3, 5, 7【例3-4】企业计划生产4000件某种产品，该产品可以以自己加工、外协加工任意一种形式生产。

已知每种生产形式的固定成本、生产该产品的变动成本以及每种生产形式的最大加工数量(件)限制如表3-2所示，怎样安排产品的加工使总成本最小。

表3-2【例3-5】用分支定界法求解例3-1【例3-6】用割平面法求解下列Ip问题maxZ=4x1+3x26x1+4x2≤30x1+2x2≤10x1,x2≥0且为整数【例3-7】用隐枚举法求解下列BIP问题maxZ=6x1+2x2+3x3+5x44x1+2x2+x3+3x4≤103x1−5x2+x3+6x4≥42x1+x2+x3−x4≤3x1+2x2+4x3+5x4≤10x j=0或，j=1,2,3,4【例3-8】用分支一隐枚举法求解下列BIP 问题maxZ=6x 1+2x 2+3x 3+5x 4 3x 1−5x 2+x 3+6x 4≥4 2x 1+x 2+x 3−x 4≤3 x 1+2x 2+4x 3+5x 4≤10 x j =0或1，j=1,2,3,4 【例3-9】用分支一隐枚举法求解下列BIP 问题minZ=x 1−3x 2+6x 3+2x 4−4x 56x 1+2x 2−x 3+7x 4+x 5≤12 x 1+4x 2+5x 3−x 4+3x 5≥10x j =0或1，j=1,2,3,4【例3-10】用WinQSB 软件求解例3-3minZ=(500y 1+8x 1)+( (800y 2+5x 2)+ (600y 3+7x 3)x j −My j ≤0 j =1,2,3x 1+x 2+x 3≥4000 x 1≤1500,x 2≤2000 x j ≥0,y j =1或0,j=1,2,3习题3.1某公司今后三年内有五项工程可以考虑投资。

第15章 分枝定界法


应用
（2）改进 可通过使用定界函数来改进上述问题的求解过程， 即只有当右孩子对应的重量加上剩余货箱的重量超出 当前最优解时才选择右孩子，如以下程序所示。

如果查找的是具有最小耗费的解，则活结点表可 用最小堆来建立，下一个扩展结点就是具有最小耗 费的活结点；如果查找的是具有最大收益的解，则 可用最大堆来构造活结点表，下一个扩展结点便是 具有最大收益的活结点。

例15-1
下面分别用FIFO分枝定界法和最大收益分枝定界方法解决 例14-1的背包问题并进行比较，即n = 3，w = [20, 15, 15]， p = [40, 25, 25]，c = 30，它们的解空间也与上一章例的解空 间相同。 ① FIFO分枝定界利用一个队列来记录活结点，结点按照 FIFO 顺序从队列中取出。在该方法的搜索过程中，初始以根结点 A 作为扩展结点，活结点队列为空，对A进行扩展时，生成结点B 和 C ，由于这两个结点都是可行的，因此都被加入活结点队列 中，结点A被删除。 下一个扩展结点 B，产生结点 D和 E ，由于 D是不可行的，因此 被删除，而E被加入队列中。下一步选择结点C为扩展结点，生 成结点F和G，两者都是可行结点，加入队列中。下一个扩展结 点E生成结点J和K，J不可行而被删除，K是一个可行的叶结点， 并产生一个到目前为止可行的解，它的收益值为40。

回溯法比分枝定界法占用更少的内存空间，回溯法占用的内 存是O(解空间的最大路径长度 )，而分枝定界所占用的内存为 O(解空间大小 )。对于一个子集空间，回溯法需要O(n)的内存 空间，而分枝定界则需要 O(2n)的空间。对于排列空间，回溯 需要O(n)的内存空间，分枝定界需要 O(n!)的空间。虽然最大 收益（或最小耗费）分枝定界法在许多情况下可能会比回溯法 检查更少的结点，但在实际应用中，它可能在回溯法超出允许 的时间限制之前就超出了内存的限制。

分支定界法

min c x Ax b
s.t.xr br
x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
❖ 定界
1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
➢ 整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有 最好解
➢ 整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分 支其中无最优解
➢ 非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分 支
➢ 非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删 除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
2. 分枝定界法计算步骤-例题
❖
例3.3.1
minZ
( x1
x2 )
s.t.44
x1 x1
2x2 2 x2
1 11
2x2 1
x1x2 整数
例x3.(33,5.) 1z 解 4答 0
T0
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx((xPP2))(21.25,12) (2Px) (P1 ) (xP(x)P1) 3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 T 2 3 12 1 6 2 2 T 2 4
1. 分枝定界法基本思想ห้องสมุดไป่ตู้
分枝
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数 最优值比界好
最优解为非整 数最优值比界好
分 枝 边界
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
❖ 分枝的方法 min c x

分支定界


5 x1 7 x2 35 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 2 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 问题 B 2 ： 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 3 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0, 全部为整数 1 2
解 :step1
确定与整数规划问题（记为问题 A）对应的松
弛线性规划问题 (记为问题 B)：
max z 2 x1 3 x2
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0 1 2
i 1, 2, , p
则约束条件组可表示为
n aij x j bi Myi , i 1, 2,, p j 1 p yi p q i 1 y 0,1; i 1, 2,, p i
例 3.4.2 固定支出问题 考察 n 种产品的产品计划问题。假定生产某种产品 j 就 发生单位可变成本 c j ，另外，不管产品 j 生产多少，还需 支出固定成本 k j ，但若不生产产品 j 也就无需支出固定成 本。因此，如何制定产品计划，使得总生产成本最小。
step2 先求出问题 B 的解，用单纯形方法得 问题 B 的最优解为：
x1 3
12 17
,
x2 2
6 17
,
* z0
14
8 17
step3
用观察法找问题 A的—个整数解，一般可取
x1 0, x2 0 ，进行试探，求得其目标函数值 z 0 ，以 z * 表示问题
A 的最优目标函数值；这时有 0 z* 14 8 step4
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Th.2 : 若下列三个条件中的任何一个得以满足, 则分枝定 界树可以在对应于S i的结点处被剪枝 :
(ⅰ) 不可行性 : S i ;
i (ⅱ) 最优性 : 已找到 ( IP )的一个最优解 ;
i ( ⅲ ) 最优值比较 : z IP zIP .
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
实际中, 遇到满足条件(ⅰ)与(ⅱ)的机会并不多, 常常通过 求解( IPi )的某个松弛问题或它的弱对偶问题来应用条件( ⅲ ) .
S S0
S1
的子结点, 而 S 1 称为 S 11 , S 12 , S 13 的 根结点, 没有子结点的结点为 11 S S 12 叶结点. 从一个结点到任一 子结点之连线称之为一个 121 S 分枝, 称由根结点到某个叶 结点所对应的一组分枝为一条路经 .
S2
S 13 S 122
S 21
i i ( RP ),设该松弛问 ( IP ) 其从L中删除. 求解 的某个松弛问题
i 题的最优值为 zR , 并设 xR 为其一个最优解(若存在的话) .
i
S 4 (剪枝) i zIP , 则转S 2 ; a ) 若 zR
i S i, 则转S 5 ; b ) 若 xR
i i i i c ) 若 xR S 且 cxR zIP , 则令 zIP cxR , 并从L中删去所有使
2. ( IPi )的最优值不会大于( RPi )的最优值 .
i 3. 若( RPi )的一个最优解为 ( IPi )的可行解, 则它也是( IP )的
一个最优解 .
由这些结论和定理2, 可得用于判别可否剪枝的实用条件 .
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
Th.3 : 如果下列三个条件中的任何一个得以满足, 则分 枝定界树可以在对应于 S i 的结点处被剪枝 :
算法, 故也被称为隐含枚举法 .
i ( IP ) 在下面给出的算法描述中, L表示一系列整数规划 i i i z max cx : x S ( IP ) ,其中 , Si S 的集合, 每个 具有形式 IP
i i z z 与L 中每个问题相关联地有一个上界 .. IP
一般分枝定界算法步骤 :
Def. 称 S i : i 1,
且对 i, j 1,
zIP max cx : x S
, k 为 S 的一个划分, 如果
分枝可通过划分描述 :

k i=1
Si S ,
, k , i j, 有 S
i
S .
j
XJTU
i ( IP ) Th.1 : 令
第三章 整数线性规划
S 22
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
以上划分过程的极限情形就是对可行解集合S中所有元素 的枚举. 因此也将分枝定界树称为枚举树. 假定 S 已被划分为子集合 S1,
, S k. 如果可以论证对于
某个 S i (1 i k )没有必要做进一步的划分, 则说分枝定界树 可以在对应于 S i 的结点处被剪枝, 或简称为 S i 可以被剪枝 .
OR
z i IP max cx : x S i


这里 S

i k i=1
i z max z 为 S 的一个划分, 则 IP IP . 1i k
划分常常是递归进行的, 如右图所示的分枝定界树.
Def. 称结点 S11, S12 , S13 为结点 S1
父结点.没有父结点的结点称为
i 设( RP )为( IP )的任一个松弛问题, 即 ( RP )的可行解集合 SR
i i
i
i i i i ( x) . 和目标函数 zR ( x)满足: S i SR , 且对任意的 x S ,有 cx zR
因此, 有下列明显结论 : 1. 若( RPi )不可行, 则 ( IPi )也不可行.
i ⅰ) ( RP )不可行 ;
i i i i i S i 且 zR ( xR ) cxR ⅱ) ( RPi ) 的一个最优解 xR 满足 xR ;
ⅲ ) 对( IP )的某个可行解所对应的目标函数值 zIP ,
i i 有 zR ( xR ) zIP .
分枝定界法中的定界就泛是指使用任一策略来寻找、并 不断改进下界 zIP(有时还包括某个上界)的过程 .
i i cx z 得 z zIP 的问题 ( IP ). 如果 R R ,则转S 2 , 否则转S 5 .
i
i
S 5 (划分)
设 S
k

( IP )
ij
ij i z z 加到 L 中去 , 并令 j=1 R , j 1,
ij k R j=1

为 S i 的一个划分, 将由此产生的新问题
John Wiley & Sons, 1988
XJTU第三章 整Fra bibliotek线性规划OR
思想 : 间接地列举或检验整数规划问题的所有可行解.
有效判别或检验准则的制定、适当限制条件的构造等 对于该方法的效率影响很大 .
一. 一般分枝定界法
分枝实质上是对问题可行解集的划分或分解 . 考虑线性整数规划问题
( IP )
§ 3.4
分枝定界法
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
参考文献
马仲蕃 线性整数规划的数学基础 陈志平，徐宗本 计算机数学 Nemhauser G.L. & Wolsey L.A. Integer and Combinatorial Optimization 科学出版社，2001 科学出版社，1998
i 一般地, 假设刚刚求解了( IP )的一个松弛问题, 则在分枝
运算对应的修正、加细步, 首先划分 S , 取 S
i
i
k j=1
S i j ,然后构造
集合S 的松弛 S
ij
ij R,
k
使得
j=1
S S
ij R
i R
.
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
基于上述过程的分枝定界法是一个带有枚举特点的松弛
S 1 (初始化) S 2 (终止检验)
L (IP) , S 0 S , z 0 , zIP .
0 0 如果 L , 则使得 zIP cx 的解 x 即为
原问题的最优解, 终止 .
XJTU
S 3 (问题选取与松弛)
第三章 整数线性规划
OR
i ( IP ), 并随之将 从L中选取一个问题
, k . 转S 2 .