常州市西夏墅中学高二数学教学案古典概型第二课时

常州市西夏墅中学高二数学教学案简单的逻辑连接词（二）简单的逻辑连接词（二）学习目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解能利用真值表判断含有复合命题的真假；课堂导航：一：复习旧知： 1．什么叫做命题？ 2．逻辑联结词是什么？3．什么叫做简单命题和复合命题？4．复合命题的构成形式是什么？ 5.判断下列复合命题的真假（1）8≥7（2）2是偶数且2是质数；（3）?不是整数；问题：命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？二．认识复合命题的真假 1．“非p”形式的复合命题真假：材料一：写出下列命题的非p形式，并判断真假：（1）p：方程x2+1=0有实数根（2）p：存在一个实数x，使得x2－9=0．（3）p:对任意实数x，均有x2－2x+1≥0；（4）p：等腰三角形两底角相等小结： 2．“p且q”形式的复合命题真假：材料二：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的约数且是15的约数（3）5是10的约数且是8的约数（4）x2-5x=0的根是自然数小结： 3．“p或q”形式的复合命题真假：材料三：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；（2）5是12的约数或是8的约数；（3）5是12的约数或是15的约数；（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零1小结：三，运用真假表解决实际问题例1：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假：（1）p：2+2=5； q：3>2 （2）p：9是质数； q：8是12的约数；（3）p：1∈{1，2}； q：{1}?{1，2} （4）p：??{0}； q：??{0}例2．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真， p且q为假，求m的取值范围。

四．课堂反馈1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（）A．简单命题 B．非p形式的命题 C．p或q形式的命题 D．p且q的命题2．如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（） A．“p且q”是假命题 B．“p或q”是真命题 C．“非p”是真命题 D．“非q”是真命题3．（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_________。

对数函数——高中数学（一）教材分析：时侧重于掌握对数函数的概念与图象和性质，第二课时侧重于利用对数函数的性质比较两个数的大小及解对数不等式，第三课时研究由对数形式的3函数的图象及单调性。

通过本节课的学习可以加深对函数本质的认识，又是后面学习幂函数、三角函数的基础，此外在比较数的大小，函数的定性分析，以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下的核心知识之一。

从方法论角度分析，在本节教学中渗透了探索发现、数形结合、类比归纳等数学思想。

（二）教学目标：根据课程标准及学生的认知基础，本节课的教学目标可分为以下几个方面：（1）知识目标：巩固指数函数的定义、图象和性质；使学生掌握对数函数的概念、图象和性质，把握指数函数与对数函数的实质。

（2）能力目标：培养学生观察能力、逻辑思维能力，发展学生探究和解决问题的能力，并渗透数形结合、分类讨论等数学思想。

提高学生的应用意识和创新能力。

（三）教学重点、难点：根据以上分析，我认为这节课的重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质；难点：利用对数函数图象和性质得出对数函数图象和性质。

（四）教法、学法：在本节课教学中主要采用探究式的教学方法，通过不同形式的探究活动，让学生积极主动地参与到活动中来，体会知识的形成过程，采用设问、引导、启发，由特殊到一般的方法，并联合多媒体与实物投影仪和以学生为主体，创设和谐的互动环境，引导学生探究知识。

另外我将学情分为认知水平、能力水平、情感态度等三个方面进行研究。

建构主义学习理论认为：学习是学生积极主动构建知识的过程，学习应以学生的熟悉的知识背景相联系。

因此我认为在教学过程中应让学生在问题情景中经历知识的形成和发展，通过对具体问题的观察（归纳、思考、探索）参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。

在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成数学知识与能力，发展了情感态度和思维品质。

基于以上理论我把本节课分为以下四个流程。

编号：036 课题:§15.2.1 古典概型目标要求1、理解并掌握古典概型的含义．2、理解并掌握古典概型的概率计算公式．3、理解并掌握基本事件及样本空间．4、理解并掌握古典概型的概率计算.学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：基本事件及样本空间；难点：古典概型的概率计算．教学过程基础知识点1.古典概型(1)定义:①样本空间Ω只含有有限个样本点;②每个基本事件的发生都是等可能的.我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.(2)本质:事件所包含的基本事件个数有限;每个基本事件发生的概率相等.【思考】构成样本空间的基本事件有什么特征?2.古典概型的概率计算公式在古典概型中,如果样本空间12{,,,}n ωωωΩ=(其中,n 为样本点的个数),那么每一个基本事件{}(1,2,,)k k n ω=发生的概率都是1n,如果事件A 由其中m 个等可能基本事件组合而成,即A 中包含m 个样本点,那么事件A 发生的概率为()P A = .【思考】根据古典概型的概率计算公式,计算事件A概率的关键是什么?【课前基础演练】题1.（多选．．）下列命题错误．．的是 ( )A. 从所有整数中任取一个数的试验是古典概型.B. “抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是一个基本事件.C. 若一次试验的结果包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型.D. 古典概型中要求每个基本事件发生的概率相等.题2.抛掷一枚骰子,下列不是一个样本点的是 ( )A.向上的点数是奇数B.向上的点数是3C.向上的点数是4D.向上的点数是6题3.甲、乙、丙三人站成一排,甲站中间的概率为( )A.16B.12C.13D.23关键能力·合作学习类型一基本事件及样本空间(数学抽象)【题组训练】题4.某学校高一年级要组建书法、绘画、无人机三个兴趣小组,若某学生选报其中2个,则基本事件共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个题5.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为 ( )A.2B.3C.4D.6题6.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,记事件A=“关于x的一元二次方程2220x ax b++=有实根”,则事件A包含的样本点个数为 ( )A .6B .7C .8D .9【解题策略】列样本点的三种方法(1)列举法:一一列出所有基本事件,一般适用于较简单的问题.(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清样本点的总数.(3)树状图法:用树状的图形将基本事件列举出来,树状图法便于分析基本事件间的结构关系.提醒:列举基本事件时,要注意分清“有序”还是“无序”,按一定的次序进行列举,防止重复或遗漏,采用列表和树状图是防止重复和遗漏的有效方法.【补偿训练】题7.从5件正品,1件次品中随机取出2件,则取出的2件产品中恰好是1件正品,1件次品的样本点有______个 ( )A .2B .3C .4D .5类型二 古典概型的概率计算(逻辑推理、数学运算)【典例】题8.已知关于x 的二次函数2()1f x ax bx =-+,设集合{1,2,3},{1,1,2,3,4}P Q ==-,分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b .求函数()y f x =有零点的概率.【变式探究】题9. 已知关于x 的二次函数2()1f x ax bx =-+,设集合{1,2,3},{1,1,2,3,4}P Q ==-,分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b .求函数y =f (x )在区间[1,)+∞上是增函数的概率.【解题策略】求解古典概型概率的一般步骤(1)判断是否为古典概型.(2)计算样本空间中基本事件的个数n.(3)计算事件A包含的基本事件的个数m.(4)利用概率公式mPn计算事件A的概率.【跟踪训练】题10. 从一个装有3个红球A1,A2,A3和2个白球B1,B2的盒子中,随机取出2个球.(1)用球的标号列出所有可能的取出结果;(2)求取出的2个球都是红球的概率.课堂检测·素养达标题11.下列试验中,是古典概型的为 ( )A.种下一粒花生,观察它是否发芽B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率D.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率题12.设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为 ( )A.15B.25C.12D.45题13.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为________.题14.做A,B,C三件事的费用各不相同.在一次游戏中,要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序(由多到少排列).如果某个参加者随意写出答案,他正好答对的概率是________.题15.一个袋中已知有3个白球,2个黑球,第一次摸出一个球,然后再放进去,再摸第二次,求两次都是摸到黑球的概率.编号：036 课题:§15.2.1 古典概型目标要求1、理解并掌握古典概型的含义．2、理解并掌握古典概型的概率计算公式．3、理解并掌握基本事件及样本空间．4、理解并掌握古典概型的概率计算.学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：基本事件及样本空间；难点：古典概型的概率计算．教学过程基础知识点1.古典概型(1)定义:①样本空间Ω只含有有限个样本点;②每个基本事件的发生都是等可能的.我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.(2)本质:事件所包含的基本事件个数有限;每个基本事件发生的概率相等.【思考】构成样本空间的基本事件有什么特征?2.古典概型的概率计算公式在古典概型中,如果样本空间12{,,,}n ωωωΩ=(其中,n 为样本点的个数),那么每一个基本事件{}(1,2,,)k k n ω=发生的概率都是1n,如果事件A 由其中m 个等可能基本事件组合而成,即A中包含m个样本点,那么事件A发生的概率为()P A= .【思考】根据古典概型的概率计算公式,计算事件A概率的关键是什么?【课前基础演练】题1.（多选．．）下列命题错误．．的是 ( )A. 从所有整数中任取一个数的试验是古典概型.B. “抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是一个基本事件.C. 若一次试验的结果包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型.D. 古典概型中要求每个基本事件发生的概率相等.【答案】选ABC提示:A×.因为试验的所有可能样本点是无限的,不满足有限性,故错误.B×.“至少一枚正面向上”包含“一枚正面向上,一枚正面向下”和“两枚正面都向上”两个基本事件.C×.因为不一定能保证每个基本事件发生的可能性相等.D√.这是古典概型中的两大特点之一.题2.抛掷一枚骰子,下列不是一个样本点的是 ( )A.向上的点数是奇数B.向上的点数是3C.向上的点数是4D.向上的点数是6【解析】选A.向上的点数是奇数包含3个样本点:向上的点数是1,向上的点数是3,向上的点数是5,所以A不是一个样本点.题3.甲、乙、丙三人站成一排,甲站中间的概率为( )A.16B.12C.13D.23【解析】选C.三人站成一排,样本空间为:Ω={(甲乙丙),(甲丙乙),(乙甲丙),(乙丙甲),(丙甲乙),(丙乙甲)},甲站中间样本点有:(乙甲丙),(丙甲乙)共2个,所以2163P==.关键能力·合作学习类型一基本事件及样本空间(数学抽象) 【题组训练】题4.某学校高一年级要组建书法、绘画、无人机三个兴趣小组,若某学生选报其中2个,则基本事件共有( ) A .1个 B .2个C .3个D .4个 【解析】选C .样本空间为:Ω={(书法和绘画),(书法和无人机),(绘画和无人机)},故共3个样本点.题5.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为 ( )A .2B .3C .4D .6【解析】选C .要保证2张卡片上的数字之和为奇数,2个数必须是1个奇数,1个偶数.所以样本点有:(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4个.题6.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,记事件A =“关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根”,则事件A 包含的样本点个数为 ( ) A .6 B .7 C .8 D .9【解析】选D .因为关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根,当a ≥0,b ≥0时,方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为2222444()0a b a b ∆=-=-≥,即a ≥b ,样本空间为:Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.则事件{(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)}A =共9个样本点.【解题策略】列样本点的三种方法(1)列举法:一一列出所有基本事件,一般适用于较简单的问题.(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清样本点的总数.(3)树状图法:用树状的图形将基本事件列举出来,树状图法便于分析基本事件间的结构关系.提醒:列举基本事件时,要注意分清“有序”还是“无序”,按一定的次序进行列举,防止重复或遗漏,采用列表和树状图是防止重复和遗漏的有效方法.【补偿训练】题7.从5件正品,1件次品中随机取出2件,则取出的2件产品中恰好是1件正品,1件次品的样本点有______个 ( )A .2B .3C .4D .5【解析】选D .设5件正品分别为A ,B ,C ,D ,E ,次品为1,则取出2件产品的所有可能为AB ,AC ,AD ,AE ,BC ,BD ,BE ,CD ,CE ,DE ,A 1,B 1,C 1,D 1,E 1共15种,符合要求的样本点为:A 1,B 1,C 1,D 1,E 1共5种.类型二 古典概型的概率计算(逻辑推理、数学运算)【典例】题8.已知关于x 的二次函数2()1f x ax bx =-+,设集合{1,2,3},{1,1,2,3,4}P Q ==-,分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b .求函数()y f x =有零点的概率.【解析】【变式探究】题9. 已知关于x 的二次函数2()1f x ax bx =-+,设集合{1,2,3},{1,1,2,3,4}P Q ==-,分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b .求函数y =f (x )在区间[1,)+∞上是增函数的概率.【解析】二次函数2()1f x ax bx =-+的对称轴为2b x a =,因为函数在[1,+∞)上是增函数,所以a ,b 满足12b a≤,即b ≤2a ,所以满足条件的基本事件有(1,1),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)---,共13 种情况,所以函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率为1315. 【解题策略】求解古典概型概率的一般步骤(1)判断是否为古典概型.(2)计算样本空间中基本事件的个数n .(3)计算事件A 包含的基本事件的个数m .(4)利用概率公式m P n =计算事件A 的概率. 【跟踪训练】题10. 从一个装有3个红球A 1,A 2,A 3和2个白球B 1,B 2的盒子中,随机取出2个球.(1)用球的标号列出所有可能的取出结果;(2)求取出的2个球都是红球的概率.【解析】(1)随机取出2个球的可能的结果有:A 1B 1,A 2B 1,A 3B 1,A 1B 2,A 2B 2,A 3B 2,A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,B 1B 2;(2)取出的2个球都是红球的结果有A 1A 2,A 1A 3,A 2A 3,所以取出的2个球都是红球的 概率310P =. 课堂检测·素养达标题11.下列试验中,是古典概型的为 ( )A .种下一粒花生,观察它是否发芽B .向正方形ABCD 内,任意投掷一点P ,观察点P 是否与正方形的中心O 重合C .从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率D .在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率【解析】选C .对于A ,发芽与不发芽的概率一般不相同,不满足等可能性;对于B ,正方形内点的个数有无限多个,不满足有限性;对于C,满足有限性和等可能性,是古典概型;对于D,区间内的点有无限多个,不满足有限性.题12.设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为 ( )A.15B.25C.12D.45题13.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为________.【解析】从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,满足题意的有:甲乙、甲丙、甲丁,所以概率3162P==.答案:1 2题14.做A,B,C三件事的费用各不相同.在一次游戏中,要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序(由多到少排列).如果某个参加者随意写出答案,他正好答对的概率是________. 【解析】A,B,C三件事排序,有6种排法,记“参加者正好答对”为事件D,由古典概型的概率公式,得1 ()6P D=.答案:1 6题15.一个袋中已知有3个白球,2个黑球,第一次摸出一个球,然后再放进去,再摸第二次,求两次都是摸到黑球的概率.【解析】把它们编号,白球为1,2,3,黑球为4,5,用(x,y)记录摸球结果,x表示第一次摸到球号数,y表示第二次摸到球号数.样本空间为:{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},一共25种,两次摸球都是黑球的样本点有:(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),共4个,所以425 P=.。

教学目标：1. 掌握基本事件的概念；2. 正确理解古典概型的两大特点：有限性、等可能性；3. 掌握古典概型的概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率．教学重点：掌握古典概型这一模型．教学难点：如何判断一个实验是否为古典概型，如何将实际问题转化为古典概型问题.教学方法：问题教学、合作学习、讲解法、多媒体辅助教学．教学过程：一、问题情境1.有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，则抽到的牌为红心的概率有多大？二、学生活动1．进行大量重复试验，用“抽到红心”这一事件的频率估计概率，发现工作量较大且不够准确；例2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸到的两只球都是白球的概率是多少？问题：在运用古典概型计算事件的概率时应当注意什么？①判断概率模型是否为古典概型②找出随机事件A中包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．教师示范并总结用古典概型计算随机事件的概率的步骤例3 同时抛两颗骰子，观察向上的点数，问：（1）共有多少个不同的可能结果？（2）点数之和是6的可能结果有多少种？（3）点数之和是6的概率是多少？问题：如何准确的写出“同时抛两颗骰子”所有基本事件的个数？学生活动：用课本第102页图3-2-2，可直观的列出事件A中包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．问题：点数之和是3的倍数的可能结果有多少种？(介绍图表法)例4 甲、乙两人作出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：（1）平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率.设计意图：进一步提高学生对将实际问题转化为古典概型问题的能力．2．练习.（1）一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率为_________.（2）在20瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为_________.．（3）第103页练习1,2．（4）从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，①2个数字都是奇数的概率为_________；②2个数字之和为偶数的概率为_________.五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．基本事件，古典概型的概念和特点；2．古典概型概率计算公式以及注意事项；3.求基本事件总数常用的方法：列举法、图表法．。

高中数学教案古典概型
教学目标：
1. 了解古典概型的概念和基本原理。

2. 能够应用古典概型解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维和数学分析能力。

教学重点和难点：
1. 熟练掌握古典概型的计算方法。

2. 能够灵活应用古典概型解决不同类型的问题。

教学内容：
1. 古典概型的概念和性质。

2. 古典概型的计算方法。

3. 古典概型在实际问题中的应用。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引入古典概型的概念，并激发学生对此的兴趣。

二、讲解（10分钟）
1. 讲解古典概型的定义和基本原理。

2. 介绍古典概型的计算方法。

三、练习（15分钟）
教师布置几道古典概型的练习题，让学生独立思考和解答。

四、拓展（10分钟）
让学生结合实际问题进行古典概型的应用，培养学生的问题解决能力。

五、总结（5分钟）
总结本节课所学内容，强化学生对古典概型的理解和掌握。

六、作业（5分钟）
布置相关的作业，巩固学生对古典概型的应用能力。

板书设计：
古典概型
1. 定义和性质
2. 计算方法
3. 应用实例
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够掌握古典概型的基本概念和计算方法，能够灵活应用古典概型解决实际问题。

通过不断练习和实践，可以进一步提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。

目标定位：1．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法．和过去的教学内容（例如函数）相比，在本章中是把基本的数学（思维）方法（而不是某个数学对象）作为正面研究对象的．因此，本章的学习过程，是中学生第一次对数学活动过程的正面的系统的审视——这就是我们对本章教学活动的定位．2．推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的“对象”．我们不能离开数学思维活动来谈论数学思维方法，不能满足于把数学方法看成是既定的程序、步骤和规则，不能满足于对方法做静态的逻辑的分析（这正是过去传统的教材中所强调的），而应当从（数学）活动本身，特别是从数学活动的过程来考察推理方法和证明方法建构的过程，以及这些方法是如何被运用到数学活动中成为“活”的方法的？应当着重于体会方法的特点、联系和作用（这正是传统教材中忽略的，而在苏教版教材中特别强调的）．这样一来，考察和研究数学思维过程就应该成为本模块学习的出发点和归宿了．3．与数学知识（如概念）的建构不同，在数学方法建构的过程中，数学思维活动过程本身就是被考察的对象并提供了抽象的原型．例如，在本章的引言中，教材就是通过对“摸球中的思维过程”的分析，抽象出推理、证明方法的．在这里，摸球中的思维过程本身就成为抽象的原型！正是这样的特点，决定了在有关“方法”的教学必须建立在对数学思维活动做“正面”考察的基础之上．4．课程标准明确指出：设置本模块的目的是让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识．课程标准的上述要求．决定了本章中对思维过程的考察与分析应该是系统的，因为只有进行系统的考察才能让学生形成对数学较为完整的认识，才能通过对各种方法的比较，掌握各种方法的特点、作用以及它们之间的关系，更好地把它们运用到数学活动中去．5．本章具体的教学目标是：（1）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含意，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．（2）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．（6）通过对实例的介绍（如欧基里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．（7）了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用．教材解读：1．根据对本章教学的基本定位，为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景，大框架．（注意引言的作用），在分别阐述了归纳、类比、演绎等推理方法以后，又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些，都为对思维过程进行系统的考察提供了条件．（2）教科书充分地利用案例，通过案例（这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的）提供数学思维活动的素材，把案例当成学习活动的出发点和载体，把案例分析看成是教学活动的主要形式．因为惟有如此，才能使学生进行深刻的思考（反思），对思维活动过程做“正面的”审视．（3）教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括．因为惟有如此，才能把对思维过程分析的成果固定下来，形成数学方法并运用到思维活动中去．以上各点可以从第一节〈合情推理与演绎推理〉的展开框图中看出：2．和其他模块相比，在本章中，案例分析更具有举足轻重的作用．因为除了案例分析，我们实在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”，让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程，看到活生生的数学方法．因此，案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体，为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台，同时，案例分析也应该是教学活动的主要手段．教学方法与教学建议：1．在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行（静态）分析，更要重视这些方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）．从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的．2．本章所学习的大部分内容如：合情推理、演绎推理、证明方法（包括反证法）都是学生熟悉的，他们早就在自觉或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了．在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础．3．在教学中，要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯．4．教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中，应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想．教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理（它们的作用、特点、关系），理解数学发现过程，而不必追求对概念的抽象表述．在证明方法的教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，而对证明的技巧性不宜作过高的要求．5．数学的推理方法和证明方法，不仅运用在数学中，而且在生活中的其它领域都有广泛的应用．在教学中要引用生活中和其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值．6．公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值．在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神，和机器化证明中的算法思想．下面是具体的教学建议，供参考．引言1．华罗庚教授“摸球”的例子，为推理与证明的学习提供了一个大的背景．它具有丰富的教学意义．在教学中不仅应该让学生体会到，“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节，让学生体会到，探索活动是一个不断的“提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想”的过程，而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现！而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的！2．引言中提出的两个问题（我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？）是本大节的中心问题．本节的教学内容就是依据它展开的．2．1合情推理与演绎推理1．合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用．本节先分别研究它们的特点和作用，然后再通过对具体的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用．2．演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式．教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察．教学中可以让学生举出更多的例子．3．通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念．并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点．2．1．1合情推理1．合情推理是由G·波利亚提出的概念．他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）．G·波利亚并没有为合情推理下定义．实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了．据此，教科书按照G·波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（《课程标准》给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程．）2．归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等．2．1．1．1归纳推理1．归纳推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用．2．归纳推理的一般模式为：S1具有P，S2具有P，……S n具有P（S1，S2，…，S n是A类事物的对象）——————————————————————————所以，A类事物具有P．教学中可以介绍给学生．3．“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考．（1）观察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n1) = n2．（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：220+ 1 = 3，221+ 1 = 5，222+ 1 = 17，223+ 1 = 257，224+ 1 = 65 537都是素数，由此，他猜想：任何形如22n+ 1（n N）的数（通常称为费马数，记作F n）都是素数．此后，一直未有人怀疑过这个结论．直到1732年，欧拉发现F5 = 225 + 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜想．此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n > 1时，F n的末位数字是7（猜想）．2．要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度．欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西．”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现．要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！3．在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论．例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n＞1时，F n的末位数字是7的结论（猜想）．4．完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理．2．1．1．2 类比推理1．类比推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察．2．类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a'，b'，c'，（a，b，c与a'，b'，c'相似或相同）————————————————所以，B类事物可能具有性质d'．教学中可以介绍给学生．3．例1是根据等式的性质类比不等式的性质．4．例2可以看成是系统间的类比．用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理．数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比．在教学中要注意对类比过程的分析．5．类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理．在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的．6．在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来．只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来．2．1．2 演绎推理1．演绎推理是一种重要的推理形式，通过数学学习，学生已经在广泛地使用它，在教学中，要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理，是必然性推理的特点．2．三段论是演绎推理的主要形式．三段论有多种格式，教科书介绍了其中常用的一种，其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理，而不是正面讲“三段论”，因此，在教学中不必拓展补充．3．除了三段论以外，演绎推理还有直接推理，关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式．4．三段论也有多种形式，三段论的依据是不言自明的三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物的部分也是什么或不是什么．对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明，其目的是帮助学生理解三段论．（教学中不必提出三段论公理）5．三段论推理在数学中有重要的应用，特别是在理论初建或概念性质运用的初期．但是数学推理过程不全是三段论组合，直接用三段论推理的并不多，有些数学证明过程（如教科书中例2），虽然可以归结为三段论的组合，但却太为繁琐了，所以并不实用．6．数学并不等同于逻辑，它已独自发展几千年，尤其是它的符号系统，使得它有自身的一套简单的推理形式或规则，尽管它能用三段论解释，但大可不必去追溯它的三段论本源．因而在数学中，直接选定了若干演绎推理的规则．如：“如果q P ⇒，P 真，则q 真”、“如果b c ，，a b ⇒⇒，则c a ⇒”（三段论的“数学形式”）等等．（如课本中例2的证明就使用了这些规则）应该告诉学生，数学中的运算也是演绎推理的一种形式．7．在数学中学习演绎推理，并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑，课程标准规定，本小节的学习目标是，“体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理”，相信注意到这些，就可以理解教科书的编写意图，并掌握教学的分寸了．8．在叙述演绎推理的特点时，要和归纳、类比的特点对照，让学生理解它们是两类不同的推理．9．教科书中说“演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性”，这并不是说，演绎推理就完全没有发现功能，更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用．为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用，教科书提供了阅读材料：“海王星的发现和探索性演绎法”，这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的．2．1．3 推理案例赏析1．《推理案例赏析》是推理方法的综合应用，是对推理方法更深层次的考察．这样，教科书就为推理的教学提供了一个“总——分——总”的结构，而本小节正是后一个“总”．它引导学生在前面学习的基础上，对各种推理方法做综合的动态的考察，帮助学生体会不同推理方法的特点和联系，感受它们在数学思维过程中的作用．2．在教学中，要注意对思维过程的分析．课本中提供的思维过程只是几种典型的解决问题的思路．面对着这些问题，学生可能会有更多的想法，应该鼓励学生谈谈自己的想法，并对课本中的思考过程做出评价．3．关于例1的教学．（1）“提出问题”是数学发现活动中重要的环节．教学中要注意分析提出问题的过程．在例1和例2中，都是通过类比提出研究课题的．（2）课本中的思路1是“归纳的方案”，总的说，它是通过归纳提出猜想的．但是应该注意到，作为归纳基础的“表”中的每个数据都是由运算提供的，也就是说，演绎提供了归纳的基础．所以说：在数学发现活动中，演绎起到了类似“实验”的作用，在这里演绎为归纳提供了前提．（3）在“归纳的方案”中，解题者原本希望从表2-1-5中归纳出一般结论，可是却失败了，但是正是失败引导他尝试计算S1（n）和S2（n）的比，找到了通向成功的路．要让学生体会到发现活动都是具有尝试的性质的，失败是经常会遇到的，所以常说“失败是成功之母”．通过教学要让学生体会到，对思维过程进行调控的重要性．对此，在“思路2”和例2中，都有体现．教学中，要让学生体会到发现过程是一个曲折的艰苦的过程，认识到思维调控的重要性．（4）尝试计算S1（n）和S2（n）的比，是导致发现的关键，这个念头是由“联想”激发的．联想也是合情推理的一种方法．（5）思路2是一个“演绎的方案”，但这并不是说，在这个方案中没有使用合情推理的方法，相反地，应该说合情推理在这个方案中同样起了关键的作用．比如，这个方案中的“初始念头”——“尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和”就是由合情推理提供的．（6）在思路2的教学中，设置了“（2）从失败中汲取有用的信息，进行新的尝试”的环节，是为了让学生体会到思维调控的重要性，注意对思维过程的分析，进而养成反思的习惯．（7）“既然能用上面的方法求出S1（n），那么我们也应该可以用类似的方法求出S2（n）”，这也是一个猜想，它是由类比得到的．4．关于例2的教学．（1）例2通过具体的问题对类比推理的方法做了更深入的介绍．类比在数学发现活动中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉地科学地把类比方法运用到发现活动中去．（2）把棱台和梯形类比，开始只是模糊的念头，通过分析，清晰地认识到它们之间的“相似性”，这时才会有科学的“类比推理”．因此，“确定类比对象”和“对类比对象的进一步分析”都是重要的思维环节，是进行类比推理的前提．学生在使用类比时，经常忽略这些环节．（3）验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程．在这个过程中，合情推理仍然发挥着重要的作用．教学中请注意合情推理在“验证猜想”中的作用．（4）从美感出发做出的判断，可以称为审美推断．本例在“验证猜想”的环节中，使用了这种方法．审美推断也是一种合情推理的方法，在科学发现活动中具有重要的价值．通过案例的分析，应该让学生体会到审美在发现活动中的作用．（5）在公式（猜想）的调整过程中，实际上使用的是“探索性演绎法”（即在猜想的基础上进行的演绎推理），这可以让学生更好地体会到“演绎推理”在数学发现活动中所具有的类似于“实验”的功能．5．关于实习作业．学生可以通过查找资料来完成实习作业．例如可以引用本书提到的数学史中的例子：如欧拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以从教科书中选取案例如：“正弦定理的发现”、“余弦定理的发现”、“和差化积公式的推导”等等．通过反思，对自己的思维活动进行分析（如你是怎样解决某个问题的）．6．在思考以及实习作业中，教材反复提出了相同的问题，其用意是希望为学生分析思维活动时提供一个反思的框架．2．2 直接证明与间接证明教学的重点是让学生了解直接证法与间接证法的特点，知道证明的一般步骤，能使用它们证明问题，在教学中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫．2．1 直接证明1．课本中选用的两个例子都是学生熟知的，在《数学（必修5）》的基本不等式中就采用了这两个证明．现在教科书把它用作讨论综合法和分析法的素材，是为了让学生能集中精力关注这两种证明方法形式结构上的特点和区别，进而展开对证明方法的研究．2．一般地，分析法和综合法是两种常见的思维方法，人们利用它们来寻求证明问题的思路．在教科书中是把它们看成两种证明方法的（指呈现出来的证明过程）．思维方法和证明方法当然有微妙的差别，但是如果把“证明”看成是思维过程，这样做也就没有什么不可以．3．综合法，从条件出发，“由因导果”，分析法，紧抓证题目标，“执果索因”．在实际的解题活动中，总是把两者结合起来使用的．2．2 间接证明1．反证法是一种重要的间接证法（同一法也是一种重要的间接证法）．在教学中应先让学生弄清直接证明和间接证明的区别，然后再转入反证法．2．学生在学习立体几何初步时，已经使用反证法，因此他们是有经验的，但当时并没有正面介绍反证法．3．反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律．反证法的实质在于：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是从原题的反论题“既p又┐q”入手，由p与┐q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假，断定反论题“既p 又┐q”为假；进而再根据排中律，两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真．由此肯定命题“若p则q”为真．虽然学生没有学过排中律和矛盾律，但是由于这两个定律的“准公理性”，学生还是能理解反证法的思想的，因而在教学中没有必要提出排中律和矛盾律．2．3 公理化思想1．公理化思想体现了数学中的理性精神和求真意识.为了确保命题真实性,数学对命题提出了演绎证明的要求,这种要求直接导致公理化产生.教学中要让学生体会到这一点.2.公理是“公认正确而不需证明的命题”,是“证明其它一切命题的基础”,是“选定”和“设置”的,都体现了现代公理法的思想,在教学中不要过多地强调公理是“经过长期的实践证明的”说法.3.可以建议有兴趣的学生阅读《数学史初步》中有关非欧几何的材料．教学案例:归纳推理执教:高建国(扬州大学附属中学)点评:张乃达(江苏省扬州中学)1.概念、技能、能力、态度我们可以从不同的层面来看归纳．第一种是把它看成一个概念，这要弄清什么是推理？什么是归纳推理？这是从知识层面来看归纳的；第二种是把归纳看成是一种方法，这就要弄清怎样进行归纳？归纳有哪几步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等，这是从技能层面来看归纳的．第三种是把归纳看成是一种能力，提高学生的归纳能力——归纳的能力实质上就是分析，分析到位了，思维能力提高了，归纳才能得到有价值的东西．这是从能力的层面看归纳的．长期以来，我们的教师大都习惯于从上面三个层次看归纳，并以此确定本节课的教学内容和重点，这正是习惯于从知识与能力的层面看待数学教育的体现！其实，如果从文化的视角来分析，就可以看到归纳还可以被看成是一种态度，一种对待事物的态度．归纳的态度实际上就是探究的态度，它总是用探究者的眼光来看世界——看到某些现象，总想从中归纳出某种规律！促使哥德巴赫提出那个著名的猜想的正是这种态度，向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度！这种态度正是理性精神的表现！也是这节课中最有教育价值的东西！通过上面的分析，对这节课应该怎么上就清楚了．通过这节课当然应该让学生知道什么是推理？什么是归纳？怎样进行归纳？但是这并不是重点，其实学生早就在使用归纳的方法了，现在只要正面的小结一下就可以了！提高归纳的能力也不是这节课能够实现的目标，归纳的能力，是思维能力的体现，它不能独立于思维能力之外，也不是通过这节课就能实现的目标！这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发！。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 2.3.2 方差与标准差（第2课时）教案 新人教版必修3教学目标：1．掌握并应用计算数据的方差、标准差的方法； 2．了解数据的方差、标准差的简单性质；3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．教学方法：引导发现、合作探究．教学过程：一、创设情景，揭示课题要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度．为此对两人进行了15次比赛，得到如下数据：（单位：cm ）：如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 提出问题①若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12,,n ax ax ax 的方差为②若给定一组数据12,,,n x x x ，方差为s 2，则12,,n ax b ax bax b +++的方差为二、学生活动设一组样本数据n 21x ,,x ,x ，其平均数为12nx x x n+++＝x ，则样本方差：s 2＝n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕 另一组样本数据n ax ax ax ,,21 ，其平均数为12nax ax ax n+++＝a x ,则s样本方差＝n1〔（ax 1—a x ）２+（ax 2—a x ）2+…+（ax n —a x ）2〕 ＝a2n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕 ＝22s a ．同样：另一组样本数据b ax b ax b ax n +++,,21 ，其平均数为12n ax b ax b ax bn ++++++＝a x +b ,样本方差＝n 1〔（ax 1+b —a x -b ）２+（ax 2+b —a x -b ）2+…+（ax n +b —a x -b ）2〕＝a 2n1〔（x 1—x ）２+（x 2—x ）2+…+（x n —x ）2〕＝22s a ．特别地，当1=a 时，则有b x b x b x n +++,,,21 的方差为s 2，这说明将一组数据的每一个数据都减去或加上相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组数据的波动性．三、建构数学①若给定一组数据n x x x ,,,21 ，方差为s 2，则n ax ax ax ,,21 的方差为22s a②若给定一组数据n x x x ,,,21 ，方差为s 2，则b ax b ax b ax n +++,,21 的方差为22s a ；四、数学运用 1．例题讲解．例1 若821,,,k k k 的方差为3，则)3(2,),3(2),3(2821---k k k 的方差为________．例2将某班学生40人随机平均分成两组，两组学生一次考试成绩如下表：试求全班学生的平均成绩和标准差．解：记第一组20人成绩为)20,,2,1( =i x i ，第二组20人成绩为)20,,2,1( =i y i ，则 80,90==y x ，全班的平均成绩85)20802090(401=⨯+⨯=z ．2220222120121)(x x x x s -++=＝36，2220222120122)(y y y y s -++=＝16，故全班学生成绩的标准差为222022212202221401)(z y y y x x x s -+++++=2222221401)20202020(z y s x s -+++=5185)80901636(22221=-+++=．例3 已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）：试分析两厂上缴利税的情况． 解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为x 甲＝41（70+50+80+40）＝60，x 乙＝41（55+65+55+65）＝60； 甲、乙两厂上缴利税的方差为 s 甲2＝41［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］＝250， s 乙2＝41［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］＝25． 经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定．2．巩固深化，反馈矫正．（1）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人测试成绩如下表：123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）A ．312s s s >>B ．213s s s >>C ．123s s s >>D ．231s s s >>2．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10xy =3．一组数据的方差为S 2，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的4倍，所得到的一组数据的方差是4．某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在5块试验田上做实验，每块试验田均为0．5公顷，产量情况如下：问：哪一品种的西红柿既高产又稳定? 五、归纳整理，整体认识1．用样本的方差、标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据．2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度．在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策．。

教学目标：1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法． 教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．教学过程：一、预习1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．思考 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：（1）__________________________________________________； （2）__________________________________________________． 思考 你认为条件（2）的作用是什么？思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？ 2．我们知道对于数列{a n }，已知a 1＝1，且11nn na a a ＋＝＋（n ＝1，2，3…）通过对n ＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为1n a n ＝，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝5开始一个个往下验证，当n 较小时可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．思考？你认为证明数学的通项公式是1 nan＝，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？多米诺骨牌游戏原理通项公式1nan＝的证明方法（1）第一块骨牌倒下．（1）当n＝时，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k＋1块也倒下．（2）若当n＝时，猜想成立，即，则当n＝时，猜想也成立，即．根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下．根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立．证明：（1）．（2）假设，3．小结．数学归纳法的定义：一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立．（2）（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立．上述证明方法叫做数学归纳法． 用框图表示为：注 这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就做出判断可能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1），无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了．二、课堂训练例1 证明等差数列通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ．例2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n －1）＝2n ． 例3 用数学归纳法证明 12＋22＋32＋…＋n 2＝(1)(21)6n n n ＋＋（n ∈N *）．练习：用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋(－1)n (2n －1)＝(－1)n n ． 三、巩固练习1．用数学归纳法证明：“()2211111n n a a a a a n a+N ＋＋－＋＋＋＋＝≠∈－L ，”在验证n ＝1成立时，左边计算所得的结果是 ．2．已知：111()1231f n n n n ⋅⋅⋅＝＋＋＋＋＋＋，则(1)f k ＋等于 ． 3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)＝1(1)(2)3n n n ＋＋．4．用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1)2n n n n n －－＋－＋－＋＋－＝－L ．四、小结重点：两个步骤、一个结论；注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．五、作业课本P94第1，2，3题．。

江苏省常州市西夏墅中学高中数学 3.2 二倍角的三角函数（第2课时）教案 新人教版必修4教学目标：1．运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；2．能运用公式解决一些简单的实际问题；3．培养学生观察、推理的思维能力．教学过程：一、复习引入二倍角公式：sin22sin cos ααα=； 22cos 2cos sin ααα=-； 22tan tan 21tan ααα=-； 2cos 22cos 1αα=-；2cos 212sin αα=-．（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．（2）二倍角公式为仅限于2α是α的二倍的形式，尤其是“倍角”的意义是相对的（3）熟悉“倍角”与“二次”的关系（括角—降次，缩角—升次）．（4）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 这两个形式今后常用． 二、 数学运用1. 例题.例1 化简222sin ()sin ()sin 66ππααα-++-。

法一：由倍角公式2cos 212sin αα=-,得21cos 2sin 2αα-=, 对原式进行降幂化简,角由单角变为倍角． 这里用到了21cos 2sin 2αα-=,它和21cos 2cos 2αα+=，21cos2tan 1cos2ααα-=+统称为降幂公式．法二: 两角和差的正弦展开．例2 求证: sin 50(13tan10)1+=例3 求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值,并写出该函数在[]0,π上的单调递增区间．注: 解决三角函数问题,首先用公式进行化简,再按要求进行求解．例4 已知11tan(),tan ,,(0,),2.27αββαβπαβ-==-∈-求的值 这是一个由函数值求角的问题,这就需要求出这个角的某个三角函数值,并需要判断这个角所在的范围．例5 在半圆形钢板上截取一块矩形材料,怎样截取能使这个矩形的面积最大？2. 练习．（1）证明：①B A B A A 2cos 2cos )(sin B (cos 22=--+）②θθθ2cos )tan 1(cos 22=-（2）求函数y=的最小值x x x x cos sin 2sin cos 22+-（3）11tan ,tan ,273αβαβαβ==+已知且，都是锐角，求的值. （4）扇形AOB 的半径为1，中心角为60，PQRS 是扇形内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求这个最大值．三、小结1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．。

教学目标：1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解直接证明的基本方法：分析法、综合法和数学归纳法；了解分析法、综合法和数学归纳法的思考过程、特点．4．了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识．教学重点：了解本章知识结构，进一步感受和体会常用的思维模式和证明方法，形成对数学的完整认识．教学难点：认识数学本质，把握数学本质，灵活选择并运用所学知识解决问题．教学过程：一、知识回顾本章知识结构：基础知识过关：（1）合情推理包括 推理、 推理．（2） 称为归纳推理；它是一种由 到 ，由 到 的推理．（3） 称为类比推理；它是一种由 到 的推理．（4）归纳推理的一般步骤是：① ，② ．（5）类比推理的一般步骤是：① ，② ．（6）从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们称这种推理为 ，它是一种 到 的推理．（7） 和 是直接证明的两种基本方法．（8）反证法证明问题的一般步骤：① ，② ， ③ ；④ ．（9）数学归纳法的基本思想 ；数学归纳法证明命题的步骤：① ，② ，③ ．二、数学运用例1 （1）考察下列一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，…．将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 ．（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为 ．（3）若数列{a n }是等差数列，对于b n ＝1n(a 1＋a 2 ＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，对于d n ＞0，则d n ＝ 时，数列{d n }也是等比数列．解 （1）(0)m n m n m n n m a b a b a b a b a b m n *N ＋＋＋＞＋，＞，≠，，∈；（2）体积比为1∶8；（3）12n n c c c n *N ，∈L ．说明 （1）是从个别情况到一般情况的合情推理；（2）是从平面到空间的类比推理；（3）是从等差数列到等比数列的类比推理．例2 若△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，分别用综合法和分析法证明：1c a a b b c＋＝＋＋． 证明 （分析法）要证1c a a b b c ＋＝＋＋， 只需证()()()()c b c a a b a b b c ＋＋＋＝＋＋，即证222c a ac b ＋＝＋，∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，∴C ＝60°，由余弦定理得2222cos60b a c ac ＝＋－o ，即222c a ac b ＋＝＋，故原命题成立．（综合法）∵△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，∴C ＝60°，由余弦定理得2222cos60b a c ac ＝＋－o ，即222c a ac b ＋＝＋，或()()()()c b c a a b a b b c ＋＋＋＝＋＋，两边同除以()()a b b c ＋＋得1c a a b b c＋＝＋＋． 说明 分析法和综合法是两种常用的直接证明方法．分析法的特点是执果索因，综合法的特点是由因导果，分析法常用来探寻解题思路，综合法常用来书写解题过程．例3 已知a ，b ，c ∈(0，1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于41． 分析 “不能同时大于41”包含多种情形，不易直接证明，可考虑反证法． 证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 同时大于14， 即 (1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14， ∵a ，b ，c ∈(0，1)，∴三式同向相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a ＞164，又211(1)()24a a a a －＋－≤＝， 同理1(1)4b c －≤，1(1)4c a －≤， ∴(1－a )b (1－b )c (1－c )a ＞164，这与假设矛盾，故原命题得证． 说明 反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思考问题的证明方法．用反证法证明命题“若p 则q ”时，可能会出现以下三种情况：（1）导出非p 为真，即与原命题的条件矛盾；（2）导出q 为真，即与假设“非q 为真”矛盾；（3）导出一个恒假命题．使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提．当遇到否定性、惟一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法．例4 已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a n ＋12＋a n ＋1－1＝ a n 2(n ∈N *)记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ．T n 112121111(1)(1)(1)(1)(1)n a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋． 求证：当n ∈N *时，（1）a n ＜a n ＋1 ；（2）S n ＞n －2 ；（3）T n ＜3．解 （1）证明：用数学归纳法证明．① n ＝1时，因为a 2是方程x 2＋x －1＝0的正根，所以a 1＜a 2．② 设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1，因为a k ＋12－a k 2＝(a k ＋22＋a k ＋2－1)－(a k ＋12＋a k ＋1－1)＝(a k ＋1－a k ＋1) (a k ＋1＋a k ＋1＋1)，所以a k ＋1＜a k ＋2．即当n ＝k ＋1时，a n ＜a n ＋1也成立．根据①和②，可知a n ＜a n ＋1对任何n ∈N *都成立．（2）证明：由a k ＋12＋a k ＋1－1＝a k 2，k ＝1，2，…，n －1（n ≥2），得a n 2＋(a 2＋a 3＋…＋a n )－(n －1)＝a 12．因为a 1＝0，所以S n ＝n －1－a n 2．由a n ＜a n ＋1及a n ＋1＝1＋a n 2－2a n ＋12＜1，得a n ＜1，所以S n ＞n －2．（3）证明：由a k ＋12＋a k ＋1＝1＋a k 2≥2 a k ，得11112k k ka a a ＋＋≤＋( k ＝2，3，…，n －1，n ≥3) 所以2234221(1)(1)(1)2()n n n a a a a a a -⋅⋅⋅≤＋＋＋＋( a ≥3)， 于是2234221(1)(1)(1)2()n n n a a a a a a -⋅⋅⋅≤＋＋＋＋＝22n n a -＜212n -( n ≥3)， 故当n ≥3时，21111322n n T ⋅⋅⋅－＜＋＋＋＋＜， 又因为T 1＜T 2＜T 3，所以T n ＜3．三、学生总结引导学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、归纳推理的概念及彼此间的关系．认识数学本质，把握数学本质，增强创新意识，提高创新能力．四、课后作业教材第102—103页复习题第3题，第4题，第5题，第9题，第12题，第13题．。

教学目标：1．了解随机数的概念和意义；2．了解用模拟方法估计概率的思想；3．了解几何概型的基本概念、特点和意义；4．了解测度的简单含义；5．了解几何概型的概率计算公式．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、问题情境问题1：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、3m122cm红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12．2cm ，运动员在70m 外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（1）能用古典概型描述事件的概率吗？为什么？（2）试验中的基本事件是什么？（3）每个基本事件的发生是等可能的吗？（4）符合古典概型的特点吗？二、学生活动问题1：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点．问题2：射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm 的大圆内的任意一点．三、建构数学几何概型的特点：(1)基本事件有无限多个；(2)基本事件发生是等可能的．一般地,在几何区域D 中随机地取一点，记“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率：.D的测度d的测度P(A) 四、数学运用1．例题．例1 两根相距8m 的木杆上系一根拉直绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于3m 的概率．解：记“灯与两端距离都大于3m ”为事件A ，由于绳长8m ，当挂灯位置介于中间2m 时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P （A ）= 82=41． 例2 取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．事件A,记“豆子落在圆内”为:解.a a πππ===22圆的面积P(A)正方形面积44答:豆子落入圆内的概率为4 数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率．如果向正方形内撒n 颗豆子，其中落在圆内的豆子数为m ，那么当n 很大时，比值n m ，即频率应接近于 P (A )，于是有 由此可得 4πm n≈ 2．练习．（1）在数轴上，设点x ∈中按均匀分布出现，记a ∈(－1，2]为事件A ，则P（A ）=（ ）A ．1B ．0C ．12D ．13（2）在1L 高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL ，含有麦锈病种子的概率是多少？（3）在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油．假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？（4）如右下图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，分别计算它落到阴影部分的概率．2a().m P A n≈（5）在正方形ABCD 内随机取一点P ，求∠APB ＞ 90°的概率．22)2(21)(a a D d A P π==的测度的测度解：.8π=变式：∠APB ＝90°？.00)(2===a D d B P 的测度的测度结论：概率为0的事件可能发生！五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．古典概型与几何概型的对比．相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．2．几何概型的概率公式．积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( BC AD P B C A DP3．几何概型问题的概率的求解．（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；（2）D的测度不为0，当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积．（3）区域应指“开区域”，不包含边界点；在区域D内随机取点是指：该点落在D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．。

7 8 9 J 011 12 6 7 8 910 11 5 6 7 X 9 10 4 5 67 & 9 3 467 8 2 34 567第二次抛掷后向§ 3. 2古典概型(2 )教学目标(1) 进一步掌握古典概型的计算公式；(2) 能运用古典概型的知识解决一些实际问题; 教学重点、难点古典概遍中计怎比较复杂的背景问题• 教学过程一、 问题情境 问题：等可能事件的概念和古典概型的特征？二、 数学运用 例1.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问： (1) 共有多少种不同的结果？(2) 两数的和是3的倍数的结果有多少种？ (3) 两数和是3的倍数的概率是多少？解：(1)将骰子抛掷1次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果。

先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于 是一共有6x6 = 36种不同的结果；⑵第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两 种结果，使向上的点数和为3的倍数(例如：第一次向上的点数为4,则当第2次向上的点数 为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数)，于是共有6x2 = 12种不同的结果.⑶记“向上点数和为3的倍数”为事件4,则事件4的结果有12种，因为抛两次得到的361? I中结果是等可能出现的，所以所求的概率为P(A)= —=-36 3答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有12种；点数和是3 的倍数的概率为-；说明：也可以利用图表来数基本事件的个数:例2.用不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求(1) 3个矩形颜色都相同的概率；(2) 3个矩形颜色都不同的概率.分析：本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：(树 形图)5 43 2 1 2 34 5第一次抛掷后向上63 形矩2 形矩矩3 形矩2 形矩矩r3 形矩2 形矩矩解：基本事件共有27个；⑴记事件4 = “3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件4包含的基本事件有1x3 = 3 个，故3 1P(A)= —=-27 9⑵记事件B=“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B包含的基本事件有2 x 3 = 6个, 故尸3丿=——=-27 91 ?答：3个矩形颜色都相同的概率为一；3个矩形颜色都不同的概率为一.9 9说明：古典概型解题步骤：⑴阅读题目，搜集信息；⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；⑶求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；⑷用公式P(A)=-求出概率并下结论.n例3. 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.解：在1000个小正方体中，一面图有色彩的有82X6个，两面图有色彩的有8x12个，三面384图有色彩的有8个，...⑴一面图有色彩的概率为占=上二=0.384；'100096⑵两面涂有色彩的概率为P,= ——=0.096 ；2 1000Q⑶有三面涂有色彩的概率P,= ——=0.008.2 1000答：⑴一面图有色彩的概率0.384 ；⑵两面涂有色彩的概率为0.096 ；⑶有三面涂有色彩的概率0.008.2.练习：(1)同时抛掷两个骰子，计算：①向上的点数相同的概率；②向上的点数之积为偶数的概率.(2)据调查，10000名驾驶员在开车时约有5000名系安全带，如果从中随意的抽查=名驾驶员有无系安全带的情况，系安全带的概率是()(A) 25% (B) 35% (C) 50% (O) 75%(3)在20瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取1瓶，恰为过保质期的概率为( )(A)丄(B)丄(C)丄(D)丄2 10 20 40三、回顾小结：1.古典概型的解题步骤；2.复杂背景的古典概型基本事件个数的计算一一树形图;四、课外作业：课本第97页第4、7、8、9、10、11题。

教学目标：1．复习复数的概念，表示形式（几何和代数）以及复数的四则运算．2．借助图形及向量形式进一步加深对复数的理解，学会用代数方法解决问题．教学重点：复数的综合应用．教学难点：复数的综合应用．教学过程：一、知识回顾1．复数的三种形式：（1）代数形式__________________；（2）几何形式_______________；（3）向量形式______________．⇔，a＋b i 2．复数相等：当a，b，c，d∈R时，a＋b i＝c＋d i_________⇔．＝0_____3．复数的四则运算：特别是除法运算，就是分母__________化．4．共轭复数、模：（1）z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数是________________，（2）z是实数⇔_____________________．（3）│z│＝__________．z z⋅＝＝．（4）________________5．复数的几何意义：│z1－z2│表示_______________________________．二、数学应用例1（1）设a，b，c，d∈R，则复数（a＋b i）（c＋d i）为实数的充要条件是____________．（2）在复平面内，复数1i i ＋对应的点位于第_______象限． （3）已知1im ＋＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝_______． （4）设x ，y 为实数，且1i x －＋12i y －＝513i－，则x ＋y ＝ ． 例2 已知复数z 满足4z z ⋅＝，且│z ＋1＋3i │＝4，求复数z ．解 法一 待定系数法 设z ＝a ＋b i ，则由条件22224(1)(3)16a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩＋＝＋＋＋＝法二 利用模的几何意义 │z │＝2表示z 所对应的点在原点为圆心，2为半径的圆上；│z ＋1＋3i │＝4表示z 所对应的点在以(－1，－3)为圆心，4为半径的圆上，故z 所对应的点为两圆的交点，即可求解．练习1 已知z 1，z 2∈C ，│z 1│＝│z 2│＝1，│z 1＋z 2│＝3，求│z 1－z 2│．2．设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则当z 满足下列条件时，动点Z （x ，y ）分别表示什么样的图形？（1）│z －i │＋│z ＋i │＝4. （2）│z ＋1＋i │＝│z －1－i │.例3 已知z 1，z 2是两个虚数，并且z 1＋z 2，z 1·z 2均为实数，求证：z 1，z 2是共轭虚数．。

10.1.3古典概型(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第十章)一、教学目标1. 利用生活实例判断并得出古典概型的概念；2. 通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；3.能够正确判断古典概型，计算事件的概率二、教学重难点1.重点：古典概型特点2.难点：古典概型概率公式推导，古典概型的识别三、教学过程1.情景导入问题1：抛掷一枚质地均匀的骰子的所有可能结果是什么?哪种结果的可能性较大?问题2：有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？【设计意图】设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。

问题3：你能从上面两个实验中发现这两个试验有什么共同的特点?【设计意图】利用问题情境探究得出古典概型的定义,培养学生探索的精神。

2.新知初探我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。

即具有以下两个特征：1）、有限性：样本空间的样本点只有有限个；2）、等可能性：每个样本点发生的可能性相等。

问题4：求抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”的概率.我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型。

教师讲授：古典概型的概率计算公式：一般地，设试验E 是古典概型，样本空间Ω包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件A 的概率()()(Ω)k n A P A n n ==.其中，()n A 和(Ω)n 分别表示事件A 和样本空间Ω包含的样本点个数.3.典例分析例：抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为1号和2号），标记两枚骰子分别可能出现的基本结果.(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；(2)求两个骰子的点数之和为5的概率；(3)求两个骰子的点数相等的概率；(4)求1号骰子的点数大于2号骰子的点数的概率；(5)若不给两个骰子标记号码，(2)中的概率会改变吗？解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成抛掷两枚骰子试验的一个结果。