苏教版高中数学选修2-2《1.3.1 单调性》教案

2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．教学重点：利用导数判断函数单调性．教学过程：一、问题情境1．问题情境．怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？2．探究活动．由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？二、建构数学1．函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y＝f(x)的切线的斜率就是函数y＝f(x)的导数．从函数243＝－＋的图象y x x可以看到：x)y＝f(x)＝x2－4x＋3 切线的斜率 f ′（在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y ＝f(x)的值随着x 的增大而增大，即y ′＞0时，函数y ＝f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y ＝f(x)的值随着x 的增大而减小，即y ′＜0时，函数y＝f(x)在区间（－∞，2）内为减函数．定义：一般地，设函数y ＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y ′＞0，那么函数y ＝f(x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y ＝f(x)为在这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数()f x ．②令()f x ＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令()f x ＜0解不等式，得x 的范围就是递减区间．三、数学运用例1确定函数f(x)＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．21f x = 2x 3-6x 2+7xOy解 f ′（x)＝(2x 3－6x 2＋7)′＝6x 2－12x令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f ′（x)＞0，f(x)是增函数．当x ∈(2，＋∞)时，f ′（x)＞0，f(x)是增函数．令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．∴当x ∈(0，2)时，f ′（x)＜0，f(x)是减函数．(2，＋∞) 增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0例2已知函数y ＝x ＋x1，试讨论出此函数的单调区间．-22-11f x = x+1xxOy 解法一：(用定义的方法) 法二：(用导数方法)点评用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于用定义法解决单调性问题是十分简捷的；用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性．练习1．确定下列函数的单调区间（1）y ＝x 3－9x 2＋24x（2）y ＝x －x32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的单调区间．3．求下列函数的单调区间（1）y ＝2x x ＋（2）y ＝29xx －（3）y ＝x ＋x ．四、回顾小结f(x)在某区间内可导，可以根据f ′（x)＞0或f ′（x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当 f ′（x)＝0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数．五、课外作业课本第29页第1，2，3题．。

利用导数研究函数的单调性
【学习目标】
1、了解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数研究函数的单调性；
【学习重点】
能利用导数研究函数的单调性
【学习过程】
一、知识回忆：
1 利用导数研究函数的单调性
在某个区间a,b内,如果f'≥0且在a,b的任意子区间上,那么函数=f在这个区间内单调递增; 如果f'≤0且在区间a,b的任意子区间上,那么函数=f 在这个区间内单调递减
2 判定函数单调性的一般步骤
1 确定函数=f的定义域;
2 求导函数f';
3 在函数f的定义域内解不等式f'>0或f'<0;
4 根据3的结果确定函数的单调区间
二、课前热身
1、函数＝f，其导函数＝f′的图象如下图，
那么＝f的单调减区间为
2、函数的单调区间为。

3、函数f＝－n 的单调减区间为________ ．
4、函数f＝3＋a－2在区间1，＋∞上是增函数，那么a的取值范围为______________．
三典型例题
例11函数f=n -2的单调减区间是
(2)函数=3-2e的单调增区间是
例2函数,a∈R当时,讨论f的单调性
例3 函数,如果函数f在1,∞上单调,求实数a的取值范围
变式：函数f＝3＋1－a2－aa＋2＋ba，b∈R．假设函数f在区间－1,1上不单调，求a的取值范围
四、当堂检测
1、函数的单调减区间为
2、函数的单调递增区间为〔-1,1〕，那么=
3、假设在〔1，〕上是减函数，那么b的取值范围
4、函数,讨论函数f的单调性
五、学后反思。

导数在研究函数中的应用（单调性）教学目标：1.知识与技能(1)探索函数的导数与单调性之间的关系.(2)利用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间、证明函数的单调性.2.过程与方法通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法.3.情感、态度、价值观教学过程中让学生多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的习惯. 教学重点、难点：探索并应用导数与函数单调性之间的关系求函数的单调区间，证明函数的单调性. 教学方法与教学手段：启发式,多媒体教学.教学过程：一、提出问题师：我们知道，导数作为函数的变化率，它刻画了函数的变化的趋势（上升或下降的陡峭程度），请大家回忆一下，在我们过去学习的知识中，还有什么也是刻画函数的变化趋势的？ 生:单调性.师：既然导数与单调性都能够刻画函数的变化趋势，那么它们之间有着怎样的联系呢？二、数学建构（1）提出猜想：学生研究，汇报成果，教师引导学生得到两个结论.1.)(x f 单调递增 0)(>'x f 2.0)(>'x f )(x f 单调递增（2）验证猜想：根据下面的图说明猜想2：引导学生通过举反例来否定猜想1.（3）确认结论：师：事实上，数学的很多结论都是实际生活和自然规律的反映.比如，当汽车行驶时，其速度的导数即为瞬时加速度，刚启动时，加速度为正，所以速度越来越快；而在刹车的过程中，加速度为负，所以速度越来越慢.三、数学应用：例1函数34)(2+-=x x x f 的单调区间为 .例2 确定函数762)(23+-=x x x f 的单调增区间. 例3 用导数证明:函数)23,2(,sin )(ππ∈=x x x f 为减函数. 四、回顾反思问题1：我们怎么想到研究导数与单调性之间的关系的？问题2：我们是怎样研究这个问题的？问题3：我们得到了哪些结论？问题4：运用上述结论，解决了哪些问题？五、课堂巩固1.函数x x x f ln )(=的减区间为 .2.用导数证明: (1)x e x f =)(在区间),(+∞-∞上是增函数. (2)x x f ln )(-=在定义域上是减函数.导数在函数中的应用（单调性）教学设计说明函数的导数与单调性是选修2-2第一章第三节的内容。

导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。

它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。

通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。

事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。

教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。

师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。

其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。

教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。

五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。

教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。

教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。

六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。

导数在研究函数中的应用单调性学习目标：1．结合实例，探索并掌握函数的单调性与导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式3会求函数的单调区间一、问题情境:以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设10；2从最高点到入水，h随t的增加而减小，即ht是减函数，h′t0，是增函数；2在区间－∞，0内，′＝2021增函数；3在区间－∞，＋∞内，′＝32≥0，是增函数；4在区间－∞，0，0，＋∞内，′＝－错误!么函数＝f在这个区间内单调递增；如果f′0；当>4，或0，可知f在此区间内单调递增；当>4，或0解得2，由f ′0，即2·错误!>0，解得－错误!错误!又∵>0，∴>错误!令f ′0，∴00时，函数f 的单调递增区间是[－错误!，错误!]．令f ′≤0时，得3t －32≤0，即t ≤2，当t ≤0时，f ′≤0恒成立，函数f 的单调递减区间是－∞，＋∞；当t >0时，函数f 的单调递减区间是－∞，－错误!]，[错误!，＋∞．综上所述，当t ≤0时，函数f 的单调减区间是－∞，＋∞，无单调增区间；当t >0时，函数f 的单调增区间是[－错误!，错误!]，单调减区间是－∞，－错误!]，[错误!，＋∞． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤：1优先确定f 的定义域；2计算导数f ′；3解f ′>0和f ′0的区间为增区间，定义域内满足f ′ax x x f +=3)(⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21()032'≥+=a x x f ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2143-≥a 0和f ′0，即函数f 为增函数；当02时，f ′>0，即函数f 为增函数．观察选项易知④正确．2．函数f ＝n －aa >0的单调增区间为________．答案 错误!解析 f 的定义域为{|>0}，由f ′＝错误!－a >0，得00，得>2；令′<0，得<2，所以＝2－4＋a 的单调递增区间为2，＋∞，单调递减区间为－∞，2．。

导数在研究函数中的应用——单调性【教学分析】1.教材分析本节课是高中数学苏教版教材选修2-2第节导数在研究函数单调性中的应用.这节内容是导数作为研究函数的工具的起点,是本节的重点,学生对本节的收获直接影响着后面极值、最值的学习.函数单调性是高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质.学生在中学阶段对于单调性的学习共分为三个阶段：第一阶段,在初中以具体函数为载体,从图形直观上感知单调性；第二阶段在高中学习必修一时,用运算的性质研究单调性；第三阶段就是在本节课中,用导数的性质研究单调性.本节内容属于导数的应用,是本章的重点,学生在学习了导数的概念、几何意义、基本函数的导数、导数的四则运算的基础上学习本节内容.学好它既可加深对导数的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础,具有承前启后的重要作用.研究过程蕴含了数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,以及研究数学问题的一般方法,即从特殊到一般,从简单到复杂,培养了学生应用导数解决实际问题的意识.2.学情分析《普通高中数学新课程标准（实验）》中要求：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数间的关系.对于函数的单调性学生已经掌握图象、定义两种判断方法,但是图象和定义法不是万能的.对于不能用这两种方法解决的单调性问题学生需要思考.学生之前学习了导数的概念,经历过从平均变化率到瞬时变化率的过程,研究过导数的几何意义是函数图象在某点处的切线,从数和形的角度认识了导数也是刻画函数变化陡峭程度的量,但是沟通导数和单调性之间的练习对学生来说是教学中要突破的难点和重点.3. 教学目标(1)了解函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)通过实例,借助几何直观、数形结合探索函数的单调性与导数的关系；通过初等方法与导数方法研究函数性质过程中的比较,体会导数在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.(3)通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习兴趣,培养学生转化与化归的思维方式,并引导学生掌握从特殊到一般,从简单到复杂的思维方法,用联系的观点认识问题,提高学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.4. 教学重点：利用导数研究函数的单调性5. 教学难点：发现和揭示导数的正负与函数单调性的关系.6. 教学方法与教学手段：问题教学法、合作学习法、多媒体课件等【教学过程】1.创设情境,激发兴趣情境一：过山车章头图情境二：观看过山车视频【设计意图】通过章头图拉近学生与数学的关系，让学生感受到生活处处有数学，也为本节课的研究埋下伏笔。

课题：导数在研究函数中的应用--单调性执教者：陈庆广单位：江苏省赣榆高级中学导数在研究函数中的应用——单调性江苏省赣榆高级中学陈庆广【设计思想】1、从学生的知识建构上看：按照新课程标准的要求，本着“学生主体，教师主导〞的原那么，在教学设计上遵循学生的认知规律，遵循辩证唯物主义的认识论，使学生对导数在研究函数的单调性作用从感性到理性的理解，使学生对数学概念和规律的学习并不感到突然和困难．2、从教学方法上看：为了突出重点，突破难点，运用“情境创设——主动探究——归纳总结——体验感知——回忆反思〞的教学方法．具体地，将“学生讨论与教师引导〞融合在一起，让学生体验知识生成的研究方法；启发学生思索由熟悉函数的单调性知识与导数的几何意义建立两者之间的内在联系，层层提出问题，逐步分析创设概念的形成过程，从而体会“理论探究〞的研究方法；从而激发学生自主探索，生成知识的自然过渡，体会数学3、从教学效果上看：由于是新授课，力争做到概念生成自然，结论产生严谨，知识点讲清、讲透，效劳于后续的知识学习．正在概念，轻习题，例题选择简单，仅仅围绕概念设置，表达“从生活到数学，从数学到实际〞的新理念，又具有情感教育的功能．【教材分析】本节课是高中数学选修2-2〔苏教版〕单调性是在初等函数单调性研究的根底上，进一步利用导数的工具研究更为复杂的函数单调性，是高中数学的核心内容，具有工具性的特点．依据?普通高中数学课程标准〔实验〕?，结合学生的认知特点，确定这节课的价值取向是强调本质、再现过程、开展思维、提升能力．【学情分析】1、高二学生认知特点是：从具体的形象思维向抽象逻辑思维过渡，仍需从具体形象的情景背景感性经验逐步转化为理性认识．2、学生在熟悉掌握初等函数的单调性的根底上，在探究图像、定义法解决有困难时，能轻松过渡到导数的几何意义，体验建立导数研究函数单调性的生成过程；本节主要是导数研究函数单调性的生成过程及利用其求函数的单调性．【教学目标】〔一〕知识与技能：知识目标：探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间；能力目标：利用导数求较为复杂的函数的单调性，能利用单调性画出函数的草图，经历将实际问题抽象为数学概念的过程，体会数学思维的严谨性和数学的简约美，同时掌握思想方法，开展各种能力．〔二〕过程与方法：1、经历“类比、探究〞的发散思维和“体验、总结〞理论探究归纳能力；2、体会用“探究法〞和“理论推导〞相互结合研究问题的方法．〔三〕情感态度与价值观：开展学生的数学应用意识，体验数学文化，丰富学生的学习情感，提升数学素养．【重点难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求一些简单的非初等函数的单调区间．教学难点：如何引导学生建立导数与单调性之间的关系，进一步利用导数求函数的单调区间．【教学方法】探究法、讲授法【教学过程】一、问题情境教师：同学们，我们刚刚从教师走到这儿用了几分钟呀？从数学角度，距离与时间建立了什么关系？学生：建立函数关系。

导数与单调性的教学设计本节的教学内容是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的根底上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好根底。

函数的单调性是函数极为重要的性质。

在高一学生利用函数单调性的定义、函数的图像来判断函数的单调性，通过本节课学习，利用导数来判断函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。

同时，为下一节学习利用导数研究函数的极值、最值有重要的帮助。

因此，学习本节内容具有承上启下的作用。

【学生学情分析】由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。

通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多〔尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言〕，充分表达了导数解决问题的优越性。

虽然函数单调性的概念在高一学过，但现在可能已忘记；因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是学生刚学习的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。

【教学目标】1知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。

2过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3情感态度与价值观：通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数〔尤其是三次、三次以上的多项式函数〕的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要表达在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比拟困难的。

根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会〞向“会学〞转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜想、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。