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恒定磁场的边界条件3 3 矢量磁位

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稳恒磁场问题求解

稳恒磁场问题求解

L1 I 12
MI1I 2
1 2
L2
I
2 2
六、磁场能量
【例1】长度为l ,内外导体半径分别为 R1 与 R2 的同轴电缆，通有电流 I ， 试求电缆储存的磁场能量与自感。
【解】由安培环路定律，得
H
I
2
e
I
2 R12
e
I 2
e
0 R1 ••R 1 R2
磁能为 自感
1
a
O
I
b
cIOr来自adrbc e
外磁链
【分析】 该磁通链由三部分磁通形成：外
导体中的磁通，内外导体之间的磁通以及内
导体中的磁通。由于外导体通常很簿，穿过其
内的磁通可以忽略。
I
【解】
由••
H
L
dl
I
Bo
0I
2πr
e •••• a
r
b
Bi
0 Ir
2πa 2
e •••0
r
a
o o
S Bo dS
μ0 I 4π
L L
dz R
ez
ez
μ0 I 4π
L
dz'
L ρ2 (z z')2 1 2
A
ez
μ0 I 4π
ln
ρ2 L z2 L z ρ2 L z2 L z
A
μ0I 2π
ln
2L ρ
ez
(L )
问题：L趋向无限大 该如何处理
B
A
AZ ρ
eφ
μ0 I 2πρ
eφ
A
sin
v B
v A
r er
1

《电磁场理论》第五章 恒定磁场1

《电磁场理论》第五章 恒定磁场1
3
蜒
C 2 C1
7
（5.1）
图 5.1.1 两个电流回路间的相互作用力
0 4 1 0 式中，
r r r ,r H / m 为真空中的磁导率，
分别为电流元 I 1 和 I 2 的位置矢量，R 为两电流元之间的距离， 且有 R | r r | 。 式 （5.1） 称为安培力定律。 同理得
r r 0 B (r ) 4 r r 0 B (r ) 4
Ñ
V
u r r r J ( r ) d V R R
3
（5.9）
Ñ
S
u r r r J S ( r ) d S R R
3
（5.10）
5.2 真空中磁场的基本方程
恒定磁场是由恒定电流产生的，它是在电流周围形成的一个特殊的矢量场分布。通 过对磁感应强度的散度和旋度进行分析，可以全面地了解空间磁场分布的特性，进而得 出恒定磁场的一般性质。
) J ( r ) (
J ( r ) R
)
1 R
J ( r )
代入式（5.13） ，得
B
0
4

[ (
v'
J ( r ) R
)
1 R
J ( r )] dV '
（5.14）
因 J ( r ) 0 ，对式（5.14）两边分别取旋度，得
第五章
恒定磁场
前面两章分别讨论了静止电荷产生的静电场以及运动电荷形成的恒定电流产生的恒 定电场。本章将讨论恒定电流产生的恒定磁场。电场表现为对电荷有作用力，不管电荷 是相对静止的还是运动的。而磁场表现为对电流或运动电荷有作用力。如果电流的分布 是是不随时间变化的，即恒定电流，那么周围的磁场也是不随时间变化的，称为恒定磁 场。 本章分别介绍真空与磁介质中恒定磁场的基本方程和边界条件，引入了矢量磁位和 标量分别对恒定磁场进行求解。最后讨论了电感。磁场能量和磁场力。

电磁场 恒定磁场

电磁场 恒定磁场

工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场

电磁场4恒定磁场

电磁场4恒定磁场

S
L
S
磁化电流体密度：
Jm M
磁化电流面密度：
JS
M
en
结论：
➢有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用在真空中产生的磁场；
➢磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
产生的电场与磁场
电 偶
v p P
1 4π0
pv
1 R
pv evR 4π0R2
➢电流与电流之间 存在相互作用
➢磁场对运动电荷的作用 运动电荷既能产生磁效应也 受到磁力的作用
表明： ➢电流与电流之间，磁铁与电流之间都存在力的作用 ➢磁铁和电流周围存在磁场 ➢磁力是通过磁场来传递的
运动电荷
磁场
运动电荷
存在于电流或永久磁铁周围空间且能 对运动电荷和电流施加作用力的物质
（1） 安培定律
dF
Idl
0
4
I
dl
eR
l R2
点电荷q1对点电荷q2 的作用力
F
1
4 0
q2q1 R2
eR
电荷之间相互作用 力通过电场传递
F q
1
4 0
V
dV
R2
eR
qE
点电荷 库仑定律 电场强度
电流元I′dl′对电流元
Idl的作用力
F
0 4
Idl
(
I
dl
eR
)
R2
电流之间相互作用 力通过磁场传递
F
Idl
0
l
4
l
I
dl
eR
R2
Idl B
l
电流元 安培定律 磁感应强度

《电磁波与电磁场》4-恒定磁场

《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使 磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜

电磁场的边界条件(二)

电磁场的边界条件(二)

顷厂 Bx = B、一 B2x = 30"。H2x = B = 10 (-ax) X[6ax +
含有Js的分界面 衔接条件
Sy-(H2xax + H2yay + H&)]= -也 —H2y =4
= 得:H2=H2xdx + H2 ydy
〃O(3OR B2=%厅2 =
10 句
+
4a
y
+12a y)
H2z = 0
8\ S=心 s
矢量形式
n • （A Ps
nx（E] _E2）=。
n • （&一窟）=o
n x （亘 1-百2）="S n • （J、D-写
ot
n x （A —乙）=0
冒1 1 s = ^21S
注意：应用这些边界条件时，必须牢记以下性质
(1)在理想导体(CT = 8)内部的电磁场为零，理想导体表
s 面存在P 和。
思考：若面电流J = ^y~ ^az， 答案是否变化，如何变?
小结：
1. 磁场法向分量的边界条件 Bin = Bn
2. 磁场切向分量的边界条件 沁（瓦—貽=js
3. 矢量磁位的边界条件4|s= 4|s
4. 标量磁位的边界条件 編|s = ©m2 Is _
5. 电流密度的边界条件臨（」1-，2） = - n X （」-二）=0
亘.页=1
= He/-H2t △/ I = Js △/
于是：H「H：=囚或方、（冗匚百2）二刃
牛-与=J
Ml M
已知：B -牛=J 風=风
卩\ 卩2
若: JS = 0
风/
/B\nan0 二
当:
卩2taTn8^

第四章 恒定电场和恒定磁场


E , 2 0
E1t E2t
1 2 , 1
J E
D1n D2n
1 2 2 n n
J1n J 2n
1 2 2 n n
静电场
对应物理量
12
恒定电场
E E
D


q
I
J

C G
电磁场与波
和夹角为 0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算 沿方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为σ。 解： 设在沿方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿 方
向流动，而且电流密度是随变化的。但容易判定电位Ψ 只是变
量 的函数，因此电位函数Ψ 满足一维拉普拉斯方程
2 1 0 2 2 , z不变，变量
此时，良导体表面可近似地看作为 等位面； 若媒质1为理想介质，即1＝0，则 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体中
媒质1
E1
媒质2
E2 2
( 2 1 )
1 2
媒质1 1 0 媒质2
ˆ n E1
的电流和电场与分界面平行。
9
E2
2
( 1 0)
2
2u 1 u 1 2u 2u 2 2 2 z
方程通解为
C1 C2
0
r2
代入边界条件 可以得到
20
U0 ,

0
0
0
J σ
h r1
C1 U 0 / 0 , C2 U 0
流密度的切向分量并不连续。
理想导体与另一导体的分界面处，将只可能存在法向的恒定电 场和恒定电流。

第三章 恒定磁场(3)-new


AZ1 =
µJ z
4
(a
2
−ρ
2
),
AZ 2 =
µ0 J z a
2
2
ln
a
ρ
磁感应强度
eφ r r ∂Az v 2 B = ∇× A = − eφ = 2 µ0 J z a v ∂ρ eφ 2ρ
µ Jzρ v
0<ρ ≤a a<ρ <∞
磁位 ϕm与磁矢位 A 磁位 (ϕm ) 适用区域 无电流分布区域
（2）根据 H1t − H2t = K
µ1 µ 2 r r 1 1 ∴ (∇ × A1 ) t − (∇ × A2 ) t = K µ1 µ2 r r v 1 1 v 或 ∴ ( ∇ × A1 − ∇ × A2 ) × en = K µ1 µ2
对于平行平面场， 对于平行平面场，则可写成
, 有
B1t
s s l
wb
在工程数值中经常用此公式计算磁通， 在工程数值中经常用此公式计算磁通，并由此 得到其它等效参数。 得到其它等效参数。 4.边值型问题 边值型问题 当电流分布已知，利用磁矢位A的泊松方程 当电流分布已知，利用磁矢位 的泊松方程 和边界条件求A与 。 和边界条件求 与B。
v v 长直圆柱， 例：长直圆柱，均匀分布体积电流 J = J z ez ，圆 柱半径为 a ，磁导率为 µ ，求圆柱导体内外的磁
0r
a<ρ ≤∞
通解为， 通解为， 边界条件
4 Az 2 ( ρ ) = C3 ln ρ + C4
Az1(ρ) = −
µJ z
ρ + C1 ln ρ + C2
2
(1)
( 2)
(5)
Az1

第4章 恒定电场与恒定磁场讲解


不同点： 源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为 运动电荷
存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电 场可以存在于非理想导体内
4
l E dl 0
l E dl 0
S J dS 0
E 0
S D dS 0
E 0
J 0
D 0
J E
21
2 2
I
21 2U0
2 ln(b / a) 1 ln(c / b)
J
1 2U0
(a r c)
[ 2 ln(b / a) 1 ln(c / b)]r
E1

J
1

[ 2
ln(b /
2U0 a) 1
ln(c / b)]r
er
(a r b)
DE
2 0
2 0
E1t E2t
J1n J2n
1 2
2
2
n
1
1
n
E1t E2t
D1n D2n
1 2
2
2
n
1
1
n
5
C q
U
D dS E dS
S 2

S 2
E dl
E dl
1
，设同轴线内外导体电压为U。
求：(1)导体间的 E ，J ， ；
(2)分界面上自由电荷分布。
解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用 高斯定理求解。
由边界条件，边界两边电流连续。
设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。 E J
则：
J

I S
er
I
2 r er

第五-恒定磁场【共42张PPT】


B0 J
此式表明，真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密度与真空 磁导率的乘积。
另外，由高斯定理获知
SBdSVBdV
那么，根据磁通连续性原理求得
VBdV0
由于此式处处成立，因此被积函数应为零，即
B0 此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。
综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为
可见，无源区中磁感应强度B 是无旋的。
无
考虑到
，求得
关。为了计算方便起见，令所求的场 对于大多数媒质，磁化强度 M 与磁场强度 H 成正比，即
a 为物理无限小体积。
r - r' y 可见，矢量磁位 A 满足矢量泊松方程。
r' 当两者垂直时，受到的力矩最大。
e 点位于xz 平面，即 ' 在设小外电加流磁环场为四的根作长用度下为，l 的除电了流引元围起成电的子平进面方动框以，外电，流磁方' 向偶如极左子下的图示磁。矩方向朝着外加磁场方向转动。
例1 计算无限长的，电流为I 的线电流产生的磁感应强度。
z
dl
r′ r - r′
o
y
r e
x
I
解 取圆柱坐标系，如图示。令 z 轴沿电 流方向。 dl(rr)的方向为B 的方向。那 么，由图可见，这个叉积方向为圆柱坐标 中的 e 方向。因此，磁感应强度 B 的方 向为 e 方向，即
B Be
此式表明，磁场线是以 z 轴为圆心的一系列的同心圆。显然，此时磁场分布以 z 轴 对称，且与 无关。又因线电流为无限长，因此，场量一定与变量 z 无关，所 以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强度相等。因此，沿半径为r 的磁场线上 磁感应强度的环量为
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A A A A B
所以对于给定的B，可引入无数个A。原因是由亥姆霍兹定理， 一个矢量场的性质由该矢量场的散度和旋度唯一地确定，（3.50） 式只定义了矢量场A的旋度，没有定义散度，所以矢量场A是不 确定的。
为了使A是唯一的，令
A0
此时
3.51
A A A 2 2 0
界面，且h→0。 AB=CD=l， BDC=DCA0 ，如图3.17中所示。
利用安培环路定理
Ñl H dl I0i 3.40 i
上式的左边可以写为
Ñ H dl l
AB H1 dl
H dl
BDC
CD H2 dl
H dl
DCA
由于矩形回路极窄， BDC=DCA＝h 0 ，
H2
B2
2
所以铁磁质表面处磁力线（磁感应 线）稀少并与界面垂直。
切向无磁力线 在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。
磁导率为无限大 的媒质称为理想导磁体。在理想导磁体
中不可能存在磁场强度，否则，由式 可B见= ， H将需要无限
大的磁感应强度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电 流，因而需要无限大的能量，显然这是不可能的。因此，在 理想导磁体中不可能存在磁场强度。因为边界上磁场强度的 切向分量是连续的，可见，在理想导磁体表面上不可能存在 磁场强度的切向分量，换言之，磁场强度必须垂直于理想导 磁体表面。当然，在理想导磁体内部仍然存在磁感应强度。
代入上式可得
nˆ H1 H2 0 3.44
nˆ 0M 0JmS ,
JmS M nˆ
3．3 矢量磁位
3.3.1 矢量磁位A的引入
由·B=0和矢量恒等式·(×A)=0，B可以写为
B A 3.50
A称为矢量磁位，单位是特斯拉·米或韦伯/米。由（3.50） 式定义的A不是唯一的，例如设另一矢量A A ，ψ为 任一标量函数，则
上式中第二项和第四项积分为零，所以
Ñl H dl H1 l1 H2 l2 H1 H2 l1
sˆ 由图3.17中可以看出 l1 sˆ nˆl , 是回路包围的曲
面ΔS的单位法线矢量，所以上式可以写为
Ñl H dl H1 H2 (sˆ nˆ)l nˆ H1 H2 sˆl 3.41
所以
3.41
H1 sin1 H2 sin2
由图3.17中可以看出，上式可以写为
H1t H2t 3.45
所以在两种磁介质的分界面上，H的切向分量是连续的。
2． B法向分量的边界条件
在两种磁介质的分界面上作一个极扁的跨过分界面两侧的小
扁状闭合柱面（高h为无穷小），圆柱形高斯面，设底面和顶面 的面积均等于ΔS,由恒定磁场的高斯定理（或应用磁通连续方程）: 仿照2.2.1节中D的法向分量边界条件的推导方法可以导出
面，磁导率分别是1、2 ，两种
介质中的磁场强度分别是H1、H2, 图3.17 H切向分量的边界条件
与分界面法线的夹角分别是θ1, θ2,
单位法线矢量 由介nˆ 质2指向介质
1。在两种磁介质的分界面上作一 个极窄的跨过分界面两侧的矩形 回路ABCDA，这个小矩形回路的 两边平行于分界面，且分居于分 界面两侧，另外两边h垂直穿过分
磁质，边界条件（3.45）式、（3.46）式和（3.48）式仍然成
立。H1t H2t 由（3.46）式
3, .在45与磁B通1n垂直B2的n 界3面.4上6 ，磁感应tt强gg1度2 B是12 连3.48
续的。由于μ2＞＞μ1，给定B，铁磁质内的磁场强度H2≈0，
由边界条件（3.45）式
H1t=H2t0
nˆ B1 B2 0JmS
3.49
由H B M
0
，真空中 B1 0 H1 ，介质中 B2 0 H2 0 M
nˆ 0 H1 nˆ (0 H2 0 M ) 0JmS
nˆ 0 H1 nˆ (0 H2 0 M ) 0JmS
由于介质2表面没有传导电流，由（3.44）式 nˆ H1 H2 0
A’不满足（3.51）式，使得A是唯一的。所以矢量磁位A是由 （3.50）式和（3.51）式引入的，（3.51）式是一个附加的条件， 称为库仑规范。
Ñl H dl I0i 3.40
（3.40）式的右边i 可以写为
I0i
i
JS sˆl
沿 sˆ3方.42向 的分量
把（3.41）式和（3.42）式代入（3.40）式可得
nˆ H1 H2 JS 3.43
Ñ 界面上无面电流时
l H dl nˆ H1 H2 sˆl
nˆ H1 H2 0 3.44
例题3.7 试导出介质表面磁化 电流密度Jms的表达式。 解：设图3.17中介质1是真空，介 质2是磁介质，介质2表面没有传 导电流时，安培环路定理可以写 为
Ñ l B dl 0 Imi i
上式右边是对环路包围的所有磁
化电流求和。用与推导（3.43）式
相同的方法可以导出 nˆ H1 H2 JS 3.43
ÒS B dS 0
Ñ 可得
即： nˆ
或者
s
B

dS B1
B1 nr1S nr S B2
(B1 B2) 0
B2 nr2S nrS 0
3.47
B1n B2n 3.46
故：磁感应强度的法向分量连续
n$
B1
B1t
B1n
B1n
2 112
B2n
B1
B1t
1
2 B2t
B2
B2n B2
3．2 恒定磁场的边界条件
3.2.1 两种磁介质界面上的边界条件
在不同磁介质的分界面上，由于 磁介质的磁导率存在突变，而且 在磁介质表面上一般还存在着束 缚电流，因此，B和H在经过分界 面时要发生突变。 B和H在分界面 两侧的变化关系称为B和H在分界 面上的边界条件。 1． H切向分量的边界条件
图3.17是两种磁介质的分界
B2t
3．B线和H线在分界面的折射
界面上无面电流时 仿照2.2.1节中推导（2.86）式的 方法，可以导出B线和H线在分界面 上发生折射的关系式
H 2sin 2 H 1sin 1 B2 cos 2 B1cos 1
B2=μ2H2, B1=μ1H1
tg1 1 tg2 2
3.48
Ò H1 sin1 H2 sin23．2．2 铁磁质表面的边界条B件 dS 约定铁磁质的下标为2，另一种介质的下S 标为1。对于铁