电工电子-第3章讲稿

第3章 一阶电路的过渡过程——暂态分析【本章课程导入】自然界的任何物质在一定的稳态下，都具有一定的或一定变化形式的能量。

当条件改变时，能量随着改变，但能量的积累或衰减是需要一定时间的，不能跃变。

如电动机的转速不能跃变，这是因为它的动能不能跃变; 电动机的温度不能跃变，这是因为它吸取或释放的热能不能跃变。

§3.1 换路定则及其应用3.1.1 换路定则在换路前后，电容电压和电感电流不能发生变化。

因为它们的变化意味着电容元件和电感元件的储能发生变化，而电容的储能221c C Cu W =和电感的储能221L L Li W =是连续变化的，即u C和i L 不发生跃变。

如果u C 和i L 发生突变，则意味着元件所储存的能量的突变，而能量W 的突变要求电源提供的功率dwP dt=达到无穷大，这在实际上是不可能的。

因此uC 和iL 只能连续变化，不能突变。

由此得出确定暂态过程初始值的重要定则——换路定则。

3.1.2 换路定则的应用——初始值的确定利用换路定则可以确定换路后瞬间的电容电压和电感电流，从而确定电路的初始状态。

由换路定则求暂态过程初始值的步骤如下： (1) 由换路前电路求出u C (0-)和i L (0-)。

(2) 由换路定则确定u C (0+)和i L (0+)，即u C (0+)=u C (0-) i L (0+)=i L (0-)(3) 按换路后的电路，根据KCL 、KVL 及欧姆定律并以u C (0+)和i L (0+)为条件，求出其他各电流、电压的初始值。

【例3.1.1】图3.1.1所示的电路原已达稳定状态。

试求开关S 闭合后瞬间各电容电压和各支路的电流。

解 设电压、电流的参考方向如图所示。

S 闭合前电路已稳定，电容相当于开路，电感相当于短路。

故图 3.1.1 例3.1.1的电路V 30V 10101060_)0(2212=⨯+=⨯+=R R R E u C A 3A 1030)0()0(V 10V 30211)0()0(V20V 30212)0()0(221121221====⨯+=⨯+==⨯+=⨯+=------R u i u C C C u u C C C u L C C换路后瞬间，由换路定则得A3)0()0(V 10)0()0(V 20)0()0(2211======-+-+-+L L C C C C i i u u u u 由换路后的电路可知：A0A )11()0()0()0(A 1A )23()0()0()0(A 3A 10)1020(60)]0()0([)0(A 1A )32()0()0()0(A 2A 1020)0()0(1221121121212=+-=+==-=-==+-=+-=-=-=-====++++++++++++++C S C R R C C C R L R S C R i i i i i i R u u E i i i i R u i§3.2 RC 电路的暂态响应经典法就是通过求解电路的微分方程以得出电路的响应(电压和电流)。

又由于激励和响应都是时间的函数，因此这种分析属于时域分析。

3.2.1 RC 电路的零输入响应RC 电路的零输入是指输入信号为零。

在此条件下，由电容的初始状态uC(0+)所产生的电路的响应，称为零输入响应。

分析RC 电路的零输入响应，就是分析它的放电过程。

如图3.2.1所示，开关S 原合在位置2，电容C 已有储能，u C (0-)≠0。

在t=0时将开关S 从位置2合到位置1，电脱离电源，输入电压为零，于是电容经电阻开始放电。

图 3.2.1 RC 放电电路【例3.2.1】电路如图3.2.3所示，开关S 闭合前电路已处于稳态，在t=0时将开关闭合。

试求t ≥0时的电压u C 和电流i 2、i 3及i C 。

图 3.2.3 例3.2.1的图解：由换路定则，得V 3V 33216_)0()0(3321=⨯++=⨯++==+R R R R U u u C C而t ≥0时，开关S 将电压源短路，电容C 经R2、R3放电。

故s 106s 1053232663232--⨯=⨯⨯+⨯=⋅+⋅=C R R R R τ从而可得V e 3V 3e)0(56107.1610t t tc c eu u ⨯---+≈⨯==τ由此得:A e 5.2d d 5107.1t cc tu Ci ⨯--== A e 5107.133t cR u i ⨯-==A e5.15107.132tc i i i ⨯--=+=3.2.2 RC 电路的零状态响应换路前电容元件未储有能量，u C (0-)=0，这种状态称为RC 电路的零状态。

在此条件下，由电源激励产生的电路的响应，称为零状态响应。

RC 电路的零状态响应，实际上就是RC 电路的充电过程。

以图3.2.4所示电路为例，其u C (0-)=0，t=0时合上开关S 。

图 3.2.4 RC 充电电路【例3.2.2】在图3.2.7(a)所示的电路中，U=9V ，R 1=6k Ω，R 2=3k Ω，C=103pF ，u C (0)=0。

试求t ≥0时的电压u C 。

图 3.2.7 例3.2.2的图解：应用戴维宁定理将换路后的电路化为图3.2.7(b)所示的等效电路(R 0、C 串联电路)，等效电源的电动势和内阻分别为：V 3V 3693212=+⨯=+⋅=R R U R Ek Ω 2k Ω 363621210=+⨯=+⋅=R R R R Rs 102s 1010102612330--⨯=⨯⨯⨯=⋅=C R τ于是由式(3.2.7)得V )e 1(3)1(5105-1t C e E u ⨯--=-=τ本题亦可用经典法求解。

3.2.3 RC 电路的全响应所谓RC 电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态u C (0+)均不为零时电路的响应。

若在图3.2.4所示电路中，u C (0-)≠0，t ≥0时的电路的微分方程和式(3.2.6)相同，也可得RCRCC CC AeuC Ae U u u u 11)(--+∞=+=''+'=但积分常数A 与零状态时不同。

在t=0+时，u C (0+)≠0，则A=u C (0+)-U=u C (0+)-u C (∞)故RCC C C RCC C u u u U u U u 11e)]()0([)(e])0([-+-+∞-+∞=-+= (3.2.10)上式可改写为)e 1(e )0(ττttC C U u u --+-== (3.2.11)即 全响应=零输入响应+零状态响应 这是叠加定理在电路暂态分析中的体现。

§3.3 一阶RL 电路的暂态响应RL 电路发生换路后，同样会产生过渡过程。

在图3.3.1所示电路中，t=0时将开关S 由2位合到1位，i L (0-)≠0。

图 3.3.1 RL 电路的零输入响应在图3.3.2所示电路中，i L (0-)=0，t=0时将开关S 合上。

在图3.3.3所示电路中，i L (0-)≠0，t=0时将开关S 合上。

因此，在t ≥0时，三个电路将分别产生零输入响应、零状态响应和全响应。

图 3.3.2 RL 电路的零状态响应图 3.3.3 RL 电路的全响应根据基尔霍夫定律，对图3.3.1、3.3.2、3.3.3所示电路，可分别列出t ≥0时的微分方程：0d d 0d d =+=+L L LL L i i R L t i LRi 或 (3.3.1) R U i i R L U t i LRi L L L L L =+=+d d d d 或 (3.3.2) RU i i R L U t i LRi L L L L L =+=+d d d d 或 (3.3.3) 将以上三式与RC 电路的零输入响应、零状态响应、全响应的微分方程式(3.2.1)和式(3.2.6)相比较可以看出，它们具有相同的形式。

因此，同样的分析可解得： RL 电路的零输入响应为τtL t LRL L ei i i －－)0(e)0(+=+= (3.3.4)RL 电路的零状态响应为)1)(()1()1(ττtL t t L R L e i e RUe R U i ----∞=-=-= (3.3.5)RL 电路的全响应为τtL L tL R L L i i iL RU i R U i －－e )]()0([)(e ])0([∞-+∞=-+=++ (3.3.6)练习与思考3.3.1 有一台直流电动机，它的励磁线圈的电阻为50Ω，当加上额定励磁电压经过0.15s 后，励磁电流增加到稳态值的63.2%。

试求线圈的电感。

3.3.2 一个线圈的电感L=0.1H ，通有直流I=5A ，现将此线圈短路，经过t=0.01s 后，线圈中电流减小到初始值的36.8%。

试求线圈的电阻R 。

§3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法总结3.2节的RC 和3.3节的RL 电路不同状态暂态响应的分析结果，将各种响应写成一般式子来表示(零输入响应、零状态响应可看做全响应的特例)，则为τtf f f t f －e)]()0([)()(∞-+∞=+ (3.4.1)式中f(t)表示电路响应中的(任意一个)电压或电流。

这就是分析只含有一个(或可等效为一个)储能元件电容或电感的一阶线性电路暂态响应的三要素法公式。

f(0+)、f(∞)、τ称为暂态过程电路响应的三要素。

其中： f(0+)：换路后所求响应的初始值。

确定方法在3.1节中已做分析。

f(∞)：换路后暂态过程结束时所求响应达到的稳态值，即t=∞时的值。

这可由换路后的电路达到新的稳态时，运用相应电路分析方法求解确定。

只要求得换路后的f(0+)、f(∞)、τ这三个“要素”，就能直接根据公式(3.4.1)写出电路的响应f(t)(电压或电流)。

这种方法称为三要素法。

【例3.4.1】在图3.4.2中，开关S 长期合在位置1上，如在t=0时把它合到位置2，试求t ≥0时的u C (t)。

已知R 1=1k Ω，R 2=2k Ω，U 1=3V ，U 2=5V ，C=3μF 。

图 3.4.2 例3.4.1的电路解：由三要素法得：V 2V 3212)0()0(1212=⨯+=⨯+==-+U R R R u u C C V 310V 5212)(2212=⨯+=⨯+=∞U R R R u C s 102s 101021213632121--⨯=⨯⨯+⨯=∙+∙=C R R R R τV e 34310]102-e )3102(310[ e)]()0([)(500-3-t tC C C C t u u u u -=⨯-+=∞-+∞=-+τ练习与思考3.4.1 试用三要素法写出图3.4.7所示指数曲线的表达式u C 。