【易错题】高二数学上期末模拟试题(及答案)

【易错题】高二数学上期末一模试题及答案(1)一、选择题1．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1102．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？ 3．把化为五进制数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．执行如图的程序框图，如果输出a 的值大于100，那么判断框内的条件为( )A ．5k <？B ．5k ≥？C ．6k <？D ．6k ≥？5．已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示：x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+，则以下为真命题的是（ ） A ．x 每增加1个单位长度，则y 一定增加1.5个单位长度 B ．x 每增加1个单位长度，y 就减少1.5个单位长度 C ．所有样本点的中心为(1,4.5) D ．当8x =时，y 的预测值为13.56．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2AD BD =，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（ ）A ．14B ．13C ．17D ．4137．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变8．一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A ．B ．C ．D ．9．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )． A ．①B ．②④C ．③D ．①③10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．4511．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40337=+.（注：如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数.）在不超过11的素数中，随机选取2个不同的数，其和小于等于10的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．1512．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）A．13B．49C．59D．23二、填空题13．根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．14．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．15．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．16．某程序框图如图所示，若输入的4t=，则输出的k=______．17．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为____．18．下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91分，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是____________.19．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S的值为____．20．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．三、解答题21．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.22．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面22⨯的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82823．某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，给出下表数据：x2 3 5 7 8 y 12246（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（2）试判断y 与x 之间是正相关还是负相关，并预测燃放烟花爆竹的天数为9天时的雾霾天数约为几天？（参考公式：()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$.）24．为研究女高中生身高与体重之间的关系，一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生，其身高()x cm 和体重()y kg 数据如下表所示：编号12345678身高/x cm164160158172162164174166体重/y kg6046434848506152该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现，女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.（1）调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.7y x a=+，请你据此预报一名身高为176cm的女高中生的体重；（2）调查员乙仔细观察散点图发现，这8名同学中，编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大，于是提出这样的数据应剔除，请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中，并据此预报一名身高为176cm的女高中生的体重；（3）请你分析一下，甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠？说明理由.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n nx y x y x yL，其回归方程ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()121ˆˆ,ni iiniix x y yb a y bxx x==--==--∑∑.25．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查. 将他们的年龄分成6段：[)[)[)[)[)[)20,30,30,40,40.50,50,60,60,70,70,80，后得到如图所示的频率分布直方图，问：（1）在40名读书者中年龄分布在[)30,60的人数； （2）估计40名读书者年龄的平均数和中位数.26．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==.故选:A 【点睛】本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率；正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.3．B解析：B 【解析】 【分析】利用倒取余数法可得化为五进制数.【详解】 因为所以用倒取余数法得323，故选：B. 【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化，利用倒取余数法可解决此类问题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】由题意，模拟程序的运算，可得k 1=，a 1=满足判断框内的条件，执行循环体，a 6=，k 3= 满足判断框内的条件，执行循环体，a 33=，k 5=满足判断框内的条件，执行循环体，a 170=，k 7=此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出a 的值为170． 则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<？ 故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．D解析：D 【解析】 【分析】利用回归直线过样本点中心可求回归方程，根据该方程可得正确的选项. 【详解】由$$1.5y x a=+，得x 每增一个单位长度，y 不一定增加1.5，而是大约增加1.5个单位长度，故选项,A B 错误； 由已知表格中的数据，可知0123425x ++++==，2.2 4.3 4.5 4.8 6.74.55y ++++==，Q 回归直线必过样本的中心点()2,4.5，故C 错误；又4.5 1.52 1.5ˆˆa a =⨯+⇒=，∴回归方程为$1.5 1.5y x =+， 当8x =时，y 的预测值为1.58 1.513.5⨯+=，故D 正确， 故选：D. 【点睛】本题考查线性回归方程的性质及应用，注意回归直线过(),x y ，本题属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意求出AB =，所求概率即为DEFABCS P S =V V ，即可得解. 【详解】由题意易知120ADB ∠=o ，AF FD BD ==，由余弦定理得22222cos1207AB AD BD AD BD BD =+-⋅⋅=即AB =，所以AB =，则所求概率为217DEF ABC S FD P S AB ⎛⎫=== ⎪⎝⎭V V .故选：C.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法和余弦定理的应用，属于中档题.7．B解析：B【解析】∵数据x1，x2，x3，…，x n是郑州普通职工n(n⩾3,n∈N∗)个人的年收入，而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x1，x2，x3，…，x n，故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选B8．B解析：B【解析】【分析】应用平均数计算方法，设出两个平均数表达式，相减，即可。

易错题】高二数学上期末模拟试题（及答案）一、选择题1．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120 名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80 ，150] 内现将这100名学生的成绩按照[80 ，90），[90 ，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140 ，150] 分组后，得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是（）A．频率分布直方图中a 的值为0.040B．样本数据低于130 分的频率为0.3 C．总体的中位数（保留1 位小数）估计为123.3 分D．总体分布在[90 ，100）的频数一定与总体分布在[100 ，110）的频数不相等2．已知回归方程$y 2x 1，而试验得到一组数据是（2,5.1），（3,6.9），（4,9.1），则残差平方和是（）A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.043．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（）3732A．B．C．D．20 20 16 5 4．执行如图所示的程序框图，若输入x 8 ，则输出的y 值为（）13 C ． D ． 245．2018年12月 12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（6． 日本数学家角谷静夫发现的“ 3x 1 猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数， 我们就把它除以 2 ，如果它是奇数我们就把它乘 3 再加上 1，在这样一个变换下，我们就得 到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反 复进行上述运算后，最后结果为 1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程 序框图输入的 N6 ，则输出 i 值为（ ）5 B ．2 A ．3B ．47C ．48D ．638．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区收入 x 万8.38.6 9.9 11.112.1A ．6B ． 7C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，若输入的 a ，b ， c 依次为 sinsincossin ，sincos ，其中，则输出的 x 为（sin sinC ． cossinD ． sin cos5 户家庭，得到如B ．支出 y 万5.9 7.8 8.18.4 9.8根据上表可得回归直线方程y? b ?x a?，其中 b 0.78，a yb x元，据此估计，该社区一户收入为 16 万元家庭年支出为（ ）A ． 12.68 万元B ． 13.88 万元C ．12.78万元 D ．14.28 万元 9． 已知线段 MN 的长度为 6，在线段 MN 上随机取一点 P ，则点 P 到点 M ，N 的距离都大于2 的概率为 （ )3211A ．B ．C ．D ．4 3 2310． 如图，边长 2 的正方形有一内切圆 .向正方形内随机投入 1000 粒芝假定这些芝麻全部落入该正方形中，发现有 795 粒芝麻落入圆内，则用随机模拟的方法得到圆周率11．小赵和小王约定在早上 7:00至 7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有 2 班公交车到达该站，到站的时间分别为 7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（ ）1A ．4B ． 5C ．92D ．12． 2 路公共汽车每 5分钟发车一 次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（）2 321A ．B ．C ．D ．55 35二、填空题13．下图给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 值．若要使输入的 x值与输出的 y 值满足关系式 y=-2x+4 ，则这样的 x 值 ___个．214．如下图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 y=x与两直线 x=2及 y=0所围成2的阴影部分的面积 S ：①先产生两组 0～1 的均匀随机数， a=RAND （ ）， b=RAND （ ）；B ． 3.2C ． 3.3D ． 3.4 的近似值为 （ ）②做变换，令 x=2a ，y=2b ；③产生 N 个点（ x ，y ），并统计落在阴影内的点（ x ， y ）的个 数N 1，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当 N=1 000 时， N 1=332，则据此可估计 S18．投掷一枚均匀的骰子，则落地时，向上的点数是 2 的倍数的概率是 _________ 19． 使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理，则输出的结果为 __________16．已知某产品连续 4 个月的广告费 x i （千元）与销售额 y i （万元）（ i 1,2,3, 4 ）满足4 x i415 ， y i i112 ，若广告费用x 和销售额 y 之间具有线性相关关系，且回归直线方 ^程为y17． 取一根长度为（记为事件 A ）的概率=bx +a ，b 0.6 ，那么广告费用为 5 千元时，可预测的销售额为 万元 .3 米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米S 的值数据： a 1 9.3， a29.6，a3 9.3a4 9.4， a5 9.4， a6 9.3a79.3， a 8 9.7， a9 9.2 a 10 9.5， a119.3， a 12 9.6 20． 在四位八进制数中，能表示的最小十进制数是 __________ ．三、解答题21．某地统计局调查了 10000 名居民的月收入，并根据所得数据绘制了样本的频率分布直 方图如图所示．求居民月收入在 [3000,3500 ）内的频率； 根据频率分布直方图求出样本数据的中位数； 为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000 中用 步分析，则应从月收入在 [2500,3000） 内的居民中抽取多6.5,7.5 （时）内的频率； （2）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数（每组取该组的中间值作 代表）；（3）以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在4.5,6.5 （时）内的周数为 X ，求 X 的分布列以及数学期望 . 23．某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县 成年人安全知识抽样调查 . 已知该县成年人中 40% 的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶 证，用分层抽样的方法抽取了 100 名成年人，然后对这 100 人进行问卷调查，所得分数的 频率分布直方图如下图所示 . 规定分数在 80 以上（含 80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证 合计（2）（3） 分层抽样的方法抽出 100 人做进 少人？ 22．随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具 车从家到公司的时间之和统计如图所示 ..现将某人三年以来每周开1）1）求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面2 2 的列联表，并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？2）若规定参加调查的100 人中分数在70 以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100 人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出取3 人，试求抽取的3 人中恰有一人为“安全意识优良”的概率24．“中国人均读书4.3 本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20 本、日本的40本、犹太人的64 本少得多，是世界上人均读书最少的国家. ”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6 段：20,30 ，30,40 ，40,50 ，50,60 ，60,70 ，70,80 后得到如图所示的频率分布直方图. 问：1）估计在40 名读书者中年龄分布在40,70 的人数；2）求40 名读书者年龄的平均数和中位数；3）若从年龄在20,40 的读书者中任取2 名，求这两名读书者年龄在30,40 的人数X5 人，再从5 人中随机抽附表及公式：K 22n ad bcP K 2k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828，其中n的分布列及数学期望25．某中学随机选取了40 名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中数据，完成下列问题．（Ⅰ）求a 的值及样本中男生身高在185,195 （单位: cm ）的人数；（Ⅱ ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；（Ⅲ）在样本中，从身高在145,155 和185,195 （单位: cm ）内的男生中任选两人，求这两人的身高都不低于185cm的概率．26．设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3，1，2 名运动员参加某次比赛，甲协会运动员编号分别为A1，A2，A3，乙协会编号为A4，丙协会编号分别为A5，A6，若从这6 名运动员中随机抽取2 名参加双打比赛.（1）用所给编号列出所有可能抽取的结果；（2）求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率；（3）求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.参考答案】*** 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出a 0.030；样本数据低于130 分的频率为：0.7 ；80,120 的频率为0.4，120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数（保留1位小数） 0.5 0.4估计为：120 3 123.3 分；样本分布在90,100 的频数一定与样本分布在0.3100,110 的频数相等，总体分布在90,100 的频数不一定与总体分布在100,110 的频数相等．【详解】由频率分布直方图得：0.005 0.010 0.010 0.015 a 0.025 0.005 10 1，解得a 0.030，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：1 0.025 0.005 10 0.7，故B 错误；80,120 的频率为：0.005 0.010 0.010 0.015 10 0.4 ，120,130 的频率为：0.030 10 0.3 ．0.5 0.4总体的中位数（保留1位小数）估计为：120 10 123.3分，故C 正确；0.3样本分布在90,100 的频数一定与样本分布在100,110 的频数相等，总体分布在90,100 的频数不一定与总体分布在100,110 的频数相等，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5 的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03. 故选C.考点：残差的有关计算3．B 解析： B 【解析】【分析】由题意可以分两类，第一类第 5 球独占一盒，第二类，第 5 球不独占一盒，根据分类计数 原理得到答案． 【详解】解：第一类，第 5球独占一盒，则有 4 种选择；如第 5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第 1球放旁边，就是 2，3，4 球放入 2，3，4 盒的错位排列，有 2 种选择， 再把第 1 球分别放入 2，3，4 盒， 如第 1球独占一盒，有 3 种选择，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率 故选： B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．C解析： C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用 循环计算 y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可 . 【详解】不满足退出循环的条件，则 x 3 ，1第二次执行循环： y ，此时 y2满足退出循环的条件， 故输出的 y 值为 1，故选 C.2【点睛】 本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 . 解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不要混淆处理框和输入框； (2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结 构； (3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确 控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序 , (6)在给出程序框图求解输出结果的试题中有 3 种可能选择，于是此时有 2 3 6 种选择； 剩下的 2，3， 4球放入两盒有 2种选择，此时有2 3 6种选择，得到第 5 球独占一盒的选择有 4 第二类，第 5 球不独占一盒，先放 号球：有 4 种选择； 9 436 ， 根据分类计数原理得，不同的方法有 而将五球放到 4 盒共(6 6) 48 种，4 号球， 4 个球的全不对应排列数是 9；第二步放36 48 84 种．240 种不同的办法，P84 7240 20输入 8，第一次执行循环： y 3 ，此时 y x 5，52，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．A解析：A【解析】【分析】由茎叶图确定所给的所有数据，然后确定中位数即可.【详解】各数据为：12 20 31 32 34 45 45 45 47 47 48 50 50 61 63，最中间的数为：45 ，所以，中位数为45．本题选择A选项.【点睛】本题主要考查茎叶图的阅读，中位数的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D 解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论. 详解：模拟程序的运行，可得n 1 ，不满足条件n 是奇数，n 3,i 2，不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n是奇数，n 10,i3 ；不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n 是奇数，可得n 5,i 4，不满足条件n 1 ，执行循环体，满足条件n 是奇数，n16,i 5，不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n 是奇数，n 8,i 6；不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n 是奇数，n 4,i 7；不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n 是奇数，n 2,i 8；不满足条件n 1 ，执行循环体，不满足n是奇数，n 1,i 9，满足条件n 1 ，退出循环，输出i 的值为9 ，故D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,( 6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．C本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热 点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： ① 分支的条件 ② 循环的条件8．A解析： A 【解析】 分析】详解】0.78x 0.2 ．取x 16，得 y $0.78 16 0.2 12.68 万元，故选 A ．点睛】 本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．9．D解析： D 解析】 分析】解析： C 【解析】 【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，【详解】 由程序框图可知 a 、b 、c 中的最大数用变量 比较大小即可 x 表示并输出，∴0 cosα 2 sin 1 ， sin 1 ，2又y sinx在 R 上为减函数， sin yx在0，sincos sin∴sin < sin ， cos<sin故最大值为 cossin ，输出的 x为 sincos故选 ： C上为增函数，③ 变量的赋值 ④ 变量的输出．由已知求得 x ，y ，进一步求得 a $ ，得到线性回归方程，取 x 16求得 y 值即可．8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 x10，5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 8 ．又b $0.78 ，∴a $ yb $x 80.78 10 0.2．42si点睛】根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 【详解】 如图所示，线段 MN 的长度为 6，在线段 MN 上随机取一点 P ，21则点 P 到点 M ，N 的距离都大于 2的概率为 P ．63故选 D ．【点睛】 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．10．B 解析： B 【解析】 【分析】 由圆的面积公式得： S 圆S圆结合随机模拟试验可得： 圆S 正【详解】 由圆的面积公式得： S 圆 由正方形的面积公式得： S正 由几何概型中的面积型可得：S 圆 795 S 正 1000 ，795 4所以 3.2 ，1000故选： B ．【点睛】 本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型，属简单题．11．C 解析： C 【解析】 【分析】 设小赵到达汽车站的时刻为 x ，小王到达汽车站的时刻为 y ，根据条件建立二元一次不等式 组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】 如图，设小赵到达汽车站的时刻为 x ，小王到达汽车站的时刻为 y ， 则 0≤ x ≤ 1，5 0≤y ≤1，5S 正 4 ，由几何概型中的面积型由正方形的面积公式得：795，得解． 10004，两人到达汽车站的时刻（ x ，y ）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大 正方形．将 2 班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率 故选： C点睛】 本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关 键．12．A解析： A 【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的 时间对应的几何量长度为 5，然后再计算出乘客候车时间不超过 2 分钟的几何量的长度， 然后代入几何概型公式，即可得到答案详解：：∵公共汽车站每隔 5 分钟有一辆车通过 当乘客在上一辆车开走后 3 分钟内到达候车时间会超过 2 分钟点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何 量的值是解答此类问题的关键、填空题13．2【解析】【分析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺 序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值并输出【详解】该题考查的是 有关程序框图的问题在解题的过程中注意对框图进行分析明确框图的作用 解析： 2必须满足 ｛（ x ，y ）|5，或5<x5 5< y15 15 ｝，125 = 515 15 = 9∴乘客候车时间不超过 故选 A .2 分钟的概率为 P535【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计x 2,x 2算分段函数 y 2x 4,2 x 5 的函数值，并输出 .1,x 5 x【详解】 该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意对框图进行分析，明确框图的 作用，根据题意，建立相应的等量关系式，求得结果 .x 2,x 22x 4,2 x 5的函数值，1,x 5 x故答案是： 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，注意分析框图的作用，之后建立相 应的等量关系式，求得结果，从而得到满足条件的x 的个数 .14．328【解析】根据题意满足条件 y<的点 (xy)的概率是矩形的面积为 4则有所 以 S ≈1328点睛 :随机模拟求近似值的方法先分别根据古典概型概率公式以及几 何概型概率公式计算概率再根据两者相等求近似值解析： 328【解析】 根据题意 ,满足条件 y< 的点 ( x,y)的概率是 点睛: 随机模拟求近似值的方法 , 先分别根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式计算 概率 ,再根据两者相等求近似值 15．9【解析】【分析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值模拟程序的运行过程分析循环中各变量值的变化情况可得答案【详解】模拟程序根据题意， 可知该程序的作用是计算分段函数 依题意得2x 或2x 4 2x 42x4或2x 4解得 x 5 ，所以满足条件的 x 的值有两个，2. , 矩形的面积为 4,则有, 所以S≈1.328.的运行可得 S ＝0n ＝ 1 满足条件 n <6 执行循环体 S ＝1n ＝ 3 满足条解析： 9【解析】 【分析】 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得S ＝0， n ＝ 1 满足条件 n < 6，执行循环体， S ＝1，n ＝ 3 满足条件 n < 6，执行循环体， S＝4，n ＝ 5 满足条件 n < 6，执行循环体， S ＝9，n ＝ 7 此时，不满足条件 n < 6，退出循环，输出 S 的值为 9． 故答案为： 9．【点睛】 本题考查程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结 论，是基础题．16．75【解析】【分析】计算然后将代入回归直线得从而得回归方程然后令 x ＝5解得 y 即为所求【详解】∵∴∵∴∴样本中心点为（ 3）又回归直线过 （3）即 3＝06×+解得＝所以回归直线方程为 y ＝ 06x+令 x ＝ 5 时 解析：75【解析】 【分析】计算 x ， y ，然后将 x ， y 代入回归直线得 a ，从而得回归方程，然后令 x ＝5解得 y 即 为所求． 【详解】4∵ x i 15 ，∴ xi1 4 ∵ y i12 ，∴yi115 ∴样本中心点为（ 15，3），41515 3又回归直线 y? 0.6x a 过（ 15 ，3），即 3＝0.6× 15 + a ，解得 a ＝ 3，4 4 4 3所以回归直线方程为 y ＝0.6 x + ，4令x ＝5时， y ＝0.6 ×5+ 3＝3.75 万元4 故答案为： 3.75 ．【点睛】 本题考查线性回归方程的应用，以及利用线性回归方程进行预测，要注意回归直线必过样 本中心点 .17．13【解析】试题分析：记两段的长都不小于 1m 为事件 A 则只能在中间 1m15123，的绳子上剪断剪得两段的长都不小于1m所以事件A 发生的概率P(A)=考点：几何概型解析：【解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A 发生的概率P( A) =考点：几何概型18．【解析】分析：先确定总事件数再确定向上的点数是2 的倍数的事件数最后根据古典概型概率公式求结果详解：因为投掷一枚均匀的骰子向上的点数有6种情况向上的点数是2 的倍数的事件数为3 所以概率为点睛：古典概型中1解析：12【解析】分析：先确定总事件数，再确定向上的点数是2 的倍数的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为投掷一枚均匀的骰子，向上的点数有6种情况，向上的点数是2 的倍数的事件31 数为3，所以概率为3=1.62 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19．【解析】【分析】分析程序框图的功能在于寻找和输出一组数据的最大值观察该题所给的数据可知其最大值为M 的值即为取最大时对应的脚码从而求得结果【详解】仔细分析程序框图的作用和功能所解决的问题是找出一组数据解析： 9.7,8【解析】【分析】分析程序框图的功能，在于寻找和输出一组数据的最大值，观察该题所给的数据，可知其最大值为9.7，M 的值即为取最大时对应的脚码，从而求得结果.【详解】仔细分析程序框图的作用和功能，所解决的问题是找出一组数据的最大值，并指明其为第几个数，观察数据得到第八个数是最大的，且为9.7，所以答案是9.7,8.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有框图的作用和功能，观察所给的数据，从而得到结果，所以要读取框图的作用非常关键.20．512【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换得结果详解：因为四位八进制数最小数为所以点睛：本题考查不同进制数之间转换考查基本求解能力解析：512【解析】分析：将四位八进制数最小数根据进制进行转换，得结果.3 详解：因为四位八进制数最小数为(1000)8 ，所以(1000)8=1 83=512 .点睛：本题考查不同进制数之间转换，考查基本求解能力.三、解答题21． ( 1) 0.15 (2)2400(3)25人【解析】【分析】(1)由频率分布直方图计算可得月收入在[3000,3500 )内的频率；(2)分别计算小长方形的面积值，利用中位数的特点即可确定中位数的值；(3)首先确定10000 人中月收入在[2500,3000]内的人数，然后结合分层抽样的特点可得应抽取的人数.【详解】(1)居民月收入在[3000,3500] 内的频率为0.0003 (3500-3000)=0.15(2)因为0.0002 (1500 1000) 0.1 ，0.0004 (2000 1500) 0.2 ，0.0005 (2500 2000) 0.25 ，0.1+0.2+0.25=0.55>0.5，所以样本数据的中位数为2000 0.5 (0.1 0.2) 2000400=2400 .0.0005(3)居民月收入在[2500,3000] 内的频率为0.0005 (3000 2500)=0.25，所以这10000人中月收入在[2500,3000] 内的人数为0.25 10000=2500.从这10000 人中用分层抽样的方法抽出100人，则应从月收入在[2500,3000] 内的居民中抽取100 2500 25（人）.10000【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.22．（1）0.35 ；（2）7 ；（3）分布列见解析；数学期望6.点睛】5【解析】 【分析】（1）用 1减去频率直方图中位于区间 3.5,6.5 和 7.5,10.5 的矩形的面积之和可得出结 果；（2）将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数； （3）由题意可知 X : B 4, 3，利用二项分布可得出随机变量 X 的概率分布列，并利用 10 二项分布的均值可计算出随机变量 X 的数学期望 . 【详解】（1）依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在 6.5,7.5 （时）内的频率为 1 0.03 0.1 0.2 0.19 0.09 0.04 0.35； （2）所求平均数为x 4 0.03 5 0.1 6 0.2 7 0.35 8 0.19 9 0.09 100.04 7（时）；（3）依题意， X :B 3 4, 10 . P X 04 7 240110 10000P X 1 C 41 3 3 7 1029 ，P X2C 42 130 4 10 227 1323 ，10 10 2500 10 5000P X 3C 43 337 189 ，P X 4434 81.10 10 2500 10 10000 .故 X 的分布列为故 E X 4 .10 5本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列和 数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题 .23． （ 1）列联表见解析；有超过 99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有3关；（ 2） P 35【解析】分析】 （1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得K 26.635，从而可得结论；（ 2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人 数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取 2 人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果 . 【详解】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为： 100 40% 40 人 则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为： 40 25 15 人 由频率分布直方图知得分优秀的人数为： 100 10 0.015 0.005 20 人没有驾驶证且得分优秀的人数为： 20 15 5 人 则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：100 40 5 55 人有超过 99% 的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关2）由频率分布直方图可求得 70以上（含 70 ）的人数为：100 0.020 0.015 0.005 10 40按分层抽样的方法抽出 5人时，“安全意识优良”的有 2 人，记为 1,2； 其余的 3人记为 a,b, c从中随机抽取 3 人，基本事件有： 1,2,a ， 1,2,b ， 1,2,c ， 1,a,b ，1,a,c ，1,b,c ， 2,a,b ， 2,a, c ， 2,b,c ， a,b,c 共10个 恰有一人为“安全意识优良”的事件有 6 个恰有一人为“安全意识优良”的概率为： P 6 3可得列联表如1225962100 15 55 25 5 K 240 60 20 8012 6.635。

江苏省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.双曲线2214y x -=的渐近线方程是 ． 2.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是 ． 3.命题“若a b <，则22a b <”的否命题为 ．4.等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若53a =，则9S = ．5.函数y =的定义域是 ．6.已知实数x ，y 满足条件30,0,0,x y y x +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值是 ．7.在等比数列{}n a 中，70a <，242646236a a a a a a ++=，则35a a += ． 8.对任意的[]0,1x ∈，都有2(1)30x a x a +-+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ． 9.数列{}n a 满足11a =，1(1)0n n n a a a ++-=（*n N ∈），则2018a = ． 10.函数()cos 2f x x =+（(0,)2x π∈）的极小值是 ．11.过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2FA BF =，则直线AB 的斜率为 ．12.已知x ，y R +∈，且244x y+=，则21x y+的最小值是 ． 13.已知1F ，2F 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆上存在点P 使2||PF c=（c 为半焦距）且12F PF ∠为锐角，则椭圆离心率的取值范围是 ． 14.已知实数a ，b 满足1a b +=，则33(1)(1)a b ++的最大值是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知实数0m >，p ：(2)(3)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+． （1）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，“p q ⌝∧”为真命题，求实数x 的取值范围．16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB =，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．（1）若异面直线AM 和1A N 所成的角为90︒，求AM 的长； （2）若14CC CM =，求二面角1A DN M --的余弦值．17.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为34m 、30m 的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池（如图），池边由两个半椭圆22221(0)x y x a b +=≤和22221y x b c+=（0x ≥）组成，其中0a b c >>>，“挞圆”内切于矩形且其左右顶点A ，B 和上顶点C 构成一个直角三角形ABC ．（1）试求“挞圆”方程；（2）若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，则该网箱水面面积最大为多少？18.设{}n a 是公差为d （0d ≠）且各项为正数的等差数列，{}n b 是公比为q 各项均为正数的等比数列，n n n c a b =⋅（*n N ∈）． （1）求证：数列1nn nc c qc +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）若112a b ==，220c =，364c =． （i ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （ii ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右顶点，B 是上顶点，C 是椭圆位于第三象限上的任一点，连接AC ，BC 分别交坐标轴于P ，F 两点．（1）若点F 为左焦点且直线CO 平分线段AB ，求椭圆的离心率； （2）求证：四边形ABFP 的面积是定值． 20.已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，试求实数m 的取值范围．高二数学答案 一、填空题1.2y x =±2.28x y = 3.若a b ≥，则22a b ≥ 4.27 5.[]4,3-6.67.6-8.3a ≥9.1201810.12-+ 11.±12.4 13.1(1)214.4二、解答题15.解：（1）因为p ：23x -≤≤；又q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件， 则23,22m m +≤⎧⎨-≥-⎩，得1m ≤，又1m =时p q ⇔，所以01m <<．（2）当2m =时，q ：44x -≤≤，p ⌝：3x >或2x <-．因为p q ⌝∧是真命题，所以44,32,x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或则(3,4][4,2)x ∈--．16.解：以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，1DD 为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系．（1）则(1,0,0)A ，1(1,0,2)A ，(0,1,0)C ，1(,1,0)2N ，设(0,1,)M m ， 所以11(,1,2)2A N =--，(1,1,)AM m =-因为AM 和1A N 所成的角为90︒，所以1A N 0AM ⋅=， 则11202m +-=，34m =， 所以41||AM =（2）当14CC CM =时，则1(0,1,)2M ，设面1A DN 的法向量为000(,,)n x y z =，面MDN 的法向量1111(,,)n x y z =， 因为1(1,0,2)DA =，1(,1,0)2DN =，1(0,1,)2DM =，则10DA n ⋅=，0DN n ⋅=，∴000020,10,2x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取02x =，则01y =-，01z =-，则(2,1,1)n =--，又10DN n ⋅=，10DM n ⋅=，∴111110,210,2x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以||6n =，1||3n =，13n n ⋅=，则1116cos ,6||||n n n n n n ⋅<>==⋅，根据图形可知，二面角1A DN M --平面角为锐角，等于这两个法向量的夹角，所以其大小的余弦值为617.解：（1）由题意知2222215,34,()()34,,b a c a b b c a b c =⎧⎪+=⎪⎨+++=⎪⎪>>⎩ 解得25,15,9,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以“挞圆”方程为：22221(0)2515x y x +=≤和22221(0)159y x x +=≥. （2）设00(,)P x y 为矩形在第一象限内的顶点，10(,)Q x y 为矩形在第二象限内顶点，则2200222201221,1591,2515y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得10259x x =- ，所以内接矩形的面积2200000022342153421534()5109915915x y x y S x y =⋅=⨯⨯⋅⋅≤⨯+=，当且仅当009152x y ==时S 取最大值510. 答：网箱水面面积最大5102m . 18.解：（1）因为11111111()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a b a b a b ac qc a b qa b a b a b b a a qd++++++++⋅====----，所以112111n n n n n n n n c c a q d c qc c qc qd qd qd q+++++-=-==--（常数），由等差数列的定义可知数列1n n n c c qc +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1q 为公差的等差数列．（2）（i ）因112a b ==，220c =，364c =，所以22(2)20,2(22)64,q d q d +=⎧⎨+=⎩因{}n a 的各项为正数，所以3,2,d q =⎧⎨=⎩则31n a n =-，2nn b =．（ii ）因31n a n =-，2n n b =，所以(31)2nn c n =-⋅，所以231225282(31)2nn n ii S cn ===⨯+⨯+⨯++-⋅∑…，①2312 2252(34)2(31)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅…，②①-②得23143(222)(31)2nn n S n +-=++++--⋅…114(12)=4+3(31)212n n n -+-⨯--⋅-11412(21)(31)2n n n -+=+---⋅1(34)28n n +=-+⋅-，所以1(34)2+8n n S n +=-⋅．19.解：（1）设椭圆焦距为2c ，则(0,)B b ，(,0)F c -，直线BF 的方程为1x yc b+=-， 联立方程组22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩⇒222(1)1x x a c ++=，即22211()20x x a c c ++=，所以2322222(,)a c b C a c a c --++， 又AB 中点D (,)22a b ，因CO 平分线段AB ，所以C ，O ，D 三点共线，则OCOD k k =，所以322b b a a c=，则22b ac =⇒222a c ac -=⇒212e e -=，所以1e =．（2）设00(,)C x y ，则直线AC 的方程为00()y y x a x a =--，所以0(0,)ay P a x -； 直线BC 的方程为00y b y x b x -=+，所以0(,0)bx F b y -； 所以00||b AF a b y =--，00||ay BP b a x =--， 因为22222200b x a y a b +=，则四边形ABFP 的面积22000000011||||()22()()abx a y b x S AF BP ab a x b y a x b y =⋅=+------222222000000001()2()()abx y ab x a by b x a y ab a x b y --++=+--000000(1()2()()ab x y bx ay ab ab ab a x b y --+=+=--， 所以四边形ABFP 的面积是定值ab ． 20.解：（1）设切点000(,ln )mP x x x +，因切线方程为240x y +-=， 所以12k =-02001'()m f x x x ==-，①又0001ln 22m x x x +=-+，② 由①得0012x mx =+，③，将③代入②得00ln 10x x +-=，所以01x =，因为000()ln 1g x x x =+-在(0,)+∞上递增，则01x =是唯一根， 所以切点(1,)P m ，代入切线方程得32m =． （2）因为()ln (0)mf x x x x=+>， 所以21'()m f x x x =-=2x mx -，因0x >，当0m ≤时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； 所以()f x 在[]1,2递增，则min ()(1)f x f m ==；当0m >时，(0,)x m ∈有'()0f x <，(,)x m ∈+∞有'()0f x >， 所以()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增， 则当2m ≥时，()f x 在[]1,2递减，则min ()(2)ln 22mf x f ==+； 当01m <≤时，()f x 在[]1,2递增，则min ()(1)f x f m ==；当12m <<时，()f x 在[]1,m 递减，在[],2m 递增，则min ()()ln 1f x f m m ==+．综上有minln 2,2,2()ln 1,12,, 1.m m f x m m m m ⎧+≥⎪⎪=+<<⎨⎪≤⎪⎩（3）由（2）可知，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 至多有一个零点，又当0m >时，()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增，所以min ()()f x f m =，若()f x 由两个相异零点，则必有()0f m <，即()ln 10f m m =+<，则10m e<<．第6题图 江苏省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分） 1. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝为 ． 2. 复数212ii-=+ ． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________．4.若命题2",(1)10"x R x a x ∃∈+-+<使是假命题，则实数a 的取值范围是 ．5. 若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1y =，则实数m 的值是___ _ ． 6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．7. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到左准线的距离为___ ____．8．抛物线y x 42=的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则AB 的中点M 的纵坐标为 ．9. 复数z 满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．10. 当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 ．12. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．13. 若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2016(8)f = .14. 设点1A ，2A 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆C 上存在异于点1A ，2A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为715，至少一个白球的概率为1315，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. （本小题14分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17. （本小题15分）从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. （本小题15分） 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．19. （本小题16分）已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)在条件（1）下，试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．20. （本小题16分）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>上的一动点P到右焦点的最短距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）设()4,0P，,A B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C 于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于,M N两点，求OM ON⋅的取值范围．高二数学（附加题）21.（本小题10分）已知P是椭圆22194x y+=上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，求动点Q的轨迹方程．22.（本小题10分）已知22)nx*()n∈N的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中含32x 的项．23.(本小题10分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=,点D ，E 分别在棱,PB PC 的中点，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小；24.（本小题10分）是否存在a 、b 、c使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (a n 2+bn +c ) 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论．PEDCBA答 案1. ,sin 1x R x ∃∈> 2．i - 3． 0.94. 13x -≤≤ 5． －３ ６．318a7． 258．２ 9．321- 10. y 2＝32x 或x 2＝－12y 11. 1013115212.53.或52-13．８ 14．2(,1)215.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A ，一红一白的事件为B ，均为白球的事件为C.显然，A 、B 、C 为互斥事件，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧P （A ＋B ）＝715，P （B ＋C ）＝1315，P （A ＋B ＋C ）＝1⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝715，P （B ）＋P （C ）＝1315，P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝1⇒P(B)＝13. 即两个球恰好红球白球各一个的概率为13.16. 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}； (2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0}，则B A ，又A ＝{x |a ≤x ≤3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则0<a ≤2，且3a ≥3，(a －1)＋(3a －3)2≠0 所以实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．17. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，所以P (A )＝49.18. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0， 所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .19. 已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解 (1)原方程等价于x 2＋ax ＋b ＝2， ① 或x 2＋ax ＋b ＝－2，②由于Δ1＝a 2－4b ＋8>a 2－4b －8＝Δ2，∴Δ2＝0时，原方程的解集M 中恰有3个元素，即a 2－4b ＝8；(2)必要性：由(1)知方程②的根x ＝－a 2，方程①的根x 1＝－a 2－2，x 2＝－a2＋2，如果它们恰为直角三角形的三边，即(－a2)2＋(－a2－2)2＝(－a2＋2)2， 解得a ＝－16，b ＝62.充分性：如果a ＝－16，b ＝62，可得解集M 为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角 形恰为直角三角形．∴a ＝－16，b ＝62为所求的充要条件．20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为22-，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值 范围．20．解：（1）由题意知222a c a cbc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分 （3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ．由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得6(1,)M ，6(1,)N -． 此时12OM ON ⋅=-．所以OM ON ⋅的取值范围是1[4,]2--． (16)21. 已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，则22()()22194x y--+=. 即2213616x y +=。

【易错题】高二数学上期末第一次模拟试题(含答案)(1)一、选择题1．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（）A．35B．45C．1D．652．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A．B．C．D．3．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A．116B．18C．38D．3164．执行如图所示的程序框图，若输入8x ，则输出的y值为（）A ．3B ．52C ．12D ．34-5．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（ ） A ．112B ．12C ．13D ．166．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（ ）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为150； ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A ．①④B ．①③C ．②④D ．②③7．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．4n mB ．2n mC ．4mnD ．2mn8．执行如图的程序框图，那么输出的S 的值是（ ）A．﹣1 B．12C．2 D．19．在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于216cm的概率为（）A．23B．34C．25D．1310．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）A．310B．25C．12D．3511．已知统计某校1000名学生的某次数学水平测试成绩得到样本频率分布直方图如图所示，则直方图中实数a的值是()A．0.020B．0.018C．0.025D．0.0312．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．若正方形ABCD 的边长为4, E 为四边形上任意一点,则AE 的长度大于5的概率等于______15．期末考试结束后，某老师随机抽取了本班五位同学的数学成绩进行统计，五位同学平均每天学习数学的时间t （分钟）与数学成绩y 之间的一组数据如下表所示： 时间t （分钟） 30 40 7090 120 数学成绩y3548m8292通过分析，发现数学成绩y 与学习数学的时间t 具有线性相关关系，其回归方程为0.715ˆyt =+，则表格中的m 的值是___． 16．如图，在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒落到红心阴影部分上，据此估计红心阴影部分的面积为____．17．取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪出的两段的长都不小于1米（记为事件A ）的概率为________18．由茎叶图可知，甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是__________．19．执行如图所示的程序框图，若1ln 2a =，22b e =，ln 22c =（其中e 是自然对数的底），则输出的结果是__________．20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位：g)进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：()1求频率分布直方图中a的值；()2以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在600g1400g～的概率；()3已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)？22．随着手机的普及，大学生迷恋手机的现象非常严重.为了调查双休日大学生使用手机的时间，某机构采用不记名方式随机调查了使用手机时间不超过10小时的50名大学生，将50人使用手机的时间分成5组：(]0,2，(]2,4，(]4,6，(]6,8，(]8,10分别加以统计，得到下表，根据数据完成下列问题： 使用时间/时 (]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10大学生/人51015128（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计大学生使用手机时间的中位数（保留小数点后两位）；（2）用分层抽样的方法从使用手机时间在区间(]0,2，(]2,4，(]4,6的大学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人取自不同使用时间区间的概率.23．盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； （2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率. 24．为了调查某中学学生在周日上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果： 表1：男、女生上网时间与频数分布表 上网时间（分钟） [30,40） [40,50） [50,60） [60,70） [70,80] 男生人数 5 25 30 25 15 女生人数1020402010（Ⅰ）若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；（Ⅱ）完成下表，并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”？上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计男生 女生 合计附：公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中20()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8325．某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100].（1）求直方图中x 的值；（2）现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人，若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查，求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.26．某医疗器械公司在全国共有100个销售点，总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.（1）完成年销售任务的销售点有多少个？（2）若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本，求该五组[2,6)，[6,10)，____________=，[14,18)，[18,22)，（单位：千台）中每组分别应抽取的销售点数量.（3）在（2）的条件下，从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取2个，求这两个销售点不在同一组的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.2．C解析：C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n ＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率． 【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体， ∴基本事件总数n ＝27， 在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上， 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选：C 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．B解析：B 【解析】 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，设阴影部分正方形的边长为a ，则七巧板所在正方形的边长为22a ， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率()221822a a=，故选：B. 【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出，模拟程序的运行过程，直到达到输出条件即可. 【详解】输入8，第一次执行循环：3y =，此时5y x -=，不满足退出循环的条件，则3x =，第二次执行循环：12y =，此时52y x -=， 满足退出循环的条件，故输出的y 值为12，故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5．C解析：C 【解析】 【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．B解析：B 【解析】分析：由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解：逐一考查所给的说法：①由分层抽样的概念可知，取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人，题中的说法正确；②新生的人数较多，不适合用简单随机抽样的方法抽取人数，题中的说法错误； ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法正确；④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++，题中的说法错误；综上可得，正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查分层抽样的概念，简单随机抽样的特征，古典概型概率公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为41m P n π==，所以4mnπ=．故选C ． 8．B解析：B 【解析】由题意可得：初如值S=2,k=2015, S=-1,k=2016<2018 S=12,k=2017<2018 2,2018S k ==输出2,选C.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -， 那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<， 所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=.【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．10．D解析：D【解析】【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率.【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p==，故选D.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．A解析：A【解析】【分析】由频率分布直方图的性质列方程，能求出a．【详解】由频率分布直方图的性质得：()100.0050.0150.0350.0150.0101a+++++=，解得0.020a=．故选A．【点睛】本题考查实数值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．C【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项： 在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立． 在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立； 本题选择C 选项. 【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．二、填空题13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的解析：【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭Q ，由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】【分析】确定在正方形的位置即可求解【详解】由题时则当在上运动时的长度大于5故的长度大于5的概率等于故答案为【点睛】本题考查长度型几何概型确定的轨迹是关键是基础题解析：18【解析】 【分析】确定E 在正方形的位置即可求解 【详解】由题3BG DF ==时5AG AF ==，则当E 在,GC CF 上运动时，AE 的长度大于5 故AE 的长度大于5的概率等于111168+= 故答案为18【点睛】本题考查长度型几何概型，确定E 的轨迹是关键，是基础题15．63【解析】回归方程过样本中心点则：即：解得：点睛：(1)正确理解计算的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键(2)回归直线方程必过样本点中心解析：63 【解析】30407090120705x ++++==回归方程过样本中心点，则：0.7701564y =⨯+=，即：35488292645m ++++=，解得：63m =.点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．16．38【解析】【分析】根据几何槪型的概率意义即可得到结论【详解】正方形的面积S ＝1设阴影部分的面积为S ∵随机撒1000粒豆子有380粒落到阴影部分∴由几何槪型的概率公式进行估计得即S ＝038故答案为：解析：38 【解析】 【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论． 【详解】正方形的面积S ＝1，设阴影部分的面积为S ， ∵随机撒1000粒豆子，有380粒落到阴影部分， ∴由几何槪型的概率公式进行估计得38011000S =， 即S ＝0.38， 故答案为：0.38． 【点睛】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．17．13【解析】试题分析：记两段的长都不小于1m 为事件A 则只能在中间1m 的绳子上剪断剪得两段的长都不小于1m 所以事件A 发生的概率P （A ）=考点：几何概型 解析：【解析】试题分析：记“两段的长都不小于1m”为事件A ，则只能在中间1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m ， 所以事件A 发生的概率 P （A ）=考点：几何概型18．【解析】【分析】首先从茎叶图中找到出现次数最多的数从而得到甲组数据的众数找出乙组数据的最大值和最小值两者作差求得极差得到结果【详解】根据众数的定义可以断定甲组数据的众数是21；从茎叶图中可以发现其最 解析：21,43【解析】 【分析】首先从茎叶图中找到出现次数最多的数，从而得到甲组数据的众数，找出乙组数据的最大值和最小值，两者作差求得极差，得到结果. 【详解】根据众数的定义，可以断定甲组数据的众数是21；从茎叶图中可以发现，其最大值为52，其最小值为9，所以极差为52943-=， 故答案为21，,43. 【点睛】该题考查的是茎叶图的应用，涉及到的知识点有一组数据的众数和极差的概念，只要明确众数是数据中出现次数最多的数，极差是最大值和最小值的差距，从而求得结果.19．（注：填也得分）【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知该程序的功能是输出三个数的大小之中位于中间的数的数值再根据指数函数与对数函数的性质得到即可得到输出结果详解：由题意执行如图所示的程序框图可知该解析：ln 22（注：填c 也得分）. 【解析】分析：执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值，再根据指数函数与对数函数的性质，得到b c a <<，即可得到输出结果.详解：由题意，执行如图所示的程序框图可知，该程序的功能是输出,,a b c 三个数的大小之中，位于中间的数的数值， 因为212ln 2,,ln 22a b c e ===，则221ln 21132ln 2e <<<<，即b c a <<， 所以此时输出ln 22c =. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．20．1【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数计算结果详解：点睛：本题考查平均数考查基本求解能力解析：1 【解析】分析：根据平均数与对应概率乘积的和得总平均数，计算结果. 详解：7245%74(145%)72.1⨯+⨯-=． 点睛：本题考查平均数，考查基本求解能力.三、解答题21．（1）a 0.001=；（2）0.62；（3）12.08吨 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图列出方程能求出a ．（2）由频率分布直方图先求出满足题意的频率，即得概率．（3）由频率分布直方图先求出人均月饼购买量，由此能求出该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求． 【详解】()1由()0.00020.00055a 0.00050.000254001++++⨯=，解得a 0.001=． ()2Q 消费者月饼购买量在600g 1400g ～的频率为： ()0.000550.0014000.62+⨯=，∴消费者月饼购买量在600g 1400g ～的概率为0.62．()3由频率分布直方图得人均月饼购买量为：()4000.00028000.0005512000.00116000.000520000.000254001208g⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，∴2012085%1208⨯⨯=万克12.08?=吨， ∴该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求． 【点睛】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题． 22．（1）频率分布直方图见解析，中位数约为5.33小时；（2）1115【解析】 【分析】（1）根据题中数据，完成频率分布表，可完成频率分布直方图，设中位数为x ，则()()0.050.1020.1540.5x +⨯+⨯-=，可得中位数；（2）分别求出从6人中随机抽取2人总的事件数及2人取自不同使用时间区间的事件数，由古典概型公式可得概率. 【详解】解：（1）根据题意，可将数据做如下整理：频率/组距 0.05 0.1 0.15 0.12 0.08设中位数为，则()()0.050.1020.1540.5x +⨯+⨯-=，解得 5.33x =. ∴大学生每天使用手机时间的中位数约为5.33小时.（2）用分层抽样的方法从使用时间在区间(]0,2，(]2,4，(]4,6中抽取的人数分别为1，2，3，分别设为a ，1b ，2b ，1c ，2c ，3c ，所有的基本事件为1ab ，2ab ，1ac ，2ac ，3ac ，12b b ，11b c ，12b c ，13b c ，21b c ，22b c ，23b c ，12c c ，13c c ，23c c ，这2名大学生取自同一时间区间的基本事件12b b ，12c c ，13c c ，23c c ，设这2名大学生取自不同使用时间区间为事件A ，符合条件的总事件数为15，在同一区间内的情形有4种情况，∴()41111515P A =-=， 故这2名年轻人取自不同使用时间区间的概率为1115.. 【点睛】本题考查了频率分布直方图及系统抽样的相关性质，考查了分层抽样的使用及概率的求法，考查了推理与计算能力，是中档题. 23．（1）1225；（2）2125.【解析】分析：（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有1个是黑球的情况有12种，即可得到答案；（2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出. 详解：全体基本事件共有25种情形，（1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形， 故概率1225P =. （2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球， 即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形， 即42112525P =-=. 点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．24．（Ⅰ）225；（Ⅱ）没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”．【解析】分析：（1）根据样本比例=总体比例，再计算总体人数（2）先填表，再利用卡方公式计算详解：（Ⅰ）设估计上网时间不少于60分钟的人数x,依据题意有30750100x=，解得：225x=，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225人. （Ⅱ）根据题目所给数据得到如下列联表：其中()2200603040702002.198 2.7061001001307091K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯,因此，没有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.点睛：本题考查概率、统计学的基础内容，卡方的计算要先化简后计算．25．（1）0.0125；（2）2 5 .【解析】【分析】（1）利用直方图矩形的面积的和为1，直接求解x即可.（2）求出基本事件的总数以及符合条件的基本事件的个数，即可求解.【详解】（1）由直方图可得：20×x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20＝1.所以x＝0.0125.（2）由题意知：[0，20）有2人，设为1，2，[20，40）有4人，设为a，b，c，d；则基本事件有：12，1a，1b，1c，1d，2a，2b，2c，2d，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的包括：ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种.所以抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率P62 155 ==.【点睛】本题考查了直方图，考查古典概率的求值，是一道中档题.26．（1）24；（2）见解析；（3）3 5。

【易错题】高二数学上期末第一次模拟试卷带答案(1)一、选择题1．口袋里装有大小相同的5个小球，其中2个白球，3个红球，现一次性从中任意取出3个，则其中至少有1个白球的概率为（ ） A ．910B ．710C ．310D ．1102．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.043．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：0020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n=⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯4．执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（ ）A．30B．20C．12D．85．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（）A．没有白球B．2个白球C．红、黑球各1个D．至少有1个红球6．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．-1C．0D．-27．高二某班共有学生60名，座位号分别为01, 02, 03，···, 60.现根据座位号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本.已知03号、18号、48号同学在样本中，则样本中还有一个同学的座位号是（）A．31号B．32号C．33号D．34号8．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )A ．1636B ．1736C ．12D ．19369．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A ．13B ．512C ．12D ．71210．执行如图所示的程序框图，若输入2x =-，则输出的y =（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．811．根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$，则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A ．26B ．27C ．28D ．2912．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球二、填空题13．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则()E X =______________．14．在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。

一、单选题1．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为()222210,0x y a b a b -=>>F A OAF △2的等边三角形（为原点），则双曲线的离心率为（ ）． O ABC ．4D ．2【答案】D【分析】根据等边三角形的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式进行求解即可. 【详解】因为是边长为2的等边三角形，所以，显然渐近线的倾斜角为， OAF △2c =by x a=60︒因此有， 2222222tan 6033422b cb ac a a c a c a e a a︒=⇒=⇒-=⇒=⇒=⇒==故选：D2．已知，，，则点C 到直线的距离为（ ） ()1,2,0A ()3,1,2B ()2,0,4C AB A ．2B C ．D ．【答案】B【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算C 到直线AB 的距离．【详解】因为，，()2,1,2AB =- ()1,2,4AC =-所以在方向上的投影数量为． AC AB 4||AB AC AB ⋅==设点C 到直线的距离为d，则 AB d ===故选：B.3．若平面α∥β，且平面α的一个法向量为n ＝，则平面β的法向量可以是（ ）1(2,1,)2-A ．B ．(2，－1，0)11(1,,)24-C ．(1，2，0) D ．1(,1,2)2【答案】A 【解析】略4．在中，已知，，且a ，b 是方程的两个根，，则ABC BC a =AC b =213400x x -+=60C =︒（ ）AB =A ．3 B ．7C D ．49【答案】B【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】因为a ，b 是方程的两个根，所以. 213400x x -+=13,40a b ab +==由余弦定理，.7c ====即7. AB =故选：B5．抛物线的焦点坐标为（ ）．22y x =A ．B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为， 22y x =212x y =y 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭则，解得，所以焦点坐标为.122p =14p =10,8⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.6．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（ ） 2:(0)C y mx m =>(,2)A a 4m =A ．B ．C ．D ．148184【答案】C【分析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解. 2p【详解】，， 21x y m=()0m >因为点到的准线的距离为，所以，得．(,2)A a C 41244m+=18m =故选：C7．若变量满足约束条件则的最小值为（ ）,x y 50,20,4,x y x y y +-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩32z x y =-A ． B ．C ．D ．5-72-52-2-【答案】A【分析】首先根据题意画出不等式组表示的可行域，再根据的几何意义求解即可. z 【详解】不等式组表示的可行域如图所示：， 50144x y x y y +-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩()1,4A 由得， 32z x y =-322zy x =-表示直线的轴截距的倍， z 322zy x =-y 2-当直线过时，取得最小值，. 322zy x =-()1,4A z min 385=-=-z 故选：A8．在中，若，，，则等于（ ） ABC a =10c =30A =︒B A ．105° B ．60°或120° C ．15° D ．105°或15°【答案】D【分析】得到或，即可得到10sin C =sin C =45C =135 或.105B = 15【详解】，所以 10sin C =sin C =又因为，，所以或. 0180C ︒<< c a >45C = 135 所以或. 105B = 15 故选：D9．如图，某公园内有一个半圆形湖面，为圆心，半径为1千米，现规划在半圆弧岸边上取点O C ，，，满足，在扇形和四边形区域内种植荷花，在扇形D E 2AOD DOE AOC ∠=∠=∠AOC ODEB 区域内修建水上项目，并在湖面上修建，作为观光路线，则当取得最大值COD DE EB DE EB +时，（ ）sin AOC ∠=A B C ．D ．1214【答案】D【分析】设，利用三角恒等变换、余弦定理求得的表达式，结合二次函数的性AOC α∠=DE EB +质求得正确答案.【详解】设，则， AOC α∠=2,π4AOD DOE BOE αα∠=∠=∠=-，则、为正数. ππ04π,0,0242ααα<<<<<<sin αcos 2α在三角形中，由余弦定理得：ODE 2sin DE α====，在三角形中，由余弦定理得：BOE，()22cos 2212sin EB αα=====-所以,()222sin 212sin 4sin 2sin 2DE EB αααα+=+-=-++由于，所以当时，取得最小值， sin α⎛∈ ⎝()21sin 244α=-=⨯-DE EB +也即时，取得最小值. 1sin 4AOC ∠=DE EB +故选：D10．记数列的前n 项和为，，数列是公差为7的等差数列，则的最小项为{}n a n S 598S ={}2nn S {}n a （ ） A ． B ． C ． D ．2-1516-1-14【答案】C【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，再探讨其最{}2nn S {}n a 小项作答.【详解】依题意，，因数列是公差为7的等差数列，则559232368S =⨯={}2n n S ，55227(5)71n n S S n n =+-=+因此，当时，，而不满足上式， 712n n n S +=2n ≥117176137222n n n n n nn n n a S S --+--=-=-=114a S ==当时，，即当时，， 2n ≥11167137720222n n n n n n n n a a +++----=-=3n ≥1n n a a +>于是当时，数列是递增的，而，，则，3n ≥{}n a 214a =-31a =-min 3()1n a a ==-所以的最小项为. {}n a 1-故选：C二、填空题11．已知等比数列中，，公比，则__________. {}n a 12a =2q =2a =【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式，即可求解.21a a q =【详解】由题意，等比数列中，，公比，则. {}n a 12a =2q =21224a a q ==⨯=故答案为：.4【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算问题，考查了计算能力，属于容易题.12．设a >0，若对于任意正数m ，n ，都有m +n =7，则满足的a 的取值范围是11411a m n ≤+++___________. 【答案】[1，+∞）【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 1411m n +++的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围． 【详解】解：∵m +n =7，∴（m +1）+（n +1）=9，则， ()()()()411414111111551111199119m n m n m n m n m n +⎡⎤+⎛⎫+=++++⨯=++≥⨯=⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦当且仅当，即m =2，n =5时取等号， ()41111m n m n ++=++∴，∵a >0，∴a ≥1， 11a≤∴a 的取值范围是[1，+∞）， 故答案为：[1，+∞）.13．在中，已知，，则_________.ABC 120B =︒AC 2AB =BC =【答案】3【分析】设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即A B C a b c a 可求得的值，从而得到的长度．a BC 【详解】解：设角，，所对的边分别为，，， A B C abc 结合余弦定理，可得， 219422cos120a a =+-⨯⨯⨯︒即，解得或（舍去）， 22150a a +-=3a =5a =-所以． 3BC =故答案为：．314．已知双曲线过左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于P ，Q 两点，以()222210,0x y a b a b -=>>P ，Q ，则双曲线的离心率为________. 【答案】32【分析】不妨取，分别计算两点到渐近线的距离，根据22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0bx ay -=12,r r 求解即可.12r r +=【详解】代入可得，x c =-()222210,0x ya b a b -=>>2b y a=±不妨取，渐近线方程为，22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0bx ay -=设圆P 和圆Q 的半径分别为，12,r r∵圆P 和圆Q 均与双曲线的同—条渐近线相切，, 2212,bc b bc b r rcc+-∴，，即， 122rr b ∴+==b a =离心率， ∴32e ====故答案为：32【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查了数形结合思想和运算能力，属于中档题.三、解答题15．（1）已知数列{an }满足a 1＝－1，an ＋1＝an ＋，n ∈N *，求通项公式an ； 1n(n 1)+（2）设数列{an }中，a 1＝1，an ＝an －1(n ≥2)，求通项公式an .1(1n-【答案】（1）an ＝－(n ∈N*)；（2）an ＝ (n ∈N*)． 1n 1n【分析】（1）由已知条件可得an ＋1－an ＝，然后利用累加法可求出通项公式an .111(1)1n n n n =-++（2）由an ＝an －1，可得＝，然后利用累乘法可求出通项公式1(1)n -1n n a a -1n n -【详解】（1）∵an ＋1－an ＝， 1n(n 1)+∴a 2－a 1＝； 112⨯a 3－a 2＝； 123⨯a 4－a 3＝； 134⨯… an －an －1＝.1(1)n n-以上各式累加得，an －a 1＝＋＋…＋112⨯123⨯1(1)n n -＝＋＋…＋＝1－. 1(1)2-11(23-11()1n n --1n ∴an ＋1＝1－， 1n∴an ＝－(n ≥2)． 1n又∵n ＝1时，a 1＝－1，符合上式， ∴an ＝－(n ∈N*)． 1n（2）∵a 1＝1，an ＝an －1(n ≥2)，1(1)n-∴＝， 1n n a a -1n n-an ＝×××…×××a 1＝×××…×××1＝.1n n a a -12n n a a --23n n a a --32a a 21a a 1n n -21n n --32n n --23121n又∵n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴an ＝(n ∈N*)． 1n16．等差数列满足，.{}n a 1210a a +=432a a -=（1）求的通项公式.{}n a （2）设等比数列满足，，求数列的前n 项和. {}n b 23b a =37b a ={}n b 【答案】（1）；（2）.22n a n =+224n +-【解析】（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用23,b b 1,b q 等比数列前项和公式即可求出. n n s 【详解】解：()∵是等差数列，1{}n a ， 121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩∴解出，， 2d =14a =∴1(1)n a a d n =+-422n =+-.22n =+()∵，2232328b a ==⨯+=，3727216b a ==⨯+=是等比数列，{}n b ， 322b q b ==∴b 1=421(1)4(12)24112n n n n b q s q +--===---17．记中，角的对边分别为，已知. ABC ,,A B C ,,a bc cos cos tan a B b A A +=(1)求；A (2)若，求的面积. 2,a b ==ABC 【答案】(1)6A π=【分析】（1）根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；（2）根据余弦定理可得或，再根据面积公式求解即可2c =4c =【详解】（1）由正弦定理可得，故，因sin cos sin cos tan A B B A C A +=()sin tan A B C A +=为，故，故，又，故A B C π++=()sintan sin A B C AC +==tan A =()0,A π∈6A π=（2）根据余弦定理可得，故，.当(22222c =+-⨯()()240c c --=2c =4c =时，；当时，2c=111sin 2222ABC S bc A ==⨯⨯= 4c =，故111sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯= ABC18．已知O 为坐标原点，双曲线C ：（，P 在双曲线22221x y a b-=0a >0b >C 上，点，分别为双曲线C 的左右焦点，.1F 2F ()2124PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知点，，设直线PA ，PB 的斜率分别为，.证明：为定值.()1,0A -()10B ,1k 2k 12k k 【答案】(1)2212y x -=(2)证明见解析【分析】(1)根据题意和双曲线的定义求出，结合离心率求出b ，即可得出双曲线的标准方程； 1a =(2)设，根据两点的坐标即可求出、，化简计算即可. ()00,P x y 1k 2k 【详解】（1）由题知： 122PF PF -=由双曲线的定义知：， 22a =1a =又因为，所以 e ca==c =2222b c a =-=所以，双曲线C 的标准方程为2212y x -=（2）设，则()00,P x y 220012y x -=因为，，所以， ()1,0A -()10B ,0101y k x =+0201y k x =-所以 220000122200002111112y y y y k k x x x y ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪+--⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭19．若椭圆E ：过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点.22221(0)x y a b a b +=>>(1)求椭圆E 的方程；(2)不过原点O 的直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值以及此时直线的方程.l 【答案】(1)2213x y +=(2)，此时直线的方程为OAB l y x =【分析】首先求出抛物线与双曲线的焦点坐标，即可得到、，再由，即可求出，b c 222c a b =-2a 即可求出椭圆方程；（2）将直线方程和椭圆方程联立组成方程组，然后求解得到的值，并通过求解得到点到直||AB O 线的距离，即可得到含有的表达式，进而求解得出最大值．l d m OAB S 【详解】（1）解：抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，依24x y =()0,1221x y -=())题意可得，所以，所以椭圆方程为；1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩222c a b =-23a =2213x y +=（2）解：根据题意，设点，，，，联立直线方程与椭圆方程可得，，1(A x 1)y 2(B x 2)y 2233x y y x m ⎧+=⎨=+⎩消去得，，y 2246330x mx m ++-=即得，，1232mx x +=-212334m x x -=则由相交弦长公式可得 ||AB=又由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为， OAB|dm =所以， 111||||224OAB S d AB m ∆=⋅⋅==当且仅当，即时，的方程为 22m =m =OAB l y x =20．正项数列的前项和满足：{}n a n n S 222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求n S （2）求数列的通项公式 {}n a n a （3）令，求数列的前项和 2221(1)n nn b n a +=+{}n b n n T 【答案】（1）；（2）；（3） 2n S n n =+2n a n =()211141n ⎛⎫ ⎪-⎪+⎝⎭第 11 页 共 11 页【分析】（1）将所给式子因式分解，即可得解；（2）根据计算可得； 11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）由（2）可得，再利用裂项相消法计算可得； ()2211141n b n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦【详解】解：因为222(1)()0n n S n n S n n -+--+=所以()201()n n S n n S ⎤+⎣⎦+⎡-=所以或2n S n n =+1n S =-因为各项均为正数，所以；{}n a 2n S n n =+（2）因为，当时，当时，，所以2n S n n =+1n =211112S a =+==2n ≥()()1211n S n n -=-+-，当时也成立，所以 ()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦1n =2n a n =2n a n =（3）因为，所以 2221(1)n n n b n a +=+()2222211114(1)41n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦所以 ()2222222211111111111141242343441n T n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎢⎥⎣⎦ ()()2222222221111111111114122334411n n n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+-+-+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭。

xx 学年度高二上学期期末模拟试题一2019-2020年高二上学期期末模拟试题一 数学试题 含答案一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ． 2 C. 3 D. 22. 已知平面的法向量是，平面的法向量是，若， 则的值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3．已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是( ) A. B. C. D.4. 等差数列中，已知前项的和，则等于（ ） A ． B ．12 C ． D ．65. 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．B ．“”是“”的必要不充分条件．C ．命题“使得”的否定是：“ 均有”．D ．命题“若，则”的逆否命题为真命题6. (xx 年浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－117. 若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8. 若的内角所对的边满足，且，则的最小值为( ) A ． B ． C ． D ． 9. 已知正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A. 0 B. C. D.10.若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．若双曲线的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．12.若抛物线的焦点是,准线是,则经过点、（4，4）且与相切的圆共有（ ）．A.4个B.2个C.1个D.0个第2卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，满分16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13．等差数列中，若则= . 14. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是 15. 设，，且，则的最小值为 ．16. 点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 .三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，⑴求的值；⑵求数列的通项公式。

7 8 994 4 6 4 73高二数学第一学期期末模拟七一 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．下图是某地少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的 平均数和方差分别为_______________。

2．若双曲线1922=-m y x 的渐近线方程为x y 35±=，则双曲线的 焦点F 到渐近线的距离为 。

3．“18a =”是“命题:p ),0(+∞∈∀x ，21ax x+≥为真命题”的______________条件。

4．算法的流程图如图，则输出S 为________。

5．函数xxy ln =的单调递减区间是_______________。

6. 已知命题“p : x x ),0,(-∞∈∃是 函数ax e x f x +=)(的极值点”是真命题， 则实数a 的取值范围是____________。

7. 若函数3)2(3123++++=x b bx x y 有三个单调区间，则b 的取值范围是 。

8. 用三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色， 每个矩形只涂一种颜色，则三个矩形颜色都 不相同的概率为______。

9. 关于某设备的使用年限x 与所支出的维修 费用yy对x 呈线性相关关系，则线性回归方程为65y x =+________。

10.直线b x y +=2是曲线x x y ln =的一条切线，则实数b ＝ __________11. 从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共取了n 件，测得其尺寸后，画出其频率分布直方图如下，若尺寸在[15,45]内的频数为46，则尺寸在[20,25]的产品 个数为 。

12．已知32()26f x x x a =-+(a 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么函数)(x f 在[－2，2]上的最小值为_______。

13．设曲线),0(:≥=x x y C 直线0=y 及直线t x =)0(>t 围成的封闭图形的面积为)(t S ，则=)2('S _________。

2013年高二数学上册期末模拟试题（附参考答案）宜宾市四中2012级第三期期末模拟测试题（三）1、在空间直角坐标系中，，，是坐标原点，则=A、B、C、D、2、抛物线的准线方程是3、已知某程序框图如右图所示，则执行该程序后输出的结果是()．12．－1．2．14、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是5、已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，有下列命题：①若∥,,则∥；②若,,且∥,则∥③若,,，∥,则∥④若,=,,,则其中正确命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个甲乙9086554135571226、在2013年12月16日举行的高2012级学生艺术节初赛中，6位评委给某班甲、乙两名同学打分的茎叶图如图所示，、分别表示甲、乙两位同学的平均分，、分别表示甲、乙两位同学成绩的标准差，则有A、,B、=,=C、=,D、,7、下列说法正确的是8、正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为1，则点的轨迹是A.抛物线的一部分B.双曲线的一部分C.椭圆的一部分D.线段10、二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、用分层抽样的方法从某校1200名学生中抽取一个容量为60的样本，已知高二年级学生比高一年级学生多120人，高三年级比高二年级多抽取12人，则该校高一年级共有学生人12、在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是13、从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是14、如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为15、已知下列命题:其中正确命题的序号是①椭圆标准方程中，若a,b,c成等比数列，则其离心率；②双曲线(a0)的离心率且两条渐近线互相垂直；③在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；④若实数，则满足≥1的概率为.三、解答题：16如图，在三棱柱中，△ABC为等边三角形，侧棱⊥平面，，D、E分别为、的中点．（Ⅰ）求证：DE//平面；（Ⅱ）求BC与平面所成角；（Ⅲ）求三棱锥的体积．17、（本小题满分12分）某幼儿园在“六一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一:宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y；方案二:宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m，家长的计算器产生的随机实数记为n．（I）在方案一中，若x+l=2y，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（Ⅱ）在方案二中，若m2n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．18、如图，在直四棱柱中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面是边长为4的菱形，且，，P、Q分别是棱和AD的中点，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）（文科科考生）求异面直线与所成角的余弦值。