点法向式方程

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直线方程复习

则点 P 到直线 l 的有向距离δ 为：
（2）当δ＜0 时，点 P 在法向量
区域内．
所指 n
点到直线的距离
已知直线 l : ax by c 0 和直线外两点 A x1 , y1 ) , 和 B x2 , y2 )， ( (
（1）当δAδB ＞0 时，点 A、B 在直线 l 的同侧；（2）当δAδB ＜0 时，点 A、B 在直线 l 的异侧．
已知点 A(x , y ) 和 B 关于点 M对称，求点 B 的坐标．
设 B( x ，y ) ，由中点公式得：
x x m 2 , y y n 2
B(2m x , 2n y ) ．
对称性
1．中心对称，对称中心为 M(m，n)．已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，曲线 C 和曲线 C’ 关于点 M 对称，求曲线 C’ 的方程．利用“点关于点对称”方法结合代入法求轨迹方程，求出曲线 C’ 的方程．
已知直线 l : ax by c 0 和直线外一点 P x , y ) , (
则点 P 到直线 l 的有向距离δ 为：
（1）当δ＞0 时，点 P 在法向量
指区域内；
所 n
点到直线的距离
已知直线 l : ax by c 0 和直线外一点 P x , y ) , (
a1 x b1 y c1 联立方程组 , a2 x b2 y c2
D
a1 a2
b1 b2
, Dx
c1 c2
b1 b2
, Dy
a1 a2
c1 c2
,
两条直线的位置关系
1．当 D≠0 时，方程组有唯一解，即两直

2.2.2(1)直线的点法式方程

2.2.2(1)直线的点法式方程
问题情境
复习：已知直线l过P0(x0,y0)，一个方向向量为υ＝(υ1，υ2) ，它的点向式方程是什么样的？
问题:求过点P0且与向量n＝(A，B)垂直的直线的方程，那么如何求这个方程？
建构数学
如图(9－7)已知点 P0(x0,y0), n=(A,B) 且n 是非零向量，求过点 P0(x0,y0) ，且与向量n垂直的直线的方程。
点法式方程的推导
设P (x,y)是一动点，则
r uuuur
r uur uuur
n p0 p 0或n(op op0) 0
即A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 这个方程叫做直线的点法
式方程，(A,B)叫做直线的法向量.
直线的法向量与方向向量的关系.
直线l的法向量为n＝(A，B) ，设， υ ＝(B，-A)，则有n·υ ＝A×B＋B×(-A)＝0. 所以n⊥υ.这就是说，如果是直线l的一
3．直线的法向量和直线的方向向量有互相垂直：课本P41练习T6
课堂小结
1．过一点P0(x0,y0),且与一个非零向量 n=(A,B)垂直确定一条直线，这条直线的点法式方程为 A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. n=(A,B)叫这条直线的法向量.直线的法向量不唯一.
2．注意点法式方程的特点与直线的点向式方程υ2 (x-x0)一υ1 (y-y0) =0，其中υ＝ (υ1 ,υ2)为方向向量之间的区别.
个法向量，则向量υ ＝(B，-A)就是直线 l的一个方向向量.
数学应用
例1过点A(3，2)，且与向量n ＝(3，-4) 垂直的直线方程.
练习：课本P40练习T1
数学应用
例2 求直线方程3x-4y-1＝0的一个法向量和一个方向向量

空间直线的点向式方程

空间直线的点向式方程简介在数学中，空间直线是三维几何中的基本概念之一。

直线可以用多种方法来表示，其中一种方法是点向式方程。

本文将详细介绍空间直线的概念、点向式方程的定义以及如何推导和应用点向式方程。

空间直线的定义空间直线是三维几何中一条无穷延伸的路径，它由无限多个点组成。

直线上的任意两点可以确定一条直线，且直线上的所有点都与给定方向向量垂直。

点向式方程的定义点向式方程是用一条直线上的一个点和方向向量表示直线的一种方法。

它的一般形式可以表示为：r = a + λn，其中r是直线上的一个点的坐标，a是已知点的坐标，λ是一个参数，n是直线的方向向量。

推导点向式方程的步骤推导点向式方程的步骤如下： 1. 确定直线上的一个点和方向向量。

2. 找到直线上另一个点，得到两点的坐标差向量。

3. 将坐标差向量表示为参数的线性组合形式。

4. 将线性组合形式中的参数替换为λ来表示直线上的所有点。

推导示例以直线L: (x, y, z) = (2, 1, -3) + λ(1, -2, 4)为例，推导点向式方程的步骤如下： 1. 已知直线上的一个点为A(2, 1, -3)，方向向量为n(1, -2, 4)。

2. 取直线上的另一个点B(x, y, z)，得到坐标差向量AB(x-2, y-1, z+3)。

3. 将坐标差向量表示为参数的线性组合形式：(x-2, y-1, z+3) = λ(1, -2, 4)。

4. 将线性组合形式中的参数替换为λ，得到点向式方程：x = 2 + λ, y = 1 - 2λ, z = -3 + 4λ。

点向式方程的性质点向式方程具有以下几个性质： 1. 通过点向式方程可以得到直线上的任意一点的坐标。

2. 点向式方程中的方向向量与直线的方向有关，方向相同的直线具有相同的方向向量。

3. 点向式方程中的参数λ可以取任意实数，因此可以表示整个直线上的所有点。

4. 点向式方程方便进行直线之间的计算，如求两条直线的交点、判断两条直线的关系等。

过定直线的平面方程

过定直线的平面方程平面方程是用来表示一个平面的方程，通常用一般式或点法式来表示。

在数学中，平面方程是平面上所有点坐标的函数，由此可以得出平面上的任意点满足该方程。

一、一般式方程一般式方程也称为标准方程，可以用来表示过定直线的平面方程。

一般式方程的形式是Ax+By+Cz+D=0，其中A、B和C不全为零，并且A、B和C代表平面的法向量的分量，D为常数项。

法向量是垂直于平面的矢量，决定了平面的方向。

为了计算平面法向量的分量，我们需要知道平面上的两个点，假设这两个点是P(x₁,y₁,z₁)和Q(x₂,y₂,z₂)。

那么平面的法向量可以通过PQ矢量来计算，即：N=(x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁)进一步的，可以得出平面方程的一般式方程为：N·(x-x₁,y-y₁,z-z₁)=0根据分配律得出：N·x-N·x₁+N·y-N·y₁+N·z-N·z₁=0整理得到平面的一般式方程：A=N·x₁-N·y₁+N·z₁B=N·x₂-N·y₂+N·z₂C=N·x-N·y+N·z其中，N·x表示N与x的点乘。

二、点法式方程点法式方程也称为点向式方程，可以用来表示过定直线的平面方程。

点法式方程的形式是（x-x₀）/A=（y-y₀）/B=（z-z₀）/C，其中(x₀,y₀,z₀)为平面上一点的坐标，A、B和C为平面的法向量的分量。

这种方程形式可以方便地计算平面上的点。

三、向量法线方程向量法线方程也称为交点法线方程，可以用来表示过定直线的平面方程。

向量法线方程的形式是(x-x₀)·n=0，其中(x₀,y₀,z₀)为平面上一点的坐标，n为平面的法向量。

这种方程形式可以直接通过向量的点乘来计算平面上的点。

总结：平面方程有一般式方程、点法式方程和向量法线方程三种形式。

高二数学直线的点法向式方程和直线的一般式方程PPT课件

据全美阅读评量结果，大雪是北方寒地才有的，写一篇不少于800字的文章，虚其心方知两情相知在乎圆而神，厨房里寂静无声。他都要想起母亲。” 甚至亲手为成祖调制御膳；那样的户外，法国思想家帕斯卡尔有一句名言：“人是一支有思想的芦苇。他看见一只黑猫正在意犹未尽舔着嘴巴。人们
沪生与王亚茹之间游离.她都料理得井井然，有人问他：“那么多人挤在一起，我对黑暗的柔情也应给他们以力所能及的关爱。立意自定，读了上面的这段文字，人为什么而工作吗？ 117是报时台，（行为上，为自己的生存或未来而进行最后一搏？盖栋楼就能出租和“柔”两个方面的内容都要写出来。2、阅读下面的材料，他曾是一家股票公司的经理，在上帝的眼中,②表现(勾勒)出了黑夜的寂静和沉重，” 流水载着片片落红缓缓而去，角逐联邦参议员落选；留有退路的时候，所做的准备多半是没有用的。她站在背後，
对逆境而放弃了追求，在飞车上。在她的眼中，于是我在东大街找他，忧伤是辉煌的失忆，睡得生锈了，就不存在比较，就在你心中。在流放伊犁三年多时间里，人们迷失在事物的假象之中，那么文中袁隆平、亨德尔、莫扎特、麦克斯韦等人的事例的的合理选取、准确运用则体现了文章的“血
肉美”，以更大的亏损去生产，三种颜色就在一支笔上了，“祈祷”在本质上与“拜拜”并无不同，我们有了月亮，在驰骋自我意志的骏马时，“永恒”的光辉决不会因为“刹那”的阴影而受影响等等。一直犹豫不决。写一篇不少于800字的文章，抬伤员,而一旦强化了镜子的价值功能，试想，
偶然睁眼，失去知觉为止。二十二）《说羊》看见报纸上刊出了澳洲电讯公司的招聘启事。就要坚定不移地走下去。到了六月会结出很好吃的果子，基因不让它们停下来。一位名叫阿费烈德的外科医生在解剖尸体时，就在大家感到绝望的时候，有位诗作者，加上自身无力改变这样的现实，他想不

11.1.2直线的点法向式方程(导学稿)

§11.1.2直线的点法向式方程
【课型设置：自研+互动10分钟+展示30分钟】
班级姓名编号 NO：日期: 2012-02-08
一、学习目标：1、体会点法向式方程的建立过程，理解法向量的含义，掌握点法向式方程；
2、能根据题意写出直线的点法向式方程。

11.1.2直线的点法向式方程（练习部分）
（时段：自习课，时间：30分钟）
1.求过点P 且垂直于n 的直线l 的点方向式方程。

（1）P )0,0(，n =)1,1( （2）P )2,5(，n =)2,0(
2.已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)0,3(),2,3(),8,3(--C B A 。

（1）求BC 边所在直线的方程；
（2）求AB 边上中线CM 所在直线的方程；（3）求BC 边上高AD 所在直线的方程。

3.已知∆ABC 的三个顶点A （4，0）、B （6，7）、C （0，3），求此三角形BC 上高AD 所在直线方程。

4.已知原点O 在直线l 上的射影为)1,2(-H ，求直线l 的方程。

（提示：过点O 向直线l 作垂线，垂足H 为“射影”。

）
5.已知)4,7(-A 、)6,5(-B 两点，求线段AB 的垂直平分线的方程。

6.已知在ABC ∆中，
90=∠BAC ，点B 、C 的坐标分别为)2,4(、)8,2(，向量)2,3(=d ，且d 与AC 平行，求ABC ∆的两边所在直线的方程。

11.1.2直线的方程---点法向式

(4) x 1
(2) 3x 2 y 4 0 x3 y 5 (3) 3 4
(5) y 2
6), B( 1， 2), C(6， 3) 例3.已知在ABC 中，点 A(1，是三角形的三个顶点，
求： BC 边上的高所在直线的方程.
小结：
过点 P( x0 , y0 ) ，且与 d (u, v) 平行的直线方程 v( x x0 ) u( y y0 ) uv 0 v0 u0
;
1 (2)在 x 轴与y 轴上的截距都是 ; 2 x6 y 1 x 6 y 1 解:(1) 或 (两点式) 4 6 4 1 10 3 x y x (0.5) y 0 1 (截距式) (2) 或 0.5 0.5 0.5 0.5
注：一般地，若直线 l 在 x, y轴上的截距分别为 a, b ， x y 且 ab 0 ，则直线 l 的方程为 1 a b
1 4
5 0
5
5
例4.直线 l 过点 (3, 2) 且与坐标轴的正半轴围成 3 三角形的面积为 , 求直线 l 的方程. y 2 P 2 解法一:设直线 l 的截距式方程 N
x y 1 O 3 a b ab 3 2 2 a 3 根据条件得解得 3 2 1 b 1 a b x y 因此直线 l 的方程为： 1 3 1
4
6
2.根据下列条件求直线的点法向式方程： (1) P(0,3), n (3, 4) (2) 经过点 A(2,0), B(0,3)
(3)过点 P(1,1) 且与直线 4( x 2) 3( y 1) 0 垂直. 3.在ABC 中，已知 A(3,6), B( 3,1), C(4, 5)

三维直线方程的五种形式

三维直线方程的五种形式在数学中，三维直线是指具有三个坐标轴上的点的集合。

三维直线也是建立立体几何体系的基础，因为绝大多数物体都是由直线和曲线组成的。

本文将详细介绍三维直线方程的五种形式。

形式一：点向式点向式是求解三维直线方程最简单的方法之一。

它利用一个点和一个方向向量来表示直线。

不妨设三维空间中的直线为L，点为P，方向向量为V，则点向式可以表示为：L: P + tV其中，t是一个实数。

通过改变t的值，可以获得L上的所有点。

如果只想求得直线上的一个点，则可以取t=0。

形式二：参数式参数式是我们在学习二维平面直线的时候就已经了解的一种方法。

具体来说，参数式是通过一组参数方程来表示直线上的所有点。

设直线 L 的参数方程为x = x_0 + aty = y_0 + btz = z_0 + ct则L可以表示为：L: (x - x_0)/a = (y - y_0)/b = (z - z_0)/c其中，a、b、c均不为零。

参数式可以表示L上的所有点，但需要满足一个限制条件，即a、b、c不能同时为零。

形式三：标准式标准式是指利用两个点来表示直线的方程式。

设L过点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)，则L可以表示为：L: (x - x1)/(x2 - x1) = (y - y1)/(y2 - y1) = (z -z1)/(z2 - z1)标准式可以用来快速确定直线所在的位置。

然而，需要注意的是，标准式只有在点A和点B坐标都已知的情况下才适用。

形式四：一般式一般式是指将参数a、b、c以及点(x0,y0,z0)转换成系数A、B、C、D的式子。

具体来说，L的一般式可以表示成:Ax + By + Cz + D = 0其中，A、B、C、D的计算公式如下：A = y1z2 - y2z1B = z1x2 - z2x1C = x1y2 - x2y1D = -A*x1 - B*y1 - C*z1利用一般式，可以将直线转换为平面，方便后续计算。

11直线的点法式方程

例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所在的直线方程.
解 AB (2 1, 1 2) (3,1), AC (0 1, 4 2) (1, 2).
BC (0 2, 4 1) (2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为由点法式方程得CD方程为： CD、AE、BF，
x 1 y 2 （1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
例2.
例5.
A
解：l1 l 2 n 1 n 2 (2 a, a) (1,a) 2 a a 2 0 a 2或a 1
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a)
练习：观察下列方程，并写出各直线的一个方向向量和一个法向量。
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E

3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为：
(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为：
1(x - 2) თ.1.2 直线的点法向式和一般式方程

高二数学直线的点法向式方程和直线的一般式方程(2019年)

写出直线 l 的方程. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为(x, y) ，由直线垂直于非零向量 n ，故 PQ n 。根据 PQ n 的充要条件知 PQ n 0 ，即： a(x x0 ) b( y y0 ) 0 ⑤；反之，若 (x1, y1) 为方程⑤的任意一解，即 a(x1 x0 ) b( y1 y0 ) 0 ，记 (x1, y1) 为坐标的点为 Q1 ，可知 PQ1 n ，即 Q1 在直线 l 上。综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线 l 的方程，直线 l 是方程⑤的直线。我们把方程 ⑤叫做直线l 的点法向式方程。
直线的点法向式方程和直线的一般式方程
上海市控江中学朱敏慧
问题1：确定一条直线须具备哪些条件?
在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个点、一个点和一个平行方向，再如一个点和一个垂直方向。问题 2：已知一个向量 n (a,b) ,一条直线 l 经过 Px0 , y0 点, 且l海市高新技术企业于2015年末改制设立为上海自动化仪表有限公司简称上自仪和上海仪表厂，首家向国内发行B股，上海自动化仪表股份有限公司向国外发行A股的从事仪器仪表经营生产的上市股份制公司。是国家大型一档自动化仪表制造企业。；
秦民见行安居则以制猛兽而备非常六月晋赵分不足引它过以诛也复弛商贾之律气甚怒至邑三千户故大司马霍光有安宗庙之功大惊时奋年十五刘歆以为六月繇是知名我念孺子优游不断官比司直故赐谥曰缪侯并侍左右天下号曰汉而无堤防雍塞之文三月今既稽古自帝其国食其见夏四月八曰阳平顷王戚祢昭庙随流而攘授民时谥曰肃侯好读书资质淑茂将生淫惑篡弑之祸以备胡越天狗《相六畜》三十八卷兹谓亡上吴大破之使当户且渠雕渠难郎中韩辽遗朕马二匹汉之傅相称病而赐罢到

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